СЕМЬ ИСКУССТВ

Обладание представлениями о точке и о направлении делает для каждого человека естественным (понятным) и такое ключевое для математики понятие как «множество». Ставим точку на один объект, потом точку на другой объект, на третий… И соединяем себя с каждой такой точкой лучом (направлением). Это позволяет не терять объекты из виду и говорить об их совокупности, как о множестве.

Александр Локшин

ПОНИМАНИЕ: ЛОКАЛЬНОСТЬ, СУБЪЕКТИВНОСТЬ, ДВОЙСТВЕННОСТЬ

Эта заметка написана по следам замечательной работы [1] и посвящена различным аспектам понятия «понимание» (извините за тавтологию!).

Откуда же оно берется это самое понимание, где его корни, где его слабые места?

В своей превосходной (в целом) книге «Апология математики» на стр. 393 известный логик В.А. Успенский пишет:

«…Эти понятия, устанавливаемые не из словесного определения, а из непосредственного личного опыта, естественно назвать первичными понятиями, или категориями, математики. К числу таких категорий относятся, например, понятия точки, прямой, множества, натурального числа.» (конец цитаты)

А вот и нет! Как показали недавно проведенные биологами опыты над новорожденными крысятами, у них имеется врожденное представление о точке и о направлении. Уверен, что это относится и человеку в полной мере. Точно так же у человека имеется врожденное представление о численности небольших множеств (проявляется как субитайзинг — мгновенное определение числа объектов, без пересчета).

Вот дополнительное соображение в пользу выводов, сделанных биологами — для того, чтобы сформировать на основе жизненного опыта представление о нашем мире как о мире Евклидовой геометрии, человеческим чувствам необходимо было за что-то зацепиться, за какие-то врожденные представления. Вот — точка, направление — это как раз то, за что можно зацепиться, вырабатывая у себя в результате опыта ощущение расстояния и пространственного континуума.

(Насколько я понимаю, в вышеупомянутых опытах речь идет направлении, соединяющем две произвольные точки).

Итак, я буду исходить из того, что представления о точке и о направлении являются для человека врожденными.

Тогда перестает казаться удивительным, что в начальной школе дети прекрасно усваивают такое труднейшее геометрическое понятие как «точка».

Учитель просто-напросто говорит:

— Дети! Представьте себе маленький шарик, который все время уменьшается, и в конце концов исчезает. Вот то место, где он исчезает, и есть точка.

И дети все прекрасно понимают.

Обладание представлениями о точке и о направлении делает для каждого человека естественным (понятным) и такое ключевое для математики понятие как «множество». Ставим точку на один объект, потом точку на другой объект, на третий… И соединяем себя с каждой такой точкой лучом (направлением). Это позволяет не терять объекты из виду и говорить об их совокупности, как о множестве.

Кстати, любопытно, что это исключительно трудное, не определяемое и фундаментальное для математики понятие дети в начальной школе усваивают без проблем.

Но сообщает ли учитель ученикам истину, рассказывая о точке? Вот это большой вопрос — физики утверждают, что о сверхмалых расстояниях (меньших планковской длины) говорить вообще нет смысла. Значит, нет и возможности стремить к нулю радиус уменьшающегося шарика…

Так что «понимание», возникающее у учеников, представляет собой выраженное согласие с врожденным представлением об окружающем мире, но вовсе не с истинным положением вещей.

В то же время квантовые эффекты (например, прохождение одного электрона одновременно через две щели сразу) — абсолютно непонятны любому здравомыслящему человеку. Как сказал кто-то из великих: квантовую механику невозможно понять, ее можно только полюбить.

Начиная более пристально вглядываться в природу «понимания», обнаруживаешь различные его градации и типы.

Например, если я понял одну за другой 27 лемм, из которых вытекает какая-нибудь фундаментальная математическая теорема, это еще не значит, что я понял саму теорему. (Я даже смогу ею воспользоваться при случае, но понимания от этого не прибавится). Таким образом, здесь может идти речь о локальном и интегральном понимании.

Вот, что я еще хотел бы добавить по этому поводу. Трудных лемм было слишком много. Конечно, я мог бы их вызубрить наизусть, но охватить единым мысленным взором все равно был бы не в состоянии. Для достижения понимания мне (похоже на то) нужно было бы самому разбить эти 27 лемм на 3 большие части, которые я уже смог бы (не вникая в подробности) разместить в своей рабочей памяти.

При прочтении художественного текста этот эффект проявляется, может быть, даже более ярко.

Некто N (это мне доподлинно известно) как-то раз прочел «И грянул гром» Брэдбери, понял там каждую фразу в отдельности, но рассказа в целом не понял совершенно.

Таким образом, мы можем говорить о «пространственной» иерархии пониманий — от локального понимания к интегральному.

В этой связи проф. Э. Бормашенко заметил, что существует и временнАя иерархия. Прочтя «Преступление и наказание» в молодости можно его понять, но затем, перечитав спустя несколько лет — тоже понять, но уже совершенно по-другому. Т.е. понимание художественного текста оказывается еще и субъективным, в отличие от понимания текста не художественного.

* * *

Итак, я всего-навсего перечислил некоторые грани «понимания», но вовсе не пытался понять, что такое понимание.

В заключение этой заметки хочу привести один поразивший меня очень простой пример, в котором проявляется еще одна грань «понимания» — его двойственность. Следующая задача предназначалась для школьников 5-6 классов и поэтому была сформулирована автором в сказочной форме.

Задача. Лисенок отправился из дома в школу, а Крысенок пошел из школы домой. При этом Крысенок вышел из школы на 20 минут позже, чем Лисенок вышел из дома. Вся дорога заняла у Лисенка 50 минут, а у Крысенка 40 минут. Длину всей дороги от дома до школы обозначим через S. На каком расстоянии от школы встретились Лисенок и Крысенок?

Решение. Из условий задачи сразу следует, что от выхода Лисенка из дома до прихода домой Крысенка прошло время Т = 60 минут (60 = 20 + 40). Далее, из условий задачи следует также, что от выхода Крысенка из школы до прихода в школу Лисенка прошло время T’ = 30 минут (30 = 50 – 20). Итак, отношение T/T’ = 2. Отсюда геометрически очевидно (см. диаграмму движения Лисенка и Крысенка), что точка их встречи находилась в два раза дальше от их общего дома, чем от школы.

Фактически мы столкнулись со следующей любопытной ситуацией. При любых числовых параметрах, входящих в условие задачи, отношение двух времен оказывается равным отношению двух расстояний. Это совершенно понятно, когда речь идет об одном равномерно движущемся объекте. Но в этой задаче такого единого объекта нет! В результате, глядя на рисунок, я хорошо понимаю геометрическую ситуацию, и считаю ответ разумным и правильным. Но, закрывая картинку и воспринимая ответ «на слух», я прихожу в полное недоумение и не понимаю этого ответа.

Вот, послушайте, не глядя на рисунок:

Отношение

всегда равно отношению:

Итак, ответ к простой кинематической задаче одновременно понятен и совершенно непонятен. Как к этому прикажете относиться?

Литература

[1] Бормашенко Э. Истинное и понятное / Семь искусств, №7, 2023. https://7i.7iskusstv.com/y2023/nomer7/bormashenko/

5 августа 2023