©"Семь искусств"
  январь-февраль 2024 года

Loading

Обладание представлениями о точке и о направлении делает для каждого человека естественным (понятным) и такое ключевое для математики понятие как «множество». Ставим точку на один объект, потом точку на другой объект, на третий… И соединяем себя с каждой такой точкой лучом (направлением). Это позволяет не терять объекты из виду и говорить об их совокупности, как о множестве.

Александр Локшин

ПОНИМАНИЕ: ЛОКАЛЬНОСТЬ, СУБЪЕКТИВНОСТЬ, ДВОЙСТВЕННОСТЬ

 Александр Локшин Эта заметка написана по следам замечательной работы [1] и посвящена различным аспектам понятия «понимание» (извините за тавтологию!).

Откуда же оно берется это самое понимание, где его корни, где его слабые места?

В своей превосходной (в целом) книге «Апология математики» на стр. 393 известный логик В.А. Успенский пишет:

«…Эти понятия, устанавливаемые не из словесного определения, а из непосредственного личного опыта, естественно назвать первичными понятиями, или категориями, математики. К числу таких категорий относятся, например, понятия точки, прямой, множества, натурального числа.» (конец цитаты)

А вот и нет! Как показали недавно проведенные биологами опыты над новорожденными крысятами, у них имеется врожденное представление о точке и о направлении. Уверен, что это относится и человеку в полной мере. Точно так же у человека имеется врожденное представление о численности небольших множеств (проявляется как субитайзинг — мгновенное определение числа объектов, без пересчета).

Вот дополнительное соображение в пользу выводов, сделанных биологами — для того, чтобы сформировать на основе жизненного опыта представление о нашем мире как о мире Евклидовой геометрии, человеческим чувствам необходимо было за что-то зацепиться, за какие-то врожденные представления. Вот — точка, направление — это как раз то, за что можно зацепиться, вырабатывая у себя в результате опыта ощущение расстояния и пространственного континуума.

(Насколько я понимаю, в вышеупомянутых опытах речь идет направлении, соединяющем две произвольные точки).

Итак, я буду исходить из того, что представления о точке и о направлении являются для человека врожденными.

Тогда перестает казаться удивительным, что в начальной школе дети прекрасно усваивают такое труднейшее геометрическое понятие как «точка».

Учитель просто-напросто говорит:

— Дети! Представьте себе маленький шарик, который все время уменьшается, и в конце концов исчезает. Вот то место, где он исчезает, и есть точка.

И дети все прекрасно понимают.

Обладание представлениями о точке и о направлении делает для каждого человека естественным (понятным) и такое ключевое для математики понятие как «множество». Ставим точку на один объект, потом точку на другой объект, на третий… И соединяем себя с каждой такой точкой лучом (направлением). Это позволяет не терять объекты из виду и говорить об их совокупности, как о множестве.

Кстати, любопытно, что это исключительно трудное, не определяемое и фундаментальное для математики понятие дети в начальной школе усваивают без проблем.

Но сообщает ли учитель ученикам истину, рассказывая о точке? Вот это большой вопрос — физики утверждают, что о сверхмалых расстояниях (меньших планковской длины) говорить вообще нет смысла. Значит, нет и возможности стремить к нулю радиус уменьшающегося шарика…

Так что «понимание», возникающее у учеников, представляет собой выраженное согласие с врожденным представлением об окружающем мире, но вовсе не с истинным положением вещей.

В то же время квантовые эффекты (например, прохождение одного электрона одновременно через две щели сразу) — абсолютно непонятны любому здравомыслящему человеку. Как сказал кто-то из великих: квантовую механику невозможно понять, ее можно только полюбить.

Начиная более пристально вглядываться в природу «понимания», обнаруживаешь различные его градации и типы.

Например, если я понял одну за другой 27 лемм, из которых вытекает какая-нибудь фундаментальная математическая теорема, это еще не значит, что я понял саму теорему. (Я даже смогу ею воспользоваться при случае, но понимания от этого не прибавится). Таким образом, здесь может идти речь о локальном и интегральном понимании.

Вот, что я еще хотел бы добавить по этому поводу. Трудных лемм было слишком много. Конечно, я мог бы их вызубрить наизусть, но охватить единым мысленным взором все равно был бы не в состоянии. Для достижения понимания мне (похоже на то) нужно было бы самому разбить эти 27 лемм на 3 большие части, которые я уже смог бы (не вникая в подробности) разместить в своей рабочей памяти.

При прочтении художественного текста этот эффект проявляется, может быть, даже более ярко.

Некто N (это мне доподлинно известно) как-то раз прочел «И грянул гром» Брэдбери, понял там каждую фразу в отдельности, но рассказа в целом не понял совершенно.

Таким образом, мы можем говорить о «пространственной» иерархии пониманий — от локального понимания к интегральному.

В этой связи проф. Э. Бормашенко заметил, что существует и временнАя иерархия. Прочтя «Преступление и наказание» в молодости можно его понять, но затем, перечитав спустя несколько лет — тоже понять, но уже совершенно по-другому. Т.е. понимание художественного текста оказывается еще и субъективным, в отличие от понимания текста не художественного.

* * *

Итак, я всего-навсего перечислил некоторые грани «понимания», но вовсе не пытался понять, что такое понимание.

В заключение этой заметки хочу привести один поразивший меня очень простой пример, в котором проявляется еще одна грань «понимания» — его двойственность. Следующая задача предназначалась для школьников 5-6 классов и поэтому была сформулирована автором в сказочной форме.

Задача. Лисенок отправился из дома в школу, а Крысенок пошел из школы домой. При этом Крысенок вышел из школы на 20 минут позже, чем Лисенок вышел из дома. Вся дорога заняла у Лисенка 50 минут, а у Крысенка 40 минут. Длину всей дороги от дома до школы обозначим через S. На каком расстоянии от школы встретились Лисенок и Крысенок?

Решение. Из условий задачи сразу следует, что от выхода Лисенка из дома до прихода домой Крысенка прошло время Т = 60 минут (60 = 20 + 40). Далее, из условий задачи следует также, что от выхода Крысенка из школы до прихода в школу Лисенка прошло время T’ = 30 минут (30 = 50 – 20). Итак, отношение T/T’ = 2. Отсюда геометрически очевидно (см. диаграмму движения Лисенка и Крысенка), что точка их встречи находилась в два раза дальше от их общего дома, чем от школы.

Фактически мы столкнулись со следующей любопытной ситуацией. При любых числовых параметрах, входящих в условие задачи, отношение двух времен оказывается равным отношению двух расстояний. Это совершенно понятно, когда речь идет об одном равномерно движущемся объекте. Но в этой задаче такого единого объекта нет! В результате, глядя на рисунок, я хорошо понимаю геометрическую ситуацию, и считаю ответ разумным и правильным. Но, закрывая картинку и воспринимая ответ «на слух», я прихожу в полное недоумение и не понимаю этого ответа.

Вот, послушайте, не глядя на рисунок:

Отношение

всегда равно отношению:

Итак, ответ к простой кинематической задаче одновременно понятен и совершенно непонятен. Как к этому прикажете относиться?

Литература

[1] Бормашенко Э. Истинное и понятное / Семь искусств, №7, 2023. https://7i.7iskusstv.com/y2023/nomer7/bormashenko/

5 августа 2023

Share

Александр Локшин: Понимание: локальность, субъективность, двойственность: 7 комментариев

  1. A.B.

    «Мудрые корейцы воплотили эту истину в жизнь еще в 15-м веке: у них письменность буквенно-слоговая, т.е. основой языка является слог (графически выделяемый на письме), который, в свою очередь, делится на звуки и буквы. Быть может, в том числе и поэтому корейская письменность — самая простая в мире для освоения: обучение иностранца корейской письменности обычно занимает примерно час-полтора. (Не путать с усвоением самого корейского языка! На это уходят годы…) »
    ——————————————
    В прошлом веке, читая «Уроки Армении» Андрея Битова,
    обнаружил ещё одно чудо — фонетическое соответствие смысловому — в армянском языке.»
    P.S. Статьи тега Андрей Битов — Год Литературы
    «Легче подняться на гору Арарат, чем выйти из подвала «Арарата»». Литературное путешествие по Армении

  2. Бормашенко

    «Так что «понимание», возникающее у учеников, представляет собой выраженное согласие с врожденным представлением об окружающем мире, но вовсе не с истинным положением вещей».
    Александр, здесь — очень тонкое место, которое имеет смысл детально обсудить.
    1) Вы предполагаете, что истинное положение вещей (отличное от наблюдаемого) имеет место. Это очень сильная, но не вполне очевидная гипотеза.
    2) Истинное положение каких «вещей» имеется в виду? Физических объектов или математических сущностей, вроде точек, прямых и множеств. Это очень важная проблема, и нельзя ее оставить без внимания. Впрочем, если принять гипотезу Тегмарка, и предположить, что мы живем в математике, i.e. окружающая нас Вселенная и есть математика, то проблема элегантно снимается.

    1. ALokshin to Эдуард Бормашенко

      «Вы предполагаете, что истинное положение вещей (отличное от наблюдаемого) имеет место. Это очень сильная, но не вполне очевидная гипотеза.»
      Спасибо за тонкий комментарий, Эдуард. Ситуация очень странная, и, конечно, истинное положение вещей может заключаться в том, что его не существует))

  3. Zvi Ben-Dov

    «Итак, я буду исходить из того, что представления о точке и о направлении являются для человека врожденными.
    Тогда перестает казаться удивительным, что в начальной школе дети прекрасно усваивают такое труднейшее геометрическое понятие как «точка».»
    ___________________________

    Не только это.

    https://www.metodolog.ru/node/1453

  4. А.В.

    A.Л.: Обладание представлениями о точке и о направлении делает для каждого человека естественным (понятным) и такое ключевое для математики понятие как «множество». Ставим точку на один объект, потом точку на другой объект, на третий… И соединяем себя с каждой такой точкой лучом (направлением). Это позволяет не терять объекты из виду и говорить об их совокупности, как о множестве.
    —————————————————————————
    Замечательная задача о крысёнке и лисёнке; охотно верю — у них представление о направлении, скорее всего, врождённое. Человек же, в отличие от крысят и лисят, про точку и множество понимает с детства — скажешь ему «Точка и ША!» , — человек с детства реагирует правильно. Легко проверить и реакцию человека на множество.
    Но, учитывая существование «географического критинизма» (у человеков) , могу предположить, что
    с направлением у человека плоховато.
    Автору — удачи и вдохновения! И — правильного направления — в любой точке!

    1. А.В.

      P.S.
      «…понимание художественного текста оказывается еще и субъективным,
      в отличие от понимания текста не художественного.»
      ——————————————
      И до такой степени субъективным, что появляются Латунские и Шариковы,
      со своим врождённым пониманием множества и точки.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Арифметическая Капча - решите задачу *Достигнут лимит времени. Пожалуйста, введите CAPTCHA снова.