Если человечеству удастся найти способ воспроизводить или отлавливать гигантов микромира – магнитные монополи, оно станет обладателем самого разрушительного оружия и/или источника энергии, превосходящего термоядерную реакцию. В любом случае магнитный монополь останется нерукотворным памятником Поля Дирака.
СИЗИФОВ МОНОПОЛЬ ДИРАКА II
Дополнение к доказательству несуществования
МАГНИТНОГО МОНОПОЛЯ
Доказательство несуществования –
дело неизмеримо более сложное,
чем доказательство существования.
Монополь ДИРАКА. Сборник статей
под редакцией Б.М. Болотовского и Ю.Д. Усачева.
Издательство МИР, Москва, 1970 (стр. 9).
«По учению Фарадея, магнитная линия представляется замкнутым кольцом, между тем как электрическая всегда разомкнута». Владимир Набоков. Встреча, 1931. В этом же году Поль Дирак выдвинул гипотезу о возможности существования магнитного монополя.
В поисках «потерянного» магнитного монополя
Предлагаемая попытка доказать своего рода математическую теорему о несуществовании представляет собой продолжение статьи [1], в которой сделан обзор главным образом экспериментальных исследований, проводившихся в течение почти столетия в поисках магнитного монополя. Разумеется, в столь важном для Науки долгожданном открытии, которое еще и послужило бы дорогим подарком журналистам, не обошлось как без участия физиков-теоретиков, так и без «вмешательства» всесильных околонаучных СМИ.
«Литературный обзор» этого продолжения представляет собой краткий пересказ статьи [1] о том, как настойчивые физики с помощью математиков, инженеров, техников, не собираясь ждать милостей от Природы, поставили своей задачей Мичуринское же взять их у Нее. Что, собственно, взять в качестве милостей? – самую малость: всего лишь крохотный источник обещанного «моря энергии» – элементарную частицу магнитный монополь (ММ). Ответить на второй вопрос – где ее взять? – оказалось во сто крат труднее: эту неуловимую частицу искали (и пока не нашли) в космическом излучении, метеоритах, земных и лунных породах, в глубоководных отложениях, в астрофизических лабораториях на Северном и Южном полюсах, а также в мишенях, облученных на ускорителях элементарных и неэлементарных частиц, позднее – в тех же ускорителях, но уже на гораздо более эффективных встречных пучках этих же частиц. После многих десятилетий неудачных попыток все больше становилось понятно, что взять их у Нее – задача далеко не из простых.
В XXI веке эту загадку пытаются «отгадать» еще и путем синтеза ММ в самых современных физико-химических лабораториях – см., кроме [1], еще, например [2a, b, c, d].
До самого последнего времени (2023 г.) в наэлектризованном пространстве физических экспериментов даже один-единственный ММ – для начала этого было бы вполне достаточно – так и не объявился. Звучавшие время от времени триумфальные фанфары уже через несколько недель либо месяцев после первых радостных сообщений постепенно утихали, и в конце концов редкие победные реляции были дезавуированы их авторами (иногда многочисленными – до 300 и более человек). Ситуация усугубляется еще и тем, что физикам-теоретикам время от времени все-таки удается на кончике их вдохновенного пера не мытьем, так катаньем «заполучить» эту частицу, ставшую для экспериментаторов настоящим фантомом. Иногда неудачи экспериментаторов теоретики объясняют невозможностью наблюдать по тем или иным причинам существующие (или существовавшие) ММ ([2d]).
Первым, кому его творческая интуиция подсказала, что магнитному монополю нет места на Земле и нет его и Выше, был британский физик, математик и популяризатор науки Джеймс Клерк Максвелл (James Clerk Maxwell, 1831–1879), написавший в 1873 году четыре знаменитых уравнения, в совокупности представляющих собой основные законы электричества, магнетизма и оптики. По своей значимости эти уравнения сравнимы с законами Ньютона в механике. Австрийский ученый, один из создателей статистической физики Людвиг Больцман (1844–1906) сказал о них: «Не Бог ли начертал эти письмена?».
На этот риторический вопрос все же нужно ответить, причем ответить утвердительно, ибо эти письмена вот уже полтора столетия исправно служат физической теорией, из которой выросла большая часть современной теоретической физики. И, как кажется, ни один человек до настоящего времени не обнаружил в этой Теории ни сучка, ни задоринки. Даже для Специальной Теории Относительности Альберта Эйнштейна нет-нет, да и находились таковые – «неверные», как небезызвестный Фома.
В то же время, ни в одном из этих четырех уравнений не нашлось места ни для магнитного заряда, ни, соответственно, для тока магнитных зарядов – и тот, и другой в уравнениях не присутствуют. Тогда как электрический заряд, как и ток этих зарядов, в тех же уравнениях прочно занимают отведенные им Автором места. Такое электро-магнитное «неравноправие», такая «естественная» асимметрия уже много лет беспокоит и временами раздражает научную часть человечества – «ученым вообще нравится, когда природа устроена не только просто, но и симметрично» (Айзек Азимов).
И через два десятка лет нашелся ученый-физик, не пожелавший согласиться с этой откровенно «незаконной» асимметрией в Природе. Пьер Кюри (Pierre Curie, 1859–1906, будущий лауреат Нобелевской премии по физике 1903 года), изучая симметрийные свойства кристаллов, пришел к выводу об основополагающей роли, которую играют симметрии физических объектов в их свойствах. На основании своих работ 1890-х годов он выдвинул принцип, получивший вскоре его имя: элемент симметрии, имеющийся в причине явления, будет обязательно присутствовать и в самом явлении. Поэтому имеющийся в причине магнитного поля – циркулярном движении электрических зарядов – циркулярный элемент симметрии должен обязательно присутствовать и в самом магнитном поле (заметим, что еще в 1826 году «Ньютон от электричества» Анри Ампер объявил в своей Циркуляционной теореме о том, что магнитное поле носит циркулярный характер, в отличие от электрического поля, имеющего начало и конец).
Тем не менее, несмотря на приверженность циркулярному характеру магнитного поля, тот же Пьер Кюри 19 января 1894 года на заседании Французского физического общества сделал доклад О возможности существования магнитной проводимости и свободного магнетизма. Двумя неделями ранее во французском Журнале теоретической и прикладной физики появилась его небольшая заметка [3], с тем же в точности названием: Sur la possibilité d’existence de la conductibilité magnétique et du magnétisme libre. Рассуждая о параллелизме электрических и магнитных явлений, Кюри отметил, что «с точки зрения энергетической и с точки зрения симметрийной точно так же, как движение электрических зарядов вызывает магнитное поле, движение свободных магнитных зарядов должно вызывать электрическое поле». Поэтому он, Кюри, не видит ничего невозможного в появлении в скором времени магнитного трансформатора, аналогичного его электрическому собрату.
Концепция свободного магнетизма вместе с предсказанным «в скором времени», но так и не появившимся через несколько десятков лет магнитным трансформатором, привели к постепенному угасанию интереса к новой физике магнетизма Пьера Кюри.
Напряжение этой «неловкой» ситуации разрядил другой Нобелевский лауреат: в 1931 году в ставшей вскорости знаменитой статье [4a] британский физик-теоретик Поль Дирак (Paul Dirac, 1902–1984, Нобелевская премия по физике 1933 г.) выдвинул смелую гипотезу о возможности существования элементарного магнитного заряда (отметим: только о возможности, как и у Кюри – см. чуть выше). Такой важной для физики, отсутствующей по непонятной причине элементарной частицей не могли не заинтересоваться физики – особенно те, для которых «Вселенная без магнитного заряда подобна прекрасной картине с зияющей дырой в холсте». Уже в начале 40-х годов появились первые сообщения о попытках – «первых блинах», которые обычно выходят «комом» – получить ММ в эксперименте. В 50-60-х годах экспериментальных статей вместе с теоретическими насчитывалось уже около 150 (в основном, за последние пять-шесть лет). Фортуна, однако, ни разу не соизволила улыбнуться научному сообществу, не зная, по-видимому, того, что в Науке дело спасения утопающих – дело не только рук, но еще и мозгов самих утопающих. Неужели ученым ничего не остается, как только смириться с этим афронтом богов и просто ждать чуда?
И один из ученых, тот самый Поль Дирак, который и заварил эту крутую донельзя кашу, в конце концов смирился. В 1981 году на конференции, посвященной 50-летнему юбилею магнитно-монопольной гипотезы, юбиляр заявил:
«Я склоняюсь к тому, что монополя все-таки не существует. Прошло так много лет, а экспериментального подтверждения не получено».
Экспериментального подтверждения действительно все еще не получено, но некоторый выход из этого тупика длиной в четыре десятилетия как будто нашелся – в 1970 году авторы книги [4b], руководствуясь, по-видимому, законом исключенного третьего (tertium non datur), на 8-й странице книги «провидчески» заверили:
магнитный однополюсник будет либо открыт экспериментально, либо, напротив, «закрыт» теоретически.
Не соглашаясь с этим «напротив» и вопреки подзаголовку статьи, нельзя, тем не менее, категорически исключить того, что некое третье может быть дано, например такое:
ММ никогда не будет: ни открыт экспериментально, ни «закрыт» теоретически.
То есть (на жаргоне следственных работников) возникнет обыкновенный «висяк».
И хотя «время – вещь необычайно длинная», даже и оно бывает бессильным.
Настоящая «пессимистическая трагедия», прозвучавшая из уст такого Великого Ученого, как Поль Дирак (предсказавший первую вскоре обнаруженную античастицу – антиэлектрон, названный позднее позитроном), не обескуражила, однако, всех физиков – научный вызов был принят многими из них, а обнаружение неуловимой элементарной магнитной частицы стало для некоторых экспериментаторов едва ли не самой важной из ближайших научных задач. Тем более что ближе к концу XX века в научном сообществе постепенно возникала новая парадигма научной работы: дескать, сейчас, в век научно-технической революции, имея такой мощный инструментарий, практически любую задачу можно решить; гораздо труднее и поэтому важнее поставить сто́ящую задачу. На самом деле, именно такую, как оказалось впоследствии, задачу и «поставил» Поль Дирак – он же как будто и «решил» ее через полстолетия, так что вполне заслуженно этой гипотетической частице – рекордсмену по «неуловимости» (около 90 лет!) – было присвоено имя магнитный монополь Дирака. А количество публикаций по магнитно-монопольной тематике с течением времени множилось со все возрастающей скоростью – вместе с возрастающими возможностями, которые дарил ученым «неведомый дотоле всплеск самых разных технических, технологических и теоретических достижений».
В XXI веке появился еще один серьезный заманчивый стимул для интенсивных поисков ММ – его объявили возможным источником нового перспективного вида энергии – «магнитного эквивалента электричества» – магнетричества.
«И вот в сентябре физикам наконец удалось получить нечто, весьма похожее на магнитный монополь, а в октябре это нечто уже потекло, пусть пока ещё не по трубам, в закрома Родины – однако о перспективах практического использования магнитного тока теперь говорят всерьёз. “Мы пока делаем лишь первые шаги, но кто знает, в каком виде магнетричество будет использовано лет через сто” – говорят учёные» ([5a]).
«Точно так же, как движение электронов порождает электрический ток, свободное движение отдельных северного и южного магнитных полюсов генерировало магнитный ток… этот результат может привести к созданию магнетроники с последующей разработкой наноразмерной компьютерной магнитной памяти» ([5b]).
И наконец, по мнению автора [5с], невероятно радужные и одновременно устрашающие перспективы ожидают человечество вместе с появлением в подлунном мире отдельно друг от друга северного и южного магнитных монополей:
Если человечеству удастся найти способ воспроизводить или отлавливать гигантов микромира – магнитные монополи, оно станет обладателем самого разрушительного оружия или источника энергии, превосходящего термоядерную реакцию.
Поверим алгеброй гармонию
Ничто так не ласкает взора, как симметрия.
А.П. Чехов. Дачные правила.
Симметрия (греч. гармония, соразмерность), об основополагающей роли которой в свойствах физических систем писал Пьер Кюри (см. выше), по-видимому, действительно родилась раньше нас, а, возможно, даже еще раньше – «в начале всех начал»:
В НАЧАЛЕ БЫЛО СЛОВО, И СЛОВО БЫЛО… СИММЕТРИЯ ([6]).
В 1918 году германский математик Эмма Нетер (Amalie Emmy Noether, 1882–1935) доказала фундаментальнейшую физико-математическую теорему: основные законы сохранения физических величин связаны с симметриями физических систем. Так, законы сохранения энергии, импульса и момента импульса являются следствиями пространственно-временны́х симметрий – соответственно, однородности времени, однородности и изотропности пространства (где здесь курица, а где яйцо – неясно: теорема представляет собой чисто математический вывод законов сохранения из симметрийных свойств системы, поэтому традиционно считалось, что симметрия первична, а сохранение – вторично; прим. автора, Л.Р.).
Уже с первой четверти ХХ века постепенно становилось понятно, что симметрия – помимо привнесения новых возможностей в развитие науки и техники – не только эстетика и гармония, красота и совершенство, уравновешенность и соразмерность; это также практическая польза и целесообразность, оптимальная форма и наивысшая «содержательность» симметричной формы, а посему еще и экономия сил, средств, времени. К тому же соображения симметрии – простой, логичный и удобный физико-математический «инструмент» ([7]).
Попробуем, по примеру одного из заглавных героев трагедии А.С. Пушкина МОЦАРТ И САЛЬЕРИ, поверить алгеброй гармонию. Но прежде чем проверять точным расчётом то, что выражено лишь чувствами, желательно восстановить справедливость по отношению к прототипу этого литературного героя – Антонио Сальери (1750–1825) – известному в Европе того времени композитору, дирижеру и педагогу:
«Следует заметить, что драматические события, описанные здесь Поэтом, – высокохудожественный вымысел, не имеющий ничего общего с исторической правдой» ([7, стр. 21]).
Основанная на одном из многочисленных слухов, порожденных ранней смертью В. А. Моцарта, трагедия Пушкина способствовала распространению в Европе мифа о причастности к ней Антонио Сальери, чье имя в России того времени стало нарицательным. В 1997 году в Милане состоялся необычный судебный процесс, по итогам которого Антонио Сальери был признан невиновным в смерти коллеги.
Будучи уверенным, что плагиат у самого себя не подлежит ни административной, ни уголовной ответственности, автор статьи позволил себе переписать выбранные места из текста его же учебного пособия [7], иногда с некоторыми изменениями и дополнениями.
Ниже мы будем иметь дело с симметрийными преобразованиями векторов, поэтому начнем с них, после чего познакомимся с их симметрийными преобразованиями. Математический объект, характеризующийся длиной (модулем) и направлением, называется вектором. В отличие от скаляра, у которого есть только модуль, как у массы, энергии, объема. Например, скорость – вектор, иногда его изображают стрелкой, длина которой в некотором масштабе соответствует величине скорости, а направление стрелки показывает направление «движения» с этой скоростью. Векторами являются также силовые линии полей (векторы напряженности полей), создаваемых заряженными частицами, – такими, как электрон, протон или все еще не обнаруженный и потому пока безымянный магнитный монополь. Такие векторы, «исходящие» из однополюсной (монополярной) частицы, называются полярными. Как исключение, напряженность магнитного поля, созданного монополем Дирака, буде он когда-нибудь обнаружится, должно будет характеризоваться, как и в настоящее время и в давние времена, аксиальным вектором – о нем речь пойдет чуть ниже. Везде «ниже» под словом вектор имеется в виду полярный вектор.
Произведение скаляра на вектор – тоже вектор, например импульс, или количество движения, mV. Модуль этого вектора равен произведению величины массы на величину скорости, mV, а направление совпадает с направлением вектора скорости V.
Посмотрим на результат произведения двух таких векторов: момент импульса равен произведению вектора импульса на радиус-вектор плеча импульса; момент силы равен произведению вектора силы на радиус-вектор плеча силы, который есть расстояние от точки-центра вращения/поворота до точки приложения силы. Напрашивается вопрос: с каких это пор расстояние стало вектором – ведь расстояние, скажем, от пункта А до пункта В в точности такое же, как от пункта В до пункта А, т.е. это попросту расстояние между А и В, или – что абсолютно то же самое – между В и А. Это правильно при движении поезда (бегуна, велосипедиста…), а в случае с моментами это правильно с точностью до знака. Поменяйте местами точку центра вращения с точкой приложения силы – вращение будет происходить в противоположном направлении. Поэтому момент – силы, импульса – тоже вектор, поскольку имеет направление. Именно этот сложный вектор, связанный с вращением/поворотом, называется аксиальным (lat. axis – ось).
Произведение двух векторов может оказаться и скаляром. Например, энергия – скаляр: кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью V, составляет, как известно, половину произведения массы тела на квадрат его скорости. Масса – скаляр, зато скорость – вектор, и чтобы в результате произведения двух, даже идентичных векторов, получить скаляр, а не вектор, нужно уметь это сделать. То же можно сказать и о мощности. Сила (вектор F), действующая на тело, движущееся под действием этой силы с некоторой скоростью (вектор V), создает в единицу времени энергию, равную произведению этих двух векторов: FV. И снова – произведение векторов должно оказаться скалярной величиной.
Вот почему в векторной алгебре введены два вида произведений векторов: скалярное и векторное. Первое – скаляр – равно произведению модулей векторов, умноженному на косинус угла между направлениями векторов: например, мощность P = F·V = FV𝑐𝑜𝑠 𝜑. Второе – вектор, модуль которого равен произведению модулей перемножаемых векторов, умноженному на синус угла между ними; например, модуль вектора момента силы M │M│=│F×R│= FR𝑠𝑖𝑛𝜑 . Направление вектора M перпендикулярно обоим перемножаемым векторам и зависит от порядка, в котором они перемножаются, тогда как при скалярном умножении векторов переместительный закон «работает». В результате векторного умножения двух векторов получается третий, уже знакомый нам вектор – аксиальный, который в дальнейшем будет обозначаться символом (обратите внимание: знак векторного умножения – косой крест х, скалярного – точка).
Квадрат вектора, т.е. умножение вектора на самого себя, может быть только скаляром, так как векторное произведение вектора с самим собой всегда равно нулю: sin φ|φ=0 = 0. Так что энергия – кинетическая, потенциальная, электрическая, механическая, химическая, внутренняя – любого вида – скаляр. Как и мощность, которая та же энергия, только в единицу времени. Все эти физические субстанции никуда не направлены.
Рис. 1. Полярные (a) и (b) и аксиальный (c) векторы.
Полярный («истинный») вектор подобен стреле, выпущенной из лука, как это видно на рисунке. Кстати, если к этим двум монополям, электрону (a) и протону (b) присовокупить третий, незаряженный, т.е. нейтральный монополь – нейтрон (от лат. neutrum – нейтральный), не создающий вообще никакого поля, то не без удивления обнаружим, что всего трех элементарных частиц-монополей оказалось вполне достаточным, чтобы из них «сотворить» такой невообразимо сложный и многообразный материальный мир. А из их антиподов – антиэлектрона-позитрона, антипротона и антинейтрона – возможно, столь же сложный и многообразный антимир, состоящий из антивещества.
Магнитный монополь – Северный или Южный – для «сотворения» Мира, как видно, не понадобился. А если бы понадобился – какой из них для Мира, а какой – для Антимира?
Аксиальный вектор можно уподобить винту, который приобретает поступательное движение только при своем вращении относительно оси, параллельной направлению этого движения. Вспомним, как ведет себя штопор при извлечении пробки из винной бутылки, или винт при его ввинчивании в или вывинчивании из отверстия с резьбой. Понятно, что направление линейного движения вектора определяется направлением его вращения – по или против часовой стрелки. Из-за такого сложного «вращательно-поступательного» движения аксиальный вектор иногда именуют псевдовектором, полагая его либо «неистинным», либо «не совсем вектором». На альтернативу «совсем не вектор» пока никто не отважился.
Ниже мы еще не раз встретимся с этим непростым и с «сомнительной» физико-математической репутацией элементом векторной алгебры, который – на самом деле – полноценный и полноправный как с алгебраической, так и с физической точки зрения самый настоящий «истинный» вектор. Пока что из всего вышенаписанного вполне резонно заключить:
Полярный и аксиальный векторы – «животные разной породы».
Чтобы на векторных схемах эта «разнопородность» была видна, аксиальный вектор лучше изображать не так, как полярный, а как-нибудь по-другому – например двойной стрелкой, как это сделано на Рис. 1. На этом же рисунке показано, что векторное произведение двух полярных векторов дает в результате «истинный» аксиальный вектор.
«Разнопородность» векторов особенно хорошо проявляется при выполнении над ними операций симметрии, что удобно сделать, выбрав какой-нибудь подходящий для этого наглядный объект. Остановимся на простейшем из них – на изображении молекулы воды.
Рис. 2. Молекула воды Н2О.
Мысленно проделаем «над молекулой» операции симметрии, которые оставляют ее «прооперированную» в точности такой же, какой она была до операции, т.е. симметричной самой себе «дооперированной». Сразу же бросается в глаза очевидный элемент симметрии – операция С2 – поворот молекулы на 180о относительно оси z Декартовых координат, она же биссектриса угла НОН (C – circular, 180 = 360/2). Так как атомы водорода – неразличимые близнецы, то новое состояние молекулы будет неотличимым от начального – симметричным ему. Если же эти атомы пометить как-нибудь по-разному, например цифрами 1 и 2, то преобразованное состояние станет антисимметричным исходному; напомним: антисимметрия – это либо симме́трия, либо симметри́я, но никак не а́симметрия.
Небольшое «лирическое отступление» математики тоже шутят: – Записывайте, – ровным голосом диктует доцент студентам, – у эллипса есть две оси симмéтрии.
– А может быть, симметри́и? – доносится чей-то ехидный голос из задних рядов.
– Запомните, – так же спокойно продолжает лектор, – у эллипса есть две оси симмéтрии и ни одной оси симметри́и.
В настоящее время, после нескольких бескровных языковых «революций», простая геометрическая низко-симметричная фигура эллипс повысила свой «симметрийный статус»: вместо прежних двух осей симметрии у нее стало их четыре – две оси симмéтрии и еще две – симметри́и (прим. автора, Л.Р.).
У «угловых» молекул (Н2О, SO2, ион NO2−, но не СO2 – она линейна) имеется еще один элемент симметрии – зеркальное отражение. На самом деле их два (идентичных) – это отражения от двух взаимно перпендикулярных вертикальных (vertical – v) плоскостей xz и yz – соответственно, σv(xz) и σv(yz). Итого: у молекулы воды имеются по крайней мере три элемента симметрии – С2, σv(xz) и σv(yz).
Операция зеркальное отражение не столь проста, каковой может показаться на первый взгляд. Несмотря на то, что сталкиваться с ней приходится чуть ли не ежедневно, так что она давно стала той самой привычкой, которая «свыше нам дана», с ее сложным «характером» стоит познакомиться поближе. Проделайте простой эксперимент: на листе писчей бумаги нарисуйте фломастером стрелу, «летящую» горизонтально, скажем, слева направо, и окружность, внутри которой обозначьте направление «вращения». Фломастерный рисунок хорошо виден сквозь бумагу. Возьмите его и станьте перед зеркалом так, чтобы можно было «оборотиться на себя».
Окинув себя беглым взглядом, Вы убедились в полной идентичности своему отражению, как будто Вы и Ваш/а визави – самые настоящие «близнецы-братья» (или сестры), да еще и в совершенно одинаковой одежде. Задержитесь на минутку и рассмотрите себя внимательней: что-то не так с Вашим alter ego, Вы не стали настоящим близнецом самому себе. Похоже, «клонирование» с помощью зеркального отражения не получается – Ваша правая рука превратилась в левую и наоборот, поэтому из правши Вы стали левшой, так что фломастер оказался каким-то образом в левой руке, а рисунок – в правой. А Ваше лицо: родинка с правой щеки «перепрыгнула» на левую, то же произошло и с сережкой в ухе, и с царапиной на лбу. Даже прическа, и та изменилась – пробор стал правым, а ведь у Вас он – пощупайте рукой – точно, левый, каким и был всегда. И одежда у Вас странная до смешного: мужской пиджак запахнут почему-то на левую – женскую – сторону, зато женская блузка застегивается на мужскую сторону – правую. И все эти изменения происходят совершенно незаметно, мгновенно, как по мановению волшебной палочки.
С рисунком, который Вы держите в левой руке, а Ваш/а визави в правой, тоже не все понятно. То, что стрела, «пущенная» вправо, «летит» влево, уже не кажется странным. Вы наверняка догадались, что эта стрела – всего лишь полярный вектор: взгляните на Рис. 1, a и b. А вот что́ произошло с окружностью – она тоже «повернула обратно»? Ничуть не бывало – отраженная в зеркале, она продолжает «вращаться» в прежнем направлении – значит, порождаемый этим «вращением» вектор, который в зеркале не виден, продолжает «движение» в прежнем направлении. Это – аксиальный вектор, изображенный на Рис 1, c (двойная красная стрелка). Заметим: ни одно зеркало не в состоянии изменить направление «движения» аксиального вектора, хотя с полярным вектором только это и делает, причем неукоснительно. И «неподражательная странность» этого линейно-поворотного вектора как раз и есть причина «разнопородности» векторов этих двух видов.
У всех без исключения «симметрийных объектов» имеется еще один элемент симметрии – единичный, или тождественное преобразование E, которое выполняется в два этапа: после выполнения какого-нибудь преобразования производят «анти-преобразование» – например, можно переместить молекулу на новое место, после чего возвратить на прежнее. Встречаются абсолютно асимметричные объекты, но единственное симметрийное преобразование E у них все же есть. Без этого простого элемента описание симметрийных свойств любого объекта будет неполным – по такой же причине, по какой до изобретения числа ноль было трудно пользоваться арифметикой.
Персидский математик аль-Хорезми (787 – ок. 850) первым описал в трактате «Числа индийцев» эту новую систему счисления. Он посоветовал своим читателям ставить в расчетах пустой кружок на то место, где должно помещаться «ничто». Так на страницах арабских рукописей появился ставший впоследствии привычным нам ноль.
Теория групп и симметрия
Он был одержим бесом математики.
Один из преподавателей Эвариста Галуа.
В одной из многочисленных ветвей современной алгебры – теории групп – важнейшую часть составляют группы симметрии («теория групп – математический фундамент симметрии»). Честь создания этого раздела математики принадлежит французскому студенту Эваристу Галуа (1811–1832), убитому на дуэли в возрасте всего двадцати с половиной лет. Идея группы «посетила» талантливого юношу во время изучения симметрий, которыми обладают (или не обладают) совокупности – группы – коэффициентов при неизвестном в алгебраических уравнениях. В 1829 году он опубликовал первые работы по теории групп, с помощью которой сумел показать, в каком случае уравнения пятой и более высоких степеней неизвестного имеют решения в виде алгебраических формул. Со временем теоретико-групповой анализ начал использоваться при решении широкого круга задач, а элементами группы стали самые разные сущности – от материальных и виртуальных вплоть до абстрактных и сюрреальных. Наши мысленные операции симметрии относятся, по-видимому, к числу виртуальных.
Каждая группа содержит некоторое минимальное количество элементов, которые в совокупности полностью определяют ее симметрийные свойства и ее тип: низко-симметричный, средне-симметричный или высоко-симметричный (границы между ними несколько размыты). Выбранная нами группа, состоящая всего из четырех симметрийных элементов – преобразований Е, С2, σv(xz) и σv(yz) – относится к низко-симметричному типу. В разделе Appendix книги [8] ее «имя» – С2v, а соответствующая этому имени таблица, с которой начинается теоретико-групповой анализ, выглядит так:
Таблица симметрийных преобразований группы С2v
| Неприводимые представления | E | C2 (z) | σv(xz) | σv(yz) | Векторы: полярный, аксиальный |
| A1 | +1 | +1 | +1 | +1 | z |
| A2 | +1 | +1 | –1 | –1 | Rz |
| B1 | +1 | –1 | +1 | –1 | x, Ry |
| B2 | +1 | –1 | –1 | +1 | y, Rx |
В первой колонке таблицы находятся неприводимые представления A1, A2, B1 и B2 (теория неприводимых представлений появилась лишь через столетие после создания теории групп). Каждое из четырех представлений описывается четырьмя характерами, соответствующими результату преобразования – симметричный (+1) или антисимметричный (–1) первоначальному состоянию. В правой колонке находятся векторы – полярные (x, y, z) и аксиальные (Rx, Ry, Rz – роторные, Rotary), каждый из которых преобразуется по своему неприводимому представлению. Индексы x, y, z указывают на ось координат, параллельно которой направлен соответствующий вектор.
Как читать таблицу, поясним на примере представления В2. Как видно из правой колонки, по этому представлению преобразуются полярный вектор y и аксиальный Rx, направленные параллельно разным осям координат. Займемся вначале вектором y. Тождественное преобразование Е, оставляющее его в точности таким, каким он был до преобразования, характеризуется плюс единицей: (+1). Преобразование С2(z) – поворот на 180о относительно оси z – переводит его в –y: (–1); отражение в плоскости xz – σv(xz) – переводит y в –y: (–1), и наконец σv(yz) – в y: (+1). Те же в точности «плюсы» и «минусы» получаются после применения тех же преобразований к аксиальному вектору Rx, направленному параллельно оси x (а не y). Заметим, что характеры неприводимого представления полностью определяют его симметрийные свойства, подобно тому, как проекции вектора на оси координат полностью определяют его характеристики: модуль (корень квадратный из суммы квадратов длин проекций) и направление в пространстве – через координаты начала и конца вектора.
Одно из непременных требований к группе состоит в том, что произведение двух любых элементов группы должно дать один из ее элементов. Посмотрим, как это требование выполняется в группе С2v, для чего нужно перемножить соответствующие характеры («физически» это умножение означает, что к рассматриваемому объекту сначала применяется операция симметрии («оператор»), например σv(xz), а затем к полученному результату – скажем, операция C2 (z)):
C2 (z) × σv(xz) = [1 × 1], [1 × (–1)], [(–1) × 1], [(–1) × (–1)] = 1, –1, –1, 1 = σv(yz).
C2 (z) × σv(yz) = σv(xz) и σv(xz) × σv(yz) = C2 (z).
σv(xz) × σv(xz) = Е.
Интересно отметить, что подгруппа неприводимых представлений отвечает тому же требованию умножения, что и «основная» группа:
А2 × В1 = [1 × 1], [1 × (–1)], [(–1) × 1], [(–1) × (–1)] = 1, –1, –1, 1 = В2.
А2 × В2 = В1 и В2 × В1 = A2.
В2 × В2 = A1.
Из этих простых равенств легко «выуживаются» свойства внутригруппового произведения. Во-первых, видно, что последовательное применение двух преобразований симметрии равнозначно применению одной операции. Во-вторых, групповое умножение подчиняется знакомому из элементарной математики переместительному закону (такие группы называются коммутативными или абелевыми; в общей теории групп рассматриваются также и не-абелевы группы). В-третьих, умножение любого члена группы на самого себя дает, как в этом легко убедиться, единичный элемент Е (или полносимметричное представление А1, которое в подгруппе неприводимых представлений играет роль единичного элемента). Еще добавим, что умножение на единичный элемент производит тот же эффект, что и умножение на «обычную» единицу, а произведение трех (и более, вплоть до всех до единого) элементов группы должно дать в результате один из ее элементов, что доказывается – после вышесказанного – без особого труда. Эти чисто математические «внутренние» свойства группы с успехом используются при обработке результатов физических экспериментов – см., например, [7, стр. 152–153].
Теперь можно «прочитать» все, что «написано» в Таблице: в низко-симметричной группе С2v полярный и аксиальный векторы, даже если и преобразуются по одному и тому же неприводимому представлению группы, они разнонаправленны (см. B1: x, Ry; B2: y, Rx). Если же они однонаправленны, как векторы z и Rz (вдоль одной и той же оси z), они преобразуются по разным неприводимым представлениям группы (см. две верхние строки Таблицы). Это значит, что и в том, и в другом случае их симметрийные свойства различны – прямое свидетельство их симметрийной несовместимости. Попытка совместить несовмещаемое, т.е. найти «сумму» аксиального вектора с полярным (принадлежащим к разным алгебраическим пространствам), может привести разве что к некоему увечному полярно—аксиальному гибриду, а не нормальному вектору – «смысла особого в этом нет, как нет и примеров в физике». Так как математический вектор поля характеризует физические свойства последнего, то такой же гибрид-химера должен получиться и при «суммировании» соответствующих полей (химера – существо, состоящее из генетически разнородных клеток).
Вряд ли Поль Дирак, предсказывая возможность существования магнитного монополя, имел в виду однополюсную частицу как источник химерического магнитного (?) поля.
Резюме: нужно ли прекращать поиски «потерянного» магнитного монополя
Магнитное поле носит циркулярный характер, в отличие от электрического поля, имеющего начало и конец.
Анри Ампер. Циркуляционная теорема, 1826 г.
Магнитный монополь, как и любой другой монополь, не может служить источником циркулярного поля. Такое поле требует наличия диполя или более сложной конфигурации зарядов или токов. «Физическая Библия» – Уравнения Максвелла – двумя уравнениями (из четырех) утверждает: ни магнитных зарядов, ни, соответственно, токов этих зарядов в нашем Мире не существует. И до настоящего времени ни один из экспериментов в присутствии постоянного магнитного поля не опроверг эту устоявшуюся за два столетия точку зрения.
Не то с участием некоторых физиков-теоретиков, сумевших на кончике пера «заполучить» эту неуловимую экспериментально фантом-частицу. В Науке такое «упрямство и упорство» можно только приветствовать – нельзя считать, что поиски магнитного монополя абсолютно безрезультатны; бесперспективны – возможно, но не безрезультатны. Во-первых, «отрицательный результат – тоже результат» (есть и парадоксальное мнение: «отрицательный результат тоже положителен»). Иногда он оказывается важнее искомого – Колумб, как известно, тоже нашел не то, что искал. Во-вторых, полученные за время поисков знания о природе вещей часто с лихвой «окупают» затраченные силы и средства – без этих затрат новые знания вообще не могли быть получены или получены значительно позже. Наглядный пример тому – продолжающаяся до сих пор эпопея УТС – управляемый термоядерный синтез – см., например, [9]. За прошедшие годы было создано несколько видов термоядерных реакторов, с параметрами температуры и плотности плазмы, необходимыми для поддержания процесса ядерного синтеза; разработаны новые методы удержания плазмы на достаточно длительное время; удалось достичь управляемой термоядерной реакции с высвобождением огромного количества энергии, и многое, многое другое.
Post Scriptum: Errare humanum est
(lat.) Ошибаться свойственно человеку.
Только благодаря вышеприведенному латинскому изречению и еще одному – несколько, впрочем, сомнительному (только гении не могут позволить себе ошибаться) – автор насмелился «наклеить» ярлык Сизифов на термин монополь Дирака.
Литература
- Резник Лев. СИЗИФОВ МОНОПОЛЬ ДИРАКА (однополюсный магнит — обыкновенное чудо). Семь Искусств, 3–4 (154), 2023, https://7i.7iskusstv.com/y2023/nomer3_4/lreznik/
- а) Иванов И. В бозе-конденсате реализован синтетический магнитный монополь. https://elementy.ru/novosti_nauki/432190/V_boze_kondensate_realizovan_sinteticheskiy_magnitnyy_monopol (11.02.2014). b) Ray M. W., Ruokokoski E., Kandel S., Möttönen M. & Hall D. S. Observation of Dirac monopoles in a synthetic magnetic fiеld Nature 505, 657 — 660 (2014). с) Miao L., Lee Y., Mei A.B., Lawler M.J. & Shen K.M. Two-dimensional magnetic monopole gas in an oxide heterostructure. https://www.nature.com/articles/s41467-020-15213-z#citeas (12/03/2020). d) Бурдюжа В.В. МАГНИТНЫЕ МОНОПОЛИ И ТЕМНАЯ МАТЕРИЯ. ЖЭТФ, 2018, том 154, вып. 4 (10), стр. 751–760.
- Curie Pierre. Sur la possibilité d’existence de la conductibilité magnétique et du magnétisme libre. J. Phys. Theor. Appl., 1894, 3 (1), pp. 415-417.
- a) Dirac P. A. M. Proc. Roy. Soc., A133, 60 (1931). Quantised singularities in the electromagnetic field. b) Монополь ДИРАКА. Сборник статей под редакцией Б. М. Болотовского и Ю. Д. Усачева. Издательство МИР, Москва (1970).
5. a) ‘Magnetricity’ observed for first time. NewScientist (14.10.2009). https://www.newscientist.com/article/dn17983-magnetricity-observed-for-first-time/.
b) Магнитный монополь делает первые шаги (по материалам мембрана.ру): https://alt.livejournal.com/91513.html (19.10.2009).
c) Семенов А. Джинн из луковицы: Магнит об одном полюсе. https://www.techinsider.ru/science/6791-dzhinn-iz-lukovitsy-magnit-ob-odnom-polyuse/ (31/08/2007).
- Резник Л. В начале было слово, и слово было… СИММЕТРИЯ. Новосибирск: Издательство Сибирского отделения РАН (2015).
- Резник Л. Е. ИЗ СООБРАЖЕНИЙ СИММЕТРИИ (On the Symmetry Considerations). Учебное пособие. 2-е издание, исправленное и дополненное. Редакционно-издательский центр Новосибирского государственного университета, Новосибирск, 2012.
- Hochstrasser R. M. Molecular Aspects of Symmetry. Publisher: W. A. Benjamin, NYC, 1966.
- Яковленко С. ТЕРМОЯДЕРНАЯ ЭЛЕКТРОСТАНЦИЯ – “ВЕЧНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ”?
Семь искусств, 3–4 (154), 2023, https://7i.7iskusstv.com/y2023/nomer3_4/jakovlenko/
