©"Семь искусств"
    года

 1,021 total views,  8 views today

Мысль эта совершенно тривиальная, но она перестанет быть таковой, если мы представим себе, что это не лист бумаги с геометрическими построениями, а карта местности, на которой идет война, или план конкретного сражения. В этом случае длина коммуникаций, называемых на военном языке внутренними коммуникационными линиями, имеет первостепенное значение для исхода боя.

Евгений Брейдо

ТЕОРЕМА НАПОЛЕОНА И ЕГО ВОЕННАЯ СТРАТЕГИЯ

Евгений БрейдоЭта статья гипотеза. Прошу так к ней и относиться. Доказать ее строго вряд ли возможно. Поэтому моя задача скромнее — достаточно убедительно ее обосновать.

Начнем с истории вопроса. В XVIII веке Евклидова геометрия активно развивалась, в частности, были популярны задачи о треугольниках. Одна из них приписывается Наполеону. Поскольку задача была опубликована Вильямом Резерфордом только в 1825-м году без упоминания имени покойного императора, сомнения в его авторстве, видимо, останутся навсегда, хотя известный историк математики Кристоф Скриба (Christoph J. Scriba)[1] считает весьма вероятным, что молодой Бонапарт сформулировал и доказал эту теорему. То, что публикация случилась через много лет после того, как работа была выполнена, вполне в обычаях того времени… это не наш век, когда все научные результаты публикуются немедленно. Тогда наука развивалась неспешно, ученых было мало и они более-менее представляли себе, что делают коллеги, и без журнальных статей. С другой стороны, в 1825 году имя Наполеона было во Франции под полным запретом. Он распространялся и на научную печать. Поэтому ни поздняя публикация, ни отсутствие фамилии Бонапарта, в принципе, ни о чем не говорят, хотя и не способствуют признанию его авторства. Но для наших целей, собственно, не так важно, был ли он автором задачи, достаточно того, что он был с ней знаком.

Наполеон, судя по аттестатам Бриеннской и Парижской военных школ и отзывам современников, был очень способен к математике, причем особый интерес проявлял к геометрии. После завершения Итальянской кампании и заключения Кампо-Формийского мира (17 октября 1797 года) он возвращается в Париж и 10 декабря в присутствии Лагранжа и Лапласа делает доклад о геометрии круга [1]. Примерно в это же время обсуждает с ними задачу о треугольниках, о которой и пойдет речь (там же). Кстати, поскольку 27 декабря Наполеон был избран в члены Французского Института по классу физики и математики, вполне возможно, что это был неформальный предвыборный доклад. Не знаю, как было в XVIII веке во Франции, но во многих современных академиях такие выступления приняты. Кстати, его можно было избрать и по литературе — к тому времени Наполеон был автором романа Clisson et Eugénie (Клиссон и Евгения), знаменитого памфлета «Ужин в Бокере» и еще нескольких сочинений. Избрание по математике и физике предполагает какие-то заслуги в данной области (тем более что был и другой вариант), а других, даже предполагаемых, математических работ Бонапарта мы не знаем. Так что, скорее всего, это была именно задача о треугольниках.

Как видно из предыдущего абзаца, даже если он не был автором теоремы, то, безусловно, ее знал. Суть же дела в том, что это не просто теорема, увиденная и доказанная им из любви к геометрии. В данной работе я постараюсь показать, что военная стратегия императора выросла именно из этой задачи. Ключевой элемент его стратегии, знаменитое «центральное положение», впервые возникло как раз в задаче о треугольниках. Кстати, замечу, что такое немедленное использование научных результатов характерно для XVIII века с его верой в непосредственную пользу науки.

Обратимся к теореме Наполеона. Она формулируется так:

если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — также равносторонний[*].

Треугольники могут быть построены и внутрь — утверждение сохранит силу. В данном случае достаточно одного примера и я выбираю внешнее построение. Полученный таким образом треугольник называется треугольником Наполеона (см. Рис.1).

Рис.1

Рис.1

Доказательство теоремы не входит в наши задачи, но запомним само построение —у нас есть внешний многоугольник AYCXBZ и внутренние треугольники ABC и MLN, причем MLN находится в центре многоугольника. Собственно, многоугольник легко аппроксимируется треугольником XYZ и для простоты можно его так и называть… мне в данном случае важна не геометрическая точность, а возможное развитие мысли. Опираясь на только что сделанное построение, сделаем еще одно. Обозначим теперь получившийся внутренний равносторонний треугольник точками XYZ. Проведем из каждой его вершины (они соответственно являются центрами равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC) линию к противоположной вершине нашего исходного треугольника. Все эти линии пересекутся в одной точке. Она называется первой точкой Наполеона — N1[**].

Рис.2

Рис.2

На Рис.2 отлично видно, что расстояние от точки N1 до точек X, Y и Z кратчайшее. Если мы захотим достичь их из любой другой точки, оно будет намного больше. Мысль эта совершенно тривиальная, но она перестанет быть таковой, если мы представим себе, что это не лист бумаги с геометрическими построениями, а карта местности, на которой идет война, или план конкретного сражения. В этом случае длина коммуникаций, называемых на военном языке внутренними коммуникационными линиями, имеет первостепенное значение для исхода боя. А мысль, что можно действовать на внутренних коммуникациях, а не на внешних, уже совсем не тривиальна. Если вообразить, что перед тобой две неприятельские армии, находящиеся в точках E и F, а твоя армия наступает из точки D, то для того, чтобы действовать на внутренних коммуникациях, нужно оказаться в точке N1. Или, на языке Наполеона, завоевать центральное положение. Здесь сходятся геометрия и военное искусство. Наполеон, впрочем, настаивал, что война – это наука. Он пишет в «Максимах» о великих полководцах древности:

«Они никогда не переставали делать войну настоящей наукой. Именно в этом качестве они — великие образцы для нас, и лишь подражая им в этом, мы можем надеяться соперничать с ними» [2].

Во всяком случае, мы видим, что точка Наполеона и есть знаменитое «центральное положение» — важнейший элемент его стратегии[***]. Посмотрим теперь уже на военную схему центрального положения, восстановленную Дэвидом Чандлером по кампаниям императора (Рис.3).

Рис.3

Рис.3

По сути дела, это большой треугольник FED или XYZ на нашей первоначальной картинке. Армия Наполеона тремя условными колоннами Левый фланг, Резерв и Правый фланг (Left W, Reserve and Right W) движется из точки D в точку N1, чтобы овладеть центральным положением. Если она сумеет им овладеть, дальше все линии будут кратчайшими, а скорость передвижения по ним компенсирует меньшую численность, поскольку можно перебрасывать войска с одного места на другое куда быстрее неприятеля – он-то может действовать только на внешних линиях. Т.е. как мы видим на схеме (Рис.3), армия в 90 тыс. вполне может побить две армии по 80 тысяч каждая, действуя последовательно сначала против одной, а потом против другой. Как это происходило в действительности, видно на Рис.4. (Рис.3 и 4 взяты из работы [3]).

Рис.4

Рис.4

На первой схеме (Рис.4) наступающая армия завоевывает центральное положение. Это первая фаза. На второй один из корпусов сдерживает армию слева, а второй атакует армию справа. Это вторая фаза. На третьей схеме видно, что один корпус (легкая кавалерия) преследует разбитую армию, которая была справа, в то время как остальные войска перестроились и атакуют армию слева… третья, заключительная, фаза. Все это достигается за счет того, что армия действует на внутренних коммуникациях — в целом уступая противнику по численности, Наполеон перемещает войска гораздо быстрее, поэтому на каждом конкретном участке боя оказывается сильнее.

Примеров этой стратегии в его кампаниях немало. Особенно часто Бонапарт использовал ее в первой Итальянской кампании, когда французские войска обычно уступали по численности австрийцам. Ситуация, сложившаяся в ноябре 1796-го года, располагала именно к такому маневру. Чтобы снять осаду с Мантуи, австрийское правительство направило две армии – генерала Давидовича и ветерана еще Семилетней войны, генерала Альвинци. Наполеон располагался как раз между ними. Для сдерживания Давидовича он посылает дивизию Вобуа, а сам с войсками Массены и Ожеро стремительно атакует Альвинци. Будучи отбитым во фронтальной атаке у Кальдьеро, отступает к своей базе в Вероне, пополняет запасы и совершает знаменитый впоследствии охватывающий фланговый маневр вдоль по реке Адидже к Арколю. Он не вполне удался из-за ожесточенной обороны Аркольского моста и началось трехдневное сражение, в котором после первых двух дней боев Наполеон вынужден был оставить завоеванный большой кровью Арколь и отступить на правый берег Адидже, чтобы иметь возможность прийти на помощь Вобуа, если его атакует намного превосходящий по численности Давидович. Только на третий день после того, как французы получили известие, что Давидович не двигается с места, они снова перешли на другой берег реки, атаковали австрийцев и в тяжелом бою прорвали их оборонительную линию. Альвинци был разбит и Бонапарт даже успел перебросить две дивизии в помощь Вобуа. Давидович, которого слева обошла дивизия Ожеро, отступил под угрозой окружения, потеряв почти 2000 человек. В данном случае использование маневра «центрального положения» не привело к полному уничтожению австрийских армий, но тем не менее войска Альвинци были деморализованы и бежали с поля боя, Давидович потерпел поражение и в результате австрийцам не удалось снять осаду с Мантуи.

В качестве примера успешного сражения можно привести Аустерлиц, где Наполеон вначале завоевывает центральное положение, захватив Праценские высоты (прежде он сам отдал их русским в качестве приманки… нужно было, чтобы союзники атаковали французов и увели свои войска в долину), затем, сдерживая правый фланг неприятеля, уничтожает его левый фланг — он действует на внутренних коммуникациях, а русская и австрийская армии принуждены действовать на внешних, поэтому меньшая численность его армии совершенно не мешает ей везде оказываться сильнее врага. Третья фаза оказывается как бы излишней, поскольку неприятельская армия разбита наголову и бежит.

Еще один не менее яркий пример — кампания, которая окончилась несчастной битвой под Ватерлоо. Наполеон вполне удачно завоевывает центральное положение, разделив армии Веллигтона и Блюхера в результате маневра у Шарлеруа. Затем корпус маршала Нея вступает в сражение с Веллингтоном у Катр-Бра, а сам Наполеон обрушивается на Блюхера при Линьи, правда, не наносит ему сокрушительного поражения, а только отбрасывает. В третьей фазе он должен был уничтожить Веллингтона, но судьба решила иначе. Кстати, неудачная попытка Груши сковать Блюхера боем у Вавра — часть той же стратегии. По сути, это было двойным сражением, так же как и Линьи-Катр-Бра, и должно бы называться Ватерлоо — Вавр. На этих примерах видно, что использование любой стратегии может быть удачным и неудачным, поскольку успех зависит от множества факторов. Это не компрометирует саму стратегию маневр — при Шарлеруа был блистательным, но ошибки и несчастливое стечение обстоятельств могут погубить любой замысел.

В XVIII веке бал правило искусство, современная наука только зарождалась. Расцвет ее был впереди, о технологиях никто не помышлял. Прусская муштра больше всего напоминает грубый механический балет, где каждое движение тщательно рассчитано, отрепетировано бессчетное число раз и вбито в головы солдат капральской палкой. Наполеон с его чутким вниманием к науке и здесь оказался чуть впереди века, увлекая век за собой.

Очевидно, что математическая и военная мысль императора была единой. Это как бы одно целое. Только в одном случае получается теорема, а в другом военные победы. Я попытался показать, как решение геометрической задачи повлияло на создание военной стратегии. Однако невозможно с уверенностью судить о том, как человек думает, где причина, а где следствие, поэтому, как и было сказано вначале, эта статья — всего лишь гипотеза.

Литература

[1] Christoph J Scriba.Wie kommt ‘Napoleons Satz’ zu seinem namen? // Historia Mathematica. — 1981. — Т. 8, вып. 4. С. 458-459

[2] Napoleon, Correspondance, Vol. I, № 75, p. 95

[3] Дэвид Чандлер, Военные кампании Наполеона, М, «Цетрполиграф», 1999, перевод Издательство «Центрполиграф».

Примечание

[*] Формулировка теоремы даётся по Википедии.

[**] Вторая точка получится в результате точно такого же построения, если строить равносторонние треугольники не наружу, а внутрь исходного. В данном случае для наших целей вполне достаточно одного примера, но для полноты картины нужно просто упомянуть и о второй возможности. Вот это построение:

 

[***] Конечно, ЦП — только фрагмент стратегии, но фрагмент необходимый. Полное изложение военной стратегии Наполеона не входит в задачи настоящей статьи.

Print Friendly, PDF & Email
Share

Евгений Брейдо: Теорема Наполеона и его военная стратегия: 16 комментариев

  1. Simon Starobin

    Simon Starobin
    — 2022-07-27 00:53:53(192)

    Victor Blokh
    — 2022-07-27 00:12:55(190)

    Simon Starobin
    27.07.2022 в 00:00
    ———————————————————————————————
    Виктор, я вышел на улицу и мне вдруг стало совсем не очевидно.
    В лубом случае , алгебраческое решение может выглядеть следующим образом.
    Составить критерий, зависящий от шести переменных (координаты трёх вершин искомого треугольника), добавить по методу Лагранжа ограничения (длины сторон треугольника равны) и взять производные. Это должно быть симметрично, потому что все координаты равноценны ( может быть глядя на уравнения удастся найти геометрическое обьяснение).
    Не удастся найти по другому, сяду и попробую

  2. Simon Starobin

    Victor Blokh
    — 2022-07-27 00:12:55(190)

    Simon Starobin
    27.07.2022 в 00:00
    ———————————————————————————————
    Если треугольник не оптимальный , то не понятно о чём мы говорим.
    В моём случае доказательство тривиальное. Пусть существует некое другое положение и размер равностороннего треугольника приводящее к минимуму критерия. Восьмите этот треугольник и
    наложите его на моё построение. Очевидно мой треугольник и оптимальный совпадут. Здесь только надо сказать
    если существует несколько корней для уравнения с производной , то надо взять корень приводящий к наименьшему критерию (проверять лень) .
    Бегая, я пытаюсь найти красивое геометрическое решение.

  3. Victor Blokh

    Simon Starobin
    27.07.2022 в 00:00
    ——————————-
    Семен, я не говорил, что полученный моим способом треугольник является оптимальным (хотя и не исключаю этого). Я сказал, что в предложенном мною способе критерий так же зависит только от одного параметра и поэтому мой способ не сложнее вашего.
    Кстати, зависит ли у вас результат от того, на какой стороне исходного треугольника начинать построение?
    С уважением,
    Виктор.

  4. Шевкин А. В.

    Эта теорема имеет доказательство, доступное физматшкольникам 9 класса.

  5. Simon Starobin

    Simon Starobin
    23.07.2022 в 05:25
    ———————————————————————————
    P.S.
    Алгебраически проверить это легко. Найти меру треугольника Наполеона через его координаты (выраженные черз координаты исходного) и потом проверить на оптимальность.
    Этo очень нудно и не интересно и в уме сложно.

  6. Simon Starobin

    Бормашенко
    19.07.2022 в 06:43
    Евгений Брейдо
    23.07.2022 в 03:00
    ———————————————————————————-
    Мне тоже интересно. Я бегаю по утрам , значительно легче когда решаешь какуе-то задачку. Вот уже 3 дня думаю об этой проблеме.
    Эдуард, не могли ли Вы дать ссылку на более детальное объяснение данной меры треугольника и её применения. Одно из моих хоби наносить орнаменты на сложные поверхности.

  7. Бормашенко

    Спасибо за блестящую публикацию. По-видимому, теорема Наполеона имеет самое непосредственное отношение к проблеме непрерывной меры симметрии (continuous measure of symmetry). Что такое непрерывная мера сииметрии? Исходный треугольник ABC не симметричен. Требуется построить симметричный, равносторнний треугольник, перемещая вершины исходного треугольника, таким образом, чтобы сумма квадратов смещений вершин была минимальна. Сумма квадратов перемещений и есть непрерывная мера симметрии. Зададим вопрос: является ли равносторонний треугольник MLN идентичным равностороннему треугольнику, возникающему в результате вышеописанной процедуры. Мне почему-то кажется, что это так, но боюсь ошибиться. Попробую доказать.

    1. Евгений Брейдо

      Спасибо за очень интересный комментарий. Интуитивно мне кажется, что Вы правы. Буду ждать доказательства.

    2. Victor Blokh

      Я бы предложил другой способ приведения произвольного треугольника к равностороннему: описываем окружность вокруг исходного треугольника и перемещаем его вершины по окружности так, чтобы получить равносторонний треугольник. Мне кажется, что найти минимальное перемещение в этом случае будет проще.

      1. Simon Starobin

        Victor Blokh
        25.07.2022 в 12:45
        ——————————————————————————————
        Самый простой способ следующий. Пусть исходный треугольник АБС. Помещаем равносторонный треугольник АДЕ так что его вершина А совпадает с вершиной А исходного треугольника, а вершина Д лежит на стороне АБ (или её продолжении). Критерий сумма квадратом длин АД и СЕ завсит от одного параметра , длины стороны исходного треугольника. Берём производную от критерия по длине , приравниваем к нулю и решаем одно уравненуе.

        1. Victor Blokh

          А вот то, что это самый простой способ — не очевидно. В предложенном мной способе критерий тоже зависит от одного параметра — от угла смещения какой-либо вершины исходного треугольника.

          1. Simon Starobin

            Уважаемый Виктор, Вы предлагаете не способ а утверждение ни откуда не следующее, что оптимальный треугольник является вписанным в предложенную Вами окружность.
            P.S.
            Извините за небрежность в моём предыдущем комменте

Добавить комментарий для Александр Денисенко Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован.

Арифметическая Капча - решите задачу *