СЕМЬ ИСКУССТВ

Марков родился 150 лет назад. Многие комментаторы описывали его жизнь и труды, но особые качества его личности известны меньше. Мы описываем эту сторону его жизни и отмечаем, что в известной степени его характер повлиял на его работу.

Оскар Шейнин

ДВЕ СТАТЬИ ОБ А.А. МАРКОВЕ

I. А.А. Марков: Математическая обработка наблюдений

Историко-математические исследования, вып. 13 (48), 2009, с. 110–128 (публикуется с сокращениями)

1. Введение

Мы обсуждали исследования Маркова в теории вероятностей, в том числе и математическую обработку наблюдений [1]. Здесь, однако, мы описываем последнюю тему гораздо подробнее, притом с учетом некоторых позднее изученных нами материалов: рукописи Маркова 1903 г. [2] и писем, написанным ему его бывшим учеником, Б.М. Кояловичем [3], впоследствии видного ученого [4, с. 415]. Наша статья весьма критична, что никак не означает какого-то умаления заслуг Маркова в области теории вероятностей.

Первое (литографированное) издание курса лекций Маркова по теории вероятностей (включая обработку наблюдений) появилось в 1893 г. С тех пор он неизменно обсуждал эту тему не менее чем в четырех последующих литографированных курсах тех же лекций, во всех изданиях своего руководства [6], в мемуаре [7] и в упомянутой рукописи [2]. Мнения о заслугах Маркова в области метода наименьших квадратов (МНКв) были вначале противоречивы, ныне же, как представляется, разумно принято считать, что он мало чего достиг.

2. Год 1899-й

Название мемуара Маркова [7] показывает, что он исследовал две темы и соотношение между ними.

1) Вот его общие соображения о МНКв:

Мы можем прийти [к нему] исходя из следующих соображений:

• Систематические ошибки отсутствуют;
• Веса приближенных равенств обратно пропорциональны математическим ожиданиям квадратов погрешностей;

“достоинство каждого приближенного равенства мы оцениваем его весом и соответственно этому для каждого неизвестного отыскиваем такое приближенное равенство, вес которого наибольший. Только этот вывод способа наименьших квадратов я считаю рациональным; он указан Гауссом. Рациональным я считаю этот способ [этот вывод] главным образом потому, что он не заменяет [не затемняет?] условность [МНКв]. Мы не приписываем [ему] … наивероятнейшие или наиблагонадежнейшие результаты, а рассматриваем его только как общий прием, дающий приближенные величины неизвестных с условной оценкой результатов” [7, с. 246].

Впоследствии Марков [6, 1924, с. 323] по существу повторил последние строки. Приближенными равенствами могут быть только n исходных линейных уравнений (возможно имеющих разные веса) с m неизвестными (m<n). Из них выводятся m нормальных уравнений, определяющих “приближенные величины неизвестных”. Первые строки приведенного высказывания остаются поэтому непонятными, притом ссылка на Гаусса отпадает. Они могут иметь смысл, пожалуй, лишь для случая одного неизвестного, и вот, действительно, соответствующее утверждение Маркова: если получено несколько приближенных равенств а–Х′≈0,

“где Х′ означает число, вполне определенное [?] результатами наблюдений, то мы будем выбирать из этих равенств, как наилучшее для определения числа а, равенство, вес которого наибольший” [6, 1924, с. 326].

Значения Х′, как можно полагать, выведены из отдельных рядов наблюдений. Если их веса установлены реально, и они не слишком различны, то зачем же отбрасывать почти все наблюдения? Если же веса существенно различны, то зачем вообще были нужны \ наблюдения низкой точности? И, наконец, в дальнейшем изложении [6, 1924] последнее высказывание не используется. Упомянем в этой связи Ньюкома [9]: уравнивая (но не отбрасывая) данные по нескольким астрономическим каталогам, он назначил каждому из них два веса, по-отдельности для систематических и случайных ошибок.

Общую точку зрения Маркова можно дополнительно иллюстрировать письмом 1893 г., полученным им от Кояловича:

“Вы говорите, что если данные хороши, то результаты будут всегда хороши даже без способа наименьших квадратов. Совершенно согласен, но среди этих хороших результатов могут все-таки одни быть лучше других, смотря по тому, как мы будем комбинировать наблюдения” [3].

 Но причём здесь комбинация наблюдений?

Возвращаемся к мемуару [7]. Почему оценка точности условна, a вычисленные значения неизвестных не являются ни вероятнейшими, ни благонадежнейшими? Отрицание первого свойства означало отказ от первого обоснования МНКв (1809 г.), от которого, впрочем, отошел и сам Гаусс. Второе же свойство Гаусс в 1823 г. посчитал равносильным принципу наибольшего веса (наименьшей дисперсии), который Марков, отрицая оптимальные свойства результатов МНКв, однако, полностью одобрял (см. ниже).

Остановимся на этом заключении. Гаусс не доверял своим собственным формулам оценки точности. Производя геодезические наблюдения, он измерял углы триангуляции до тех пор, пока не убеждался, что дальнейшая работа бесполезна. Так, на одной станции он [10, с. 278–281] измерил один из углов 6 раз, а другой — 78 раз! С тех пор стало еще понятнее, что, главным образом ввиду наличия систематических ошибок, надежно оценить точность цепи триангуляции можно только после того, как станут известны “невязки” треугольников и несоответствия между базисами и между азимутами, измеренными на концах цепи. Марков, однако, нигде не упоминал о влиянии систематических ошибок, он просто считал, что они исключены.

2) Повторим, что Марков поддержал второе обоснование МНКв [7, с. 247]. Он привел выдержку из известного письма Гаусса Бесселю 1839 г., в котором Гаусс разъяснил, что считает гораздо важнее достигнуть наименьшего значения интегральной меры точности, нежели добиться высшей, но все равно бесконечно низкой вероятности [т. е. вероятнейшего значения]. Марков добавил, что соответствующий вывод

“дает все, что нужно для практики; но он не дает нам вероятной ошибки. Я полагаю [Марков полагает], что эта сомнительная величина не нужна; если же ее необходимо иметь во что бы то ни стало, то следует допустить известное выражение для вероятности в виде [нормального; этот термин Марков так ни разу и не употребил] интеграла … для каждой ошибки в отдельности, независимо от того, выведена ли она из одного или из нескольких наблюдений”.

Снова непонятно, если даже считать, что распределение нормально.

Позднее Марков опять без разъяснений подтвердил свою точку зрения: в теории корреляции и даже в теории ошибок он не придает

“большого значения так называемым вероятным погрешностям и счита[ет] их только средством для условного сравнения достоинства различных наблюдений” [11, с. 535].

Следуя примеру современных ему астрономов, Марков не упомянул средней квадратической ошибки, Гаусс же считал ее основной мерой точности. В статье 1828 г. он неоднократно пользовался вероятной ошибкой, быть может лишь потому, что астрономы ещё применяли только её.

3) Марков продолжал: нормальное распределение допускается “согласно с указанием практики”, которое, однако, “трудно установить”. Другое же обоснование состояло в том, что ошибку наблюдения рассматривают “как совокупность многих ошибок [одного и того же порядка], независящих друг от друга” и ссылаются на “теорему о пределе вероятности”.

Марков, однако, отвергнул и возможность указанного представления ошибки, и приложимость центральной предельной теоремы, поскольку она “установлена только со многими (?) ограничениями”, включая неограниченность числа наблюдений.

4) В заключение Марков [7, с. 249–250] рассмотрел попытки обосновать МНКв, исходящие из закона больших чисел Чебышева.

3. Год 1903-й

Мы имеем в виду развернутую рецензию Маркова [2], опубликованную нами лишь в 1990 г. [19]. В 1902 г. Голицын, будущий президент Международной сейсмической ассоциации и член Королевского общества, опубликовал небрежно выполненное исследование [20] прочности стеклянных трубок, Марков же, скрупулезно проверив его работу, опровергнул содержащиеся в ней выводы. Не повторяя нашего описания его справедливой критики, заметим, что он оставался в рамках классической теории ошибок.

Как раз в то время [19] несколько академиков, включая астронома Ф.А. Бредихина, представили Голицына к избранию в действительные члены Петербургской академии наук, а Марков (которого поддержал Ляпунов, раскритиковавший некоторые механические исследования Голицына) успешно противопоставил им свое крайне отрицательное мнение о только что вышедшей статье.

Во время происшедших прений Марков заявил, что ему “очень нравится” правило Бредихина, в соответствии с которым

“Для признания реальности величины вычисленной требуется, чтобы она по крайней мере в два раза превосходила числом свою вероятную погрешность” [19, с. 453–454].

Подобное правило применялось в то время в естествознании: Менделеев [21, с. 46] и Ньюком [22, с. 165] независимо друг от друга указывали, что расхождение между двумя эмпирическими величинами существенно, если оно превышало сумму соответствующих вероятных ошибок.

4. Год 1924-й: метод наименьших квадратов

В 1920/21 учебном году Марков

“напряженно работал над четвертым… изданием своей книги [6, 1924]. По мнению его сына [23, с. 612–613], это издание значительно отличалось от предыдущего”,

мы же этим согласны только частично (п. 5.4). Мы вообще считаем возможным, что автору статьи [23] пришлось отредактировать её вопреки своему желанию. Марков-младший не уточнил, успел ли его отец закончить эту работу, и это сомнительно.

Мы теперь опишем главу 7-ю руководства [6, 1924, с. 323–473], названную Способ наименьших квадратов. В предшествующем издании 1913 г. соответствующая глава не включала ни исследования статистических рядов (наш п. 4.3), ни краткого обсуждения линеаризации уравнений (с. 469–472 в 1924 г.), а материал нашего п. 4.7 был в то время рассмотрен еще менее полно чем в 1924 г.

4.1. Предварительные соображения (с. 323–326)

Марков (с. 323 прим.) прежде всего указал, что остается при своем прежнем мнении [7] об обосновании МНКв, что подтверждается дальнейшим изложением. На той же странице он

“допусти[л] существование чисел, приближенные величины которых доставляются наблюдениями”.

Скажем: допустил существование истинных значений измеряемых констант. Никто кроме него такого замечания, кажется, не вводил, но оно имеет смысл: траектория визирного луча все-таки переменна, так что же считать величиной угла на местности? Вообще же уже Фурье [24, с. 534] определил “истинный объект исследования” как предел среднего арифметического из его наблюдений при неограниченном возрастании их числа. Это определение не было замечено, но с тех пор многие авторы включая Мизеса вводили его заново, независимо друг от друга [25, с. 100–101].

Далее, Марков (с. 323 и 373) рассматривал каждое наблюдение “как частный случай многих”. В первом случае он уточнил, хоть и не вполне определенно: каждому наблюдению как бы соответствует одно (?) воображаемое. Наконец, мы здесь напомним утверждение Маркова по поводу принципа наибольшего веса (п. 2).

4.2. Уравнивание наблюдений одного неизвестного (с. 327–344)

а) Возможные наблюдения (с. 327). Предположив, что имеются наблюдения a_i, i = 1, 2, …, n, неизвестной константы, Mарков указал, что наряду с ними он будет рассматривать возможные наблюдения u_i. Трудно сказать, почему, вопреки Чебышеву [14, с. 227], Марков (еще четче!) повторил одно из своих прежних утверждений о наличии только одного дополнительно возможного наблюдения (см. п. 4.1). Более того, второе письмо 1893 г. Коояловича Маркову (первое мы цитировали в п. 2) означало, что в 1891 г., в своем литографированном курсе теории вероятностей, он, видимо, придерживался иного взгляда. Вот что писал Коялович:

“Насколько я Вас понял, Вы рассматриваете каждое отдельное наблюдение как одно из значений возможного результата. Таким образом, для каждого измерения возможен ряд результатов …, один из которых осуществляется на деле. Все это я готов понять для одного измерения, но когда их имеется напр. два, то я не могу понять, чем отличается ряд возможных результатов … первого наблюдения от ряда возможных результатов … второго измерения. Вопрос, конечно, сейчас же решается, если Вы скажете, что вероятность одной и той же ошибки в этих рядах различна, но ведь Вы вероятно не захотите вводить понятие о вероятности ошибки (?) в Ваше изложение” [26].

5. Обсуждение

5.1. Обоснование метода наименьших квадратов

Нейман [38, с. 595] ошибочно приписал Маркову второе (окончательное) обоснование МНКв по принципу наибольшего веса, соединенного с несмещенностью. Затем Дейвид и Нейман [39] повторили эту ошибку и даже ухудшили положение доказательством обобщенной теоремы Маркова, фактически принадлежавшей Гауссу. Впрочем, Нейман [40, с. 228] в конце концов признал свою ошибку, но уже после того, как Плакетт [41, с. 460] заключил, что Марков “может быть пояснил предположения [введенные при обосновании МНКв], но не доказал ничего нового”. Полезно заметить, что Колмогоров [42] не упомянул Маркова; он, правда, вообще после Гаусса не назвал никого по имени, но, посчитай он это возможным, наверное сделал бы для Маркова исключение.

И после всего этого Леман [43, с. 587], как указал другой автор [44], пустил в научный оборот термин теорема Гаусса—Маркова, который Сенета [46, с. 265] справедливо назвал ошибочным и добавил, что в соответствующих работах Маркова мало оригинальности. Тем не менее, повторим (см. конец п. 2), что Марков решительно поддержал принцип наибольшего веса. Это тем более важно, что от застарелых ошибок трудно избавиться: даже Фишер [48, с. 260] считал, что МНКв является “специальным приложением метода наибольшего правдоподобия, из которого его можно вывести”.

5.2. Примыкающие темы

Обоснование МНКв в указанном только что смысле означает необходимость выбора несмещенных и эффективных оценок, и Линник и др. [49, с. 637] заявили, что Марков “по существу” это и сделал, но то же самое можно было сказать про Гаусса! Ср. Нейман [38, c. 593]: значение соответствующих работ Маркова состоит “в основном в ясной формулировке проблемы”. В большой степени он, кстати, тем самым возразил самому себе (см. п. 5.1).

И вот мнение двух авторов: работы Маркова — привели “к полному и завершенному решению основных вопросов… способа наименьших квадратов” (Безикович [50, с. VII]); — довели метод Гаусса “до высшего логического и математического совершенства” (Идельсон [35, с. 14]). Но это неверно, а Безикович столь же неверно приписал Маркову “совершенно новое развитие” теории корреляции (с. XIV).

5.3. Вопросы методологии

По поводу методологической ценности работ Маркова существуют противоположные высказывания. Бернштейн [51, с. 425] заявил, что руководство Маркова [6] и “его оригинальные мемуары являю[тся] образцами точности и ясности изложения”, а Линник и др. [49, с. 615] указали, что для стиля Маркова “характерны ясность и четкость языка, тщательная отделка деталей” и результатов. Мы не согласны с подобными оценками, а по поводу отделки деталей мы напомним об отказе Маркова от рассмотрения важного варианта уравнивания измерений (п. 4.7). Вот подходящее мнение Баушингера:

“Этот случай [уравнивания] встречается на практике очень часто и поэтому должен быть обсужден, хоть он и является частным случаем предыдущего” (который Марков действительно рассматривал) [52, с. 794].

И мы не доверяем Чупрову [53, c. 167], который полагал, что книга Маркова [6, 1924] “может быть признана настольным руководством по теории вероятностей для статистиков” и что для Маркова характерна “прозрачная ясность изложения”. Впрочем, он (с. 168) разумно возразил против обсуждения корреляции в главе о МНКв и существенно раскритиковал само ее изложение. По отношению к МНКв Марков сам признался в 1910 г. [54, с. 29], что ему

“часто приходилось слышать, что у меня [у него] изложено недостаточно ясно”.

Вспомним по этому поводу Кояловича (п. 4.2а) и упомянем Идельсона [35, с. 101]: глава о МНКв в руководстве “трудно написан[а]”. Да и вообще стиль Маркова был тяжеловесен и иногда [55, c. 341] его было почти невозможно понять.

Марков почти не нумеровал свои формулы, он их переписывал. На с. 328–330 равенство (4.2) появилось 5 раз! Он явно избегал указательные местоимения. Действительно, на с. 328 (аналогичные случаи см. с. 379 и 381–382) мы читаем:

“Выбор коэффициентов [следует выключенная строка] находится в нашем распоряжении. Мы подчиним коэффициенты [эта строка повторена] двум условиям …”

Марков не применял скобок Гаусса (п. 4.2b), а обозначение для среднего арифметического ввел лишь на с. 463. Термины нормальное распределение и даже коэффициент корреляции у него отсутствуют; как последний из могикан, он ни разу не сказал ни случайная ошибка, ни случайная величина. Вот его объяснение 1912 г.:

“Я повсюду, где только возможно, исключу ничего не определяющие слова случайно и наудачу; где же придется употреблять их, приведу соответствующее … объяснение” [54, с. 71].

И все-таки наудачу он применял, особенно при обсуждении геометрической вероятности [6, 1924, гл. 5], но иногда вместо случайный писал неопределенный, что было намного хуже. Гораздо правильнее поступил Васильев [56, с. 127–131], который одним из первых в России начал применять термин случайная величина, а на с. 133 добавил, что “случайные ошибки имеют все свойства случайных величин” (и “свои специальные свойства”).

Библиографические ссылки не были у Маркова достаточно определенными. Так, на с. 427 он просто сослался на оба тома (первого) собрания сочинений Чебышева, а на с. 163 привел три библиографические ссылки без дат публикации. Далее, на с. 10 (вне связи с МНКв) он сформулировал аксиому (которая вряд ли пережила его, см. п. 5.5), не выделив ее из контекста и сослался на нее уже на с. 24, а структура его руководства усложнялась с каждым изданием.

Наконец, глава о МНКв была вряд ли привлекательна. Ни математикам, ни геодезистам не могло понравиться фактическое замалчивание работ Пирсона (см. также п. 5.4), последним же, кроме того, не нужна была ни интерполяция, ни исследование статистических рядов, а вот о корреляции им следовало бы прочесть больше. Далее, отсутствие скобок Гаусса и употребление давно устаревшего термина практическая геометрия вместо геодезия (с. 462) вряд ли было им по вкусу.

Мы обязаны добавить, что Марков был хорошим педагогом и научным воспитателем. Так утверждает Н.М. Гюнтер [57], один из двух его известных учеников. Другим был Д.А. Граве; впрочем, оба они были также многим обязаны А.Н. Коркину.

5.4. Отношение к работам других авторов

Сюда частично относится наш п. 5.3. Чупров [53, с. 169–170] заметил, что Марков “почти не выходит” за рамки своих собственных трудов; добавим, что он не сослался на работы Чупрова (см. п. 4.3с). Марков не упомянул ни многих иностранных ученых (Больмана, Стьюдента, Фишера, Юла), ни даже С.Н. Бернштейна, равно как ни Мизеса, ни Линдеберга. Впрочем, про двух последних Марков может быть знал недостаточно ввиду общего тогдашнего положения в России. Недаром в посмертном издании своего учебника он вообще не сослался ни на одно сочинение, вышедшее в свет после 1914 г.

Кроме того, Марков лишь вскользь упомянул и критерий соответствия Пирсона. Хуже того, его рассуждения в п. 4.3b наводили на мысль, что этот критерий вообще не нужен: Марков применил классические теоремы, пригодные для большого числа измерений, тогда как нововведение Пирсона этого не требовало. Далее, Марков (п. 4.6) еле коснулся корреляции и вообще не упомянул кривых Пирсона. Они, правда, не были достаточно обоснованы, но ведь сам Марков [6, 1913, Введение, перепечатано в 1924 г.] заявил, что в прикладной математике

“нельзя совершенно отказаться от приближенных формул, остающихся … без оценки их погрешности”,

а в 1915 г. прямо указал, что формулы Пирсона эмпирические, а потому не требуют теоретического доказательства и могут быть обоснованы своим согласием с наблюдениями [58, с. 32].

Возможно, что Марков в этом случае поступал в соответствии со своим правилом, которого вряд ли следовало жестко придерживаться и которое, видимо, поясняет, почему он не сопроводил свои цепи указанием на их возможное естественно-научное приложение. Вот что он написал в 1910 г. [54, с. 59]:

“Я ни на шаг не выйду из той области, где компетенция моя не может подлежать сомнению”.

А ведь Марков мог, например, подкрепить известное рассуждение Пуанкаре 1896 г. о равномерном распределении эклиптических долгот малых (карликовых) планет ссылкой на эргодическое свойство, как бы мы сказали сейчас, однородных цепей с конечным числом состояний. Странно также, что, в противоположность Лапласу, Марков ничего не сказал о принципиальной пользе института страхования жизни в своих газетных статьях 1906 г., резко критиковавших невыгодные для населения условия страхования детей [59].

С другой стороны, по сравнению с 1916 г. (п. 4.6) Марков несколько смягчил свою точку зрения на корреляцию и молчаливо признал (примерное) нормальное распределение ошибок наблюдения (ср. пп. 2.3 и 4.2d). Он, кроме того, фактически согласился со Слуцким, который, защищая свою книгу [36] от критики, указал, что “недостатки изложения Пирсона — временные” и будут преодолены так же, как это случилось с недостатками анализа XVII–XVIII вв. [60, c. 132].

5.5. Замечание о теории вероятностей

Мы не можем обойти молчанием общие рассуждения Маркова о теории вероятностей. Он (с. 4) привел классическое определение вероятности, но добавил, что “понятия определяются не столько словами… как нашим отношением к ним” [т. е. к понятиям] (с. 2, прим.). Другой пример чрезмерного, на наш взгляд, стремления к строгости (при оставшемся шатком обосновании теории в целом!) виден на с. 1, прим.: “слово мы [употребленное им в житейском смысле] не сообщает исчислению вероятностей никакой особой субъективности”.

Далее, на с. 10 (см. также п. 5.3) Марков ввел следующую аксиому: Если равновозможные события “делятся по отношению к событию А на благоприятные и неблагоприятные”, то после появления А последние “отпадают”, первые же “остаются… равновозможными”. На с. 13–14 Марков доказал теоремы сложения и умножения вероятностей довольно сложным путем. Так, во втором случае, рассматривая два зависимых события, он сослался на свою аксиому в связи с появлением первого из них. И вот поразительное заключение:

“Теоремы о сложении и умножении вероятностей, в связи с вышеуказанной аксиомой, служат незыблемой основой для исчисления вероятностей как отдела чистой математики” (с. 24).

Добавим, что на с. 241 Марков (не выделяя своего утверждения из контекста) принимает, говоря современным языком, расширенную аксиому сложения (и умножения!). Подобную аксиому, которую ввёл один английский автор, защищал Буль, но и не подумал выводить из неё неожиданные следствия.

6. Выводы

Впечатление тягостное… Ученый, открывший новые горизонты перед математикой и естествознанием, не справился с новой задачей. Глава о МНКв неудачна, а руководство в целом (мы не имеем в виду его приложения, которые, кстати сказать, не следовало включать в подобное сочинение) представило теорию вероятностей на уровне прежних нескольких десятилетий. Попытка преобразовать ее в отдел чистой математики оказалась негодной, и можно заметить [61, с. 15], что первое систематическое изложение теории случайных величин, распределений их вероятностей и их характеристических функций появилось в 1925 г. [62].

Причинами скверного положения были и пошатнувшееся здоровье Маркова, а затем и его неожиданная смерть (которая быть может вообще помешала ему закончить пересмотр руководства), и общее положение в России того времени, чрезвычайно затруднявшее научные связи с зарубежными странами. Но приходится добавить: Марков был слишком своенравен; он плохо воспринимал эвристические понятия; чересчур ограничивал свое поле зрения; недоверчиво относился к чужим нововведениям. Последние два обстоятельства созвучны и с консерватизмом Чебышева [63, с. 330], и с противопоставлением Римана Лобачевскому, на котором странным образом настаивал Ляпунов [64, с. 19–20] несмотря на существовавшую единую картину неевклидовой геометрии, представленную Клейном.

Признательность. Этот текст является несколько переработанным вариантом первоначального, см. Historia Scientiarum, vol. 16, №1, 2006, pp. 80–95. Мы благодарны редактору этого журнала за любезное разрешение опубликовать статью в переводе.

Литература
оформлена в соответствии с правилами наукометристов (наукоедов)

1. Sheynin O. B. Markov’s work on probability // Archive for History of Exact Sciences. 1989. Vol. 39. P. 337–377. Vol. 40. P. 387.
2. Марков А. А. К вопросу о прочности стекла (рукопись 1903 г.) // Историко-математические исследования. 1990. Вып. 32–33. С. 456–467. Наша публикация.
3. Коялович Б. М. Письмо А. А. Маркову 25.9.1893. Архив РАН. Фонд 173. Опись 1. Дело 10. №1. С. 3 об–4.
4. Добровольский В. А. Математика в высших технических и специальных военных учебных заведениях [5, с. 408–419].
5. Штокало И. З., редактор. История отечественной математики. Т. 2. Киев, 1967.
6. Марков А. А. Исчисление вероятностей. СПб, 1900. Последующие издания: СПб, 1908; СПб,1912; М., 1924 (посмертное). Немецкое издание 1913 г.
7. Марков А. А. Закон больших чисел и способ наименьших квадратов (1899) [8, с. 231–251].
8. Марков А. А. Избранные труды. [М.], 1951.
9. Newcomb S. On the right ascensions of the equatorial fundamental stars. Washington, 1872.
10. Gauss C. F. Werke. Bd. 9. Göttingen — Leipzig, 1903.
11. Марков А. А. О коэффициенте дисперсии (1916) [8, с. 525–535].
12. Маиевский Н. Изложение способа наименьших квадратов и применения его преимущественно к исследованию результатов стрельбы. СПб, 1881.
13. Усов Н.А. Замечание по поводу теоремы П.Л. Чебышева // Математический сборник. 1867. Т. 2. С. 93–95.
14. Чебышев П. Л. Теория вероятностей. Лекции 1879/1880 г. М., 1936. Немыслимое число математических опечаток.
15. Ivory J. On the method of least squares // London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine. 1825. Vol. 65. P. 1–10, 81–88, 161–168.
16. Galloway T. Treatise on probability. Edinburgh, 1839.
17. Ellis R. L. On the method of least squares (1844) [18, p. 12–37].
18. Ellis R. L. Mathematical and other writings. Cambridge, 1863.
19. Шейнин О. Б. Отзыв А. А. Маркова об одной статье Б. Б. Голицина // Историко-математические исследования. 1990. Вып. 32–33. С. 451–455.
20. Galitzin B., Fürst. Über die Festigkeit des Glases // Известия Петербургской академии наук. Сер. 5. 1902. Т. 16. С. 1–29.
21. Менделеев Д. И. О сцеплении некоторых жидкостей (1860). Сочинения. Т. 5. М. — Л., 1947. С. 40–55.
22. Newcomb S. A new determination of the precessional motion // Astronomical Journal. 1897. Vol. 17. P. 161–167.
23. Марков А. А. младший. Биография А. А. Маркова [старшего] [8, с. 599–613].
24. Fourier J. B. J. Sur les resultats moyennes (1826). Œuvres. T. 2. Paris, P. 525–545.
25. Шейнин О. Б. Теория вероятностей. Исторический очерк. Берлин, 2005 и 2022.
26. Коялович Б. М. Письмо А. А. Маркову 2.10.1893. Архив РАН. Фонд 173. Опись 1. Дело 10. №8. С. 11 об — 12.
27. Laplace P. S. Théorie analytique des probabilités, Deuxième supplément (1818). Œuvres complètes. T. 7. No. 2. Paris, 1886. P. 531–580.
28. Pearson K. On a criterion that a given system of deviations can be supposed\ to have arisen from random sampling // London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine. 1900. Vol. 50. P. 157–175.
29. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М., Перевод с английского издания 1957 г.
30. Hald A. History of mathematical statistics from 1750 to 1930. New York,
31. Bortkiewicz L. von. Lexis und Dormoy // Nordic Statistical Journal. 1930. Vol. 2. P. 37–54.
32. Чупров А. А. О математическом ожидании коэффициента дисперсии Известия Петербургской академии наук. 1916. Т. 10. С. 1789–1798.
33. Чупров А. А. К теории стабильности статистических рядов (1918 –1919, нем.) [34, с. 138–224].
34. Четвериков Н. С., редактор. О теории дисперсии. М.
35. Идельсон Н. И. Способ наименьших квадратов и теория математической обработки наблюдений. М., 1947.
36. Слуцкий Е. Е. Теория корреляции. Киев, 1912.
37. Гаусс К. Ф. Теория комбинации наблюдений, Дополнение (1828, латинск.). Избранные геодезические сочинения. Т. 1. М., 1957. С. 59–87.
38. Neyman J. On two different aspects of the representative method // Journal of Royal Statistical Society. 1934. Vol. 97. P. 558–625.
39. David F.N., Neyman J. Extension of the Markoff theorem // Statistical Research Memoirs. 1938. Vol. 2. P. 105–117.
40. Neyman J. Lectures and conferences on mathematical statistics and probability. Washington, 1952.
41. Plackett R. L. Historical note on the method of least squares // Biometrika. Vol. 36. P. 458–460.
42. Колмогоров А. Н. К обоснованию метода наименьших квадратов // Успехи математических наук. 1946. Т. 1. С. 57–71.
43. Lehmann E. L. A general concept of unbiasedness // Annals of Mathematical Statistics. 1951. Vol. 22. P. 587–592.
44. David H. A. First occurrences of common terms in statistics and probability
    В приложении к [45, p. 209–246]: Электронный Препринт 2006г., Iowa State University.
45. David H. A., Edwards A. W. F. Annotated readings in the history of statistics. New York, 2001.
46. Seneta E. Markov [47, p. 263–265].
47. Johnson N. L., Kotz S., Editors. Leading personalities in statistical sciences. New York, 1997.
48. Fisher R. A. Statistical methods for research workers (1925). В книге автора Statistical Methods, Experimental Design and Scientific Inference. Отдельная пагинация. Oxford, 1990.
49. Линник Ю. В., Сапогов Н. А., Тимофеев В. Н. Очерк работ А. А. Маркова по теории чисел и теории вероятностей [8, с. 614–640].
50. Безикович А. С. Биографический очерк [А. А. Маркова] [8, с. III–XIV].
51. Бернштейн С. Н. О работах П. Л. Чебышева по теории вероятностей (1945). Собрание сочинений. Т. 4. М., 1964. С. 409–433.
52. Bauschinger J. Ausgleichungsrechnung. Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. 1900–1904. Bd. 1. Tl. 2. P. 769–798.
53. Чупров А. А. Рецензия на книгу А. А. Маркова [6, 1924] (1925) [54, с. 167–170].
54. Ондар Х. О., редактор. О теории вероятностей и математической статистике. Переписка А. А. Маркова и А. А. Чупрова. М., 1977.
55. Марков А. А. Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга (1907) [8, c. 339–361].
56. Васильев А. В. Теория вероятностей. Казань, 1885. Литография.
57. Гюнтер Н. М. О педагогической деятельности А. А. Маркова // Известия Российской Академии наук. 1923. Т. 17. С. 35–44.
58. Марков А. А. О проекте П. С. Флорова и П. А. Некрасова преподавания теории вероятностей в средней школе // Журнал Министерства народного просвещения. 1915. Май. Отдел современной летописи. С. 26–34.
59. Шейнин О. Б. А. А. Марков и страхование жизни // Историко-математические исследования. 1997. Вып. 2 (37). С. 22–33.
60. Шейнин О. Б. Е. Е. Слуцкий: к 50-летию со дня смерти // Историко-математические исследования. 1999. Вып. 3 (38). С. 128–137.
61. Крамер Х. Полвека с теорией вероятностей: наброски воспоминаний. М., 1979. Перевод с английского издания 1976 г.
62. Lévy P. Calcul des probabilités. Paris, 1925.
63. Новиков С.П. Вторая половина ХХ в. и ее итог: кризис физико-математического сообщества в России и на Западе // Историко-математические исследования. 2002. Вып. 7 (42). С. 326–356.
64. Ляпунов А. М. П.Л. Чебышев (1895) [65, с. 9–21].
65. Чебышев П. Л. Избранные математические труды. М.–Л., 1946.

*  *  *

II: Markov: integrity is just as important as scientific merits

Intern. Z. f. Geschichte und Ethik der Naturwissenschaften, Technik und Medizin (NTM), Bd. 15, 2007, pp. 289–294.
Перевод автора

Введение

Марков родился 150 лет назад. Многие комментаторы описывали его жизнь и труды, но особые качества его личности известны меньше. Мы описываем эту сторону его жизни и отмечаем, что в известной степени его характер повлиял на его работу. А.А. Чупров был крупнейшим русским статистиком. В мае 1917 г. он выехал на короткое время за рубеж, но возвращаться уже не захотел и почти всю свою дальнейшую жизнь (он умер в 1926 г.) провел в Германии. Многие свои труды он опубликовал на немецком языке.

1. Общие сведения

Андрей Андреевич Марков (1856–1922), один из наиболее известных учеников П.Л. Чебышева, был выдающимся математиком, профессором Петербургского университета с 1886 по 1905 гг. (доцентом с 1880 г.) и членом Петербургской академии наук с 1886 г. Он оставил важнейшее наследие в теории чисел и особенно в теории вероятностей, в которой был первым, начавшим изучать зависимые переменные и, в частности, цепи Маркова. Его главные мемуары собраны в его Избранных трудах (1951), а его руководство по теории вероятностей выдержало 4 издания (1900–1924; последнее — посмертное), причем второе было в 1912 г. переведено на немецкий.

О жизни и творчестве Маркова см. Марков-младший (1951), Гнеденко и Шейнин (1978), Гродзенский (1987), Sheynin (1989), и Seneta (2001). Эти ссылки и некоторые другие, см. ниже, свидетельствуют, что наша нынешняя заметка это компиляция, важная, поскольку описывает крупного ученого.

Марков обоснованно относился к Карлу Пирсону, главе тогдашней английской биометрической школы, весьма критически и Чупров (с которым Марков переписывался в 1910–1917 гг.) настойчиво, хотя, к сожалению, и без особого успеха, пытался убедить его в научной значимости биометрической школы. Здесь поучительно сослаться на письмо немецкого статистика Г. Больмана (его дата неизвестна) Чупрову, который Чупров цитировал в своем собственном позднейшем письме примерно 1924 г. (Шейнин 2010, с. 87):

В конце Вашей статьи [Чупров (1918–1919)] меня очень озадачило Ваше заступничество за Пирсона, поскольку очень многое в его подходах мне не представлялось серьезным. … Тем лучше было бы всё-таки подвести под часть его работ научно-оправданное основание. Я рад изучить мотивы, которые приводят Вас к Вашей точке зрения.

Марков относился к Пирсону, можно сказать, с презрением. Характерец был у Маркова не легче, чем у Пирсона и малейших противоречий он также не переносил. Можете себе представить, как он воспринимал мои настойчивые указания на крупное научное значение трудов Пирсона.

В сочетании с исключительно неблагоприятными условиями жизни и научной работы в России с 1914 г. непреклонность Маркова привела к тому, что он по существу не признал появившегося в то время нового течения в зарождавшейся математической статистике. Так, он ни разу не сослался на других выдающихся английских статистиков, Г. Юла и У.С. Госсета (псевдоним: Стьюдент), работы которых, кстати, были лишены пирсоновских пороков.

Та же непреклонность заметна в отказе Маркова от указаний на возможное приложение его цепей в естествознании, хотя, например, он мог бы гораздо проще обосновать равномерность распределения астероидов вдоль эклиптики, чем это сделал А. Пуанкаре в своем знаменитом примере на равномерную случайность. По существу Марков объяснил свое поведение в письме Чупрову 1910 г. (Ондар 1977, письмо № 44):

Я ни на шаг не выйду из той области, где компетентность моя не может подлежать сомнению.

Колмогоров (1947, с. 59) заметил, что отсутствие естественнонаучных примеров у Маркова было вызвано отставанием российской науки в статистической физике, но думается, что это лишь частичное объяснение.

Таким же образом Марков выказывал свою непоколебимость по отношению к социально-политическим условиям жизни, см. п. 2. Неудивительно, что пресса прозвала его боевым академиком (Некрасов 1916, с. 9) и Неистовым Андреем (Neyman 1986, c. 486).

2. Отношение Маркова к социально-политическим условиям жизни

2.1. Письма в газеты.

Гродзенский (1987) опубликовал около 20 писем Маркова 1904–1915 гг. в газеты, посвященные жгучим вопросам. Он разыскал их в двух архивах и заметил (с. 100), что многие из них так и не появились в то время в свет ввиду своей остроты, но, к сожалению, не выяснил, которые именно. Мы лишь укажем, что в декабре 1904 г. Марков косвенно обвинил монархию в неминуемо грядущем проигрыше русско-японской войны (Гродзенский 1987, с. 94).

Известны и три опубликованных письма Маркова о среднем и высшем образовании (Шейнин 1993). В одном из них, в 1915 г., он (с. 200–201) протестовал против того, что

Cеминаристам разрешено поступать на физико-математические факультеты без особого испытания:

Такое положение нельзя считать нормальным. …. своим воспитанием [семинаристы] приучаются к особому образу суждений. Они должны подчинять свой разум указаниям святых отцов и заменять его текстами из священного писания. Семинарская мудрость может быть очень глубокой, … но она далека от реальной науки.

2.2. Отношение к религии.

Частично оно было отражено выше. В 1901 г. Лев Толстой был отлучен от православной церкви и в течение последних дней его жизни, в 1910 г., Святейший Синод отказался вернуть его в лоно церкви (Аноним 19104. Также в архиве Синода), так что в 1912 г. этот эпизод не мог быть забыт. Но как объяснить опоздание на два года? Думаю, что оно было вызвано неявной, а подчас явной поддержкой позорного дела Бейлиса высшими слоями общества и православной церковью.

В 1912 г. Марков (Емелях 1954, с. 400–401 и 408) подал прошение в Синод, ходатайствуя о своем собственном отлучении. Он указал, что

Не сочувству[ет] всем [никаким] религиям, которые, подобно православию, поддерживаются огнем и мечом и сами служат им и сослался на свое руководство по теории вероятностей:

Ясно, что к рассказам о невероятных событиях, будто бы происшедших в давно минувшее время, следует относиться с крайним сомнением. (Утверждение, отрицавшее противоположное мнение Буняковского.)

Его ходатайство было отклонено (слишком много чести, как было сказано в одном внутри-церковном письме); Синод постановил считать Маркова отпавшим от святой церкви.

Особо отметим споры Маркова с П.А. Некрасовым, талантливым математиком, который примерно с 1900 г. как-то преобразился: он начал подчинять свои теоретико-вероятностные труды защите автократии, религии и мелкой философии (Sheynin 2003). Это обстоятельство оказалось одной причиной, ввиду которой Марков яростно нападал на Некрасова. И, хоть Марков и не мог этого знать, в письме П.А. Флоренскому 1916 г. Некрасов (Шейнин 1993, с. 196) указал, что сочинения Маркова (и других)

Ясно говорят о распутье, на которое толкает нас немецко-еврейская культура и литература.

Это высказывание (в котором еврейская в результате опечатки превратилось в европейская) можно лишь частично оправдать тогдашней мировой войной. Флоренский был религиозным философом и математиком, погибшим в Гулаге, и в последние годы поднятым в России на щит, однако приведенное утверждение бросает на него сильную тень: вряд ли Некрасов стал бы так писать идеологическому противнику. И мы заметили в ГУГЛе зоологическое утверждение Флоренского: будь он евреем, сам бы зарезал христианского мальчика (см. п. 2.3). А ведь он безусловно знал, что кровавый навет противоречит иудаизму.

Далее, Марков полностью отрицал теоретико-вероятностное творчество Некрасова ввиду невообразимого многословия, непонятных, бессмысленных и часто ошибочных высказываний последнего. Неудивительно, что именно Марков в основном провалил поддержанное Некрасовым (в ту пору руководящим чиновником Министерства народного просвeщения) предложение о введении теории вероятностей в среднюю школу: уж наверное Некрасов направил бы её на подтверждение религиозных истин и укрепление монархии.

2.3. Борьба против антисемитизма.

В 1905 г. Совет Петербургского университета постановил ходатайствовать о допущении всех абитуриентов-евреев вне зависимости от процентной нормы (3%). Марков и еще один член Совета предложили решить вопрос явочным порядком, но Совет с этим не согласился и Марков ушел с поста члена Комиссии Совета (Журналы 1906).

В 1907 г. студенты Военно-медицинской Академии выгнали из аудитории нескольких членов черносотенного Союза русского народа. Марков публично похвалил студентов, которые затем выразили ему свою благодарность. Гродзенский (1987, с. 96), который сообщил об этом, не указал, вернулись ли черносотенцы в Академию или нет.

В 1913 г. некто Жовтис держал приемный экзамен по математике в Харьковском технологическом институте. Его попросили решить уравнение 10-й степени, чего он, разумеется, сделать не смог. Жовтис описал этот эпизод в местной газете, а Марков, узнавши об этом, написал письмо в (другую) газету и назвал экзамен издевательством (Гродзенский 19867, с. 102–104).

В том же 1913-м году слушалось печально известное дело Бейлиса, облыжно обвиненного в ритуальном убийстве русского мальчика, т. е. своего рода русское дело Дрейфуса. Бейлиса оправдали, но и до, и в течение процесса в стране развернулась антисемитская кампания, поддержанная в самих верхах. Марков, наряду со многими другими общественными деятелями, решительно протестовал против процесса. Он также послал открытое письмо предводителю крайне правых в Гос. Думе, обвиняя того в организации этой кампании (там же, с. 104–105).

Нелишне добавить, что около 1870 г. студенту Чебышева, Либману Израелевичу Липману, со-изобретателю механизма для преобразования кругового движения в прямолинейное, по ходатайству нескольких профессоров Петербургского университета и в первую очередь Чебышева, разрешили проживать в Петербурге и держать магистерский экзамен (Прудников 1964, с. 84). Впрочем, Липман вскоре умер.

2.4. Другие эпизоды.

В 1902 г. Академия наук избрала Горького своим почетным членом, но ввиду политических причин Президент академии отменил выборы по требованию Николая II. Марков (безуспешно) протестовал против этой отмены и в то время, и в более благоприятных условиях, в 1905 г., поскольку Горький стал почетным членом Академии лишь в 1917 г. (Марков-младший 1951, с. 604–606). В последние годы своей жизни Горький ревностно защищал сталинизм, но это уже другая история. Буревестник революции стал её стервятником!

В 1903 г. Марков заявил, что не желает быть награжденным орденами (там же, с. 606–607), а в 1907 г. отказался участвовать в выборах в III Гос. Думу, поскольку её созыв был соединён с нарушением закона (там же). В 1908 г. Марков отказался выполнять официальное требование присматривать за политическим поведением студентов (там же, с. 608), а в 1910 г. протестовал против исключения студентов из университета за участие в неофициальных сходках (Гродзенский 1987, с. 48).

В 1912 г. Марков отказался участвовать в комиссии Академии наук по проведению торжеств по случаю трехсотлетия дома Романовых (там же, с. 88), но организовал торжественное собрание Академии в честь двухсотлетия закона больших чисел; Марков-младший (1951, с. 610) утверждает, что его отец считал это мероприятие противовесом первому.

2.5. Последний протест.

В 1921 г. 15 профессоров Петроградского университета подписали похеренное заявление, основным требованием которого было отбирать абитуриентов по знаниям, а не по классовым или политическим основаниям, причем Марков подписался первым (Гродзенский 1987, с. 137). Подобные протесты были бы уместны на протяжении почти всего советского периода русской истории.

Ничего больше об общественно-политической деятельности Маркова после 1917 г. не известно, но его собственная жизнь была несомненно тяжелой; в 1921 г. у него даже не было обуви (там же, с. 136).

Мы закончим выдержкой из письма 1933 г. Эйнштейна статистику

Э.Ю. Гумбелю (Архив Эйнштейна, Еврейский университет в Иерусалиме, № 38615):

Достойные черты характера столь же ценны, как научные.

Признательность. Письма Некрасова Флоренскому, одно из которых цитировано в п. 2.2, хранятся в семье Флоренского и были переданы мне одним из моих тогдашних знакомых.

Литература

1. Аноним (1910), Священный Синод и Л. Н. Толстой. Газета Речь, 8 ноября, с.3
2. Гнеденко Б. В., Шейнин О. Б. (1978), Теория вероятностей. Глава в книге Математика XIX в., т. 1. М., с. 184–240.
3. Гродзенский С. Я. (1987), А. А. Марков. М.
4. Емелях Л. И. (1954), Дело об отлучении от церкви академика А. А. Маркова. Вопр. истории религии и атеизма, т. 2, с. 397–411.
5. Журналы (1906), Журналы заседаний Совета Петербургского университета № 61 за 1905 г. Петербург.
6. Колмогоров А. Н. (1947), Роль русской науки в развитии теории вероятностей. Уч. зап. МГУ, № 91, с. 53–64.
7. Марков А. А. (1951), Избранные труды. Без места.
8. Марков А. А., младший (1951), Биография А. А. Маркова-старшего. В книге Марков (1951, с. 599–613).
9. Некрасов П. А. (1916), Средняя школа, математика и научная подготовка учителей. Петроград.
10. Ондар Х. О., редактор (1977), О теории вероятностей и математической статистике. Переписка А. А. Маркова и А. А. Чупрова. М._.
11. Прудников В. Е. (1964), П. Л. Чебышев, ученый и педагог. М. (Л., 1976.)
12. Чупров А. А. (1918–1919, нем.), К теории стабильности статистических рядов. Русск. перевод в книге Четвериков Н. С., составитель (1968), О теории дисперсии. М., с. 138–224.
13. Шейнин О. Б. (2010), А. А. Чупров. Жизнь, творчество, переписка. Берлин.
14. (1993), Публикации А. А. Маркова в газете День, 1914–1915. Историко-математич. исследования, т. 34, с. 194–206.
15. Neyman J. (1978), Рецензия на Ондар (1977). Hist. Math., vol. 5, pp. 485–486.
16. Seneta E. (2001), А. А. Markov. В книге Statisticians of the Centuries. Редакторы Heyde C. C., Seneta E. New York, pp. 243–247.
17. Sheynin O. B. (1989), Markov’s work on probability. Arch. Hist. Ex. Sci., vol. 39, pp. 337–377; vol. 40, p. 387.
18. (2003), Nekrasov’s work on probability: the background. Там же, vol. 57, pp. 337–353.