©"Семь искусств"
  июнь 2022 года

 819 total views,  2 views today

Надо прямо смотреть в глаза фактам и признать, что применение математических методов не полезно, а вредно до тех пор, пока явление не освоено на гуманитарном уровне. Вредно тем, что отвлекает внимание от главного к второстепенному, тем, что создаёт почву для очковтирательства.

И.Грекова

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ ЕЁ РАЗВИТИЯ[1]
Публикация и примечания Оскара Шейнина

В Примечаниях мы отметили некоторые особенности статьи, ряд утверждений автора нам показался слишком категоричным. Решение просто поставленных задач не приземлённой теории чисел оказалось исключительно тяжёлым, а здравый смысл не так просто примирить с неевклидовой геометрией. Статья была для своего времени весьма поучительной и уместной. Не потеряла она своего значения и сейчас.

Оскар Шейнин

Ирина ГрековаНашу эпоху принято называть эпохой научно-технической революции. Мы настолько привыкли к этому сочетанию слов, что почти не задумываемся над их смыслом. Так часто происходит со словами, если они накрепко сливаются в некие словесные блоки: блок воспринимается как целостность, вызывающие не размышления, а скорее ассоциации и эмоции. И всё же время от времени полезно задуматься о специфике нашей эпохи, и какие требования она предъявляет к науке.

Задача статьи — высказать некоторые соображения о современном этапе развития прикладной математики, о перестройке её приёмов и методологии в ответ на запросы времени. Эти соображения в значительной мере дискуcсионны и отражают личную точку зрения автора, с которой далеко не все согласны даже среди специалистов-математиков, занимающихся прикладными исследованиями.

Прежде всего, о самóм термине прикладная математика. Многие оспаривают его право на существование, утверждая, что, мол, есть только одна математика: она же чистая, она же и прикладная. Тот или иной раздел математики, будучи применён к решению практической задачи, остаётся самим собой и не переходит из разряда чистой в прикладную.

На первый взгляд, такая позиция может показаться убедительной, но, по существу, она неправильна. Конечно, специального предмета прикладная математика не существует[2]. Зато безусловно существуют прикладные математики, люди, занимающиеся приложениями математических методов к решению конкретных практических проблем. Эти люди отчасти стихийно, отчасти осознанно формируют идеологию прикладной математики, её своеобразную методологию, если хотите — философию. Занимаясь применением математики к решению прикладных задач, специалист волей-неволей вынужден соответственно перестраивать свои приёмы, методологические принципы, способы рассуждений и умозаключений, иначе он попросту не сдвинется с места. Особенно интенсивно идёт этот процесс методологической перестройки в последние десятилетия.

Известно, что в наше время наблюдается универсальная математизация всех областей знания. Математические методы всё шире внедряются в практику. Управляющие алгоритмы и реализующие их вычислительные машины становятся буквально в ряд производительных сил. Сегодняшние техника, организация, планирование немыслимы без математики. Когда-то математика была эталоном отвлечённости, абстрактности. Сформировался и литературный тип математика, которому нет дела ни до чего, происходящего на этой грешной земле. Вспомним хотя бы Гимн учёному Маяковского:

Приходят красноухие, а ему не нудно,
Что растёт человек, глуп и покорен,
Ведь зато он может ежесекундно
Извлекать квадратный корень.

В наши дни, как известно, функция извлечения квадратного корня с человека (тем более с учёного-математика) снята: вычислительные машины ежесекундно выполняют миллионы арифметических операций. Тем не менее, психология извлекателей корня ещё не отмерла окончательно. Например, французский математик Ж. Дьедонне (Сойер 1972, с. 18), один из руководителей известной группы Бурбаки, пишет:

«В принципе современная математика в основе своей не имеет какой-либо утилитарной цели, а представляет собой интеллектуальную дисциплину, практическая польза которой сводится к нулюМатематика не более, чем роскошь, которую может позволить себе цивилизация».

К счастью, такая позиция в наши дни встречается нечасто, по крайней мере в столь откровенной форме[3]. Математики-профессионалы (даже представители, так сказать, стерильно чистой науки) признают, что многие разделы современной математики (например, линейное и динамическое программирование, теория информации, теория массового обслуживания) без потребностей практики просто не могли бы возникнуть. Однако, раз возникнув, они превращаются в обширное поле развития новых математических методов, имеющих зачастую и серьёзное теоретическое, а не узко прикладное значение.

2.

Об особенностях, методологии и идеологии прикладной математики хорошо рассказано в книге Блехмана и др. (1976). Там произведён подробный анализ и сравнительный разбор важнейших черт научного исследования в прикладной и в так называемой чистой математике, в традициях которой воспитаны целые поколения математиков университетского типа. Различия настолько серьёзны, что чистому математику для работы в прикладной области приходится себя перевоспитывать, как бы переучиваться заново.

Привычные представления о математической строгости, смысл, вкладываемый в понятия существование, доказательство, определение, сходимость, бесконечность и др., — всё это должно быть заново пересмотрено и осмысленно, так сказать, деформализовано, переведено на более простой, наглядный житейский уровень. Отмечается неизбежность в прикладных исследованиях так называемых рациональных (иначе, правдоподобных) рассуждений; пользование нечётко определёнными, а размытыми понятиями, категориями не чисто качественно, но и не чисто количественного характера; правомочность подтверждения теории с помощью численного расчёта (так называемого машинного эксперимента). Обо всех этих (и многих других) особенностях прикладной математики названная выше книга рассказывает в живой, непринуждённой, часто юмористической форме.

Приведём оттуда одно высказывание, не имеющее, по-видимому, определённого автора, а относящееся к разряду научного фольклора:

Чистая математика делает то, что возможно, так, как нужно; прикладная математика делает то, что нужно, так, как можно.

Отмеченные выше черты прикладной математики (кроме, пожалуй, машинного эксперимента) были свойственны ей всегда и наблюдались во всех ситуациях, когда математические методы применялись для решения реальных задач. Однако, в наше время эти черты углубились и усугубились. Прикладная математика наших дней так резко отличается от классической, что это заслуживает специального обсуждения. Приёмы, которыми она пользуется, настолько новы и непривычны, что зачастую шокируют математиков-профессионалов.

Так называемые эвристические методы решения задач, экспертные оценки, шкалы предпочтения и многое тому подобное легко объявить находящимися вне математики, что часто и делается[4]. Однако, объявить тот или иной приём недопустимым и не предложить взамен ничего другого — не лучший выход из положения. Волей-неволей приходится пользоваться всеми доступными на сегодняшний день приёмами, в том числе и такими, от которых наши предки-математики, как говорится, перевернулись бы в гробах.

3.

Попробуем проследить причины, породившие именно в наши дни такую тотальную профанацию математических святынь. Известно, что в нашу эпоху математика наступает на всех фронтах, вторгается во все области науки. Помимо традиционных областей её применения, физики, механики, [астрономии,] техники потребителями математических методов становятся практически все науки: экономика, социология, психология, лингвистика, биология, медицина, криминалистика[5]. Повсюду строятся и анализируются математические модели, применяются математические методы обработки и планирования эксперимента.

Математика начинает заниматься такими явлениями, которые от века изучались только на гуманитарном уровне. Например, теория игр занимается изучением конфликтных ситуаций; теория информации, вопросами ценности и содержательности сообщений; теория статистических решений, задачами выбора разумного поведения в условиях неопределённости, количественным описанием риска и пр.

Особый раздел математической статистики, факторный анализ, применяется для предварительного, разведывательного изучения сложных, неясных ситуаций, где не проявлена структура причинных связей. Создаются математические модели человеческих коллективов, взаимоотношений внутри них, модели иерархических структур и т.п. Одним словом, математика со своим аппаратом, своей терминологией и методологией проникает повсюду. В связи с этим размывается и становится почти неуловимой грань между так называемыми точными и гуманитарными науками. Долгое время были привычными их противопоставление, разграничение сфер их влияния и методологии. Разница между ними была ясна.

В самом деле, какие черты были традиционно свойственны так называемым точным наукам? Отчётливость постановки задачи; количественный характер добываемых выводов; логический (точнее, формально-логический) характер рассуждений; пользование чётко определёнными терминами; широкое применение математического аппарата, и в связи с этим некая непререкаемость выводов. Вывод верен, если верно выполнены ведущие к нему математические преобразования.

Традиционные черты так называемых гуманитарных наук другие. Для них характерен вербальный (словесный) способ построения исследования; широкое применение аналогий, убедительных рассуждений; пользование терминами, точное значение которых не формулируется; полемика, научный спор; апелляция к чувству, к воображению.

И вот на наших глазах это традиционное противопоставление рушится. Грань между точными и гуманитарными науками стирается, разница становится неотчётливой, а то и совсем пропадает. Происходит взаимопроникновение и взаимообогащение этих двух типов наук. Часто (слишком часто!) это взаимообогащение расценивается однобоко как чистая, всепобеждающая математизация всех областей знаний.

Математика c её дедуктивными конструкциями, аксиоматическим построением и формальным аппаратом рассматривается как некий идеальный образец, по которому должны равняться все другие науки. Нередко со стороны математиков наблюдается в отношении других наук этакая позиция завоевателя:

Погодите, мол, доберёмся и до вас, до сих пор недосуг было.

Всякую науку такой математик-завоеватель согласен считать за науку только в той мере, в какой она оснащена формулами, выражена на математическом языке; всё остальное — пустые слова, сотрясение воздуха.

Нет ничего вреднее и бесплоднее такой позиции. Насильственная математизация чего бы то ни было никогда пользы не приносила. Она происходит естественно, когда в ней возникает потребность, обусловленная развитием самой науки. К тому же, и это особенно важно, происходит не одностороннее, а взаимное проникновение двух групп наук. Математика не только проникает в ранее чуждые для неё области, завоёвывает их, она при этом, и сама трансформируется, становится менее формальной, менее ригористичной, меняет свои методологические черты, в какой-то мере приближаясь к наукам гуманитарным.

4.

В самом деле, спросим себя: откуда взялась и чем обусловлена разница между методологиями точных и гуманитарных наук? Почему формальный математический аппарат очень рано стал применяться в сфере точных наук и только совсем недавно (и то на правах подсобного) в гуманитарных? Уж не потому ли, что люди, занимающиеся гуманитарными науками, были, что ли глупее занимавшихся точными? Отнюдь нет! Просто явления, составляющие предмет гуманитарных наук, неизмеримо сложнее тех, которыми занимаются точные. Они гораздо труднее (если вообще) поддаются формализации. Для каждого из такого рода явлений гораздо шире спектр причин, от которых оно зависит. Вербальный способ построения исследования, как это ни парадоксально, здесь оказывается точнее формально-логического.

И всё же в ряде случаев мы иной раз просто вынуждены строить и здесь математические модели. Если не точные, то приближённые. Если не для однозначного ответа на поставленный вопрос, то для ориентировки в явлении. В самом деле, в наше время (в эпоху НТР, научно-технической революции) появляется настоятельная необходимость проводить научные исследования в области организации и управления. Планируются и проводятся грандиозные мероприятия, превышающие по своим масштабам, стоимости и возможным последствиям всё, что когда-либо проводилось ранее. Приводятся в действие огромные массивы машин, людей, материальных ресурсов. Всеми этими мероприятиями нужно разумно управлять, это жизненно необходимо с точки зрения интересов и дальнейшей судьбы, как отдельной страны, так и человечества в целом. Сегодня, меньше, чем когда-либо, допустимы произвольные, так называемые волевые решения. Конечно, головотяпы, неразумные и недобросовестные люди существовали и прежде (сам термин головотяп восходит к Салтыкову-Щедрину), но разница в масштабе и вредоносности. Головотяп прошлого просто вреден, головотяп эпохи НТР страшен.

Чтобы избежать просчётов и их тяжёлых последствий, жизненно необходимо развитие научных методов организации и управления. Наука об управлении техническими устройствами, теория автоматического регулирования, существует уже довольно давно, и, без всякого сомнения, относится к семье точных наук. А к какой области относятся проблемы управления более сложными системами, включающими не только целые массивы технических устройств, но и человеческие коллективы, средства связи и информации? К точным или к гуманитарным наукам?

Ни к тем, ни к другим. Вернее, и к тем, и к другим. Так называемое исследование операций, наука о предварительном обосновании разумных решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности, тоже занимает своеобразное промежуточное положение между точными, гуманитарными и опытными науками[6]. Она широко пользуется математическим аппаратом, отнюдь не сводясь к нему. Правило семь раз примерь один раз отрежь нигде так не справедливо, как в области крупномасштабных, ответственных решений. Для предварительной примерки таких решений, для оценки их разумности и эффективности неоценимым средством являются математические модели, позволяющие заменить (хотя бы отчасти) трудоёмкий, дорогостоящий и небезопасный натурный эксперимент математическим экспериментированием на моделях.

Но для того, чтобы математические методы стали полноценным инструментом исследования в нетрадиционных областях, нужно не одностороннее наступление этих методов, а взаимовлияние и взаимообогащение. И прикладная математика, вступая в новые для себя области, должна соответственно перестроиться, выработать новую, более гибкую тактику, сформировать новую идеологию.

И это уже происходит на наших глазах, только не всегда, не везде и не для всех очевидно. Наряду с образцами подлинной творческой деятельности в области прикладной математики нередко приходится встречаться с псевдоприкладными работами, где традиционный, иной раз весьма замысловатый и тонкий математический аппарат работает вхолостую. В таких работах прикладная задача служит только поводом для затейливого математизирования[7].

5.

Какие же черты отличают подлинно современную рабочую прикладную математику от традиционной классической? Прежде всего изменившаяся методология, новый набор приёмов, новая схема подхода к явлениям. В самом деле, как строилось классическое исследование с применением математических методов? Схема такова: берётся чёткая постановка задачи, формулируются допущения, а затем поставленная задача решается при помощи безукоризненно точных, формальных математических преобразований.

Споры, если они возникают, касаются либо верности произведённых выкладок (если они неверны, работа со смехом отвергается), либо того, самый ли удачный из математических методов выбрал автор. Произвол, неизбежный при постановке задачи (поскольку он целиком уложился в строго сформулированные условия) допускается только один раз и остаётся за пределами обсуждения.

Типичный пример: известная схема задач математической статистики. Однажды назначенный (заметим: произвольно!) уровень доверия (т. е. вероятность, при которой событие может рассматриваться как достоверное) в дальнейшем обсуждению или обжалованию не подлежит. Раз мы договорились считать практически достоверным событие с вероятностью, скажем, 0,99, все дальнейшие выкладки проводятся уже безукоризненно точно и строго, а вопрос о том, откуда взялись эти 0,99, считается даже и неприличным. Интонация рассуждения, грубо говоря, такова: пусть нам кто-то (посторонний дядя) назначил уровень доверия. Откуда он его взял — не наше дело, наше дело — ответить на вопрос: противоречит ли при заданном уровне доверия такая-то гипотеза опытным данным?

Другой пример. Решается задача нахождения оптимального управления. Какой-то параметр выбирается в качестве показателя эффективности (целевой функции), а далее уже совершенно строгими методами ищется тот вариант управления, который обращает целевую функцию в максимум (минимум). Откуда и кем назначен именно этот вид функции? А это не наше дело. Назначен — и баста.

Это классическая схема исследования, разделяющая заказчика и исполнителя, на наших глазах устаревает. Для современной прикладной математики типично другое: личная уния ставящего задачу и решающего её. Современный прикладной статистик (или группа таковых), занятый решением практической проблемы, непременно должен участвовать не только в решении, но и в постановке задач. Не только в построении модели, но и в выборе целевой функции, в организации расчётов, осмыслении результатов, выдаче рекомендаций. Словом, прикладная математика не должна быть белоручкой, в таком качестве она попросту никому не нужна.

Внимательное отношение к нуждам практики, готовность вникнуть в подробности реальной ситуации, разобраться в них отличают подлинного прикладного математика. В каком виде получает он задачу от практика, нуждающегося в его помощи? В виде словесного, чаще всего нечёткого описания. Пусть, например, к математику обращается инженер, работающий на заводе. Цех изготовляет какого-то вида изделия. На производстве возникают заминки, узкие места. Эти места желательно ликвидировать (отбросим нетипичный, но довольно частый случай, когда практику надо попросту защитить диссертацию).

Как распорядиться наличными ресурсами, за какую верёвочку потянуть? Практик обращается к математику с какими-то смутными, неопределёнными жалобами на положение вещей и похож в этот момент на больного, который сам не знает, что с ним. И это естественно, неужели же мы будем требовать от больного, чтобы он приходил к врачу с уже готовым диагнозом?

А вот чистые математики классической школы часто требуют у практиков уже готовой, чёткой постановки задачи. Моё, мол, дело не ставить задачи, а решать уже поставленные. Глубоко порочная позиция. Прикладной математик для того и прикладной, чтобы уметь не только решать кем-то уже поставленные задачи, но и самостоятельно ставить их. В прикладных областях правильно поставить задачу значит больше, чем на половину, её решить (остальное более или менее вопрос техники — преобразований или вычислений).

Настоящий прикладной математик должен уметь распознавать в реальной ситуации главное, уметь отделить его от побочного, второстепенного; уметь вычленить из живого тела ситуации её математический скелет; уметь разузнать у практика, что, собственно, ему нужно. Иногда растолковать это самому́ практику. Поддерживая с ним постоянную оперативную связь, построить математическую модель, руководить расчётами по ней, лично участвовать в анализе полученных данных, в выдаче рекомендаций. Одним словом, работать, засучив рукава, забыв о своей сословной гордости. Человек, не готовый к тому, чтобы вникать в существо и подробности реальных процессов, не может и не должен заниматься прикладной математикой[8].

Ещё одна существенная разница между классической и современной прикладной математикой. Для первой традиционным является однократный выбор математической модели и однократная формулировка допущений в самом начале исследования. Всё дальнейшее получается путём формальных преобразований. В нетрадиционных областях это не так. Для того, чтобы разобраться в сложном явлении, его надо рассмотреть с различных сторон, под разными углами зрения, пробовать, сравнивать результаты, обсуждать их, сопоставлять. Часто бывает полезно вернуться к модели и внести в неё исправления после того, как первый тур расчётов уже произведён.

Более того, часто оказывается плодотворным своеобразный спор моделей, когда одно и то же явление описывается последовательно (или параллельно) несколькими моделями. Чрезвычайно важно выявить устойчивость результатов исследования (рекомендаций) по отношению к модели. Если выводы оказываются одними и теми же (приблизительно) при разных моделях, разных методах исследования — это веское свидетельство в пользу их объективности. К сожалению, такие приёмы пока ещё мало распространены. В науке известно понятие устойчивости по отношению к малым возмущениям, но пока ещё, насколько мне известно, не описана устойчивость по отношению к точке зрения.

А как быть, если не удаётся получить решение, обладающее должной устойчивостью? Это может означать, что вопрос ещё не созрел для научного решения, или что имеющаяся информация недостаточна для его постановки. Но и тут сопоставление результатов и рекомендаций, полученных разными методами, может помочь осмыслению ситуации и формированию в споре приемлемой компромиссной позиции.

6.

Методология научного спора (в споре рождается истина), ранее совершенно чуждая математике, для современной прикладной математики очень характерна. Заметим, что на семинарах и конференциях по прикладным математическим задачам участники почти не спорят о методах решения. Споры возникают почти исключительно вокруг постановки задач и нередко приводят к сближению точек зрения.

Часто споры разворачиваются вокруг того, что следует понимать под оптимальным решением. Классическая математика тоже знает задачи оптимизации, но в идеально чёткой постановке, когда ищется решение, обращающее в максимум/минимум одну-единственную скалярную величину (целевую функцию). Эта идеальная схема крайне редко встречается в реальных задачах, по крайней мере достаточно сложных. Почти все такие задачи оказываются многокритериальными (задачами с векторной целевой функцией). Один из критериев желательно обратить в максимум, другие — в минимум (например, валовой объём продукции — в максимум, фонд заработной платы — в минимум, прибыль — в максимум и т. д.). Эти требования, как правило, взаимно противоречивы: не существует решения, удовлетворяющего всем им сразу.

Попытки объединить несколько критериев в один обобщённый и оптимизировать решение по этому критерию обычно не дают должного эффекта и часто оказываются даже вредными, создавая иллюзию научного обоснования там, где его, по существу, нет. Здесь приходится, как и при согласовании разных точек зрения, искать форму разумного компромисса (такое решение, чтобы, так сказать, и волки были сыты, и овцы целы).

Математические методы оптимизации при всём их совершенстве и изощрённости мало чем могут помочь в такой ситуации. До сих пор в математике полноценной теории компромисса не существует. Правда, в теории статистических решений некоторые попытки подобного рода имеются, но они обычно приводят к решениям, резко неустойчивым по отношению к точке зрения. Пока что практически единственной инстанцией, способной быстро и успешно вырабатывать компромиссное решение, является человеческий разум, так называемый здравый смысл.

Человек до сей поры — непревзойдённый мастер компромисса, и без его участия решение в многокритериальной задаче (не оптимальное, может быть, ни по одному критерию, но приемлемое по их совокупности) пока что выбрано быть не может. Математика в её современном виде может оперировать только понятиями больше, меньше, равно, но не понятиями приемлемо, практически равноценно и т. д., характерными для человеческого мышления. По-видимому, не всякое лучше-хуже может быть сведено к больше-меньше (или, если может, мы часто не знаем, как это делается).

Принимая решение, человек, не вдаваясь в излишние подробности, окидывает общим взглядом ситуацию в целом и выбирает приемлемый вариант[9]. Что касается математики, то её дело в подобных случаях — не выдать окончательное решение, а помочь человеку выбрать его. Дать человеку, принимающему решение, максимум нужной ему информации в выразительной, удобовоспринимаемой форме; показать, к каким последствиям приведёт (по ряду критериев) каждый из возможных вариантов решения, предварительно отбросив все неконкурентоспособные.

Такое математическое моделирование ситуации часто может заменить недостающий человеку опыт (когда речь идёт о ситуациях новых, неизученных, о мероприятиях, опыта проведения которых нет). Кроме того, возможна передача опыта от человека (или коллектива), искусного в выборе решений, машине, автомату, постепенно вырабатывающему формализованный алгоритм выбора решения (так называемые адаптивные или обучаемые алгоритмы).

К созданию таких алгоритмов могут быть привлечены любые средства (скажем, экспертные оценки, механизмы голосования и т. п.), весьма далёкие от математической традиции. Каждый из таких методов может быть применён, но при одном условии: его не надо фетишизировать, объявлять полученный результат окончательной истиной в последней инстанции. Проблемы живут, видоизменяются, взаимно отменяют друг друга — так и быть должно.

Обратим внимание ещё на одно обстоятельство. В традиционной математике после того, как задача поставлена и допущения сформулированы, решение ищется всегда на максимально доступном уровне точности. Для современной прикладной математики, напротив, характерно требование равнопрочности всех элементов исследования[10]. Точность аппарата должна соответствовать точности, с которой нам могут быть известны исходные данные. Если для выполнения расчётов по данной модели необходимо знание параметров и функций, которые в обозримом будущем получены быть не могут, надо отказаться от этой модели и заменить её другой, пусть менее точной, но опирающейся на доступную информацию.

7.

Кстати, вопрос об информации, которая считается заданной в математической модели. Это одно из больных мест тех математических работ, которые претендуют на роль прикладных, а по существу, представляют собой абстрактные упражнения. Исследование начинается с классической формулировки Пусть заданы … и далее перечисляются параметры, которые предполагаются известными. Откуда они известны, из какого источника? Такой вопрос даже не ставится. Известны —и всё. И вот строятся модели, которые иначе не назовёшь как информационно уродливыми.

Возьмём, например, классическую модель конфликтной ситуации, парную антагонистическую игру. Предполагается, что в такой игре каждая сторона в точности знает все стратегии (способы поведения), которыми может пользоваться противник, и неизвестно только, которую именно из них он выберет в данной партии игры. Слов нет, получается изящная математическая теория, позволяющая сформулировать рекомендации сторонам: в каких пропорциях каждая из них должна применять свои стратегии, чтобы добиться максимальной выгоды. Но позвольте спросить: откуда известен полный набор возможных стратегий? На практике так почти никогда не бывает. Как правило, разумное поведение в условиях конфликтной ситуации состоит в том, чтобы выйти за пределы известных противнику стратегий, а не смешивать их в хитроумно найденных пропорциях[11]. Уж не здесь ли причина того, что игровые модели, за которые вначале с азартом ухватились многие, оказались сравнительно бедны реальными приложениями?

Другой пример. Известная задача математической статистики о построении доверительного интервала при малом числе опытов. Для этого (?) разработан довольно тонкий аппарат, основанный на допущении, что нам известен закон распределения наблюдаемой случайной величины (нормальный). И опять возникает вопрос: а откуда, собственно, это известно? И с какой точностью? И какова, наконец, практическая ценность самого продукта, доверительного интервала?

Мало опытов, значит, мало информации, и дело наше плохо. А будет ли при этом доверительный интервал немного больше или меньше, не так уж важно (тем более, что и доверительная вероятность назначена произвольно. И всё же зачастую этой проблеме уделяется незаслуженно большое внимание. Здесь налицо явное несоответствие между грубостью постановки задачи, малой ценностью выводов и тонкостью аппарата. Вообще злоупотребление формальной стороной теории вероятностей в ущерб здравому смыслу — беда многих псевдоприкладных работ, где математический аппарат не средство, а цель. Ряд соображений по этому поводу содержится в интересной, хотя и не бесспорной брошюре Тутубалина (1972).

Применение теории вероятностей в ситуациях, где налицо статистическая устойчивость и имеется нужная информация, вполне оправдано и может давать хорошие результаты. Не так обстоит дело в ситуациях, где вообще никакой информацией мы не располагаем[12]. Такими задачами (выбором решения в условиях полной неопределённости) занимается теория статистических решений. Полностью отрицать пользу этой теории нельзя, кое-какие прикидки она позволяет сделать, но не нужно переоценивать её возможности. Там, где нет информации, решение получается неизбежно плохое, и лучше не корпеть над его обоснованием, а попытаться получить нужную информацию. Тем более, что в ряде случаев для успешного выбора решения нужна не полная информация, а сравнительно ограниченная (Динер, 1972).

Вообще никогда не надо забывать, что отсутствие информации — беда, а не преимущество исследователя, хотя именно в условиях отсутствия информации он имеет случай щегольнуть наиболее изысканными методами. Здраво поставленные задачи должны решаться сравнительно просто. Печально положение, когда математика начинает глушить здравый смысл. Из двух альтернатив математика без здравого смысла и здравый смысл без математики предпочтение, безусловно, надо отдать второй.

Разумеется, всего лучше, когда работает и то, и другое, когда математические расчёты всё время проверяются на здравый смысл. Но так бывает далеко не всегда. Математический аппарат имеет некое гипнотическое свойство, и исследователи часто склонны безоговорочно верить своим расчётам, и тем больше верить, чем кудрявее применённый аппарат, чем больше времени (своего и машинного) потрачено и чем больше бумаги исписано.

8.

При нынешней моде на математику, в условиях густого потока информации, записанной на языке формул, очень трудно отличить подлинное от кажущегося, настоящую науку от наукообразия. Слишком часто у нас применение математических методов понимают как чистое и абсолютное благо. Считается, что любая математизация — шаг вперёд, а если она сопровождается автоматизацией, тем паче.

Взять хотя бы знаменитые АСУ (автоматизированные системы управления). Эти слова и связанные с ними понятия уже срослись в один устойчивый блок, над которым стои́т большой знак плюс (как, скажем, в своё время над блоком кибернетика стоял крупный минус, впоследствии лихорадочно заменённый плюсом). В порыве необузданного энтузиазма АСУ чуть ли не обожествляются, в них видят какую-то панацею от всех бед, от бесхозяйственности, непредусмотрительности, простой глупости. Причём, заметим, главное внимание в блоке АСУ обращается на первую букву (автоматизация). Считается, что введение в процесс управления вычислительной машины само по себе уже великое благо (современная техническая благодать, заменившая устарелую благодать божию).

Создание АСУ обычно начинается с того, что приобретается машина и создаётся для неё обслуживающий штат. А остальное? Остальное приложится. Была бы машина! Тогда пойдёт уж музыка не та, у нас запляшут лес и горы! Х-(Крылов, Квартет).] Ну и что же? Машина есть, программисты работают, рулоны бумаги текут, а лес и горы не пляшут!

Надо прямо смотреть в глаза фактам и признать, что применение математических методов не полезно, а вредно до тех пор, пока явление не освоено на гуманитарном уровне. Вредно тем, что отвлекает внимание от главного к второстепенному, тем, что создаёт почву для очковтирательства. Жадное внимание, уделяемое первой букве в блоке АСУ — плод недоразумения и поспешности: ведь само по себе А никому не нужно. Если оно нужно, то только для У. А многие думают, что главное в проблеме управления — сбор и обработка информации. А так как информации много, то копить и обрабатывать её должна машина. Часто эта подсобная, в сущности, процедура выдвигается на первый план, абсолютизируется.

За бортом остаётся главный вопрос: какую именно информацию следует собирать и обрабатывать? Какая нужна, а какая нет? И на каком уровне нужна? Заранее исходят и допущения, что всякая информация — благо, и возможность в любой момент вывести её из машины и представить на обозрение и есть главная задача АСУ. Исключения редки.

Сбор и обработка информации — ещё один блок с большим знаком плюс. А так ли это бесспорно? Всякую ли информацию стóит обрабатывать, хранить? Конечно, нет. Человеческое сознание не в силах охватить и осмыслить сразу большой массив информации. Её надо отпрепарировать, отделить важное от неважного, нужное от ненужного и нужное представить в наиболее выразительной, легко усвояемой форме. И это тоже задача прикладной математики, находящаяся на этот раз на грани психологии, социологии[13].

Сейчас много говорят и пишут о так называемых больших системах. Что это такое — в точности неизвестно. Иногда даётся тавтологическое определение типа

Большой системой называется система, состоящая из большого числа взаимодействующих элементов.

Само по себе отсутствие чёткого определения ещё не большая беда, и своего рода тоска по определениям, нередко звучащая в научных исследованиях на разные темы, не более, чем дань уважения классической математике с её дедуктивным построением, где каждое понятие либо строго определяется, либо вводится аксиоматически (без определения).

Для наук гуманитарных и смежных с ними (а такой, как мы уже говорили, является прикладная математика), характерно пользование нечёткими, размытыми понятиями, каждое из которых вводится не одним-единственным чётким определением, а скорее серией разговоров по поводу, освещающих объект с разных точек зрения. Так вот, говоря о больших системах, можно предложить ещё одно (не единственное и не окончательное!) определение: большая система это такая, в которой полная информация обо всех её звеньях в управляющем центре не только не нужна, но и вредна.

Пора перестать молиться на всю и всяческую информацию. Информация бывает разная, нужная, полезная и ненужная, загромождающая, утяжеляющая процесс управления. Необходимо в этом процессе решительно отсекать ненужную, паразитную информацию и оперировать в каждом звене системы управления только той информацией, которая безусловно нужна. Этот важнейший информационный аспект проблемы управления должен быть исследован (и пока это не сделано рано говорить о создании АСУ). В таких исследованиях большую пользу могут принести опять-таки математические модели, позволяющие сравнить качество и оперативность управления в более громоздкой системе, переобременённой информацией, с тем, что даёт более простая система, оперирующая только с полезной информацией.

9.

Отметим ещё одно важное обстоятельство. Имея дело с большой системой, нельзя забывать, что в её состав обычно входят люди и их коллективы. При исследовании таких систем нужно учитывать специфику эксперимента с людьми. Здесь наблюдается нечто вроде принципа неопределённости Гейзенберга, когда само по себе наличие эксперимента неизбежно влияет на ход явления. Такого же рода особенности сопровождают и всевозможные эксперименты с людьми и людскими коллективами. Здесь в принципе нельзя поставить чистый эксперимент, ибо сам по себе факт постановки опыта уже влияет на изучаемый процесс, а отсюда возможность необъективных выводов.

Примерами могут служить хотя бы опыты с новыми методами обучения (программированное обучение, применение технических средств и т. п.). Покуда это всё является забавным новшеством, привлекающим любопытство учащихся, эффект налицо, но как только это становится рутиной, эффект пропадает. Другой пример: социологическое тестирование, где редко удаётся правильно выбрать типичную группу и провести опрос так, чтобы не повлиять на состояние объекта.

Люди, привыкшие к методологии точных наук, зачастую некритически переносят выработанные там приёмы постановки и обработки эксперимента на опыты с людьми, уделяя, в частности, большое внимание корректному применению аппарата математической статистики. На самом же деле здесь важен не аппарат (он может быть элементарно простым), а важны здравое и трезвое обсуждение (на хорошем гуманитарном уровне) самой методики эксперимента, а также беспристрастное и осторожное осмысление результатов. В стороне от этих проблем тоже не должен оставаться математик — участник исследования.

10.

Современная прикладная математика — наука особого рода, стоящая на грани между точными, гуманитарными и опытными науками, смело применяющая методы и приёмы, выработанные в каждой из этих групп наук, если они оказываются эффективными. Только такой она и может быть, если её задача не созерцание отвлечённостей, а активное вмешательство в жизнь.

Библиография

Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. (1976), Прикладная математика. Предмет, логика, особенности подходов. М.

Динер И.Я. (1972), Районирование множества векторов состояния природы и задача выбора решения. В сборнике Исследование операций. Методологические аспекты. М.

Новиков С.П. (2002), Вторая половина ХХ века и её итог и т.д. Историко-математические исследования, т. 7 (42), с. 326–356.

Понтрягин Л. С. (1980), О математике и качестве её преподавания. Коммунист, № 14, с. 99–112.

Сойер У. (1972), Путь в современную математику. М.

Тутубалин В.Н. (1972), Теория вероятностей в естествознании. М.

Шейнин О.Б. (2013), Теория вероятностей. Исторический очерк. Берлин. Также на моём сайте www.sheynin.de

скачиваемый документ 11.

В своё время было известно, что за псевдонимом И. Грекова скрывалась профессор Елена Сергеевна Вентцель, специалист в области теории вероятностей и математической статистики.

Примечания

[1] Вопросы философии, № 6, 1976, с. 104–114.

[2] В §§ 4 и 10 сказано противоположное.

[3] И всё-таки Колмогоров ввёл в школьные программы совершенно неподходящие абстрактные понятия (Понтрягин 1980). См. также Новиков (2002, с. 326, 334–335, 347).

[4] Экспертные оценки ввёл Лаплас (Шейнин 2019, § 8.1–2 с). Они начали применяться по крайней мере с середины ХХ в., и их проведение и обработка неразрывно связаны с теоретической статистикой. (В дополнение к математической статистике теоретическая исследует сбор и предварительную оценку данных.).

[5] Труднее назвать науку, которая до сих пор ещё не пользовалась математикой. Если такая и есть, то в ближайшем будущем её, вероятно, постигнет общая участь. — И.Г.

[6] Опытные науки названы впервые. Они являются весьма существенной ветвью точных (в обобщённом смысле) наук.

[7] Термин математизирование сформирован здесь по образцу когда-то употребительного термина музицирование. Это занятие в семейных кругах было очень распространено до эпохи радио и телевидения. — И.Г.

[8] Здесь можно вспомнить старинную ирландскую поговорку: «Если у тебя череп как яичная скорлупа, то не езди на ярмарку в Дублин». — И.Г.

[9] Человек сразу же, не обращая никакого внимания на подробности, отличает кошку от собаки.

[10] В прикладной математике, а именно в геодезии и практической астрономии, издавна стремились достигнуть равнопрочности, в частности равного влияния погрешностей наведения на цель и отсчёта по лимбу. Того же требовало одно из условий центральной предельной теоремы.

[11] Пример применения необычной стратегии виден в задаче о волке, козе и капусте.

[12] Вот пример неоправданного вывода при отсутствии информации. В 1817 г. У. Гершель решил, что размер наудачу выбранной звезды не будет намного отличаться от их среднего размера. На самом деле размеры звёзд чудовищно различны, они принадлежат к различным спектральным типам и никак не образуют единой статистической совокупности, а их средний размер не имеет смысла (Шейнин 2019, § 11.8.4).

[13] Вредная публикация громадного числа данных отмечалась уже в начале XIX века (Шейнин 2010, § 11.7), а позднее в общенаучных журналах начали публиковаться подробные метеорологические данные. Но самый характерный пример произошёл в 1886 – 1887 гг.: был опубликован громадный свод данных о холерных эпидемиях, в котором никто, разумеется, не смог разобраться (там же, § 11.8.).

Print Friendly, PDF & Email
Share

И.Грекова: Методологические особенности прикладной математики на современном этапе её развития. Публикация и примечания Оскара Шейнина: 10 комментариев

  1. Simon Starobin

    М. Носоновский
    — 2022-06-27 11:05:03(396)
    Многие современные понятия заменили классику и заточены под вычислительные алгоритмы.
    ———————————————————————————————————
    В вычислительной математике должна произойти революция. Почти вся вычислительная математика построена на последовательных алгоритмах (известно предыдущее состояние и двигаемся к следующему), а необходимы параллельные.
    К сожалению пока очень мало чего сделано в этой области а жизнь подпирает , вот и приходится придумывать какие-то алгоритмы зачастую эврестические.
    Математики занимаются aбстрактными вещами , это им нравится. Два раза брал на работу профессоров, докторов, и оба раза слышал утверждение что в их области 10-20 человек в мире понимают друг друга. Когда прикладники нащупают что-нибуть, тогда выскочат математики.

  2. М. Носоновский

    Добавлю (в связи с рассуждениями Грековой про АСУ), что есть понятие «зимы искусственного интеллекта», которая является частным проявлением более общего понятия «Гартнеровских циклов хайпа». В истории исследований ИИ было несколько «зим», когда направление казалось бесперспективным. А цикл Гартнера — это понятие из экономики инновационных инвестиций (по-русски, наверно, НИОКР). Новая идея или направление сначала вызывает энтузиазм и переоценивается. В нее вкладывают деньги и ресурсы. Это может быть что угодно: кибернетика, АСУ, САПР, нанотехнология, искусственный интеллект, большей данные, биомиметика и т.п. Через какое-то время наступает разочарование. И даже в потенциально стоящую идею больше не хотят вкладывать деньги, она недооценивается. Потом выходит на какой-то уровень адекватной оценки и уровень внедрения. У нас в Висконсине специалисты по инновациям и стартаперы называют это (фазу недооценки) the valley of death, долиной смерти (между двумя пиками), видимо, по аналогии с известным выражением из Псалтыря, Ге-Цалмавет (גַּ֚ם כִּֽי־אֵלֵ֨ךְ בְּגֵ֪יא צַלְמָ֡וֶת לֹא־אִ֘ירָ֚א רָ֗ע ).

    В более фундаментальном плане, как мне кажется, последние 20 лет идет отказ от классических понятий механики (например, как они сформулированы в книгах В. И. Арнольда) в пользу понятий, удобный для компьютерных вычислений. Это не говоря о наступлении больших данный и ИИ, которые грозятся подмять под себя вообще всю науку. Но в 1976 об этом знать не было возможно.

    А И. И. Блехман, вижу, умер в прошлом году, увы (я с ним встречался один раз, но не в Питере, а на конференции в Чикаго).

  3. М. Носоновский

    Грекова (Вентцель) — интересный писатель и математик, ее текст 1976 года. думаю, представляет прежде всего исторический интерес, как иллюстрация как писали и думали советские люди того поколения. Блехман, Мышкис и Пановко — лениградские механики. Блехман (кажется, он еще жив) действительно автор оригинальных идей вибрационной механики. А проблематика прикладной математики с тех пор ушла очень далеко. (Мне кажется, что и механика с начала 2000х сильно переформатирована из-за новых компьютерных методов; ну кто в ХХ веке например рассуждал в терминах лагранжевых когерентных структур? Многие современные понятия заменили классику и заточены под вычислительные алгоритмы).

      1. М. Носоновский

        «Илья Блехман ушел 3 февраля прошлого года.»

        Да, я уже прочитал. Я отчасти, стараюсь развивать его идеи вибрационной механики, но применительно к проблемам физической химии (уравнения часто похожи).

  4. Бормашенко

    Мне очень трудно понять, чем вызвана публикация этого философски беспомощного текста.
    В тексте : «Тем не менее, психология извлекателей корня ещё не отмерла окончательно. Например, французский математик Ж. Дьедонне (Сойер 1972, с. 18), один из руководителей известной группы Бурбаки, пишет: «В принципе современная математика в основе своей не имеет какой-либо утилитарной цели, а представляет собой интеллектуальную дисциплину, практическая польза которой сводится к нулю … Математика — не более, чем роскошь, которую может позволить себе цивилизация». К счастью, такая позиция в наши дни встречается нечасто, по крайней мере в столь откровенной форме [3]». Это именно так. Математика не имеет никакой предустановленной утилитарной цели. Математику вовсе нет необходимости думать о пользе. Эти именно роскошь, которую может позволить себе цивилизация, вроде классической музыки. Понятно, что в славное советское время философ вовсе не мог писать, о чем он думает без оглядки на цензуру. Но зачем перепечатывать такие тексты?

    1. Борис Ковалерчук

      >Это именно так. Математика не имеет никакой предустановленной утилитарной цели.
      Не приходится сомневаться, что математика не имеет никакой приустановленной утилитарной цели. Интересный вопрос, на самом деле в другой плоскости. Давайте рассмотрим истоки наиболее фундаментальных математических результатов от великих Евклида, Декарта, Ньютона и Колмогорова. Что все они делали? Они создавали новую математику под проблемы, которые надо было решать. Подчёркиваю, создавали новую математику, а не приспосабливали существующие математические методы под новые проблемы. Совсем не всегда эти проблемы имели утилитарные цели. Например, Декарт, изобретя то, что мы сегодня называем Декартовы координаты, рассматривал их как куда менее важный свой результат, чем его философские течение, которое мы сегодня называем картезианство. Великое достижение Декартовых координат было в том, что это позволило перевести евклидову геометрию в алгебру и решать геометрические задачи алгебраическими методами куда более эффективно, что мы все и делаем последние 400 лет после него. Совсем другой пример Ньютон. Он изобрел производные и то, что сегодня называется мат. анализом имея конкретные физические проблемы, которые ему нужно было решать, чтобы сформулировать законы механики, как я понимаю. Колмогоров превратил эвристическую теорию вероятности в строгую математическую дисциплину теории меры, имея математическую проблему, которую надо было решить, когда мера одного элемента равна нулю а мера их совокупности не равна нулю.
      У Венцель (Грековой) в одной из нее художественных книг есть замечательные фраза что часто инженерные диссертации включают математику как боевой наряд дикаря. Это как раз тот самый случай, когда делается попытка не изобрести новую математику, которая нужна для этой инженерной задачи, а приспособить известную математику, которая не имеет никакого обоснованного смысла для этой задачи и не выдерживает никакой серьёзной критики. Понятно, что большинство людей, к сожалению, не находится на уровне Евклида, Декарта, Ньютона и Колмогорова. Большинство может только пытаться приспосабливать известную математику к своим задачам и часто это тот самый боевой наряд, о котором пишет Грекова.
      Борис Ковалерчук

  5. Олександр Денисенко

    Совершенно нельзя понять какого года статья.
    Похоже на 80е годы прошлого века — не позднее.
    Хотя это не умаляет её значения.
    И у Блехмана есть более поздние работы с широкой тематикой — вибрационная механика и смежные темы.

    1. Марк Зайцев

      Олександр Денисенко
      25.06.2022 в 17:34
      Совершенно нельзя понять какого года статья.

      Неужели нельзя? Да еще «совершенно»? А если посмотреть на сноску [1] и прочитать: Вопросы философии, № 6, 1976, с. 104–114? Всё еще непонятно, какого года статья?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

Арифметическая Капча - решите задачу *