© "Семь искусств"
  август 2021 года

728 просмотров всего, 3 просмотров сегодня

Уникальность русского мироощущения не только и не столько в этом навязчивом различении тутошней Правды и тамошней Истины — а еще и в том, что русская Правда имеет тенденцию сползать к Истине и поглощать ее. Мол, Боженька «все видит» (то есть, на чьей стороне правда), и он-то уж не даст ее подмять истиной, пусть даже математически доказанной.

Илья Липкович

ПРАЗДНЫЕ МЫСЛИ О ПОЛЬЗЕ НАУК И ТЩЕТЕ УЧЕНИЯ

Что рождается в спорах

Илья ЛипковичЕще в детские годы я заметил, что иногда важно не победить соперника в споре, а просто высказать точку зрения. В разговоре с тобой он будет яростно возражать, приводя разнообразные аргументы. А после, быть может незаметно для себя самого, примет твою точку зрения и даже станет применять твои же доводы в несколько перелицованной форме в разговорах с приятелями. Так, мой брат, часто не соглашаясь с родителями, через некоторое время вдруг совершенно «самостоятельно» использовал их аргументы в споре с друзьями.

О тщете дискуссий

Казалось бы, для ведения дискуссии нужно договориться о неком минимально широком общем контексте (прийти к общему знаменателю). То, что мы этого никогда не делаем — ни в научных, ни в семейных дискуссиях, — вызывает у многих чувство досады.  Жизнь — бардак, и мы даже не хотим привести его к единообразию. Наверное, это невозможно. Как правило, определение зоны согласия/несогласия является не начальной, а в лучшем случае — конечной точкой дискуссии.

Я думаю, непонимание происходит не только оттого, что люди имеют разные точки зрения по некоторым вопросам — скажем, на то, как поступить в данном случае, — а оттого, что то, что естественным образом приходит в голову одному, вообще никогда не придет в голову другому. Рационализация разрешения разногласий предполагает погружение сторон в некое общее для них пространство. Уже чтобы добиться этого, приходится затратить нетривиальные усилия.

В основе многих дискуссий лежит процедура оценки. Группа экспертов собирается оценить нечто по критериям, которые заранее не оговорены.

Полезно разделение процедуры оценки на следующие два этапа.

  1. Наложение на некую реальность сетки, определяющей различимость объектов. Это можно формализовать как выбор признаков (критериев) для описания объекта. Понятно, что если эксперт А оценивает нечто в пространстве признаков, не содержащих критерия Х, включенного экспертом Б, то А не будет способен различать объекты, имеющие различия по Х. Можно представить себе двух экспертов, как бы говорящих на разных языках, в том смысле, что ни один критерий эксперта А не встречается в системе эксперта Б, и наоборот.
  2. Оценка объекта (или сравнение с другим или идеальным объектом) в данной системе координат (или критериев) с учетом их важности, отражаемой весами, присваиваемыми каждому критерию, и знака критерия (положительный или отрицательный).

Понятно, что на втором этапе критическим фактором, объясняющим различие в оценках, является то обстоятельство, что разные эксперты (сознательно или бессознательно) присваивают признакам разные веса либо могут учитывать один и тот же критерий с разными знаками (скажем, для одного эксперта использование автором нецензурной брани идет со знаком «плюс», а для второго — «минус»). Этот факт известен и подлежит формализации (например, в процедурах многомерного шкалирования).

Куда менее тривиален выбор признаков (критериев) на первом этапе. Может показаться, что как раз первый этап является тривиальным, в том смысле, что он, очевидно, содержится во втором. В самом деле, отсутствие признака/критерия Х в системе эксперта Б попросту означает, что он (сознательно или бессознательно) присваивает ему нулевой вес. Но ключевым здесь является это (убранное в скобки) разделение на сознательное и бессознательное. Присвоение нулевого веса, как правило, происходит бессознательно не потому, что эксперт не считает данный признак важным, а потому, что он его вообще не видит (подобно тому, как некто не обоняет, не осязает, не слышит или не различает вкуса).

В этом и заключается основная тщета «споров о вкусах». Для рационализации спора экспертам необходимо договориться об общей системе признаков и каждому явным образом определить их относительные веса. Но если половина экспертов глуха к тому, что вопиет для другой половины, то это подрывает саму основу рациональной дискуссии. Дело тут не в том, что участники не могут прийти к согласию о сравнительной важности (весах) критериев или о том, учитывать ли данный критерий со знаком плюс или минус, а, как было сказано, в неспособности одного эксперта видеть то, что доступно (и кажется очевидным) другому.

Скажем, Борхес не обладал способностью видеть предметы так, как их видел Набоков, но, вероятно, мог различить что-то, недоступное последнему.

Могут сказать, что эта область недоступного или невидимого чрезвычайно ограничена и представляет собой скорее исключение из правил. В самом деле, если речь идет о панели оценщиков вина, то у них должны быть примерно одинаково развиты органы обоняния и вкуса.

Однако подумаем о произвольной группе интеллигентных людей с высшим образованием, в свободном режиме обсуждающих вопросы литературы, искусства, политики, юмора или секса. У каждого человека есть огромная зона нечувствительности или безразличия, заданная как его индивидуальными способностями, так и общим контекстом существования. В силу многообразия мира обычный человек не способен различать подавляющее большинство нюансов и оттенков, позиционируя себя в некой нише, границы которой он не всегда осознает. Естественный отбор и обучение индивида науке выживания приводят к тому, что человек различает только сигналы, содержащие полезную для него информацию (о доступности источников пищи, секса и профессионального знания). Чем более произвольна тема разговора, тем более вероятно, что участники его будут говорить на разных языках, и скорее всего, даже не поймут этого, в силу приобретаемой с возрастом привычки поддакивать партнёру и уходить из зоны конфронтации. Таким образом, говоря более техническим языком, признаковое пространство экспертов является крайне разряженным, с подавляющим количеством нулевых весов.

Многое споры начинаются с наивной веры спорщиков в том, что им удастся ухватить за хвост истину. А в лучшем случае спор оканчивается некоторым пониманием того, как размещены спорщики в признаковом пространстве. В частности, какие оси безразличны для того или иного спорщика.

Чтобы оказаться в разных мирах, людям вовсе незачем жить порознь. Это могут быть и супруги, прожившие вместе 30 и более лет. Лев Толстой был большой мастер изображать подобные беседы людей из разных миров. Я не Лев и не Толстой, но тоже могу привести примеры из семейной жизни. Недавно мы с женой сидели в ресторане и заказали по «Короне». Официант принес уже открытые бутылки, вставив кусочек лайма в горлышко каждой. Жена спрашивает меня, что делать с лаймом. Ясное дело, говорю, протолкни его внутрь бутылки. Та недоумевает: как потом эту бутылку с лаймом внутри можно будет подвергнуть вторичной переработке (recycling). Мне бы это затруднение и в голову не пришло. Не то чтобы я был незнаком с данной концепцией. Дома у нас разные мусорные ящики: один для обычного мусора, другой для recycling, и я чисто механически складываю в конце недели скопившиеся бутылки в recycling. Но думать об этом, поднося бутылку пива ко рту и проталкивая лайм внутрь!?

Жажда истины

Многие люди признавались мне в любви к истине. Мне всегда было непонятно, как можно любить то, чего никогда в жизни не видел и даже понятия не имеешь, как это выглядит. Мне понятно стремление человека или другого животного к сексу. Он уже изведал это и желает воспроизвести приятные ощущения. Понятна мне и перманентная жажда апгрейда: у меня уже есть айфон-7, а я мечтаю о десятом. Все же в стремлении к истине есть нечто патологическое. Вероятно, у человека (в отличие от животного) заложена врожденная тяга к поиску истины, воспоминание о которой всплывает, как увиденное во сне или в прошлой жизни.

На самом деле истина не едина, и существуют по крайней мере три ее вида: истина факта (до нее докапываются в ходе расследования, например судебного), истина научная (её открывают) и истина божественная (её получают в откровении). Если лицо, жаждущее истины, не может объяснить, какой ее вид ему требуется, то начинаешь сомневаться в искренности его намерений.

Истины

«В силу чего наши действия становятся нравственными? Не делает ли их таковыми то повелительное чувство, которое заставляет нас покоряться закону, уважать истину? Но ведь закон только потому и закон, что он не от нас исходит; истина потому и истина, что она не выдумана нами. Мы иногда устанавливаем правило поведения, отступающее от должного, но это лишь потому, что мы не в силах устранить влияние наших наклонностей на наше суждение; в этих случаях нам предписывают закон наши наклонности, а мы ему следуем, принимая его за общий мировой закон.» (П.Я. Чаадаев «Философические письма»)

Скажем, мы не знаем, убил ли Иван Карамазов папашу, и решили довериться бросанию честной монеты. Предположим, наш Верховный Судья или иной Всеведущий бросил монету и накрыл ладонью. Суд присяжных удалился на вынесение приговора. Тут помимо судебной истины (кто на самом деле убил Федора Павловича) есть несколько других Истин.

  • Истина бытия, истинное положение дел, коренящееся в онтологии (скажем, на самом деле монета легла «орлом»).
  • Истина познания истины, или эпистемологическая истина (так, «вероятность того, что монета легла орлом, равна 1/2», будет истинным высказыванием, а утверждение «вероятность того, что монета легла орлом, равна 1», — ложным).
  • Истина акта веры (я истинно верю, что монета легла орлом, и готов пойти за это на костер).
  • Истина поступка (что бы там ни было «на самом деле», суд присяжных, на основании всей совокупности известных им фактов и показаний, поступил правильно, вынеся Ивану обвинительный приговор — «мужички за себя постояли»).

Истина поступка — это и есть моральная истина. Этика, вроде не имеющая отношения к истине на уровне онтологии, вдруг как волчьи уши выходит из шапки в момент приближения к истине и взрывает мозг нравственным законом. Откуда он берется? Чаадаев считал, что он как бы предначертан в Мировом разуме. Человек следует правилам. Правила — это попытка «искусственного» (то есть человеческого) разума приблизиться к Мировой истине.

Могут сказать, что вот это и есть пресловутая разница между русской Правдой и западной Истиной. Но, разумеется, указанные градации существуют в любой культуре: правила на то и правила, чтобы быть (или не быть) правильными (correct), в то время как истинное положение дел — это идеал (часто недостижимый). Уникальность русского мироощущения не только и не столько в этом навязчивом различении тутошней Правды и тамошней Истины — а еще и в том, что русская Правда имеет тенденцию сползать к Истине и поглощать ее. Мол, Боженька «все видит» (то есть, на чьей стороне правда), и он-то уж не даст ее подмять истиной, пусть даже математически доказанной. Русская Правда — это не рабочее приближение к истине; наоборот, истина без правды — ничто. Не зря в «Бесах» Шатов напоминает Ставрогину: «Не вы ли говорили мне, что если бы математически доказали вам, что истина вне Христа, то вы бы согласились лучше остаться со Христом, нежели с истиной?» (то есть, с правдой поступка — искупительной жертвой Христовой). Это почти дословно повторяет слова самого Достоевского из письма Н.Д. Фонвизиной: «Мало того, если б кто мне доказал, что Христос вне истины, и действительно было бы, что истина вне Христа, то мне лучше хотелось бы оставаться со Христом, нежели с истиной».

О недоверии к аргументам заинтересованного лица

У меня с детства недоверие к аргументам в пользу (или против) чего-то, исходящим от заинтересованного лица. Я понимаю, что в этом нет ничего оригинального, в суде тоже показания заинтересованного лица подвергаются сомнению. Но я и не пытаюсь быть оригинальным. Хотя аналогия с судом тут не совсем полная. Речь ведь идёт не об изложении проверяемых фактов, а о некоторой общей концепции. Скажем, я за то, чтобы евреев принимали без ограничений на службу (или учебу) на основании общих идей равенства и справедливости. Прекрасно! Но если я еще при этом и сам еврей, рвение мое немного подозрительно. Я сразу начинаю думать — а стал бы я столь же рьяно защищать права, например, цыган? Или женщин? Тоже ведь люди.

Кстати, о женщинах. В Америке я как-то смотрел теледебаты с одной отчаянной феминисткой. Спорящий укорял её в том, что она поддержала высказывания некого сомнительного политикана (не помню уже о чем). Он (спорящий) спросил её — неужели она «в душе» согласна с этим кандидатом по такому-то вопросу? Она отвечала — разумеется нет, но то, что тот говорит по другому вопросу, выгодно моей партии, поэтому я его поддерживаю. Дескать, было бы глупо с моей стороны отталкивать то, что само плывет в руки. Я подумал — это так откровенно и цинично. Но разве не в этом и заключается демократия? Люди голосуют за свои осознанные кровные интересы. Верно, но ведь люди не просто голосуют за кандидата, они еще и прочтут тебе часовую лекцию о том, что, дескать, происходит глобальное потепление (или, наоборот, глобальное похолодание). И все потому, что так говорит кандидат, обещающий им защиту кровного интереса. Или говорят — мы голосуем, потому что верим в такие-то принципы, а в действительности дело в рублях. Тут сплелись три базовых аргумента:

  • шкурный интерес;
  • вера;
  • убеждение, основанное на Беспартийном Разуме.

Я признаю право на существование всех трех аргументов, но давайте хотя бы их различать, что ли.

Впрочем, для некоторых особо умных избирателей в силу вступает еще четвертый аргумент — прогноз будущего. Избиратель пытается предсказать, что будет со страной в долгосрочной перспективе, если гипотетически предположить победу каждого из кандидатов, и голосует за кандидата, в случае победы которого прогноз кажется наиболее благоприятным (с учетом его интересов, верований или убеждений). При такой стратегии иной избиратель может, в принципе, проголосовать и за кандидата, который выражает чуждые ему идеи, если, по его расчетам, долгосрочные последствия будут более благоприятны, чем при прочих кандидатах. Скажем, кандидат Х реакционен. Его избрание в ближайшей перспективе вызовет небольшой экономический спад, что, в свою очередь, пробудит к жизни здоровые силы, в результате чего произойдет (по мнению умного избирателя) мощный подъем.

Должен также отметить, что хотя я уважаю людей, которые лезут «не в свое дело» и защищают интересы не своего класса (типа сумасшедшего Хомского), я также поддерживаю право человека на равнодушие к чужой беде.

О двойном ослеплении экспертов

Сотрудничество людей разных профессий предполагает в качестве результата некий синергетический (добавочный) эффект. Скажем, экономист и математик, работая вдвоём, могут наворотить больше, чем составит суммарный итог их работы поодиночке. Бывает, однако, что совместная деятельность приводит к взаимному ослеплению: например, математик думает, что нечто справедливо, поскольку представляет собой экономическую истину, а экономист считает, что это доказано математиком.

Часто это «двойное ослепление» спровоцировано недобросовестными исследователями-фокусниками, которые незаметным перекладыванием шаров из одного кармана в другой дурят конечного потребителя. Такие мысли посещали меня, когда я был еще студентом экономического ВУЗа г. Алма-Аты, но я отгонял их как проявление присущего мне с детства цинизма.

В дальнейшем, работая статистиком в фармацевтической промышленности США, я наблюдал подобные явления: когда статистики считают, что нечто постулировано врачами, а врачи — что это придумали и обосновали статистики.

Типы мышления

Мышление людей можно классифицировать по тому, как они понимают, что такое проблема. В самом общем виде проблема — это некий разрыв между желаемым и действительным. Итак, встречаются разные типы мышления. Приведу несколько типов, известных мне из литературы или из личного опыта.

Мышление инженера направлено на поиск ошибки (поломки) в детерминистской системе. Система может быть либо в исправном состоянии (работает как положено), либо в неисправном (не работает). Идеал есть норма. Любое отклонение от нормы (схемы) — ошибка. Представителей этого типа отличает неверие в случайность как часть нормального положения дел (элемент системы). Как человека, у которого руки растут из задницы, меня с детства завораживала способность людей с инженерным мышлением в точности претворить некий задуманный ими идеальный план. Слегка сутулая фигура старшего брата с паяльником, создающего из проводков и транзисторов чудо радиотехники или цветомузыки, внушала мне благоговейный ужас, особенно когда я своей нерасторопностью нарушал гармонию, случайно задев провод и повалив конструкцию на пол. Инженерный ум устанавливает   особое отношение к предметам вещного мира, находя в них гармонию и цель, скрытую от глаз заурядного потребителя. Однажды знакомый попросил моего брата починить какой-то прибор в его кабинете. Тот, включив паяльник, ткнул его в одному ему понятную точку среди тысячи подобных ей на схеме. Затем на минуту отвлекся от своего объекта — вероятно, чтобы дать схеме остыть, — и не глядя положил паяльник автоматическим (как мне сначала показалось) движением руки прямо на стол. Подойдя ближе, я увидел, что паяльник лежал, не касаясь поверхности. Дымящееся жало его было продето сквозь ухо эмалированной кружки. Меня умилило двойное назначение кружки: профанное — гробница для пепла от сигарет хозяина кабинета и его бизнес-партнеров — и умное — опора для паяльника моего брата.  Инженер — это человек, любящий вещи не мещанской любовью и умеющий находить им остроумные применения.

Мышление эксперта-следователя. Здесь проблема тоже — отклонение от нормы. Произошло некое событие, например гибель «Титаника» или директора овощной базы. Ищем конкретные причины конкретного события. Поиск информативных фактов по методу Шерлока Холмса. Нужно искать факты, в случае наступления или не наступления которых резко ограничивается неопределенность произошедшего. Этот принцип поиска сита, позволяющего избежать погружения в дурную бесконечность (как заметил один из авторов сборника по теории экспертных систем, вышедшего в конце прошлого века), придумал сэр Конан Дойл. На первый взгляд может показаться, что все искусство Ш.Х. в том и состоит, что он хранит в памяти огромную базу данных (например, о разновидностях отравляющих веществ) и при случае извлекает оттуда нужное ему сведение. Но помимо этого, он умеет выдвигать гипотезы, объясняющие произошедшее наиболее естественным образом. Так, узнав о существовании двух пятен крови в комнате, где был найден труп — на ковре и на полу, он немедленно заключает, что ковер в момент убийства находился в положении, при котором оба пятна совпадали. В этом нет ничего сверхъестественного, такое же предположение делает и инспектор Лестрейд. Но Холмсу становится ясно и другое, под ковром должен быть тайник, в котором может оказаться пропавшее письмо. Хороший эксперт может разделить факты и явления на информативные, малоинформативные (в свете имеющихся) и нерелевантные (таких — подавляющая часть). Для этого типа мышления важен анализ причинного механизма на самом элементарном уровне. Тут речь идет о гвозде в моем сапоге, способствовавшем обморожению пальца, что, в свою очередь, вызвало восстание рабов, а не о том, что верхи не могли, а низы не хотели.

Математическое мышление. Часто из двух изоморфных (формально эквивалентных) систем одна существенно проще другой. Нетривиальная проблема в первой системе оказывается тривиальной во второй. Бывает, что частный случай более общей проблемы, в котором решение почти очевидно, в некотором смысле эквивалентен общему случаю.  В способности увидеть решение проблемы, переписав ее несколько иначе и отбросив мнимо важные, а на самом деле несущественные детали, заключается волшебство математического формализма. В качестве примера приведем нехитрую задачку из книги выдающегося педагога и математика Д. Пойа. Условие такое: двое играют в игру, поочередно выкладывая на прямоугольный стол монеты одинакового достоинства. Выигрывает тот, кому удается положить последнюю монету (понятно, что стол конечных размеров и игра не может продолжаться вечно). Вопрос: существует ли тут выигрышная стратегия —для начинающего игру либо для его партнера? Первое впечатление, что в задаче не хватает условий — ведь при произвольных размерах стола и монеты столько возможностей разложить монеты по столу. Есть ли тут вообще стратегия? Математический ум рассуждает так: предположим, что стол размером с монету. Для этого предельного частного случая ясно, что первый игрок (Игрок 1) немедленно выигрывает, закрывая стол монетой. На самом же деле размер стола, разумеется, больше размера одной монеты, что дает возможность партнеру (Игроку 2) положить куда-нибудь свою монетку после первого хода Игрока 1. Но это не меняет дела, ведь за исключением центральной точки, все остальные имеют симметричные относительно незримых осей симметрии.  Таким образом, Игрок 1 всегда может ответить, положив монетку в место, симметричное тому, куда поставил монету его партнер.

Гуманитарно-общественное мышление.  Описывает систему, цель которой исследователю не вполне ясна (в отличие от инженера, изучающего ясно определенную систему с заданной целью). Это может быть какая-нибудь геополитическая хрень с участием семи стран или система здравоохранения в данной стране. Задача состоит в том, чтобы построить приблизительную, скажем так, «псевдоинженерную», модель системы — например, для выработки политики. Можно выделить четыре этапа моделирования — по степени глубины познания системы:

  • описание общественного организма;
  • предсказание-прогноз (не обязательно причинное) о том, что будет, если все пустить на самотек;
  • причинное объяснение, предполагающее предсказание того, что будет, если нарушить естественный ход вещей и произвести, так сказать, хирургическое вмешательство (интервенцию) в общественный организм;
  • лечение/предписание (выправление дефекта), требующее понимания причин для предсказания гипотетических результатов, по принципу «что, если» (см. 3).

Нередко переход от дескриптивного к прескриптивному (то есть к рекомендациям в 4) осуществляется, минуя промежуточные этапы, на основании экспертного озарения.

Гуманитарно-искусствоведческое мышление. Проблема состоит в том, чтобы найти связь между, казалось бы, разными объектами (культурными системами). Тут доминирует наивная вера, что соответствия (отображения одного на другое) решают некую проблему, а не просто переливают из пустого в порожнее. Традиция символистского мышления с его навязчивым поиском скрытых параллелизмов в гуманитарных науках, подкрепленная традициями средневекового мышления, имеет поистине планетарные масштабы. Гнетущее чувство вызывают бесчисленные сравнительные работы литературоведов, сопоставляющих и устанавливающих родство, например, между Александром Блоком и Булатом Окуджавой (кажется, разработке этой темы посвящена большая часть толстенной книги Д. Быкова об Окуджаве в серии ЖЗЛ). Заметим, что в отличие от гуманитария, математик устанавливает не просто соответствия, а изоморфизмы, что позволяет «переносить» с прототипа А.Б. на объект Б.О. не только похожие элементы-свойства, но и отношения между ними!

Естественнонаучное мышление. Вера в Аристотелевские (предикативные) классификации: причина, все объясняющая, есть нечто общее — родовое или видовое). В романе «Идиот» генерал Епанчин говорит князю Мышкину, намекающему на некое родство между ними, что он «не может разглядеть между нами общего… так сказать, причины…». Тот отвечает (пародируя отсылку на общеродовое): «Причины нет, бесспорно, и общего, конечно, мало. Потому что, если я князь Мышкин и ваша супруга из нашего рода, то это, разумеется, не причина. Я это очень понимаю. Но, однако ж весь-то мой повод в этом только и заключается». Тут и обыгрывание различия между поводом и причиной.

Философское мышление. Проблема заключается в том, чтобы найти проблему там, где ее никто не видит и проходит мимо, даже не споткнувшись. Проблему нужно придумать, а не решить. Обаяние философски мыслящего человека в том, что он, как идиот одноименного романа Достоевского, видит то, чего не видят стоящие и проходящие рядом, а объекты, которые видят другие, предстают перед ним в несколько иной, смещенной перспективе. Так, Хайдеггеру удалось свести основные вопросы метафизики к изучению феномена «тягостной скуки». Вначале он распознает лишь две ее формы. Первая — это «поскучнение-от» — например, когда скучаешь в ожидании поезда. Вторая — «самоскучание-при» — когда, например, скучаешь на званом ужине. При обеих формах скуки имеет место коротание времени, но если в первом случае оно проявляет себя в том, что то и дело смотришь на часы (а то, что для обычного человека есть простое смотрение на часы, для философа превращается в «смотрение-на-часы»), то во втором предпринимаешь попытки занять себя — то барабаня по столу, то играя цепочкой часов, то покручивая пуговицу, а то покуривая сигару, глядя на кольца дыма и следя, как долго не осыпается пепел. Обе формы скуки по-разному разворачиваются во Времени и в его отношении к Бытию. При скучании второго вида важна не длительность ожидания (пять минут или час), а глубина скуки, «указывающая в направлении нашей скучающей самости». Скука все больше сосредотачивается на нас, на нашей ситуации как таковой. Но есть еще и третья форма скуки, глубокая скука как безличное «скучно», в которой нет коротания времени, и наше «я» как будто полностью растворяется в скуке. Наше имя, положение, профессия, судьба отпадают от нас. А что остается? Теперь решающим оказывается то, что мы превращаемся в неопределённого «никто», объясняет Хайдеггер. Вот такие, брат, дела.

Программистское мышление. Для программиста ошибка не чужеродное явление, а скорее норма. На поиск ошибок и отлаживание кода уходит большая часть жизни. Отсюда — фокусирование на предельных случаях (значениях параметров) при отладке. Stress-testing (испытание под нагрузкой). То, что программа работает при подавляющем числе сценариев, не греет программистскую душу. При поиске ошибки необходимо сведение к предельному случаю, когда проблема (ошибка) все еще имеет место. Это полезно и при критике аргументов противника — сведение к простейшему случаю (когда абсурдность становится очевидной).

Юридическое мышление. Решение проблемы в том, чтобы найти прецедент. Все уже когда-то было. В одну и ту же реку просто необходимо вступить дважды. Данная Достоевским характеристика адвоката — прелюбодей мысли: подсудимый не совершал преступления, а если и совершал, то менее тяжкое (чем в действительности), а если даже и тяжкое, то аналогичный случай имел место в таком-то году, в таком-то царстве-государстве и … закончился оправдательным приговором. Как-то мне посчастливилось в течение трех дней быть дважды остановленным полицией штата Индиана за превышение скорости. В одном случае превышение было более 20 миль/час, что относится к категории безрассудного (reckless) вождения, чреватого серьезными наказаниями. Знакомые посоветовали обратиться за помощью в одну адвокатскую контору, специализирующуюся на подобных случаях. Те попросили 500 долларов. Я спросил, можно ли за эти деньги убрать одно из моих нарушений — тот самый случай безрассудного вождения. Нет, говорят, свидетельствовать, будто в тот вечер ты не был остановлен полицией, никак нельзя, — дескать, подобная наглая ложь не согласуется с нашей буржуазной моралью. А что же можно? Можно слегка отредактировать отчет полицейского, написав, что превышение было не на 20 миль в час, а всего на 10. Для этого требуется, чтобы полицейский, судья графства и ты расписались там–то и там-то. На все это ушел примерно месяц, в течение которого я получал еженедельные детальные отчеты, на что расходуется внесенный мной залог в 500 долларов. По моим понятиям, — главным образом на составление вышеупомянутых отчетов. Слово свое адвокатское они сдержали, и я отделался сравнительно легким наказанием.

Экономическое мышление. Тут два типа мышления — микро и макро. Микроэкономист — это вечный максимизатор функции цели при заданных ограничениях на ресурсы. Для этого типа мышления характерна способность видеть в любой жизненной ситуации максимизацию некоторой функции полезности. Микроэкономисту никогда не приходит в голову простая мысль: почему бы, наоборот, не минимизировать свою выгоду? Быть может, если бы все стремились к минимализму, проблем на свете было бы меньше. Об этом он не подумал. Макроэкономист мыслит широкими мазками, это вакханалия мысленных манипуляций глобальными переменными при невозможности реального эксперимента над живыми людьми. И слава богу, что невозможно, и не надо экспериментов. У макроэкономиста в голове распускается причинная схема того, как связаны макропеременные на уровне экономики всей страны. Допустим, заработная плата — это Х, сбережения — Y, спрос — Z, валовый продукт — U, ставка процента нац. банка — T и т.д. Итак, повышаем минимальную зарплату, сбережения населения увеличиваются, спрос на товары растет и т.д.; начинается экономический бум. Ему возражает другой макроэкономист — нет, все обстоит ровно наоборот: повышаем зарплату, прибыли уменьшаются, капитальные вложения падают, безработица растет, и начинается экономический спад. В способности вести подобные разговоры до бесконечности, кажется, и состоит талант макроэкономиста. Работа причинно-следственного механизма зависит, понятно, от того, какие переменные признаны экономистом экзогенными (влияющими на систему извне), а какие — эндогенными (подверженными влиянию). Макроэкономист с детства оперирует странами как точечными объектами. Одно время я работал во Всемирном Банке (в Вашингтоне DC) и иногда слышал за обедом, как крупный макроначальник делится с соседом по столику методом решения какой-нибудь мировой проблемы: так, наносим на график валовой доход каждой страны на душу населения, проводим черту на расстоянии одного среднеквадратического отклонения. В те страны, которые оказываются ниже черты, распределяем льготные кредиты. Всё!

Медицинское мышление. Принципиальное неприятие случайности. Это все равно, как если бы кому-то пришло в голову писать диссертацию, объясняющую, почему монета упала не гербом, а решкой. Недаром бывший врач Михаил Булгаков гениально придумал, что просто так кирпич на голову никому не свалится. События детерминированы факторами риска. Важно правильно их установить, и тогда можно применять к каждому пациенту. Сказано, что это лекарство продлит тебе жизнь в среднем на неделю — значит, успеешь на свадьбу дочери. Объяснение практического эффекта таблеток для эрекции: я тебе даю пять таблеток — значит, сможешь трахнуть пять баб (вероятно, то были особые таблетки для полигамного секса). Группа больных воспринимается как коллективный пациент. Забавно смотреть, как эскулапы руководят организацией и проведением большого клинического испытания, представляя себе этого коллективного пациента. Однажды на совещании я пошутил, что врач, вечно желающий взглянуть на панель лабораторных и прочих результатов, напоминает обезьяну за рулем самолета, смотрящую на всевозможные датчики, якобы помогающие ей контролировать процесс полета. При этом важный частью процесса принятия решения является врачебная тайна, которая включает в себя и тайну принятия решения.

Почему важно учитывать тип мышления человека? Люди с разным типом мышления редко способны не то что плодотворно работать вместе, но вообще иметь осмысленный разговор друг с другом. Например, трудно представить, о чем могут говорить Милтон Фридман с Мартином Хайдеггером, повстречавшись на просёлочной дороге.

О математическом мышлении

Для успешного математического мышления необходимы три способности:

  • Способность многократно «подставлять» определения, образуя длинные цепочки подстановок (Б. Паскаль).
  • Способность к математической индукции. Утверждение A(n) истинно для любого n, если: а) оно верно для некоторого начального значения, например n=1; б) из предположения, что оно истинно для n, следует, что оно истинно для следующего значения, n+1. Это рассуждение реализует понятие потенциальной бесконечности и, как не уставал утверждать Анри Пуанкаре, недоказуемо методами логики (которые должны были бы для этого опять прибегнуть к индукции, образуя порочный круг), а дано нам в интуиции, как одно из априорных синтетических суждений.
  • Способность упрощать сложное посредством установления «изоморфизмов» — взаимно-однозначных соответствий между двумя множествами, переводящих элементы одного множества в другое с сохранением операций над ними (идея, формализованная в теории групп). Зачастую доказательство очень сложной теоремы оказывается тривиальным, если её «перевести» на другой язык, эквивалентный исходному. Например, знаменитая модель Пуанкаре, показывающая, что неевклидова геометрия (определенного типа) так же непротиворечива или противоречива, как и евклидова.

Вся штука — в чудесном источнике математического формализма: многим неясно и подозрительно, каким образом через все эти подстановки, перевод в другой язык, эквивалентный исходному, и проч., мы можем получить нечто новое, нетривиальное. Ведь разве мы не убеждаемся в конце концов всего лишь в том, что «A=…=A»? (А. Пуанкаре).

Очевидно, что все три указанных элемента отсутствуют в головах большинства людей. Например, способность работать с определениями. В математике вообще роль определений отличается от таковой в общественных и естественных науках. В них определения часто являются целью исследования, а вовсе не начальной точкой. Исследователь начинает с неясных посылок, поскольку предмет исследования еще не вполне очерчен, и под давлением собранных эмпирических данных может более точно сформулировать объект изучения. Об этом еще Плеханов писал, уже не помню в какой связи.

В математике мы манипулируем объектами, которые заранее определены, хотя споры об основаниях математики в начале ХХ века показали, что это не так; например, математики долго выясняли, что такое «функция» или «множество».

С одной стороны, если сделать определения этих понятий интуитивно ясными слепками с некой физической реальности, некоторые полезные математические объекты оказываются не охваченными. С другой, — если сделать их предельно общими, освободив от шелухи, наружу выползают монстры, как, например, впервые построенные Вейерштрассом функции, всюду непрерывные и нигде не дифференцируемые (от которых «с ужасом и омерзением отворачивался» Шарль Эрмит в письме к Стильтьесу и которые Пуанкаре назвал уродством).

Но оставим вопросы философии и истории математики, речь идет о стандартных курсах. Казалось бы, студент прочитал определения, запомнил их, и потом, встречая эти объекты в теоремах, шарахаться не будет. Но вот он читает доказательство, где используются свойства ранее определенного объекта Х, и не верит своим глазам. Ничего подобного в определении X он не узрел и сразу даже не способен понять, что речь идет именно об этом объекте. В терминах языка художественной прозы, происходит дефамилиаризация привычного. Нужно возвращаться на шаг или даже на два назад и переосмысливать определения.

Многих эта необходимость возвращения к «первым принципам» раздражает, обескураживает и даже отвращает от математики. Но в переосмыслении объектов, которые на самом деле не те, чем кажутся, — суть математического мышления и математического творчества. И, кстати, именно поэтому необходимо изучать доказательства теорем, а не только читать их формулировки (что многим представляется достаточным). В самом деле, если не понимать доказательств, то истинное лицо математических объектов не будет раскрыто.

Некоторые студенты склонны полагать, что доказательства им не даются, потому что учитель или учебник опускают какие-то важные детали. Дескать, если добавить недостающие шаги, то все прояснится. Учитель добавляет, цепочка удлиняется, и ученик еще больше запутывается.

Понятно, вся штука в том, что формат представления математических знаний в большинстве учебных пособий принципиально отличается от того, каким образом они были получены. В молодости на меня произвели огромное впечатление книги А. Пуанкаре («Наука и метод»), Д. Пойа («Математическое открытие», «Математика и правдоподобные рассуждения») и И. Лакатоса («Доказательства и опровержения»), в которых блистательные умы предостерегали от наивного отождествления реального математического мышления и его формально-логической реконструкции в привычном нам по учебникам формате: определения, аксиомы, теоремы и леммы, доказательства. В их представлении процесс развития и накопления математического знания принципиально не отличается от такового в эмпирических науках и представляет из себя последовательность формирования догадок (гипотез) на основании эмпирических наблюдений, и их доказательств или опровержений (напр., путем построения контрпримеров). К сожалению, эти тексты не оказали большого влияния на преподавание математики.

Стратегия сознательного выпадения из процесса

Полезно время от времени просто выпадать из потока времени и вовсе не читать газет и не смотреть телевизор. Это «самоустранение» есть единственный способ сохранить способность видеть изменения в среде с точки зрения фиксированного наблюдателя. Иначе наблюдение невозможно, ибо ты сам являешься частью меняющейся среды. Я этим методом пользуюсь и по сей день.

Это соображение еще служит и прекрасным обоснованием лени и бездеятельности. В самом деле, этим методом «искусственных прерываний» я стихийно пользовался и в студенческие годы благодаря врождённой лени.

Этот метод напоминает искусственное введение случайного элемента в данные в некоторых алгоритмах машинного обучения, чтобы избежать   близорукой привязки полученной модели к сложившимся данным. Введение случайного элемента смягчает эффект так называемого overfitting, чрезмерной подгонки модели под текущую ситуацию. Заточенная под сложившиеся тенденции, модель будет слишком привязана к идиосинкразии сегодняшнего дня и не сможет адаптироваться к новым ситуациям. Введение порчи разбивает порочную привязку.

Таким образом, искусственное внедрение невежества может послужить противоядием от промывания мозгов.

Трудности реконструкции прошлого (Оруэлл, Кун, Фуко)

Что общего у трех авторов, кажется, произвольно внесённых мной в заголовок?  Чтение их заставляет задуматься о сложности реконструкции прошлого. Культурный контекст меняется с течением времени, поэтому, описывая объект, существовавший в прошлом, на языке современности, мы получаем некий новый объект, который может быть вовсе не похож на объект с тем же именем на языке (и в сознании) людей прошлых поколений. Важно, что этот процесс «переписывания с внесением поправок» никем не регистрируется, и память о нем как бы изымается из истории: lost in transition как lost in translation.

Оруэлл в романе «1984» ввел в обиход слово «двоемыслие» (doublethink). Для многих двоемыслие наиболее ярко выражается в псевдодиалектическом новоязе, вроде «мир — это война». Мне кажется, что это лишь первый и наименее интересный пласт. Диалектическая демагогия, увы, не нова и является легитимной частью нормального мышления. С психологической точки зрения, говорящий, что «мир — это война», допускает такое диалектическое противоречие вполне сознательно. Более интересный пример двоемыслия захватывает бессознательное и означает способность индивида на самом деле удалять из памяти факты, противоречащие требованиям текущего контекста. В узкополитическом смысле это означает невозможность для подданных тоталитарного государства осознавать противоречия или даже просто различия «партийной линии» на разных исторических отрезках. В самом широком смысле, двоемыслие есть элемент психологической структуры, вытесняющий из сознания психически здорового человека вещи, которые не согласуются друг с другом. Человек просто отказывается признать, что вчера он верил в «А», а сегодня в «Б», и что «А» противоречит «Б». Иначе можно и свихнуться.

Томас Кун, изучая историю физики, обнаружил, что в науке не только время от времени происходят качественные скачки (революции), но после каждого скачка происходит обновление всей системы понятий, в том числе фундаментально меняется изложение и тех классических концепций, которые не подверглись отрицанию с позиций «новой науки». Например, каждому школьнику известно, что постулаты классической Ньютоновской физики вошли в современную физику как частный случай. Кун показал, что, войдя в новые учебники, они претерпели столь радикальное изменение, что сам Ньютон никогда бы их не признал. Происходит не просто накопление знаний и даже не скачкообразный рост, а переплавка базовых понятий, смена гештальт-образа. Кун назвал это «сменой парадигмы». Он утверждал, что смены парадигм неадекватно описаны в книгах по истории науки, поскольку они, понятно, написаны на языке настоящего, как бы сглаживающем и тривиализующем драму «скачка» из прошлого в настоящее.

Мишель Фуко, кажется, не ввел в обиход нового слова. Его подход к истории социальных институтов можно назвать «археологическим». По сути, он пытается восстановить слой за слоем социальные институты, показывая, как происходили чудесные подмены привычных научных объектов и институтов (больницы, школы, тюрьмы), оставшиеся незамеченными не только участниками процесса, но и историками науки. Для него важно показать, что институты, кроме официально заявленной цели (например, обучения), преследуют и дополнительную, как бы не объявленную цель —насаждение и воспроизводство этих структур, — и таким образом связаны с системой распределения власти.

Таким образом, общее у всех трех авторов в том, что они нашли (подсмотрели) невидимые или мертвые зоны (blind spots), точки разрыва в сознании у человека, который думал, что уж он-то все про себя знает.

Диалектика как неудачная попытка создания интерфейса пользователя

К концу учебы в институте на меня снизошло ясное понимание того, что диалектика — это своего рода отмычка или средство для замазывания противоречий в описании чего-либо. Диалектика часто предлагает мнимое разрешение трудностей, возникающих на начальной стадии развития теории, когда строгий язык описания еще не выработан научным сообществом.

Яркий пример этого — математическая теория пределов. На начальном её этапе пределы вычислялись путем введения некой «малой величины» эпсилон. В расчетах она вначале использовалась как положительное число, над которым можно производить обычные алгебраические действия. После выполнения промежуточных вычислений эпсилон принимался равным нулю, и таким образом вычислялось окончательное значение предела. Когда Карл Маркс узнал про предельный переход, он страшно обрадовался: вот, дескать, и в такой строгой и далекой от природы и общества науке, как математика, якобы имеющей иммунитет к диалектике, тоже имеет место диалектическое противоречие: эпсилон — он и не ноль, и как бы в то же время — ноль. А тупоголовые математики не могут взять в толк, что уже давно, сами того не предполагая, говорят на универсальном языке природы — языке диалектики.

К счастью, математики не приняли сомнительный дар диалектики и придумали язык для теории предельных переходов. Наивное противоречие относительно природы эпсилон (то он ноль, то он не ноль) оказалось разрешено — правда, за счет некоторого утяжеления языка. А именно — вводится процедура выбора: существует такой номер последовательности N, начиная с которого каждый её член отличается от предельного значения не более чем на величину наперед заданного положительного эпсилон. Оправдано ли подобное утяжеление языка, ведь для рядового пользователя математики (например, инженера или того же Карла Маркса) думать об эдакой белиберде, выполняя тривиальные предельные переходы, еще мучительней, чем о диалектике (ноль — не ноль).

Что делать? Появление «пользователя» в математике, как и в любой другой сфере жизни (например, пользователя автомобилем), привело к разделению языка на интерфейсную и имплементационную части. Первая, облегченная часть, открыта для наивного потребителя, который использует её в быту, даже не подозревая, каким утяжелением второй (технически изощренной) части удаётся добиться этой мнимой простоты интерфейса. Происходит перераспределение веса, все технические сложности прячут в имплементацию. Так, в теории пределов можно ввести понятие «актуальной бесконечно малой» величины эпсилон, расширив числовую ось и позволив пользователю обращаться с эпсилон как с обычным числом, а затем — пренебречь. Результат такой же, как и при наивном обращении с эпсилон в образе «диалектической переменной», но в отличие от универсальной диалектической отмычки, предложенной нашим бородатым шарлатаном, соблюдена математическая строгость. Процедуры пользователя вполне легитимны благодаря введению правил работы с расширенным языком, снабженным скрытым от глаз пользователя приводным механизмом.

Другой пример перераспределения технических сложностей мы имеем в статистике. Существуют два принципиально разных взгляда на формализацию статистических выводов: частотный и байесовский. Не вдаваясь в обсуждение философских и технических различий, отметим, что байесовский подход, часто приводящий к тем же выводам, что и частотный, предполагает гораздо более простую интерпретацию результатов, совпадающую с наивным языком пользователя статистики.

Например, проведя анализ клинического испытания со 100 пациентами, страдающими головной болью, которым случайным образом назначали один из двух препаратов, А либо Б, байесовец скажет, что разность между временем, прошедшим от принятия пилюли до прекращения боли, для лекарства А по сравнению с Б примерно две минуты. Это всего лишь оценка — а истинное значение, предполагаемое в некой бесконечной гипотетической совокупности пациентов, есть случайная величина, находящаяся в интервале от 1.2 до 2.8 минут с вероятностью 95%. У многих пользователей препаратов А и Б даже такое невинное утверждение немедленно вызывает головную боль. Однако обучающийся статистике по частотному методу за такой ответ на экзамене получит двойку. В рамках частотной теории правильно говорить, что в нашем конкретном эксперименте (клиническом испытании) оценка неизвестного параметра (разницы между реакцией на А и Б) оказалась равной 2 минутам. Однако, если бы мы провели бессчетное количество точно таких же клинических испытаний (каждое со 100 пациентами), и для каждого построили 95%-ный интервал для неизвестной величины (понятно, в каждом случае границы интервала будут варьировать в соответствии со случайностью выбранных для испытания пациентов), то примерно 95% из всех построенных интервалов покроют неизвестный параметр! А пять процентов не покроют. Этот ответ немедленно вызывает головную боль даже у меня. Поскольку каждый раз заставляет думать о гипотетических повторных экспериментах, в то время как на руках у нас всегда результаты только одного.

Оказывается, преподобный Томас Байес уже в 1736 году думал о пользователе и пытался оградить его от безумства последователей частотой теории в статистике.

Впрочем, и у «частотников» были попытки создать пользовательский интерфейс своими собственными методами. В 1939 году Рихард фон Мизес предложил сделать простое допущение, тоже облегчающее формулировку статистических выводов. В его теории вероятность P постулируется как предел частоты в смысле предельных переходов математического анализа. То есть, человеку, подбрасывающему монету и ведущему протокол частоты выпадения «орла», говорят: прекрати и займись более полезным делом. Частота выпадения стремится к P=1/2 в том же смысле, в каком последовательность 1/n стремится к нулю при увеличении порядкового номера n. Это, понятно, несколько тривиализирует загадочное понятие «вероятность», в котором, сколько бы мы ни подбрасывали монету, должен оставаться привкус неопределённости.

В самом деле, в случае последовательности 1/n для любого наперед выбранного малого числа эпсилон можно подобрать такой N, что для всякого n ≥N величина 1/n < эпсилон. Но при подбрасывании монеты, сколь бы велико ни было n, мы не можем утверждать, что частота выпадения «орла» в последовательности из n испытаний приблизится к истинной вероятности ближе, чем на величину эпсилон. Мы можем только гарантировать, что вероятность того, что это не так (то есть, что частота отклонится от вероятности больше чем на эпсилон), пренебрежимо мала (в смысле, который мы не будем здесь уточнять). Важность этого наблюдения в том, что слово «вероятность» появляется в описании вероятности как предельного значения и, следовательно, никак не определяет, что же такое сама вероятность, — поскольку определяемое не может появляться и в левой, и в правой частях определения!

Понятно, что фон Мизес и не утверждал, что можно в самом деле вынести «вероятность» за скобки, постулировав её как математический предел частоты. Он просто хотел создать интерфейсный язык, в котором вероятностные расчеты были бы столь же просты, сколь и на языке обычного математического анализа. Однако попытка фон Мизеса создать язык пользователя оказалась столь же неудачной, сколь и происки марксовой диалектики.

(окончание следует)

Share

Илья Липкович: Праздные мысли о пользе наук и тщете учения: 12 комментариев

  1. Игорь Троицкий

    Смешное утверждение Бормашенко: «Есть еще один недурной пример — статистическое распределение Гаусса: физики думают, что оно доказано математиками, а математики думают, что это эмпирический, физический факт.» Я занимаюсь статистическими исследованиями 60 лет, но никогда не слышал, чтобы кто-то из физиков думал, что распределение Гаусса доказано математиками, и чтобы математики думали, что оно — эмпирический, физический факт.

    1. И.Л.

      По поводу кривой Гаусса. Не знаю, что о ней думают (или шутят) физики, но мне запомнилась такая шутка из одной популярной книжки по математике, представляющая гипотетический диалог между специалистом по демографии (Д) и математиком (М), предложившим кривую Гаусса для описания распределения населения.
      Д: Прежде чем применять этот метод, я должен его понять. Можете вы объяснить физический смысл этого уравнения?
      М: Разумеется, а что тут может быть непонятного?
      Д: Например, мне не ясна роль этого «пи», что это такое? Зачем оно здесь?
      М: Ну это-то объяснить проще всего. Число «пи» выражает отношение длины окружности к диаметру.
      Д. Боже мой, какое отношение имеет длина окружности к демографии?

  2. Виталий 33

    Полезно время от времени просто выпадать из потока времени и вовсе не читать газет и не смотреть телевизор. Это «самоустранение» есть единственный способ сохранить способность видеть изменения в среде с точки зрения фиксированного наблюдателя. Иначе наблюдение невозможно, ибо ты сам являешься частью меняющейся среды. Я этим методом пользуюсь и по сей день.
    Это нормально. Я, вначале интуитивно, ограничивал время, отведенное новостям. Затем узнал, что существует оптимум на количество датчиков, регистрирующих сигнал. Если их расположить чаще, то они сами внесут искажения.

  3. Bormashenko

    Илья, мои поздравления, блестящий текст.
    «О двойном ослеплении экспертов. В дальнейшем, работая статистиком в фармацевтической промышленности США, я наблюдал подобные явления: когда статистики считают, что нечто постулировано врачами, а врачи — что это придумали и обосновали статистики.»
    Есть еще один недурной пример — статистическое распределение Гаусса: физики думают, что оно доказано математиками, а математики думают, что это эмпирический, физический факт.

  4. Victor Blokh

    «определяемое не может появляться и в левой, и в правой частях определения!» — может, это рекурсивные определения.

    1. И.Л.

      Рекурсивные определение — это всего лишь способ компактной записи конечной цепочки постановок, в конце которой мы достигаем дна и Х выражается через нечто иное — Y, а не через себя самого. Этим они отличаются от циклических определений, приводящих к порочному кругу. Понятно, в моем примере про определение «вероятности» через «равновероятность» спасение посредством рекурсии не предполагается.

  5. Inna Belenkaya

    Уважаемый автор, вы взяли такой иронический тон в своем повествовании, что я не совсем уловила, как вы относитесь к медицинскому мышлению. В чем вы видите его особенности? В «принципиальном неприятии случайности»? В том, что «события детерминированы факторами риска»? Но если врач видит желтуху у пациента, он понимает, что ее появление не случайно, а детерминировано чем-то. И его задача установить причину, поставить точный диагноз, ибо , как говорили врачи прошлого, « это уже половина лечения». А вообще, в сегодняшнем мире врачу не нужно никакого мышления. Все заменяет компьютер. Это раньше была актуальна проблема: что такое медицина, наука или искусство. А сейчас, это неактуально.
    Что касается «коллективного пациента», то тут вы правы и мне нечего возразить. Индивидуальность полностью нивелирована.

    1. И.Л.

      Спасибо за коммент. Ну, разумеется я позволил себе достаточно карикатурное описание медицинского мышления. Но есть тут и узнаваемые черты. По поводу «диагноза» вот приведу цитату из совсем недавнего ФБ поста одного моего друга (перевод с английского автоматический) : «…. по последним новостям я болею болезнью Лайма уже три года. Мой предыдущий врач поставил неверный диагноз; но благодаря его замене я знаю, что со мной было не так в последнее время.»

  6. Soplemennik

    Игрок 1 всегда может ответить, положив монетку в место, симметричное тому, куда поставил монету его партнер…
    =====
    Есть, казалось бы, простенькая игра: требуется поставить подряд пять крестиков или ноликов в любом направлении. Можно выиграть много денег, пока не разгадают главную хитрость — выигрывает всегда тот, кто делает первый ход. Противник не успевает перекрыть его ход во всех направлениях, а начинающий успевает! Проверьте!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

AlphaOmega Captcha Mathematica  –  Do the Math