Илья Новиков: Мой мехмат

МОЙ МЕХМАТ

(продолжение. Начало в № 12/2025 и сл.)

А.А. Кириллов

Илья Новиков Как ни странно, но у меня не сохранилось много воспоминаний об Александре Александровиче (Саше) Кириллове старшем. Странно потому, что мы с Толей Катком вели с ним целый год семинар для первокурсников. Об этом семинаре и роли Саши как главного и почти единственного руководителя я уже написал. А кроме семинара вспоминаются лишь два эпизода. Однажды я сказал ему, что что-то-там предпочитаю делать сам, а не звать, скажем, сантехника, потому что настоящий мужчина должен стремиться уметь делать все. Саша не согласился. Лучше делать меньше, но профессионально. Ясно, что уметь все невозможно. Значит, вопрос только в критерии отбора. Я был готов делать даже то, что делаю непрофессионально. А Саша считал, что нужно ограничиться только тем, что умеешь по-настоящему.

Интересен в этом свете эпизод, когда Саша принимал экзамен по теории вероятностей у Толи Катка. Я пересказываю рассказ Толи сразу после экзамена. Экзамен был не досрочный, обычный. Перед тем, как Толя начал отвечать, Саша сказал ему: «Я теорию вероятностей не знаю, но, если ты начнешь меня обманывать, я тебя поймаю». Я уже писал о семинаре по Марковским цепям, который Саша провел. Я уверен, что он знал в теории вероятностей намного больше, чем входило в наш обязательный курс. Но он не чувствовал себя профессионалом!

Е.А. Горин

По-моему, единственным преподавателем математики, с которым я довольно много контактировал и который плохо ко мне относился, был Евгений Алексеевич Горин. Не знаю, почему. Например, может быть потому, что он правильно оценил мою бесперспективность, как математика. А, может, я ему нахамил во время обсуждения дела Лейкина. Не знаю. Хотя я сдавал ему, кажется, спецкурс, и, если сдавал, получил пять. Однажды он набросился на меня, обвиняя, кажется, в сотрудничестве с КГБ, на что я немедленно ответил, что, если тут и сидит стукач, то это, конечно, верный член КПСС. А происходило это за столом в доме нашей общей знакомой на какой-то вечеринке. Выступив таким образом, я выскочил из-за стола и ушел в другую комнату. Ко мне немедленно поспешили другие гости и стали говорить, что Женя просто немного выпил, и не надо на это обращать внимания. Инцидент формально был замят, но, как в известном анекдоте, осадок у меня остался. Однако, думая о Горине, я в первую очередь вспоминаю не этот эпизод, а, конечно, опять свой провал. Тогда всплыла проблема локальности. По-моему, она звучала так: должна ли обязательно принадлежать банаховой алгебре функция, которая в любой точке локально совпадает с функцией из алгебры. Не помню, кто из старших сказал мне, что, конечно, принадлежит, «потому что, куда же ей деться». Так вот, как-то раз, выходя с семинара Горина, я услышал, что они с Володей (Владимиром Яковлевичем) Лином обсуждают эту проблему, и повторил ту самую фразу. Кажется, там на секунду оказался и Коля Васильев. Кто-то из них троих отреагировал «Нет, ты послушай, что он говорит!»

А проблема была решена в отрицательном смысле учеником Горина и нашим однокурсником Сашей Варшавским. Вот так!

Е.Б. Дынкин

С Евгением Борисовичем Дынкиным я общался, когда проходил практику во 2-й школе. Там в 1964 году Дынкин открыл 3 математических класса. Он читал лекции 2 часа в неделю, а целая плеяда аспирантов и студентов вела за ним семинарские занятия. Я был старшим в группе, которая вела занятия в половине класса «В». Вместе со мной работали Миша Шубин и Наташа Левина. Об этом я написал в отдельном тексте, который включил в виде приложения.

В.И. Арнольд

Про Арнольда я впервые услышал на математическом кружке. После участия в олимпиаде 7-х классов в 1958 году я пошел на кружок. А годом раньше В.И.Арнольд сделал свою первую научную работу. Нам было рассказано, в качестве вдохновляющего примера, что, вот, уже в 19 лет можно решать такие серьезные задачи. А я про проблемы Гильберта впервые узнал на закрытии олимпиады. И.М. Гельфанд, который был председателем оргкомитета, в своем заключительном слове пожелал нам решить 24-ю проблему Гильберта. Его шутка была оценена более продвинутыми школьниками, которые знали, что есть всего 23 проблемы Гильберта. Между прочим, оказывается, была и 24-я, которую Гильберт рассматривал, но не включил в окончательный список. Так что теперь я не знаю, шутил ли Гельфанд, который, конечно, знал, что их 23, или он уже тогда знал и про 24-ю. Кстати, потом Арнольд не любил слышать, что он решил 13-ю проблему. Дело в том, что Гильберт задал конкретный вопрос: можно ли выразить решения уравнения x⁷+ ax³ + bx² + cx + 1=0, рассматриваемые, как функция трех коэффициентов (a, b, c), в виде суперпозиции конечного числа функций двух переменных. При этом он рассматривал два случая: только алгебраические функции или произвольные непрерывные. Сам Гильберт предполагал, что ответ всегда отрицательный. Колмогоров и Арнольд показали, что любую непрерывную функцию от “n” переменных можно выразить не более, чем через (n + 1)*(2n + 1) функций одной переменной и операции сложения. Интересно, что сам Гильберт, по-видимому, считал эту проблему особенно важной. В своей последней статье 1927 года он, описывая продвижение в его 23 проблемах, посвятил 13-й проблеме пять страниц, а всем остальным в совокупности всего три. На этом основаны спекуляции, что Гильберт предвидел важность этой проблемы для нейронных сетей.

А увидел я Арнольда впервые на занятиях вечерней матшколы. Об этом я уже писал. На мехмате я не был учеником Арнольда, не ходил к нему на семинары, но, может быть, он помнил меня по вечерней матшколе. Из наших встреч я помню четыре. Самая короткая была в автобусе. Я ехал на сто одиннадцатом от конечной, но залез одним из последних и стоял прямо у задней двери. У главного входа в уже набитый автобус вскочил Арнольд. Он только что закончил принимать экзамен и был вне себя от возмущения. Хотя, повторяю, я не был его учеником, но, видимо, он узнал меня и поэтому обратился ко мне, как к единственному близко стоящему знакомому, чтобы выговориться. Он выпалил, что все, кто хоть что-то понимают, сдают экзамены досрочно, и поэтому на экзамене в сессию слова умного не услышишь. Думаю, он был слишком строг.

Вторая встреча была на матпрактикуме. Арнольд вел матпрактикум на нашем курсе и считал это очень важной частью математического образования. Он даже поместил об этом свою заметку в “ЗаПерФак”, стенную газету мехмата “За передовой факультет”, когда я был ее редактором. На матпрактикуме нам надо было нарисовать линии уровня решения уравнения в частных производных в какой-то области с углами. Были заданы значения параметров, которые я переписал неверно, а именно в 10 раз ближе к границе, чем надо. Я аккуратно нарисовал три линии прежде, чем понял свою ошибку. Потом на этом же листе я нарисовал ещё три линии, соответствующие правильным значением параметра. Когда мой листок попал Арнольду, он стал показывать его всем и хвалить меня. “Вот — говорил Арнольд, — так и надо делать: вблизи границы линии уровня надо рисовать чаще”. Я, конечно, промолчал, почему я нарисовал лишние линии.

Была ещё одна встреча. На зачете по ТФКП Долженко дал мне несколько примеров. Все простые, кроме одного, который у меня никак не получался. Я молча встал и ушел. В коридоре увидел Андрея Леонтовича[1] и попросил его помочь мне решить этот пример. Андрей попытался, но не получилось. Тут мимо пробегал Владимир Игоревич. Андрей позвал его и спросил, как надо решать эту задачу. Арнольд попробовал, и тоже не вышло. Мы все втроём обсуждали разные подходы к этой задаче. В конце Арнольд сказал, что я проявил такое знание курса, что заслуживаю зачета, и ушёл. Я вернулся в аудиторию и рассказал Долженко, что эту задачу я не знаю, как решать, но Андрей Леонтович и Арнольд тоже не знают. Долженко посмотрел на условие, увидел там описку, заменил эту задачу на какую-то ерундовскую, которую я сразу решил, и поставил зачет.

Еще я общался с Арнольдом в Кацивели, но не лично, а всегда в группе. Я об этом уже написал.

Наконец, не помню зачем, я попал домой к Арнольду. Мы разговаривали довольно долго о разных вещах. Арнольд поразил меня своей разносторонней эрудицией. Помню, что я упомянул Хлодвига, знаменитого короля франков, объединившего империю и прославившегося, например, тем, что позвал на коронационный пир всех своих родственников и всех убил. Услышав имя Хлодвиг, Арнольд сказал: “А, это Суассонская чаша”, открыл Брокгауза и Эфрона (или какой-то другой энциклопедический словарь) и прочитала мне знаменитую историю о Суассонской чаше Хлодвига. Не знаю, надо ли мне здесь излагать ее. Вот копия из Википедии

“После победы у Суассона среди захваченной добычи оказалась удивительной красоты чаша из какой-то церкви, которую епископ той церкви попросил ему вернуть. (Фредегар утверждает, что этим епископом был Ремигий, архиепископ Реймсский.) Хлодвиг сразу же согласился, но проблема заключалась в том, что захваченное подлежало разделу между всеми воинами. Король попробовал исключить чашу из этого раздела, попросив войско дать её ему сверх его доли. Но среди воинов нашёлся один убеждённый защитник норм военной демократии, который разрубил чашу мечом со словами: «Ты получишь отсюда только то, что тебе полагается по жребию». Хлодвигу оставалось лишь передать посланцу прелата обломки священного сосуда. Он умел владеть собой и понимал формальную правоту смельчака, но и забыть подобный вызов он не мог. Когда через год ему довелось проводить очередной смотр своего войска, король придрался к якобы плохому состоянию оружия у этого воина и лично разрубил ему голову, сказав во всеуслышание: «Вот так и ты поступил с той чашей в Суассоне!» Это подействовало, короля стали бояться. Духовенство же быстро оценило добрую волю молодого монарха, и Святой Ремигий письменно признал его власть в качестве администратора римской провинции”.

Стоит упомянуть еще один эпизод, который я хорошо усвоил и постоянно использую в своей работе прикладного статистика. Я всегда объясняю врачам, что именно самые первые встречи самые важные. Там устанавливается взаимопонимание врача и аналитика и уточняется цель исследования. Любое непонимание может оказаться фатальным. И привожу такой пример. Арнольд рассказал, что в их совместной статье с Синаем была ошибка. В статье несколько теорем. Один из них доказал предыдущую, а второй, используя эту теорему, доказал последующую. Но оказалось, что второй неправильно интерпретировал эту предыдущую, и доказательство оказалось ошибочным. При этом я всегда подчеркиваю, что Арнольд и Синай — крупнейшие математики СССР своего поколения, хорошо и давно знавшие друг друга. И все равно такой прокол. А что уж говорить о людях разных специальностей, которые встречаются впервые.

Я перепроверил свою память. Вот истина (Докл. АН СССР, 150:5 (1963), 958)

В нашей работе (В. И. А р н о л ь д и Я. Г. С и н а й, «О малых возмущениях автоморфизмов тора»), опубликованной в ДАН, т. 144, № 4, 1962 г., гладкость кривых, рассматриваемых в теореме 1, недостаточна для применения теоремы 2 при доказательстве теоремы 3. Сама теорема 3, впрочем, справедлива, как это следует из работы Д. В. Аносова «Грубость геодезических потоков на компактных многообразиях отрицательной кривизны» (ДАН, т. 145, № 4, 1962 г.). В. Арнольд Я, Синай

А.Н. Колмогоров

Самой важной встречей из всех встреч с преподавателями мехмата в студенческие годы была, конечно, встреча с Андреем Николаевичем Колмогоровым. Это было в начале 4 курса. Мы вели кружок, а Колмогоров в тот год был председателем оргкомитета Московской математической олимпиады. Чтобы получить аудиторию для кружка в старом здании МГУ, нам нужна была подпись председателя оргкомитета. Я позвонил Андрею Николаевичу и попросил, чтобы он подписал заявку. Он предложил прийти к нему домой. Он жил в крыле университетского здания. Помню, я позвонил в дверь. Андрей Николаевич открыл и спросил: “Как Ваша фамилия?”. “Новиков”, — ответил я. “Аня — закричал Колмогоров — к нам знаменитый Новиков пришел”. Я покраснел до ушей и ответил: “Андрей Николаевич, я не знаменитый Новиков, я просто Новиков”. Тогда он страшно застеснялся, пригласил меня войти и прокричал:” Аня, два стакана чая, пожалуйста”. Мы прошли в квартиру, сели за маленький столик, и Колмогоров, явно чтобы исправить свою оплошность, начал вежливый разговор.

Кто Ваш руководитель?
Минлос
А на каком Вы курсе?
На четвёртом
Ну, если Минлос, то это, наверное, связано с физикой?
Да, связано
Тогда я Вам вот что скажу. Вам уже поздно, но всё-таки ещё есть шанс. Идите на физфак прежде, чем Вы окончательно станете математиком. То, что Вы там услышите, покажется Вам ужасным. Но, если Вы не научитесь рассуждать, как физик, и останетесь настоящим математиком, то вы никогда не сможете сделать ничего существенного в физике. Вот, Гельфанд пытался, а ничего не вышло. И люди поумнее Гельфанда пытались, и тоже ничего не получилось.

Колмогоров не уточнил, кого он имел в виду, но по ходу разговора я убеждён, что он имел в виду себя. Недавно я обнаружил подтверждение этому своему ощущению. В плане последующей жизни, который 40-летний Колмогоров составил для себя, годы 1953–1964 отведены под «Исследования по математической физике» (А.Н. Ширяев .Андрей Николаевич Колмогоров. Жизнь и творчество. В «Колмогоров в воспоминаниях», стр. 90). Так что к моменту нашей беседы Колмогоров уже мог оценить свои достижения в физике и, видимо, не был ими доволен. Между прочим, мнение, что излишняя математичность мешает продвижению в физике, я встречал неоднократно. Например, статья о Ландау. После смерти Ландау было много публикаций. В одной было написано, что он был бы лучшим физиком, если бы был худшим математиком. Ландау не мог позволить себе гипотезу, которую не мог бы сам на каком-то уровне математической строгости объяснить. Меня поразила также строгая мерка, с которой Колмогоров подходил к оценке вклада человека в науку. Марк Азбель, ученик Ландау, рассказывал мне, что на своём семинаре Ландау часто заслушивал доклады математиков. «Каждому математику он задавал вопрос, может ли тот сформулировать теорему, которую Ландау не мог бы сразу доказать, так сказать, на физическом уровне строгости. Единственный раз, когда Ландау сидел, как ученик, и записывал то, что говорил докладчик, был, когда на семинаре выступал Колмогоров, потому что Колмогоров рассказывал про физику то, о чём Ландау понятия не имел». Это слова Марка Азбеля, который там присутствовал. К этому стоит добавить, что в своей научной жизни Колмогоров предпочитал сначала догадку, потом доказательство. Например, в описании путешествия с Колмогоровым на научном судне “Дмитрий Менделеев” Игорь Журбенко[2] говорит, что в считанные недели они придумали и освоили новый метод быстрого преобразования Фурье, придумали статистики обработки типа bootstrap. Но “Теоретическое осмысливание и доведение всех этих изобретений оказалось совсем непростым делом и заняло впоследствии не менее 10 лет” (стр. 447 сборника “Колмогоров в воспоминаниях”). Конечно, при этом возможны и ошибки. Например, Лев Дмитриевич Мешалкин как-то говорил мне, что колмогоровский подход к турбулентности оказался неправильным. Это, по мнению Мешалкина, единственная ошибка Колмогорова. Впрочем, мы знаем, что аккуратно доказанные теоремы, считавшиеся правильными многие годы или даже десятилетия, иногда оказываются неверно доказанными, а в отдельных случаях и неверными.

Второе сильнейшее воспоминание о Колмогорове связано с его лекцией о новых подходах к обоснованию теории вероятности через понятие сложности. Лекция была аудитории в 16:10 (или 16-24). Я сидел во втором или третьем ряду и мог видеть и слышать всё очень хорошо. Колмогоров читал лекцию. А на одном из последних рядов сидел Леня Левин, его ученик и соавтор.

(Википедия: Леонид Анатольевич Левин родился 2 ноября 1948 года в Днепропетровске. В 1970 году окончил Московский государственный университет, после чего работал там же на должности научного сотрудника под научным руководством Андрея Колмогорова. В 1971 году представил кандидатскую диссертацию^[1], выполнив все формальные требования по её предварительному апробированию, диссертация была одобрена Колмогоровым, всеми оппонентами и головной организацией^[2], однако учёная степень Левину присуждена не была^[3][4]. Формальной причиной для этого послужила «неопределённость политического облика» соискателя, что, в совокупности с последующими притеснениями в научных кругах, послужило одной из причин для эмиграции^[5].)

Колмогоров начал лекцию с того, что физики до сих пор не любят аксиоматический колмогоровский подход к теории вероятности и предпочитают подход Мизеса, не такой строгий, но напрямую связывающей вероятность с частотами. Колмогоров заметил, что обоснование теории вероятности с точки зрения теории меры очень просто. Помню, он сказал: “полстранички или страничка”, но практически неудобно, потому что непонятно, откуда взять эту меру. После чего Колмогоров предложил искать определение случайности через сложность. Он написал на доске две последовательности рождения детей:(М = мальчик, Д = девочка): МММДДД и МДДМДМ и сказал, что первая последовательность не кажется случайной, потому что её можно просто описать, а вторая кажется случайной, потому что закономерность не видна. Кто-то с места заметил, что в короткой последовательности всегда легко найти закономерность. Колмогоров согласился и сказал, что надо рассматривать последовательности переменной длины, стремящейся к бесконечности. Он связал понятие случайности с длиной описания последовательности, а именно, что длина описания должно быть эквивалентна длине последовательности. Вокруг этого определения он сформулировал основные задачи и предложил их своему студенту Лене Левину[3]. Левин никак не мог доказать точное равенство, но, когда Колмогоров сам доказал соответствующие утверждения с точностью до логарифма, Левин сказал, что такое доказательство у него давно есть. В аудитории рассмеялись, но Колмогоров сказал:” Нет, он действительно уже знал решение, потому что побежал и тут же принес написанное доказательство”. Через некоторое время Колмогоров выписал какое-то равенство, но с заднего ряда раздался голос: “ плюс О большое от логарифма”. “Нет, — сказал Колмогоров — это точное равенство”. “Плюс О большое от логарифма”, — настаивал Левин. Колмогоров посмотрел на доску и исправил. Когда история повторилась, то я слышал, как Колмогоров негромко сказал: “Надо было ему читать эту лекцию, а не мне”.

Недавно я прочел книгу по истории статистики, написанную профессором статистики Давидом Зальцбургом (David Salsburg The Lady Tasting Tea: How Statistics Revolutionized Science in the Twentieth Century.) Там отдельная глава посвящена Колмогорову. Глава называется “Моцарт математики” и сосредоточена только на связи Колмогорова с теорией вероятностей. Так вот там говорится, что этот многообещающий подход к вероятности через сложность после смерти Колмогорова заглох, потому что не нашлось человека такого уровня, который бы продолжил исследования в этом направлении. Важность этого подхода представляется мне несомненной, и не только мне. Я читал, что Григорий Чудновский, который довершил доказательство десятой проблемы Гильберта практически одновременно с Матиясевичем и другим способом, после переезда в Америку посвятил годы нахождению закономерности в десятичной или двоичной записи числа Пи. Можно подумать, что это странное занятие, но мне кажется, что именно определение Колмогорова послужило стимулом для работы Чудновского. Мы же можем написать алгоритм или формулу, позволяющую вычислить число Пи с любой точностью. Тем самым, по теории Колмогорова, последовательность знаков числа Пи не может быть случайной. Поэтому найти в этой последовательности закономерность — задача, сопоставимая, как мне кажется с проблемой континуума.

Есть ещё одна тема, о которой я забыл рассказать. Сейчас общепринято, что колмогоровская реформа школьного преподавания математики была крайне неудачной. Я с этим совершенно согласен. Но в критических статьях не упоминается, что Колмогоров понимал необходимость подготовки учителей к реформе. Я помню, что Колмогоров после разговора о Минлосе и физике пригласил меня посмотреть его статью в какой-то центральной газете, кажется, в «Известиях». Редактор прислал Колмогорову отредактированную статью. Он, вероятно, думал, что просто улучшает русский язык автора, используя вместо терминов Колмогорова более привычные общеупотребительные слова, а иногда просто переставляя знаки препинания. Спустя 55+ лет я не могу привести ни одного примера. Но я помню, что Колмогоров прочел исправленную статью вслух, и каждый раз реально спрашивал, что я думаю. Ему было важно узнать мнение более-менее близкого к школе человека. А я был студент старшего курса мехмата и вел кружок. И каждый раз я честно соглашался с Колмогоровым, что редактор, меняя слова, меняет смысл. Через пару лет, в 66 или 67 году на мехмате был организован летний курс для учителей по подготовке их к преподаванию по новым учебникам. Учить учителей должны были выпускники мехмата, направленные в аспирантуру, если это был 66-й год, или аспиранты, если 67-й. Как и в случае вступительных экзаменов, нам никто не говорил, чему мы должны учить учителей. Мы преподавали, что хотели. К этому времени я уже имел опыт преподавания во Второй школе как руководитель семинара по лекциям Дынкина, а впоследствии как независимый преподаватель восьмых классов. Но во второй школе и у Дынкина, и в моём восьмом классе я преподавал дополнительные главы математики. Это был факультатив. Причём, если у Дынкина была продуманная программа движения вперёд, то в моём восьмом классе это был цикл отдельных тем, не входивших в тогдашнюю программу 8 класса. Я не помню, что я пытался рассказывать учителям для подготовки к новой программе. Думаю, это были геометрические преобразования, которые должны были стать основой преподавания геометрии. Но зато точно помню ощущение полного фиаско в конце курса. Я старался готовиться к семинарам, продумывал каждое занятие, готовил примеры, но у меня не было общего языка со слушателями. Короче, с одной стороны, я должен защитить Колмогорова от обвинения в непонимании важности подготовки учителей, в чём его часто теперь обвиняют. С другой стороны, он явно недооценил трудности переподготовки учителей. Тут мне вспоминается эпизод, рассказанный мне Владимиром Абрамовичем Рохлиным. Когда Понтрягин вызволил Рохлина из советского лагеря, и Рохлин, в конце концов, перевёлся в Ленинградский университет, Рохлин пошёл к ректору А.Д. Александрову с просьбой разрешить ему прочесть свой курс анализа. Умный Александров отказал Рохлину со следующей формулировкой. «Вы же, — сказал Александров — не хотите читать стандартный курс. Вы собираетесь прочесть свой оригинальный курс. Но прежде, чем я дам Вам это сделать, Вы должны подготовить планы семинарских занятий и провести занятия с теми, кто будет ввести эти семинары по вашим лекциям». Я помню, что Рохлин очень тепло отзывался об этой беседе и нисколько не обижался на Александрова.

(продолжение)

Примечания

[1] https://istina.msu.ru/profile/AML/

[2] https://www.mathnet.ru/rus/person22069

[3] ttps://ru.wikipedia.org/wiki/Левин,_Леонид_Анатольевич