Оскар Шейнин: Теория вероятностей. Исторический очерк

На континенте Европы статистические исследования конца XIX и начала XX в. были в основном посвящены изучению населения, в Англии, же, напротив, главной областью приложения статистической мысли оказалась биология. Более определённо можно сказать, что так называемое континентальное направление зародилось в результате работ Лексиса, а предшественниками его были Пуассон, Бьенеме, Курно и Кетле.

Оскар Шейнин

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

(публикуется с сокращениями)

(окончание. Начало в № 8/2025 и сл.)

15.4. Ляпунов

Оскар Шейнин В научном творчестве Ляпунова теория вероятностей осталась лишь эпизодом. Он (1900 и 1901а) доказал [ЦПТ], приняв единственное условие (15.7). Мы лишь кратко повторим (Бернштейн 1945/1964, с. 427–428), что характеристическая функция определяет искомый закон распределения вне зависимости от существования соответствующих моментов и что то разложение по степеням s, которым пользовался Чебышев (§ 14.1-4), не приводит к затруднениям при замене этого аргумента на is. Ляпунов доказал, что при выполнении его условия характеристическая функция центрированной и нормированной суммы случайных величин сходится к характеристической функции нормированного нормального закона.

Обратим также внимание на статью Линдеберга (Lindeberg 1922b, c. 211), чьё доказательство ЦПТ проще и более известно[1]. Линдеберг сослался на свою первоначальную работу (1922a) и продолжал:

Теперь я вижу, что уже Ляпунов изложил общие результаты, которые не только превосходят сделанное Мизесом [ссылка на его статью 1919 г.], но из которых можно вывести большинство установленных мной фактов. […] Изучение работ Ляпунова побудило меня заново проверить применённый мной метод.

Особый эпизод связан здесь с ЦПТ для больших уклонений. Чебышев полагал, что пределы интеграла α и β в формуле (14.6) этой теоремы являются какими-нибудь, Некрасов же (1911, с. 449) произвольно истолковал это выражение как являются переменными. К Некрасову мы вернёмся в § 15.5, здесь же укажем, что он вполне мог бы, напротив, указать, что обобщал теорему Чебышева.

В своей предшествовавшей полемической статье Ляпунов (1901b, с. 61) заявил, что предполагал упомянутые пределы заданными и что в противном случае вероятность, записанная в левой части формулы (14.6), может и не иметь никакого предела, но все-таки асимптотически выражаться нормальным законом распределения.[2]

15.5. Некрасов

Жизнь и творчество Некрасова чётко подразделяются на два этапа. С 1885 г. и примерно до 1900 г. он успел опубликовать замечательные мемуары и в России, и в Германии, был профессором и ректором Московского университета. Некрасов (1898) также наметил доказательство [ЦПТ] для сумм [решетчатых случайных величин]. Затем, однако, с ним произошёл какой-то перелом. Его работы по теории вероятностей стали невообразимо многословными, темными и путанными, притом связанными с моральными, политическими и религиозными соображениями. Вот пример его утверждения (1906, с. 9): математика накопила

психологическую дисциплину, а также и политическую и общественную арифметику или математический закон политического и общественного развития сил, зависящих от психических и физиологических оснований.

Но этого мало: его сочинения стали изобиловать элементарными математическими ошибками и нелепыми утверждениями. Так (Некрасов 1901, с. 237), при грубом понимании можно принять xⁿ при n > 0 за предел sinх при |х| → 0, и с таким пониманием предела выводы вышеупомянутых авторов [Чебышева, Маркова, Ляпунова] никогда не расходятся. Вот соответствующее утверждение Ляпунова (1901b, с. 63):

Все возражения П.А. Некрасова основаны на недоразумениях; […] одни суть не более, чем голословные заявления, […] другие совсем не отвечают содержанию критикуемых статей или отличаются крайней неопределённостью.

Второй и последний из многих возможных примеров мы приведём из письма Некрасова Маркову 20.12.1913 г. (Шейнин 2007е, с. 167) по поводу обоснования МНКв:

Точки зрения Гаусса и Лапласа я различаю моментами относительно опыта; первая точка зрения à posteriori, а вторая — à priori. Судить à posteriori удобнее, ибо данных больше; но эта точка зрения запаздывает, отстаёт, плетётся за событием.

По крайней мере сопутствующими причинами подобного, мы бы сказали, перерождения личности Некрасова были его глубокая религиозность (перед учёбой в университете он окончил духовную семинарию), занятие высоких административных должностей в Министерстве народного просвещения[3] и реакционные взгляды. Однажды Некрасов (А.В. Андреев 1999, с. 103) упомянул цельное знание религиозного философа В.С. Соловьёва, и потому уместно процитировать высказывание последнего (Радлов 1900, с. 787), которое, фактически, стало и его собственной идеей: истинное знание это синтез теологии, рациональной философии и положительной науки. Андреев действительно утверждает, что Некрасов раздвоился между математикой и подобной философией. Борткевич (1903, с. 124) заметил, что Некрасов особенно часто упоминает Соловьёва всуе — но иногда, как представляется, и к месту.

По поводу общественно-политических взглядов Некрасова можно обратиться к его письму 1916 г. П.А. Флоренскому (Шейнин 1993a, с. 196): немецко-еврейская культура и литература толкает нас на распутье. Лишь в небольшой степени можно оправдать это утверждение тогдашней войной с Германией. При всём том сочинения Некрасова, не относящиеся к теории вероятностей или статистике, оставались вполне разумными. Так, в 1913 г. в Математическом сборнике появилась его обычная в этом смысле статья, посвящённая динамике, да и по поводу школьного образования можно утверждать то же, см. ниже.

Мы теперь остановимся на нескольких конкретных вопросах.

1) Преподавание. В § 15.1-7 мы упоминали предложение Некрасова ввести преподавание теории вероятностей в школьный курс и то, что его конкретная программа была отвергнута. Здесь мы добавим, что ещё в 1898 г. Некрасов предложил ввести её же в учебный план юридического факультета Московского университета, однако и эта инициатива оказалась неудачной. Впрочем (Шейнин 1995а, с. 166), в течение 1902–1904 гг. теория вероятностей не преподавалась даже на физико-математическом факультете Московского университета и редко с 1912 по 1917 гг.

Некрасов (1916а, с. 30–31) рекомендовал ввести в школьный курс и начала аналитической геометрии и анализа и считал полезным организацию математических кабинетов и применение кино, а намного раньше (1906, с. V) заявил, что курс математики следует строить на основе логики. Во всяком случае, проблема соотношения математической логики и теории вероятностей актуальна и сейчас.

2) МНКв (Некрасов 1912–1914). Во второй части этой статьи он указал, что вначале не заметил соответствующих работ Ярошенко (1893a; 1893b), но заявил (ошибочно), что рассмотрел свою тему общее. Ярошенко обосновал среднее арифметическое и вообще МНКв ссылкой на мемуар Чебышева (1867), т. е. на неравенство Бьенеме–Чебышева (§ 10.4-7). Впрочем, подобное же утверждение высказал уже Усов (1867).

Некрасов также неверно приписал Лежандру применение МНКв для интерполяции и неправильно описал различие в подходах к МНКв у Лапласа и Гаусса, см. также соответствующую выдержку из его письма Маркову (выше).

<…>

Всего он (1898) сформулировал шесть теорем и доказал их позже (1900–1902). Ни Марков, ни Ляпунов не изучили его результаты в достаточной мере. Это, впрочем, было почти невозможно и А.Д. Соловьёв (1997, с. 15–16) разумно заключил, что вообще никто не сделал этого сколько-нибудь подробно. Он сам смог лишь предположить, что Некрасов действительно доказал свои теоремы и напомнил, что Марков указал несколько допущенных тем ошибок. Более того, Соловьёв (с. 13–14) заметил, что Некрасов неверно представлял себе понятие решетчатых величин (не так, как сказано выше). В своём общем заключении он (с. 21) заявил, что Некрасов наложил на исследуемые случайные величины слишком стеснительное условие (аналитичность производящих функций в некотором кольце, что сильнее, нежели существование всех их моментов) и что другие его условия, вообще говоря, невозможно проверить. И Соловьёв, и первый из современных комментаторов, Сенета (Seneta 1984, § 6), сходятся в том, что упомянутые результаты Некрасова не повлияли на развитие теории вероятностей[4]. Этот печальный итог был вызван, конечно же, тем, что Некрасов не смог вразумительно изложить свои мысли, но также и громоздкостью принятого им подхода, — чисто аналитического, а не вероятностного (А.Д. Соловьёв, с. 21)[5].

Зарождение математической статистики

16.1. Устойчивость статистических рядов

Пуассон и Курно исследовали значимость статистических расхождений вообще, т.е. не приводя статистических примеров, а Курно (§ 11.3-6) кроме того пытался выявлять зависимость между решениями судей и присяжных. Бьенеме (§ 11.2-3) интересовался изменениями статистических показателей от серии к серии, Кетле же (§ 11.5) исследовал связь между причинами и следствиями в обществе, пытался стандартизировать статистические данные в международном масштабе и положил начало моральной статистике.

Все эти попытки и результаты происходили на фоне утверждений о том, что теория вероятностей применима к статистике, только если для данного массива наблюдений имели место “равновозможные случаи”, а вероятность оставалась неизменной (§ 11.7).

16.1.1. B. Лексис

Он (Lexis 1879) предложил непараметрический критерий для равенства вероятностей в различных сериях наблюдений, иначе — критерий устойчивости статистических рядов.

<…>

Заметим ещё, что он (§ 1) видимо впервые качественно подразделил статистические ряды на несколько типов и сделал первый (забытый) шаг к выделению стационарности и тренда.

Но как могла вероятность изменяться? Вначале Лексис (1876, с. 220–221 и 238) полагал, что изменения следуют нормальному закону, затем (1877, § 23) принял менее ограничительные условия; впрочем, возможно, что он не отказался от давнишней традиции (§ 11.7-7).

Лексис не вычислил ни среднего значения, ни дисперсии своего коэффициента (что было бы трудно) и не сказал ничего о необходимости решения этой задачи. Напомним, что Гаусс (§ 10А.4), введя выборочную дисперсию, указал на её несмещённость и определил её дисперсию. Быть может главным у Лексиса оказалось стремление статистически проверить некоторую стохастическую модель, и, видимо, в этом смысле следует понимать замечание Чупрова (§ 16.2) о необходимости объединить Лексиса и Пирсона.

Французский актуарий Дормуа (Dormoy 1874; 1878) опередил Лексиса, но в то время даже французские статистики (которые почти не участвовали в развитии Континентального направления статистики) не заметили его нововведения, и впервые о нём заговорил Лексис (Чупров 1909/1959, с. 236). Чупров (1926/1960, с. 228) указал, что теорию Лексиса следует называть по имени обоих учёных, но впоследствии Борткевич (1930, с. 53) высказал противоположное мнение:

Дормуа так плохо понимал, как применять теорию вероятностей к эмпирическим фактам, что полагать его наравне с Лексисом, поскольку речь идёт о теории дисперсии, не соответствовало бы исторической правде.

16.1.2. В.И. Борткевич

Мы упоминали его в § 9.7 по поводу ЗБЧ и в § 11.7-4 в связи с оценкой точности статистических выводов. Владислав Иосифович Борткевич, поляк по происхождению и юрист по образованию, родился и учился в Петербурге. В конце XIX в. он продолжил своё образование в Германии (был учеником Лексиса), а в 1901 г. получил профессуру в Берлине и прожил там всю оставшуюся жизнь как Ладислаус фон Борткиевич. В 1912 г. русский статистик П.Д. Азаревич (Фортунатов 1914, с. 237) писал о нем:

Всякий раз, когда я вижу В.И., мне становится жаль, что его упустили из России. Вот истинный человек науки.

Сам же Борткевич в письме Чупрову 1905 г. (Шейнин 1990с/2010, с. 55) сообщал, что чувствует себя в Германии прекрасно, а вот в России возможно потрясение общества. Борткевич, действительно, опубликовал большинство своих работ на немецком языке (которым владел в совершенстве), но и с Россией не терял связи. Он (1903) резко критиковал Некрасова за утверждения о том, что теория вероятностей может смягчить отношения между трудом и капиталом (c. 215) и (с. 219) оправдать принципы твёрдой власти и самодержавия, равно как и за елейность (с. 215) и реакционные вожделения (с. 216)[6]. Слуцкий (1922) сослался на полученное от него письмо, да и вообще переписывался с ним (Шейнин 2007а), а по крайней мере в последние годы своей жизни Борткевич был связан с существовавшими тогда в Берлине Русским научным институтом и Русским научным обществом (Шейнин 2001f, с. 228; Борткевич и Чупров 2005, с. 9−12).

Борткевич добился интересных результатов, и его пример особо поучителен, поскольку вначале он, можно сказать, не был математически грамотен: в 1896 г., в письме Чупрову, он заявил, что дифференцирование интеграла по его (нижнему) пределу незаконно (Шейнин 1990c/2010, с. 57). Следует также иметь в виду, что творчество Борткевича недостаточно известно, частично ввиду тяжеловесности его стиля и обилия деталей, частично ввиду того, что в то время немецкие статистики и экономисты (Борткевич был и серьёзным экономистом) чурались математики. Исправлять свой стиль, несмотря на критику Чупрова (Борткевич и Чупров 2005, Письмо 35 1898 г.), он не стал, и Винклер (Winkler 1931, с. 1030) процитировал письмо Борткевича, который был рад узнать в нём одного из пяти (!) читателей своего сочинения 1923–1924 гг. об индексах. Даты письма Борткевича Винклер не указал. Вот мнение Андерсона (1932, с. 245/1963, т. 2, с. 533), ученика Чупрова и последнего представителя континентального направления статистики[7]:

Борткевич не писал для широкого круга читателей […] и вовсе не был хорошим выразителем своих собственных идей. И он предъявлял к образованию и интеллекту своих читателей очень высокие требования. Частично ввиду своей уединённой жизни он упрямо отказывался последовать совету Чупрова.

Но тот же Андерсон (там же, с. 243/531) высоко оценил успех Борткевича в исследовании статистических серий:

Наше (младшее) поколение статистиков вряд ли может представить себе ту трясину, в которую попала статистическая теория после распада системы Кетле или выход из неё, который смогли отыскать только Лексис и Борткевич.

Об их недостатках Андерсон ничего здесь не сказал, а позднее добавил к этим двум именам и Чупрова.

Многие авторы заслуженно хвалили его научные труды. Woytinsky (1961, с. 452–453) заметил, что его прозвали Папой статистики, а Schumacher (1931, с. 573) объяснил отношение Борткевича к науке цитатой из библии (Исход 20:3):

Да не будет у тебя других богов пред лицом Моим.

Заметим, что итальянские статьи 1908–1909 гг. Борткевича в защиту закона малых чисел (см. ниже), вообще забыты. Рукопись первой из них, написанная на немецком языке (S, G, 17), хранится в Университете г. Упсала, Швеция.

Борткевич определил ЕQ и ЕQ², и Чупров несколько раз упоминал об этом (Шейнин 1990c/2010, с. 105, 113 и 172), а Марков в 1916 г. (Ондар 1977a, с. 96) посчитал его исследования не вполне точными, но имеющими значение и даже (1911с/1977, с. 166) заслуживающими большого внимания.

Свой закон малых чисел Борткевич (1898a) ввёл также для исследования устойчивости статистических рядов[8]. Он утверждал, что ряд, составленный из независимых наблюдений с различными вероятностями появления редкого события можно рассматривать как выборку из единой совокупности. Этот факт, или, точнее, убывание соответствующего коэффициента дисперсии к единице при убывании числа измерений, он и назвал законом малых чисел.

Борткевич оказался первым, кто после 60 лет забвения всерьёз обратил внимание на закон Пуассона, и в течение долгого времени его брошюра (1898a) оставалась в центре внимания статистиков. Так, Романовский (1924, кн. 17, с. 15) назвал это новшество основным статистическим законом.

С самого начала публикация Борткевича вызвала споры (Шейнин 1990c/2010, с. 58–64). Здесь мы повторим, что лишь Чупров рекомендовал ему сослаться на Пуассона, но что в 1909–1911 гг., в письмах Чупрову, Борткевич подчёркивал различие между своим законом и формулой Пуассона. Низкая вероятность, как он аргументировал, не является его основным допущением, поскольку редкое появление события может быть вызвано малым количеством наблюдений. Это объяснение, однако, ставит под сомнение применимость формулы закона Пуассона. Вообще же Борткевич так и не объяснил в достаточной мере свой закон. Вот что писал Чупров Маркову в 1916 г. (Письмо № 69а; Шейнин 1990с/2010, с. 111):

В какой мере закон малых чисел пользуется признанием статистиков сказать трудно, так как неизвестно что, собственно, называть законом малых чисел. На вопросы, поставленные мной в примечании к стр. 398 второго издания Очерков (1909) [с. 285 изд. 1959 г.], Борткевич не отвечал ни в печати, ни письменно; допрашивать же его устно я не стал, так как он относится к критике закона м. чис. очень болезненно.

Марков неоднократно обсуждал этот закон в своих письмах 1916 г. Чупрову (Ондар 1977а). Он указал, что Борткевич неверно объединял свои данные и (с. 111) подбирал желательный для себя материал[9] и что (с. 86 и 111) при малых числах коэффициент дисперсии не может быть большим. Последнее замечание Марков (1916b, с. 55) повторил публично. В 1916 г., отвечая Маркову, Чупров (Шейнин 1990с/2010, с. 110), видимо, не согласился с его первым утверждением и сообщил, что Ястремский (1913) также доказал замечание Маркова. Далее, Quine & Seneta (1987) более определённо указали, что для малых независимых и целочисленных случайных величин большое значение Q маловероятно.

Но вот Колмогоров (1954) чётко заявил, что Борткевич лишь применил предельную теорему Пуассона, и мы (2008а) доказали это утверждение. Брошюра Борткевича (1898) написана прескверно, и понять её очень тяжело. Здесь мы ограничимся указанием, что изученный им коэффициент дисперсии Q не совпадал с лексисовским (о чём ни он, ни прежние комментаторы не сообщили). Чупров по всей видимости всё это понял, но по своей деликатности и ввиду дружбы с Борткевичем публично ничего не сказал. Русский перевод брошюры Борткевича см. в S, G, 18.

16.1.3. А.А. Марков и А.А. Чупров

В письмах Чупрову 1910 г. Марков (Ондар 1977a) доказал, что рассуждения Лексиса неверны; оказалось, например, что дисперсия может быть нормальной и при зависимых наблюдениях. Кроме того, он построил пример независимых испытаний, которые, при различных вариантах их объединения в серии, характеризовались либо сверх-, либо поднормальными дисперсиями. Впрочем, впоследствии Чупров, в письме своему ученику Н.С. Четверикову в 1923 г. (Шейнин 1990c/2010, с. 174), заметил, что устойчивость определяется лишь для конкретного ряда.

В том же 1910 г. Чупров, в письме Маркову, привёл примеры зависимостей, при которых дисперсия оказывалась сверх- и поднормальной, а в 1914 г. он даже решил, что коэффициент дисперсии следует сдать в архив, с чем никак не согласился Борткевич (Шейнин 1990c/2010, с. 175). Далее, в 1916 г. и Марков, и Чупров доказали, что ЕQ² = 1 (подробности см. там же, с. 176) и, наконец, Чупров (1918–1919) окончательно развенчал коэффициент дисперсии (Шейнин 1990с/2010, с. 176–179). Мы, в частности, сослались на Андерсона (1926/1963, т. 1, с. 31): От учения Лексиса мало что осталось после Чупрова.

Мы не можем объяснить, почему уже в 1921 г. Чупров (2009b, с. 88), в письме К.Н. Гулькевичу (видному российскому дипломату и невозвращенцу, помощнику Ф. Нансена в Лиге Наций), сообщил, что только что выяснил несостоятельность коэффициента дисперсии:

Одно из важнейших учений теории статистики, которое я доселе всецело принимал и исповедовал, — лексисова теория устойчивости статистических чисел, − оказывается, в значительной мере покоится на математическом недоразумении. Недоразумение это я сейчас вскрыл. Это вышибает один из устоев теории, остающейся в центральной своей части висеть в воздухе. Помириться на этом, не дав замены, мне не хочется. А подвести новый фундамент не удаётся: мои попытки разбиваются о то же самое возражение, и я почти что прихожу к выводу, что препятствие по существу непреодолимо. […] Так пока и верчусь.

<…>

Романовский (1923) опубликовал восторженную рецензию на эту работу, но не указал, что принятые Чупровым обозначения были слишком громоздки и затрудняли чтение. Отвратительным было введение двухэтажных индексов и сверху, и снизу в одном и том же выражении, которое таким образом оказалось пятиэтажным (Чупров 1923, с. 472).

Чупров частично отправлялся от своей рукописи (1916 или начало 1917). В ней он заново (см. выше) определил ЕQ²и привёл качественные соображения о распределении коэффициента дисперсии. Чупров послал эту рукопись Маркову, и она упоминается или подразумевается в их переписке 1917 г. (Шейнин 1990с/2010, с. 114–122 и, возможно, Ондар 1977а, с. 118 и далее).

Добавим несколько слов о Чупрове. При изучении устойчивости статистических серий он добился весьма интересных результатов, например, ввёл понятие конечной переставляемости (Сенета 1987). С другой стороны, исследуя проблемы самого общего характера, он неизбежно выводил сложные формулы, и тот же Романовский (1930, с. 216) заметил, что, представляя значительный теоретический интерес, они почти неприменимы ввиду сложности вычислений. На следующей странице он указал, что оценка эмпирических коэффициентов корреляции по выборкам из произвольной совокупности возможна почти исключительно по формулам Чупрова, которые, однако, крайне громоздки, неполны и мало изучены.

16.2. Биометрическая школа

Само это название указывает на журнал Biometrika, первый номер которого вышел в 1902 г. с подзаголовком Журнал для статистического изучения биологических проблем. Его первыми редакторами были Уэлдон (широко образованный биолог, умерший в 1906 г.), Пирсон и Давенпорт[10] при консультационном участии Гальтона, а в редакционной статье мы читаем там:

Проблема эволюции является статистической проблемой. […] [Дарвин основал] теорию происхождения [descent], не прибегая к математическим идеям[11] [но] каждое его понятие, — вариация, естественный отбор, […], — сразу же представляется приспособленным к математическому определению и требующим статистического анализа. […] До сего времени области работы биологов, математиков и статистиков были значительно отделены друг от друга. […] Придёт день, […] когда некоторые математики станут полноправными биологами, а биологи — компетентными математиками.

Много позже Пирсон (1923, с. 23) назвал Дарвина

нашим избавителем, тем, кто придал новое значение нашей жизни и миру, в котором мы обитаем.

Вот также выдержка из записки, которую Пирсон составил (и, видимо, распространил) в 1920 г. и которую процитировал его сын Э.Ш. Пирсон (E.S. Pearson 1936–1937, т. 29, с. 164): Цель биометрической школы состояла в том, чтобы

преобразовать статистику в ветвь прикладной математики […], обобщить, отбросить или обосновать скудные методы старой школы политических и социальных статистиков, и, в общем, преобразовать статистику Англии из спортплощадки для любителей и спорщиков в серьёзную отрасль науки. [ …] Необходимо было критиковать несовершенные и часто ошибочные методы в медицине, антропологии [антропометрии], краниометрии, психологии, криминологии, биологии, социологии, […] чтобы обеспечить эти науки новыми и более мощными средствами.

Почти все перечисленные отрасли науки были в центре интересов Пирсона. И заметим ещё, что он не нашёл ни одного доброго слова в адрес статистиков вне Англии.

Вот характерное высказывание Пирсона (1907, с. 613):

Я узнал по опыту общения с биологами, краниологами, метеорологами и врачами (которые иногда теперь приходят к биометрикам по ночам!), что первому любительскому внедрению современных статистических методов в устоявшуюся науку противостоит типичное презрение. Но я дожил до того времени, когда многие из них начали скрытно применять те самые методы, которые они вначале осуждали.

Непосредственной причиной основания Биометрики быть может оказались научные трения между Пирсоном и Уэлдоном с одной стороны и биологами, которые как раз в то время открыли для себя Менделя. Соотнести биометрию и менделизм было трудно: первое течение изучало непрерывные величины, второе — дискретные изменения количественных признаков. Степень признания Пирсоном менделизма несколько спорна, но во всяком случае он (1904, с. 85–86) заявил, что

В теории чистых гамет [половые клетки] нет ничего, существенно противоречащего основным чертам […] биометрического описания наследственности…

Пирсон (E.S. Pearson 1936–1937, т. 29, с. 169–170) также заметил, что изучение социальных проблем с точки зрения менделизма велось поверхностно.

Быстрый успех новой школы был, конечно же, обусловлен упорным трудом её создателей, но также и усилиями их предшественника, Эджуорта. Его верную характеристику дал Чупров (1909/1959, с. 27–28). Талантливый статистик (и экономист), он был слишком оригинален и обладал причудливой манерой изложения и потому не смог сильно повлиять на своих современников. Но у себя на родине он, по крайней мере, подготовил почву для восприятия математико-статистических идей и методов. Недавно вышло собрание его сочинений в трех томах (Edgeworth 1996). См. также Schumpeter (1954/1955, с. 831) и M.G. Kendall (1968/1970, с. 262–263).

Быть может с самого начала основным редактором Биометрики оказался Пирсон, а среди его авторов были Чупров и Романовский[12]. Библиографию более 600 публикаций Пирсона см. Morant и др. (1939) и Merrington и др. (1983), а описание его жизни и трудов составил его сын (E.S. Pearson 1936–1937). Многие ранние статьи Пирсона перепечатаны в сборнике Pearson (1948), а его рукописи хранятся в University College London.

Почти неизвестны мысли Пирсона о физике, которой он занимался до 1893 г. Так (1891, с. 313; 1887, с. 114; Clifford (1885/1886, с. 202)), во вселенной имеется отрицательная материя; все атомы […], видимо, начали пульсировать в один и тот же момент; силы, действующие в пространстве, обусловлены кривизной пространства. Римановых пространств Пирсон, однако, не упоминал, а кривизна пространства, как теперь считается, напротив вызвана силами, действующими в нём.

Пирсон (1857–1936) был прикладным математиком и философом, но в первую очередь со-основателем биометрии. Начало его научной деятельности можно связать с его Грамматикой науки (1892), которая заслужила ему клеймо добросовестного и честного врага материализма и последовательного и ясного махиста. Так выразился о нём Ленин в 1909 г. в своём Материализме и эмпириокритицизме (с. 190 и 274). Заметим, что последний термин равнозначен махизму, т. е. разновидности субъективного идеализма. Трудно, однако, поверить, что Пирсон уходил от реальности. Оговоримся: махизм определяет цель науки в описании явлений, а не в их изучении, и следует сказать, что Пирсон отрывал опыт (статистические данные) от теории (от соответствующей стохастической схемы)[13], см. § 16.2, но вряд ли можно назвать его продолжателем традиции государствоведения (§ 7.2.1).

Указанное сочинение Пирсона стало широко известно[14] и Ньюком, в качестве президента предстоявшего Международного конгресса гуманитарных и естественных наук 1904 г. в Сент-Луисе, пригласил его (к тому времени уже члена Королевского общества) прочесть доклад о методологии науки[15]. На этом конгрессе выступили такие учёные как Больцман и Каптейн. Об отношении Ньюкома к Пирсону свидетельствует и другое его высказывание 1903 г. (§ 11.8-4).

S.L. Zabell заметил, что Мах (Mach 1897, Введение) упомянул Грамматику Пирсона:

Публикация [Грамматики] познакомила меня с исследователем, кантианские воззрения которого во всех важных пунктах совпадают с моими и который кроме того умеет откровенно и мужественно противостоять вненаучным тенденциям в науке.

Упомянем ещё два факта из жизни Пирсона. В 1921–1933 гг. он читал особый курс лекций в University College, и в 1978 г. его сын, Э. Ш. Пирсон, издал их по сохранившимся записям автора и, видимо, сам придумал заглавие для книги: История статистики XVII и XVIII вв. на изменяющемся фоне интеллектуальной, научной и религиозной мысли. Она была, пожалуй, первым серьёзным сочинением по своей теме после книги Тодхантера (1865), и на первой же её странице автор выразил сожаление, что так поздно заинтересовался историей статистики (см. наш Эпиграф).

Пирсон-младший написал предисловие к книге своего отца, в котором привёл свидетельства его интереса и к всеобщей истории. Но интереснее вспомнить фундаментальную биографию Гальтона (K. Pearson 1914–1930), быть может самого грандиозного когда-либо и где-либо опубликованного сочинения подобного рода. Истории теории вероятностей и математической статистики Пирсон посвятил и несколько статей; о трёх из них мы упоминали (§§ 3.2.3, 4.2.3 и 8.1-5), не согласившись с его основным выводом во втором случае. Ещё две (1920; 1928b) были посвящены истории теории корреляции, и в них Пирсон указал, что некоторые авторы, включая Гаусса, могли бы использовать в своей работе идеи и методы этой теории, но что начинать с них её историю всё-таки нельзя. Пирсон часто с успехом пытался внедрять статистический метод и особенно теорию корреляции во многие отрасли науки.

Исследования Пирсона частично лежат вне рамок нашего исследования, и мы лишь отметим основные направления его последующей (после примерно 1894 г.) работы. По выражению Хальда (1998, с. 651), он

Между 1892 и 1911 гг. […] создал своё собственное царство математической статистики и биометрики, беспрекословно господствуя в нем и ограждая его все расширяющиеся пределы от атак извне.

Да, действительно, как раз к 1911 г. относится начало деятельности Фишера, который смог опубликовать в Биометрике лишь одну статью (в 1915 г.), но в конце концов намного превзошёл Пирсона, оказавшись основным автором возникновения математической статистики. Вот его весьма отрицательные отзывы о Пирсоне, которому Фишер так или иначе был несомненно обязан.

Он был особо невосприимчив к современным успехам в своей области и часто враждебен по отношению к ним. [Иначе же] труды Эджуорта и Стьюдента, если назвать только двоих, были бы востребованы раньше (письмо 1946 г., Edwards 1994, с. 100).

Страшная слабость его [Пирсона] математической и научной работы происходила ввиду его неспособности к самокритике. […] В спорах, к которым он был весьма склонен, он постоянно выказывал отсутствие чувства справедливости […] (Фишер 1956/1990, с. 3).

Наконец, Фишер (1937, с. 306) заявил, что одно утверждение Пирсона было лишь оправданием фальсификации. […]

Но были, разумеется, и весьма положительные отзывы о Пирсоне (Mahalanobis 1936; Eisenhart 1974), а об отношении Ньюкома к Пирсону см. § 11.8.4.

К основным заслугам Пирсона можно отнести разработку основ теории корреляции и сопряжённости признаков, введение в практику кривых Пирсона для описания эмпирических распределений, — а не для замены нормального распределения иным универсальным законом, как это имел в виду Ньюком, см. § 11.8.4, — и критерия хи-квадрат, а также составление многочисленных статистических таблиц.

<…>

Бернштейн (1946, с. 448–457) указал стохастическую схему (выборка по схеме прикладываемых шаров), которая приводит к важнейшим типам кривых Пирсона. Он сослался на Маркова и, на с. 337, на Полиа (Polya 1931) как на своих предшественников. Марков (1917) действительно рассматривал ту же схему и на первой же странице упомянул кривые Пирсона, однако Бернштейн ошибочно указал другую статью Маркова.

Пирсон придавал особое значение понятию корреляции и заявил (E.S. Pearson 1936–1937, т. 29, с. 208 со ссылкой на свою запись лекций отца), что

Цель математической теории статистики — обработка соотношения между двумя или более переменными величинами без предположения, что одна из них является однозначной математической функцией остальных.

Распределение хи-квадрат вывел Аббе, а затем Гельмерт для выявления систематических влияний в теории ошибок (§ 10Б-1), К. Пирсон (1900) же предложил критерий хи-квадрат в контексте математической статистики. Не сразу, правда, он начал пользоваться им для проверки добротности подбора кривых к эмпирическим точкам; независимости признаков в таблицах сопряжённости; принадлежности двух независимых выборок к единой совокупности. Несмотря на свою значимость, этот критерий вряд ли, как утверждал Фишер в 1922 г. (Хальд 1998, с. 714), делает эмпиризм безопасным.

Мы (§ 15.1-4) заметили, что континентальные статистики не воспринимали Пирсона; см. также Ондар (1977b, с. 157), который процитировал аналогичное утверждение Чупрова. Многие коллеги, писал Чупров, подобно Маркову, ставят английские исследования в шкаф нечитанными. Суть неприязни состояла в эмпиризме биометрической школы (Чупров 1918–1919/1968, с. 223):

Много бед натворило присущее английским исследователям нежелание иметь дело с понятиями вероятности и математического ожидания [в пользу эмпирических показателей. Этот] отказ чрезвычайно повредил ясности […] и даже наводил на ложный путь […]

Если же сбросить этот наряд […] и дополнить упущенное […], то станет ясно [родство между Лексисом и Пирсоном]. Не Лексис против Пирсона, а Пирсон в свете Лексиса, Лексис, обогащённый Пирсоном, — так должен был бы гласить лозунг тех, кто не удовлетворён бездушным эмпиризмом …

На смешение теоретических и эмпирических показателей у Пирсона указал и Fisher (1922, c. 311 и 329, прим.). Можно было бы привести и аналогичные высказывания Андерсона (Шейнин 1990c/2010, с. 189), но мы ограничимся цитированием Колмогорова (1947, с. 63 и 64; 1948, с. 143) и Бернштейна (1928/1964, с. 228); о высказываниях других учёных см. Шейнин (2010).

Современный этап развития математической статистики начался с фундаментальных работ […] (К. Пирсон, Стьюдент, Фишер). […] Применения теории вероятностей […] превратились в общую теорию статистической проверки вероятностных гипотез […] и статистической оценки параметров […].
Исследования основоположника английской современной математической статистики Фишера были не безупречны в логическом отношении. […] Справедливая критика [его логических неясностей] привела многих учёных (у нас, С.Н. Бернштейна) к полному отрицанию самого направления [его] исследований.
Оставались на уровне XVIII в. представления о логической структуре теории вероятностей. […] Строгие результаты относительно близости эмпирических выборочных характеристик к теоретическим относились только к случаю независимых испытаний, […] вспомогательный аппарат таблиц, употребляемых при статистическом исследовании, несмотря на огромную […] работу, […] оказался весьма несовершенным в отношении охвата переходных от малых к большим выборкам случаев.
Пирсон произвёл огромную организационно-статистическую работу и имеет также большие теоретические заслуги, в особенности потому, что он ввёл целый ряд новых понятий и открыл практически важные пути научных исследований. Обоснование и критика идей Пирсона являются одной из центральных проблем современной математической статистики, в разработке которой достигли значительных успехов, например, Шарлье и Чупров …

Два слова о Стьюденте (Госсет); о Юле см. M.G. Kendall (1951). Не принадлежа к биометрической школе, Стьюдент (Irwin 1978, с. 409) был

Одним из пионеров развития современного статистического метода и его приложения к планированию и исследованию экспериментов.

Фишер (там же, с. 410) назвал его Фарадеем статистики, поскольку его интуиция была сильнее его математики. См. сборник его трудов (1942) и E.S. Pearson (1990). Заметим, что известное t-распределение Стьюдента впервые появилось у немецкого математика Люрота (Pfanzagl & Sheynin 1996).

16.3. Объединение континентального направления и биометрической школы?

Так произошло ли объединение двух течений статистики, за которое ратовал Чупров? В 1923 г. Чупров стал почётным членом лондонского Королевского статистического общества, а после его смерти в 1926 г. оно приняло резолюцию соболезнования (Шейнин 1990с/2010, с. 198), в которой признавалась его роль в согласовании методов исследования, применяемых в Англии и на континенте.

О лишь частично успешных усилиях Чупрова и тщетных попытках Слуцкого примирить Маркова с работами Пирсона мы уже упоминали (§ 15.1-4). И вот Бауер (1955/1968, с. 226) сообщил, что по инициативе Андерсона исследовал, как применяется дисперсионный анализ в каждой из двух школ, и пришёл к выводу (с. 238), что их работы идут рядом, но не смыкаются. И это было написано в 1955 г.! Более подробно о статье Бауере см. Heyde & Seneta (1977, с. 57–58), где также справедливо указано, что, в противоположность биометрической школе, Континентальные статистики предпочитали исследовать непараметрические методы.

Мы сами (Гнеденко и Шейнин 1978, с. 235) указывали, что математическая статистика[16] по-настоящему родилась как слияние этих школ, и даже сейчас представляется, что это утверждение вовсе не было оригинальным (но сослаться ни на кого не можем). Но мы хотели бы уточнить: по крайней мере в описываемый нами период английские статистики все-таки продолжали работать обособленно от континентальных учёных. Э. Ш. Пирсон, в обширном исследовании трудов своего отца (E.S. Pearson 1936–1937), не посвятил этой теме ни единого слова, и то же можно сказать о других комментаторах Пирсона. Есть только признание Пирсона (см. наш Эпиграф) в пренебрежении историей статистики.

Мы полагаем, что английские (а затем американские) статистики в основном лишь случайно узнавали о предшествующих достижениях континентальных статистиков. Более того: нынешние англоязычные специалисты также склонны ориентироваться только на своих предшественников. Даже Хальд (1998), которого, впрочем, во многом извинял его преклонный возраст, назвал свою книгу История математической статистики, но почти полностью упустил Континентальную школу.

В 2001 г. журнал Биометрика (т. 88) опубликовал пять обзорных статей, посвящённых своему столетию, но ни в одной из них не было сказано ни слова о Континентальном направлении, ни одна не упомянула Чупрова. Уместно добавить, что Крамер (1946/1948, с. 9) поставил целью своей монографии объединить статистические исследования английской и американской школы (и в первую очередь — работы Фишера) с новой, чисто математической теорией вероятностей, созданной главным образом трудами французских и русских математиков.

В 1919 г. в Биометрике появилась редакционная статья с примечательным названием Повинились. Её автор (Пирсон) исправил допущенные им на протяжении нескольких лет фактические и методологические ошибки, в основном обнаруженные Чупровым (Шейнин 1990с/2010, с. 86), но не воспользовался случаем, чтобы сблизиться с континентальными статистиками.

Аксиоматизация.

Библиографический обзор

Основными источниками по аксиоматизации теории вероятностей можно считать Barone & Novikoff (1978) и Hochkirchen (1999), кроме которых назовём и Бернштейна (1917).

После Гильберта (Hilbert 1901) решительный шаг сделал Колмогоров (1933), и Freudenthal & Steiner (1966, с. 190) сравнили его достижение с решением задачи о Колумбовом яйце (надломив, можно поставить его стоймя). Из новых имён назовём Хаусдорфа (Hausdorff 2006), который оставил важные неопубликованные сочинения, см. Girlich (1996), а также Shafer & Vovk (2001) и Krengel (2011), который подчеркнул роль Больцмана. Vovk & Shafer (2003,с. 27) охарактеризовали свою книгу:

Мы показываем, как классическая суть теории вероятностей может быть непосредственно основана на мартингалах теории игр без всякого обращения к теории мер. Вероятность снова оказывается вторичным понятием, но теперь она определяется в терминах мартингалов.

В заключение мы цитируем Буля (1854а/1952, с. 288), который первым заявил о необходимости аксиоматизации теории вероятностей:

Притязания [теории вероятностей] принадлежать чистой науке должны основываться на степени, в которой она удовлетворяет следующим условиям. Первое, принципы, на которых основаны её методы, должны быть по своей сути аксиоматическими.

Буль указал ещё два общенаучных условия. О его работе в теории вероятностей см. Halperin (1976), который, однако, не рассматривает аксиоматизацию.

Примечания

[1] Так, Гнеденко (1950/1954, с. 244–249) доказывает теорему для условия Линдеберга, а затем добавляет, что оно следует из условия Ляпунова.

[2] Переписка Ляпунова с К.А. Андреевым 1901 г. (Шейнин 1989b) свидетельствует о том, что он вначале хотел опубликовать свою заметку в Математическом сборнике, но что руководство Московского математического общества (Бугаев, Некрасов (!)) воспротивились этому и что Ляпунов по совету Андреева значительно расширил её.

[3] Вот мнение К.А. Андреева (письмо Ляпунову 1901 г.; Гордевский 1955, с. 40):

мыслит он [Некрасов] вообще не ясно, хотя может быть и глубоко, а излагает свои мысли ещё темнее. Удивляюсь только, что он так самонадеян. В его положении при такой массе административных тягостей нельзя, по-моему, иметь даже достаточно свободного времени, чтобы спокойно обдумывать глубокие научные вопросы, а потому лучше было бы за них вовсе не браться.

Вот пример глубокой мысли Некрасова (1916а, с. 23): он упомянул почти все задачи не существовавшей теории катастроф и сам термин катастрофа.

[4] Можно, однако, добавить, что одной из целей своей работы Марков (1912b, с. 215) подчас считал опровержение ошибочных заявлений Некрасова. Аналогичное заявление содержится в одном из его писем Чупрову 1910 г. (Ондар 1977a, с. 12).

[5] В 1896 г. Чупров оканчивал Московский университет, и его кандидатское сочинение (дипломную работу) принимал Некрасов. В том же году в письме Борткевичу (Борткевич и Чупров 2005, Письмо № 5) Чупров сообщил, что, увидев в его сочинении слово дисперсия, Некрасов спросил: Вы что это, теорию вероятностей к дисперсии света прилагаете?

[6] Статья Борткевича появилась в русском эмигрантском журнале, который мы нашли в отделе редких книг Росс. гос. библиотеки. Несколько других экземпляров того же издания из числа хранящихся в Германии не содержат этой статьи, и мы можем объяснить это лишь тем, что она попала только в часть тиража.

[7] Оскар Николаевич Андерсон (1887–1960), российский немец, эмигрировал в 1920 г. В 1924–1942 гг. жил и работал в Болгарии, затем в Германии (в Западной Германии), был ведущим статистиком этих двух стран. См. Шейнин (1990с/2010, с. 94–98), H. & R. Strecker (2001) и собрание его сочинений (Anderson 1963).

[8] В 1897 г. Борткевичу не удалось дополнительно опубликовать свою работу на русском языке, в издании Петербургской академии наук; этому воспрепятствовало её предстоявшее появление на немецком языке (Шейнин 1990с/2010, с. 61−62).

[9] Это обвинение не доказано; к тому же, оно противоречит всем представлениям о личности Борткевича.

[10] Автор статьи 1896 г., книги биометрического направления 1899 г. и двух последующих заметок (M. G. Kendall & Doig 1968).

[11] Уже во времена Дарвина установление теории предполагало ее количественное подтверждение, которого у него и в помине не было. Гипотеза происхождения видов, как мы её назвали в § 11.8.2, было бы правильней.

[12] В 1912 г. Слуцкий предложил Пирсону две рукописи для публикации, ни одну из которых тот не принял. Сохранились три письма Слуцкого (1912b) Пирсону (Univ. College London, Pearson Papers 856/4 и 856/7; Шейнин 1999с, с. 229–236), но не ответы на них. По поводу этого эпизода Слуцкий советовался с Чупровым (Шейнин 1990с/2010, с. 70–71) и вскоре опубликовал одну из своих рукописей (1914), — ту, относительно которой он назвал отказ Пирсона недоразумением.

[13] В резкой форме возразил против этого Борткевич в своей полемической статье (1915).

[14] Вот примечательное воспоминание Неймана, которым он поделился с Э.Ш. Пирсоном (E.S. Pearson 1936, c. 213): в 1916 г. он прочёл Грамматику науки по рекомендации С. Н. Бернштейна, своего учителя по Харьковскому университету, и книга произвела на нас громадное впечатление. Там же (1892, с. 15) мы находим известнейшее утверждение Пирсона: Единство всей науки состоит лишь в её методе, а не материале. Вся наука действительно не имеет общего материала, но не думал ли Пирсон и об её отдельных отраслях?

Заметим, что и Пирсон (1978, с. 243) в свою очередь высказался о Ленине: Петроград по какой-то непостижимой причине ныне назван по имени человека, который практически погубил его.

В Советском Союзе, как нетрудно догадаться, Пирсона встретили в штыки. Эта тема выходит за хронологические рамки нашего исследования, и мы опишем лишь два эпизода (Шейнин 1998с/2001, с. 183 и 194, прим. 23) и вспомним Шлёцера (Schlözer 1804, p. 51): статистика и деспотизм несовместимы.

1) Мария Смит, 1930 г., будущая член-корреспондент Академии наук: система кривых Пирсона неприемлема главным образом потому, что в её основе

лежит фетишизм числа и […] классификация их построена только математически. Хотя Пирсон не так свирепо хочет подчинить весь реальный мир одной единой кривой распределения, как это делал Гаус [так в ее тексте] […], но его система покоится все же только на математической базе, на которой вообще нельзя изучать конкретный мир.

2) А.Я. Боярский и Л. Цырлин, в 1947 г. кощунственно обвинили Пирсона в проповедовании расистских идей, опередивших ведомство Геббельса. Лишь несколько сдержаннее высказался о Пирсоне анонимный автор в БСЭ (2-е изд., т. 33, 1955, с. 85).

Советская статистика и советские статистики немало вынесли и вне зависимости от Пирсона. Та же Смит удовлетворённо и безграмотно заметила в 1931 г., что ряды арестованных вредителей полны статистиками (наша статья, упомянутая выше, с. 193, прим. 5). Её заслуги перед русской словесностью несомненны, а участие в заполнении рядов вредителей весьма вероятно.

[15] Пирсон отказался, указав на свои финансовые затруднения и нежелание оставлять без должного руководства свой факультет [в лондонском Univ. College] (Шейнин 2002b, c. 143 и 163, прим. 8).

[16] Многие специалисты предпочитают термин теоретическая статистика, однако между двумя понятиями существует определённое различие: важный этап статистических исследований, а именно предварительное исследование данных, изучает только теоретическая статистика. Мы упоминали об этом в §§ 3.1.4 и 11.5. См. Шейнин (1999а, с. 707–708).