СЕМЬ ИСКУССТВ

В 1905 г. Совет Петербургского университета решил просить разрешения зачислить в студенты всех успешных абитуриентов-евреев вне зависимости от процентной нормы (3%), но два профессора, Марков и зоолог В.М. Шимкевич, заявили, что следует решить этот вопрос явочным путём. Их предложение было отвергнуто, и Марков, состоявший членом комиссии Совета, покинул её.

Оскар Шейнин

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

(публикуется с сокращениями)

(продолжение. Начало в № 8/2025 и сл.)

13. Геометрическая вероятность

О развитии понятия геометрической вероятности в XVIII в. и раньше см. § 7.1.6, о его определении, которое предложил Курно, см. § 11.3-2, а задачу Бертрана о длине случайной хорды мы описали в § 12.1-1. Здесь мы рассмотрим дальнейшую историю указанного понятия.

1) Курно (1843, § 74) применил геометрическую вероятность для вывода распределения функции нескольких случайных переменных. Вот один из его примеров. Дана функция u = |x – y|, аргументы которой равномерно распределены на отрезке [0; 1]. Подсчитав площади соответствующих фигур, он заключил, что

P(u ≥ a) = (1 – a²), 0 ≤ a ≤ 1.

Вероятность противоположного события привела бы Курно к некогда популярной задаче о встрече (Laurent 1873, с. 67 – 69): двое договорились встретиться в определённом месте в течение некоторого промежутка времени, но приходят они независимо друг от друга в “случайные” моменты времени, притом первый пришедший какое-то время ожидает второго, затем уходит. Какова вероятность встречи?

2) Геометрическую вероятность фактически применили величайшие естествоиспытателя XIX в. Больцман (Boltzmann 1868/1909, с. 50) определил вероятность скорости молекулы находиться в интервале [c; c + dc] как отношение времени, в течение которого это имело место, ко всему периоду наблюдения (§11.8.5). Максвелл (1860) применил геометрические вероятности при выводе своего распределения.

Изучая дождевых червей, Дарвин (1881/1945, с. 52 – 55) исследовал, как они затаскивают бумажные треугольнички в свои норки. Он исходил из того, что число “случайных” захватов какой-либо стороны треугольничка червём пропорционально её длине[1].

3) Seneta и др. (2001) описали исследования Сильвестра, Крофтона и Барбье по геометрической вероятности, которые привели к появлению интегральной геометрии. Мы упомянем лишь замечательную задачу Сильвестра: определить вероятность того, что четыре точки, случайно выбранные внутри выпуклой области, образуют выпуклый четырёхугольник. Чубер (Czuber 1903/1968, с. 99 – 102) решил эту задачу в нескольких частных случаях.

<…>

По мнению Прохорова (1999а) с геометрической точки зрения полярная система координат при независимых и равномерно распределённых θ и ρ, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ 1, является самой естественной. Как и у Пуанкаре, это приводило к вероятности, равной 1/2.

С современной точки зрения о геометрической вероятности см. M. G. Kendall & Moran (1963), которые, в частности, замечают, – впрочем, вслед за авторами XIX в., см., например, Crofton (1869, c. 188), – что она может значительно упростить вычисление интегралов, а также Амбарцумян (1999). Последний автор указывает на связь задач на геометрические вероятности и интегральной геометрии со стохастической геометрией.

Итак, в конце концов комментаторы решили, что искомая вероятность равна 1/2, что равносильно незнанию. Всё столь длительное обсуждение было напрасным.

14. Чебышев

14.1. Отдельные сочинения

1) Магистерская диссертация (1845). Она послужила пособием для студентов Демидовского лицея в Ярославле и в ней Чебышев излагал теорию вероятностей почти без привлечения математического анализа, заменяя, например, интегрирование суммированием и уже (как и в своих дальнейших работах) оценивая погрешности допредельных соотношений. Диссертация, видимо, содержала добавление, опубликованное лишь через год, см. пункт 2.

Мы полагаем, что правильнее было бы изложить основные идеи теории вероятностей, но тема пособия была задана попечителем соответствующего учебного округа.

<…>

Ещё до Маркова к чебышевскому доказательству [ЦПТ] обратился Слешинский (1892). Он исходил из результатов Коши (§ 11.1) и (с. 204) имел целью упростить (а не уточнить) Чебышева. Вопреки мнению Фрейденталя и в согласии с Heyde & Seneta (1977, с. 95 – 96) мы полагаем, что исследование Коши всё же имело изъяны. И, снова повторяя этих двух авторов, мы скажем, что Слешинский, видимо, строго доказал указанную теорему, правда лишь для линейной функции погрешностей с чётной функцией плотности. Пожалуй, по этой причине Ляпунов (1900/1954, с. 126) заметил, что тот делал слишком ограничительные предположения. Как и Чебышев (гл. 1, Прим. 2), Слешинский считал, что его результаты обосновывают МНКв [опять-таки только в смысле Лапласа].

14.2. Лекции

С 1860 по 1882 гг. Чебышев читал лекции по теории вероятностей в Петербургском университете, и в 1936 г. А. Н. Крылов опубликовал курс 1879/1880 гг. по записи Ляпунова; ниже мы ссылаемся на него, указывая лишь номера страниц. В своём предисловии Крылов указал, что запись Ляпунова воспроизводит лекции […] именно в том виде, как они прочитаны со всеми тонкостями попутных замечаний … Прудников (1964, с. 183), однако, полагал иное:

Записать подробно лекции […] было почти невозможно, и понятно, что сохранившиеся записи их, сделанные А.М. Ляпуновым, носят фрагментарный характер.

Его мнение представляется гораздо правдоподобнее. Крылов также сообщил, что переписал рукопись Ляпунова по новой орфографии […] попутно проверив все выкладки. Мы перевели этот курс на английский язык (S, G, 3) и при этом исправили быть может сотню (повторяем: сотню) математических опечаток, не претендуя, однако, на их полное выявление. Ермолаева (1987) кратко описала найденную ей более подробную запись лекций Чебышева с сентября 1876 по март 1878 гг., которая, однако, так и осталась неопубликованной, и неизвестно насколько она по существу отлична от ляпуновской.

Лекции были посвящены определённым интегралам, теории конечных разностей и собственно теории вероятностей, и ниже мы опишем лишь их последний раздел, но начнём с нескольких общих замечаний. Чебышев стремился применять простейшие методы; он, например, пользовался суммированием и, при необходимости, переходил к интегрированию лишь в последний момент, а характеристические функции применял лишь к дискретным величинам; далее, независимости событий или случайных величин он не оговаривал, о чем мы уже упоминали выше; и, наконец, он не интересовался философскими проблемами теории вероятностей[2], а из её приложений обсуждал почти исключительно математическую обработку наблюдений.

1) Основные понятия. Целью теории вероятностей Чебышев (с. 148) назвал определение шансов для совершения известного [некоторого] события, событием же является все то, чего вероятность определяется, а вероятностью – величина, подлежащая измерению. Появление слов шанс и вероятность в одной фразе было, возможно, чисто литературным приёмом, по существу же Чебышев сделал небольшой шаг в направлении аксиоматизации теории вероятностей[3]  Стóит привести современное высказывание (Прохоров и Севастьянов 1999, с. 77): теория вероятностей изучает математические модели случайных событий и

позволяет по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.

Чебышев (с. 160) предложил необычное и вряд ли полезное определение ожидания – не случайной величины, а появления одного из нескольких несовместимых событий. Сумма произведений вида p_ia_i описывала эти события их вероятностями и величинами, измеряющими их. Заметим, что он в основном описывал дискретные случайные величины.

<…>

5) [ЦПТ] (с. 219 – 223). В то время Чебышев еще не владел её строгим доказательством. Мы лишь заметим его высказывание (с. 224): полученная им формула

выведена не строгим путём. […] Мы делали различные предположения, не показав предела происходящих от этих [от этого] погрешностей. Этого же предела не может дать сколько-нибудь удовлетворительным образом математический анализ в настоящем своём состоянии.

6) Статистические заключения. Чебышев решил две задачи, которые, впрочем, уже рассматривались раньше. В первой из них он (с. 187 – 192) вывел предельную теорему Бейеса (§ 6.2). Бейеса он, однако, в своих Лекциях вообще не упоминал.

<…>

7) Математическая обработка наблюдений (с. 224 – 252). Чебышев (с. 227) доказывает, что среднее арифметическое является [состоятельной] оценкой неизвестной константы. В отличие от Пуанкаре (§ 12.2-7) оптимальность он (с. 228 – 231), однако, обосновывает тем, что в классе линейных оценок среднее обеспечивает наиболее тесные вероятные пределы допускаемой ошибки. Дисперсия среднего арифметического также минимальна (там же); хотя Чебышев не обращает на неё особого внимания, получается так, что он по идее основывается на зрелом гауссовском обосновании МНКв (§ 10A.4). И в то же время он (с. 231 – 236) выводит нормальный закон как универсальное распределение ошибок наблюдений примерно так же, как Гаусс в 1809 г. (§ 10A.2).

Способ Гаусса, как Чебышев (с. 250) утверждает, фактически имея в виду именно эту, впоследствии отвергнутую Гауссом попытку, основан на сомнительном законе гипотез, т. е. на теореме Бейеса с совпадающими априорными вероятностями. Этот закон Чебышев несколько раз осуждал в связи с бейесовским подходом и в прежних параграфах своих Лекций; в данном же случае уместно вспомнить о замечании Уитттекера и Робинсона в § 10A.2-2.

<…>

Бернштейн (1928/1964, с. 219) опровергнул решение Чебышева, заметив, что указанная выше предпосылка приводит к противоречиям. Он привёл и дальнейшие соображения и, в частности, указал (с. 220), что теория чисел имеет дело с закономерными последовательностями чисел, для которых есть смысл исследовать предельные или асимптотические частости чисел заданного класса, но не вероятности, которых мы никогда не станем экспериментально определять. Об этой же задаче и о вероятностной теории чисел см. Постников (1974).

14.3. Некоторые общие соображения

Итак, Чебышев полагал, что утверждения теории вероятностей должны быть строго доказаны, а её предельные теоремы следует сопровождать оценками погрешностей допредельных соотношений (Колмогоров 1947, с. 56). Он сам существенно развил ЗБЧ и, с некоторыми огрехами, впервые доказал ЦПТ. От исследования этих двух задач зависела дальнейшая судьба теории вероятностей (Бернштейн 1945/1964, с. 411). Его ученики и, в первую очередь, Марков и Ляпунов, также внесли свой вклад в теорию вероятностей (§§ 15.1, 15.2, 15.4).

Колмогоров (там же) продолжал:

Чебышев впервые ясно оценил и использовал всю силу понятий случайной величины и [её] математического ожидания…

Мы, однако, возразим против выражения всю силу. Действительно, во-первых, Чебышев не воспользовался эвристическим определением случайной величины (Пуассон, § 9.2), не употреблял этого выражения[4] и не изучал плотности и производящие функции как математические объекты. Во-вторых, всё развитие теории вероятностей, видимо, можно характеризовать как всё более полное использование силы указанных понятий; с тех пор она начала изучать зависимые случайные величины, их системы и цепи.

Вот ещё заключение Бернштейна (1945/1964, с. 432):

Кризис теории вероятностей, который остановил её рост 100 лет назад, был преодолён гением Чебышева и его сподвижников, далеко опередивших в этой области западноевропейских математиков.

Кризис можно понимать как опасное и неустойчивое состояние; в данном случае – как крайне неблагоприятное положение по сравнению с быстро развивавшимися тогда в Европе иными ветвями математики, см. § 1.1. И здесь приходится добавить два обстоятельства. С одной стороны, Чебышев, при своём блестящем аналитическом таланте был патологическим консерватором. Таково мнение C.П. Новикова (2002, с. 330), который подтвердил его ссылкой на В.Ф. Кагана (1869 – 1953): тот, будучи молодым приват-доцентом, выслушал презрительное высказывание Чебышева о новомодных дисциплинах типа римановой геометрии и комплексного анализа. Даже Ляпунов (1895/1946, с. 19 – 20), который по мнению Бернштейна (1945/1964, с. 427)

лучше других представителей петербургской школы [Чебышева] понимал и умел ценить достижения западноевропейских математиков второй половины прошлого [XIX] столетия,

назвал идеи Римана отвлечёнными, псевдогеометрическими и иногда бесплодными, притом не имеющими ничего общего с глубокими геометрическими исследованиями Лобачевского. Но Ляпунов не забыл о Клейне, который ещё в 1871 г. представил единую картину неевклидовой геометрии, частными случаями которой оказались результаты Лобачевского и Римана!

С другой стороны, Тихомандрицкий (1898, с. IV) засвидетельствовал, что в 1887 г. показывал Чебышеву свой курс, и что тот высказал мысль, что […] теперь нужно перестроить всю теорию вероятностей. Трудно сказать, что именно имел в виду Чебышев. Его слова должны были стать известными, мы же нашли позднейшие ссылки на них (Maciejewski 1911, с. 87; Гнеденко и Гихман 1956, с. 487). О петербургской школе теории вероятностей см. также Бернштейн (1940).

Но вернёмся к его первым двум утверждениям и спросим: почему всё-таки ни Пуассон, ни Пуанкаре не стремились строго доказывать свои выводы? Пожалуй, только по отношению к ЦПТ такой возможности у Пуассона не было. Основной причиной, видимо, было прикладное положение теории вероятностей, которая почти не имела дела с собственно математическими объектами (плотностями, характеристическими функциями).

И дальнейшая судьба этой науки не меньше зависела от её обращения к указанным объектам, что произошло лишь в 1920-е годы (П. Леви). Пуассон (1837, с. 1), правда, указал, что в XVIII в. исчисление (а не теория!) вероятностей стало одной из основных ветвей математики и по числу и пользе своих приложений, и по характеру анализа, который оно породило, но это утверждение всё же не противоречит сказанному выше. И вот подходящее утверждение Маркова в докладе 1921 г. (Шейнин 2006а, с. 152): на теорию вероятностей обычно смотрели как на прикладную науку, где математическая точность излишня.

15. Марков, Ляпунов, Некрасов

Здесь мы рассмотрим творчество трёх выдающихся учёных; по отношению к Некрасову мы, однако, уточним эту характеристику.

15.1. Марков: общие сведения

Основные результаты Маркова мы рассмотрим в § 15.2, а здесь кратко опишем некоторые дополнительные темы; об его исследовании статистических рядов см. § 16.1.3. Наконец, § 15.3 посвящён личности Маркова.

1) История теории вероятностей. Марков безусловно интересовался ей. Он исследовал ЗБЧ Бернулли (§ 4.2.3) и был инициатором юбилейного заседания Петербургской академии наук 1913 г. по поводу 200-летия этого закона, равно как и публикации русского перевода 4-й части Искусства предположений (§ 4). Марков несколько раз возвращался к истории неравенства Бьенеме – Чебышева и метода моментов (§ 11.2-4), чётко высказался за второе обоснование МНКв (упомянуто в § 10A.6-1), ввёл надлежащий термин теорема Муавра – Лапласа и подчеркнул роль Муавра в установлении формулы Стирлинга (1924, с. 53). Это последнее издание его Руководства содержит много замечаний по истории теории вероятностей, а в теоретико-числовых мемуарах, собранных в его Избранных трудах (1951), немало точных ссылок на предшественников.

2) Страховое дело. В своём Исчислении вероятностей Марков пояснил теорию страхового дела, но ничего нового к ней не добавил. Он, однако, много сотрудничал в пенсионных учреждениях, аккуратно и скрупулёзно вникая во все практические детали (Шейнин 1997d), а в 1906 г. опубликовал две газетные статьи с уничтожающей критикой тогдашнего проекта страхования детей (перепечатаны нами там же).

3) Вычисления. Подобно некоторым другим крупным учёным, Марков любил и умел вычислять (Линник и др. 1951, с. 615). В теории вероятностей наиболее известна таблица нормального распределения, составленная Марковым (1888) с 11-ю знаками для аргумента

х = 0(0,001)3(0,01)4,8 с разностями всех необходимых порядков (например, с разностями первых трёх порядков для х ≤ 2,649). По свидетельству авторов справочника Fletcher et al (1946), таблицы Маркова и второго автора (1898 г.) оставались непревзойдёнными вплоть до 1940-х годов.

Отношение Маркова к вычислениям проявилось в одном из его высказываний (1899b, с. 30):

Многие математики, видимо, полагают, что выход из поля абстрактных рассуждений в сферу эффективных вычислений унизителен.

4) Теория корреляции. В § 11.7-3 мы указали, что статистики относились к ней с сомнением. То же можно сказать о Маркове. Слуцкий (1912а) опубликовал книгу, в которой собрал и обобщил результаты биометрической школы по теории корреляции и которую Колмогоров (1948) назвал ещё важной и интересной. Марков, однако, не оценил её. В трёх письмах Чупрову 1912 г. (Ондар 1977а, с. 60 – 65) он заявил, что книга интересует, но не прельщает его и не очень ему нравится. В том же 1912 г. Слуцкий вступил в переписку с Марковым и в одном из своих писем (Шейнин 1999c, с. 132) справедливо заметил:

Недостатки изложения теории корреляции у Пирсона – временные, такого же порядка, как […] недостатки математики 17 и 18 века [веков]. Строгий фундамент под работу гениев был подведён только post factum, то же будет и с Пирсоном. Я взял на себя изложение того, что сделано. А.А. Чупров изложит когда-нибудь вопрос о корреляции с философско-логической стороны, осветит его как метод исследования. Зрелому математическому уму чистого математика предоставлено будет усовершенствовать математический фундамент теории.

Через несколько лет Марков (1916а/1951, с. 533) критически отозвался о теории корреляции: её

Положительная часть не велика и состоит в простом применении способа наименьших квадратов к разысканию линейных зависимостей. Но […] не довольствуясь приближенным определением различных коэффициентов, [она] указывает ещё их вероятные погрешности, и здесь она вступает в область фантазии, гипноза и веры в математические формулы, которые в действительности не имеют твёрдого научного основания.

Разыскание зависимостей (пусть только линейных) все-таки важно, а оценка надёжности результатов существенна для любого исследования. В то время, правда, подобная оценка была невозможна. Рассматривая вычисления одного современного ему автора, Марков (с. 534 – 535) указал на явную несуразицу: вычисленный тем коэффициент корреляции был равен 0,09, а его вероятная ошибка – 0,14. Кроме того, эти числа резко изменились при отбрасывании некоторых наблюдений этого автора, но теперь известно (Линник 1951, с. 670), что без знания распределения генеральной совокупности генеральный коэффициент корреляции оценивается выборочным коэффициентом ненадёжно.

Но мы обязаны сослаться на Бернштейна (1928/1964, с. 231). Не обосновав, к сожалению, своего суждения, он заявил, что приложения теории корреляции, за исключением биологических, основаны на недоразумении.

5) Принципы теории вероятностей. Марков по существу ими не занимался. Так, в предисловии к немецкому изданию своего Руководства (1912, c. iii) он заявил, что не будет подробно рассматривать их. Примерно в то же время он (1911с/1977, с. 162) пессимистически оценил подобные усилия:

Я не буду защищать […] основных теорем, связанных с основными понятиями исчисления вероятностей, о равновозможности, о независимости событий и т. д., так как знаю, что можно спорить без конца даже об основных положениях такой признаваемой всеми точной науки как геометрия.

Он (Руководство 1908, с. 2; 1924, с. 2) также не совсем чётко заявил, что

различные понятия определяются не столько словами, каждое из которых может в свою очередь потребовать определения, как нашим отношением к ним, которое выясняется постепенно.

Видимо: некоторые (а не различные) понятия вынужденно принимаются без определения. До аксиоматизации от классического определения вероятности смог отойти (не совсем удачно) только Мизес, см. также § 8.4. Вообще же (A.A. Youshkevich 1974, c. 125) Марков, очевидно как ученик Чебышева, недооценивал возникавшее тогда аксиоматическое направление теории вероятностей равно как и теорию функций комплексного переменного.

Марков (1924, с. 10) сформулировал аксиому: если равновозможные события делятся по отношению к событию А на благоприятные и неблагоприятные, то после появления А неблагоприятные отпадают, остальные же остаются равновозможными. На с. 13 – 19 он доказал теоремы сложения и умножения вероятностей довольно сложным образом и со ссылкой на эту аксиому (не выделенную из контекста!), а на с. 24 заключил, что указанные теоремы совместно с его аксиомой служат незыблемым основанием для исчисления вероятностей как отдела чистой математики. Никто ни разу не ссылался ни на марковскую аксиому, ни на его странный вывод. Он же притом не изучал ни плотности вероятностей, ни характеристические функции как математические объекты, как это сделал P. Lévi (1925).

Donkin (1851, с. 353) высказал утверждение, подобное марковской аксиоме и, видимо, вводящее принцип недостаточных оснований, или, по Кейнсу (1921/1973, с. 44), принцип безразличия:

Закон, который всегда должен приниматься в качестве основы всей теории, таков. Если мы представляем себе несколько гипотез, полагая их взаимоисключающими и исчерпывающими, но не зная о них ничего больше, то мы распределяем свою веру поровну между ними.

Буль (1854/2003, с. 163) полагал, что принцип Донкина быть может является аксиоматическим. Но ни Донкин, ни Кейнс, ни Буль не упоминали преобразования теории вероятностей.

6) Математическая статистика. В 1910 г. Марков (Ондар 1977а, с. 12) отказывался признать Пирсона, но к концу жизни несколько смягчил свою точку зрения. Вот отрывок из письма Чупрова английскому статистику Иссерлису, видимо 1924 г. (Шейнин 1990c/2010, с. 88):

Марков относился к Пирсону можно сказать с презрением. Характерец был у Маркова не легче чем у Пирсона и малейших противоречий он также не переносил. Можете себе представить, как он воспринимал мои настойчивые указания на крупное научное значение трудов Пирсона. Усилия мои, направленные в эту сторону, остались, как доказывает четвёртое издание Исчисления вероятностей, не безрезультатными. Кое-что [пирсоновское] оказалось в конце концов включённым в поле научных интересов Маркова.

Чупров (1925b/1977, с. 168) также опубликовал рецензию на указанное издание. Здесь, мы процитируем лишь его разумную критику марковского описания теории корреляции:

Выбор вопросов, на которых останавливается внимание, случаен; освещение их в рамках главы, отведённой [МНКв], не полно; связь теории корреляции с теорией вероятностей недостаточно органична…

Какие же новые отделы статистики Марков включил в последнее издание своего Руководства? Исследование статистических рядов и пирсоновскую теорию корреляции (§ 15.2-1). Он рассмотрел линейную корреляцию и применил МНКв для определения параметров линий регрессии и обсуждал [случайные переменные] с плотностью в виде квадратичной формы, а его общие ссылки включали книгу Слуцкого (1912а). Никаких упоминаний фантазии или гипноза (§ 15.1-4) не было и в помине. В § 15.2-1 мы добавим, что Марков не обратил внимание ни на критерий хи-квадрат, ни на кривые Пирсона. Других английских учёных (Стьюдента, Юла) он вообще не упоминал.

7) Преподавание теории вероятностей в школе. В 1914 г. П. А. Некрасов попытался ввести эту дисциплину в школьный курс. Марков, который вообще не выносил Некрасова ни как человека, ни как математика (см. также конец § 15.3), не был приглашён на последовавшую заочную дискуссию, но высказал своё мнение в специальной статье (1915а). Он резко протестовал против конкретной программы курса, которую предложил Некрасов, но в принципе, как можно понять, не возражал против его предложения. Ещё раньше, в 1914 г., он опубликовал по этому поводу перепечатанную нами (Шейнин 1993a, с. 200) газетную статью, а в 1916 г. был членом специальной академической комиссии, которая крайне отрицательно отозвалась и о проекте Некрасова, и о его понимании основных понятий математического анализа, ср. § 15.5 (Доклад 1916).

8) Методологические вопросы. Многие авторы высоко оценили методологическое значение трудов Маркова. Бернштейн (1945/1964, с. 425) назвал их образцами точности и ясности изложения; Линник и др. (1951, с. 615) отметили, что для него была характерна ясность и чёткость языка, тщательная отделка деталей. Убедительный пример, свидетельствующий об обратном, представляет собой отказ Маркова обсуждать уравнивание прямых условных наблюдений (§ 10A.4-9) в своём Руководстве. И мы не доверяем утверждению Чупрова (1925b/1977, с. 167) о прозрачной ясности изложения в Руководстве Маркова (1924).

За исключением самокритичного заявления Маркова (§ 15.2-1), мы согласны лишь с Идельсоном (1947, с. 101), который признал главу о МНКв в его Руководстве трудно написанной. И вообще Марков переписывал свои формулы вместо того, чтобы нумеровать и ссылаться на них. Так, он (1924, с. 328 – 330) почти подряд выписал длинную формулу пять раз. Далее, он не применял указательных местоимений; на с. 328 мы читаем: выбор коэффициентов [следует выключенная строка] находится в нашем распоряжении. Мы подчиним коэффициенты [эта строка повторяется] двум условиям…

Марков отказывался применять термин случайная величина (§ 15.2-1); отсутствовали у него и выражения нормальное распределение и коэффициент корреляции.  что то же неравенство типа Бьенеме – Чебышева имеет место и при неопределённых, т.е. случайных, m/n и r/k. Как последний из могикан, Марков решительно отказывался применять новый тогда термин, случайная величина, см. § 15.2-1.

Его литературный стиль был просто неважным, а некоторые фразы (1906/1951, с. 341) почти непонятны; структура его Руководства усложнялась от одного издания к следующему. См. также §15.2-1.

15.2. Марков: основные исследования

1) Математическая обработка наблюдений. Линник и др. (1951, с. 637) полагают, что при  обосновании МНКв Марков по существу ввёл понятия, эквивалентные нынешним понятиям несмещённой и эффективной статистик для оценки параметров законов распределения. Оценкой параметров Марков, однако, занимался лишь косвенно и никогда не упоминал о подобной цели, а введение указанных понятий можно было бы с таким же успехом приписать Гауссу. Мы равным образом не согласны с Идельсоном (1947, с. 14), который упомянул метод Гаусса, доведённый Марковым до высшего логического и математического совершенства. В § 10A.6-1 мы вспомнили о решительной позиции Маркова, воспринявшего второе гауссово обоснование МНКв; этим (и замечанием о том, что из [состоятельности] среднего арифметического ещё ничего не следует, см. § 12.2-8), однако, и ограничивается здесь его вклад. И в то же время Марков (1899а/1951, с. 246) отрицал оптимальность МНКв, так нужно ли было его обосновывать?

Нейман (Neyman 1934, с. 595) ошибочно приписал гауссово обоснование Маркову, a F.N. David & Neyman (1938) повторили указанную ошибку, но Нейман (1938/1952, с. 228) позднее признал её. И тем не менее призрачная теорема Гаусса − Маркова до сих пор встречается в литературе; H.A. David (2001, p. 218) заметил, что ввёл её Scheffé (1959, p. 14), хотя уже Plackett (1949) указал на это недоразумение.

В своём Руководстве Марков (1924) по существу объединил обработку наблюдений с исследованием корреляции (§ 15.1-4) и статистических рядов и интерполированием, что, видимо, отражало его попытку включить МНКв в зарождавшуюся математическую статистику, однако в методическом отношении это нововведение было спорным.

Для учебного пособия исследование статистических рядов было довольно сложным; в то же время Марков не упомянул соответствующих статей Чупрова (1916; 1918 – 1919), первую из которых он сам представил в Известия Петербургской академии наук. Чупров (1925b/1977, с. 167) вежливо заметил, что течения научной мысли, идущие не в русле собственной работы Маркова, не упоминаются.

В связи со статистическими рядами Марков (1924, с. 349 – 353) рассмотрел эксперимент Уелдона, – 26 306 бросков 12-и костей (Пирсон 1900). Применив ЦПТ и теорему Бейеса с переходом к нормальному закону, Марков решил, что вероятность появления пяти или шести очков оказалась выше 1/3. В отличие от Пирсона он не воспользовался критерием хи-квадрат и мог создать впечатление, что это новое средство, хотя и пригодное также для небольшого числа наблюдений, вообще не нужно.

Единственная связь интерполяции с МНКв в Руководстве состояла в вычислении эмпирических коэффициентов по принципу наибольшего веса. Пирсоновских кривых Марков не коснулся, возможно ввиду их недостаточной обоснованности, однако, он перепечатал Предисловие к изданию 1913 г., в котором применение приближённых методов в прикладной математике, даже при невозможности оценки их погрешности, было названо неизбежным. Более того: Марков (1915а, с. 32) заявил, что эмпирические формулы Пирсона не требуют теоретического доказательства.

Мы полагаем, что Марков следовал здесь (так же, как и в случае с цепями, рассмотрение которых не было иллюстрировано естественнонаучными приложениями) своему жёсткому и вряд ли вполне обоснованному принципу (Ондар 1977а, письмо Чупрову 1910 г., с. 59):

Я ни на шаг не выйду из той области, где компетентность моя не может подлежать сомнению.

Изложение собственно МНКв в руководстве было тяжеловесным, и сам Марков в письме Чупрову 1910 г. признал это (Ондар 1977а, с. 29): мне часто приходилось слышать, что у меня изложено недостаточно ясно. О том же в 1893 г. писал Маркову его бывший студент Коялович (1893 – 1909, 1893, c. 224), см. также Ермолаева (2009) и Шейнин (2006b/2009):

Насколько я Вас понял, Вы рассматриваете каждое отдельное наблюдение как одно из значений возможного результата. Таким образом, для каждого измерения возможен ряд результатов […], один из которых осуществляется на деле. Все это я готов понять для одного измерения, но когда их имеется, напр., два, то я не могу понять, чем отличается ряд возможных результатов […] первого наблюдения от ряда возможных результатов […] второго измерения.

Вопрос, конечно, сейчас же решается, если Вы скажете, что вероятность одной и той же ошибки в этих рядах различна, но ведь Вы вероятно не захотите вводить понятие о вероятности ошибки в Ваше изложение (?).

Положение так и не улучшилось. Несмотря на собственные утверждения (Марков 1924, с. 323 и 373), высказанные вслед за Чебышевым (1879 – 1880/1936, с. 227), он (с. 327 и 374) заявил, что каждому сделанному наблюдению соответствует лишь одно возможное и нигде чётко не разъяснил, что ошибки наблюдения являются случайными величинами и что ряд наблюдений это случайная выборка, обладающая плотностью распределения. Более того, Марков (Ондар 1977а, Письмо 53 Чупрову 1912 г., с. 71) повсюду, где только возможно, исключ[ал] ничего не определяющие слова случайно и наудачу, приводя взамен соответствующее пояснение. И тем не менее он иногда вместо случайный просто писал неопределённый, что было много хуже. В Прим. 5 к гл. 14 мы упоминали в этой связи Васильева, который (1885, с. 133) прямо утверждал, что случайные ошибки имеют все свойства случайных величин (и свои специальные свойства).

Глава о МНКв в руководстве Маркова вряд ли удовлетворила математиков-статистиков или геодезистов. Ни те, ни другие не нашли там обсуждения результатов Пирсона, вторым же кроме того не требовалась ни интерполяция, ни исследование статистических рядов, а отсутствие скобок Гаусса (Прим. 15 к гл. 2) и появление давно забытого термина практическая геометрия вместо геодезия (с. 462) не могло им понравиться.<…>

Марков (1906/1951, с. 345 и 354) рассмотрел простые однородные цепи случайных событий и дискретных случайных величин и доказал, что ЗБЧ применим и к числу появлений события, и к последовательностям этих величин. Позднее он (1910/1951, с. 476) распространил первый из этих результатов на простые неоднородные цепи.

ЦПТ для цепей Марков доказывал при помощи условия (14.7). Он рассмотрел простые однородные цепи событий (1906) и случайных величин (1908b); простые неоднородные (1910) и сложные однородные цепи случайных величин (1911а; 1911b); простые однородные цепи косвенно наблюдённых событий (1912а). При изучении цепей Марков установил важные эргодические теоремы, однако не обратил на них особого внимания; одну из решённых им задач мы упоминали в этой связи в § 8.1-3).

Трудно поверить, что Марков не представлял себе большого прикладного значения цепей, но сам он об этом ни слова не сказал и единственный приведённый им пример (1913, чередование гласных и согласных в русском языке, см. Petruszewycz 1983) имел в то время методический характер. В 1910 г. сам Марков в письмах Чупрову несколько раз замечал, что ограничивает свою работу тем, что ему хорошо известно (§ 15.2-1). Добавим ещё (Колмогоров 1947, с. 59), что в то время физика в России не изучалась должным образом.

5) Метод моментов. Марков широко применял его, и только тот, кто повторит некоторые его исследования (например, предельного поведения слагаемых, полученных при разложении алгебраических дробей), сможет оценить преодолённые им трудности. Бернштейн (1945/1964, с. 427) противопоставляет Маркову Ляпунова, который применил усовершенствованный к тому времени классический трансцендентный анализ. Метод моментов, заключил Бернштейн, не облегчает проблемы [доказательства ЦПТ] и лишь перемещает центр её трудности. Вскоре Бернштейн (1947, с. 44) заметил, что Чебышев отрицательно отзывался о методе характеристических функций, который в его время ещё не соответствовал требованиям математической строгости.

Можно, однако, представить себе, что Марков хотел выяснить, насколько мощен метод моментов; да он (Руководство 1913; 1951, с. 322) и сам указал, что Ляпунов поколебал значение метода математических ожиданий и что он, Марков, поэтому и решил доказать упомянутую теорему заново (см. выше).Уже Ляпунов (1900/1954, с. 125) назвал марковское доказательство ЦПТ слишком сложным и громоздким ввиду его связи со специальной теорией, но Крейн (1951, с. 8 – 9) заметил, что он ещё не потерял своего значения и его ещё используют (Соловьев 1997, с. 12).

15.3. Личные черты

О жизни (и творчестве) Маркова см. Марков-младший (1951), Гродзенский (1987), Гнеденко и Шейнин (1978), Seneta (2001), Шейнин (2007b). Более частные источники указаны ниже; в частности, архивную переписку Маркова см. Шейнин (2007e), а его многочисленные общественно-политические письма в газеты, часть которых оставалась в архивах ввиду их резкости, опубликовал Гродзенский. Мы сами также опубликовали несколько писем Маркова, об одном из которых см. § 15.1-7.

В 1901 г. Толстой был отлучён от православной церкви, и в последние дни его жизни Священный синод решил, что отлучение останется в силе (Аноним 1910). В 1912 г., когда события 1910 г. были ещё в памяти, Марков подал прошение в Синод с просьбой отлучить и его (но Синод лишь признал его отпавшим), см. Марков-младший (1951, с. 609) и Емелях (1954, с. 400 – 401 и 408). И всё же: почему Марков промедлил около двух лет? Мы полагаем, что он возмутился позорным делом Бейлиса (кровавым наветом мелкого конторского служащего), которое неявно поддерживала православная церковь, см. ниже.

Менее известно, что Марков последовательно выступал против антисемитизма, в чем, как и в своём творчестве, он следовал за Чебышевым. В 1870 г. Чебышев выхлопотал Л.И. Липкину, который изобрёл преобразователь прямолинейного движения в круговое, права на жительство в столице и на сдачу магистерского экзамена (Прудников 1964, с. 84).

В 1905 г. Совет Петербургского университета решил просить разрешения зачислить в студенты всех успешных абитуриентов-евреев вне зависимости от процентной нормы (3%), но два профессора, Марков и зоолог В.М. Шимкевич, заявили, что следует решить этот вопрос явочным путём. Их предложение было отвергнуто, и Марков, состоявший членом комиссии Совета, покинул её (Журналы 1906).

Через два года студенты Военно-медицинской академии выгнали из аудитории нескольких членов черносотенного и антисемитского Союза русского народа. Марков публично поддержал это решительное действие, за что и получил благодарность от сходки студентов Академии (Гродзенский 1987, с. 96). В 1913 г. некто М. Жовтис поступал в Харьковский технологический институт. На экзамене по математике его попросили решить уравнение десятой степени, к тому же весьма неприятное. Он, конечно же, с таким заданием не справился, но сообщил об этом эпизоде в местную газету. Марков опубликовал в другой газете отклик, назвав экзамен издевательством (там же, с. 102 – 104).

В том же году, во время пресловутого процесса киевского еврея М. Бейлиса, которого обвинили в ритуальном убийстве русского мальчика, Марков обратился с открытым письмом к Замысловскому, лидеру крайне правых в Думе, с обвинением в организации антисемитской кампании (там же, с. 104 – 105).

Погоды Марков, конечно же, не сделал, но его мужественную позицию не следует забывать. Вспомним письмо Эйнштейна 1933 г. немецкому статистику и антифашисту Гумбелю (Архив Эйнштейна, Еврейский университет в Иерусалиме, № 38615): Достойные черты характера столь же ценны, как научные результаты. Гумбель еле-еле успел удрать во Францию, а оттуда – в США, но в 1920-е годы он несколько раз побывал в Советском Союзе, опубликовал свои впечатления, в которых показал себя сталинистом (Шейнин 2003a). Похвала Эйнштейна оказалась преждевременной…

О других эпизодах из жизни Маркова см. Марков-младший (1951); мы лишь добавим (Гродзенский 1987, с. 137), что в 1921 г. 15 профессоров Петроградского университета заявили (разумеется, безуспешно), что только знания, а не классовая принадлежность или политические убеждения должны учитываться при приёме абитуриентов в университеты. Первым подписал это заявление Марков. Нейман (1981) вспомнил, что Маркова прозвали неистовым Андреем, о другом его прозвище, боевой академик, сообщил Некрасов (1916b, с. 9).

Общеизвестной стала чрезмерная резкость Маркова. В 1912 г. Жуковский (Шейнин 2007e, с. 198) написал ему:

Не могу не упрекнуть Вас за выражения Вашего письма относительно высокочтимого […] Чаплыгина, которые едва ли можно считать корректными.

И в 1915 г. К.А. Андреев в письме Некрасову (Шейнин 1994f, c. 132) указал, что Марков

До сих пор остаётся старым закоренелым грешником по части провокации споров. […] Единственное средство избавить себя от неприятности быть на удочке провокатора, это не реагировать ни на какие его выпады.

Андреев опубликовал посмертную статью В. Г. Имшенецкого, Марков же раскритиковал её как незавершённую. Сам Марков перед смертью согласился на публикацию своей последней и также незавершённой статьи (Безикович 1924, с. XIV).

Резко и, скажем, вызывающе, Марков вёл себя по отношению к Некрасову, одолевал его множеством грубых открыток (жалоба Некрасова 1915 г. Непременному секретарю АН, см. Шейнин (2007е), и Некрасов (1916b, с. 56 – 62).

(продолжение следует)

Примечания

[1] Поскольку Дарвин рассматривал несколько возможных вариантов “случайного”, то в этом смысле его исследование опередило задачу Бертрана о длине случайной хорды. Дарвин хотел выяснить, осмысленны ли действия червей и заключил, что они захватывали треугольнички не как попало.

[2] Прудников (1964, с. 91) процитировал статью 1893 г. ученика Чебышева, педагога В. А. Латышева:

Один из наиболее выдающихся [русских] математиков […] прямо говаривал студентам, что не советует заниматься философской стороной вопроса математики, потому что для знаний математики это мало полезно, скорее вредно.

Он добавил, что этим математиком был наверняка Чебышев. Напомним (гл. 6), что Чебышев сформулировал задачу о последующем восходе Солнца на языке обыденной жизни. Чебышев ошибался. Существенное значение имели философские рассуждения Якоба Бернулли в части 4 его Искусства предположений, а философские проблемы физики должны были интересовать математиков.

[3] Аналогичное определение цели теории вероятностей встретилось у Чебышева много раньше (1845/1951, с. 29) и стóит напомнить, что у Лапласа теория вероятностей служила для открытия законов естествознания (§ 8.3с). Мысли, сходные чебышевским, мы находим у Буля (Boole 1851/1952, с. 251):

Цель теории вероятностей можно выразить так: По данным вероятностям любого предложения определить вероятность другого предложения.

[4] Термин случайная величина появился в конце XIX в. (Васильев 1885, с. 127 – 131; Некрасов 1888, с. 77), а английский термин random magnitude быть может и позднее (Whitworth 1867/1901, c. 207); нынешнее английское выражение – random variable. Оговоримся: ранних изданий книги Уитворта мы не видели.