©"Семь искусств"
  январь 2026 года

Loading

Буняковский вычислил вероятность, что ладья из квадрата А шахматной доски достигнет квадрата В [который может совпадать с А] в точности за х ходов, если её движение “равномерно” случайно. Случайное блуждание (в данной задаче обобщённое), кажется, встречалось до Буняковского только в косвенном виде, при изучении серии азартных игр.

Оскар Шейнин

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

(публикуется с сокращениями)

(продолжение. Начало в № 8/2025 и сл.)

  1. Вторая половина XIX века

Оскар ШейнинЗдесь мы рассматриваем работы отдельных учёных (§§ 11.1–11.6), статистику (§ 11.7) и приложение статистики к различным отраслям естествознания (§ 11.8). Результаты нескольких естествоиспытателей оказалось, однако, желательным описать отдельно (§ 11.9).

11.1. О.Л. Коши

Коши опубликовал не менее 10 мемуаров по математической обработке наблюдений и теории вероятностей, восемь из которых (включая упоминаемые ниже работы 1853 г.) перепечатаны в 12-м томе 1-й серии его Oeuvres complètes (1900). В частности, он исследовал обработку наблюдений при помощи принципа минимакса (§ 7.3.2) и доказал ту теорему линейного программирования, которая была известна Гауссу (§ 10A.2.1). Он также применял метод средних (§ 7.3.2), и впоследствии Линник (1958, § 14.5) со ссылкой на Л.С. Бартеньеву выяснил, что соответствующие оценки являются несмещёнными и подсчитал их эффективность для случаев одного и двух неизвестного (неизвестных)1. Кратко опишем несколько мемуаров.

Коши (1853b) отыскивал чётную плотность распределения ошибок при условии максимальной вероятности для погрешности одного из неизвестных, входящих в исходные уравнения типа (2.2), находиться в заданном интервале. Он получил не саму плотность, а соответствующую характеристическую функцию

φ(θ) = exp(– cθµ+1), с, θ > 0, µ вещественно              (11.1)

и заметил, что случаи µ = 1 и 0 приводят, соответственно, к [нормальному закону] и распределению Коши, см. § 9.6. Функция (11.1) является характеристической лишь при 1 < µ ≤ 1, а соответствующие распределения оказываются при этом устойчивыми.

Очень важно, что Коши привёл и оценки погрешностей, возникающих при сделанных им предположениях, и Фрейденталь (Freudenthal 1971, с. 142) заявил, что доказательство Коши является строгим даже по современным стандартам. Впрочем, см. § 14.1-4.

Коши уделил немало внимания интерполяции функций и, в связи с этим, МНКв, но ни разу (как и Пуассон) не вспомнил о Гауссе. В одном случае он (1853а, с. 78–79) указал, что МНКв обеспечивает вероятнейшие результаты только в соответствии с результатами Лапласа [только если распределение ошибок нормально] и, по контексту, полагал это существенным недостатком метода.

11.2. И.Ж. Бьенеме

Мы опишем основные результаты Бьенеме в основном по книге Хейде и Сенеты (Heyde & Seneta 1977, сокращённо ХС). Две рукописи Бьенеме и другие его архивные материалы опубликовали Bru и др. (1997).

1) Предельная теорема (Bienaymé 1838; ХС, с. 98–103). Бьенеме в основном доказал теорему, которую впоследствии строго обосновал Мизес (Mises 1919; 1964а). Оговорка в основном содержится в издании Мизес (1964b, с. 352) и там же, на с. 352–355, воспроизведён его результат

1919 г. Пусть произведено n испытаний, в каждом из которых с вероятностью θi появляется событие Ai из числа взаимоисключающих событий и пусть xiколичество появлений Ai и Σxi = n. Полагая, что θi — случайные переменные, Бьенеме рассмотрел их линейную функцию в предельном случае xi, n → ∞, xi/n = Ci. Предварительно ему пришлось выводить апостериорное распределение θi  при заданных xi и молчаливо считать, что первые (m – 1) этих вероятностей обладают равномерным априорным распределением. Фактически Бьенеме доказал, что при возрастании числа полиномиальных испытаний предположение о равномерности априорных распределений становится несущественным.

Заметим, что ещё раньше чем Чубер, на которого Мизес ссылался как на своего предшественника, Некрасов (1890), приняв некоторые естественные ограничения, доказал аналогичное предложение для схемы Бернулли.

3) Закон больших чисел. Бьенеме (1839) заметил, что колебания средних статистических показателей обычно оказываются бóльшими нежели следовало ожидать по ЗБЧ Бернулли. Это, по его мнению, было вызвано тем, что некоторые причины, воздействующие на изучаемые события, оставаясь постоянными в пределах данной серии наблюдений, существенно изменяются при переходе к следующей. Мысль Бьенеме впоследствии подхватили Курно, Лексис и другие континентальные статистики (§ 16.1), а в теории ошибок она формулируется в терминах систематических погрешностей. Бьенеме, кроме того, почему-то истолковал теорему Бернулли как попытку изучать подобные схемы действия причин.

Последнее соображение Бьенеме повторил через много лет (1855/1876). Там же (с. 202) он ошибочно свёл ЗБЧ Пуассона к случаю переменных вероятностей, среднее значение которых якобы просто заменяет постоянную вероятность у Бернулли, см. также ХС, § 3.3.

4) Неравенство Бьенеме–Чебышева (Бьенеме 1853; ХС, с. 121–124; Гнеденко и Шейнин 1978, с. 222–225).

По поводу его названия и связанного с ним метода моментов высказывались различные мнения. Марков касался этой темы четыре раза. В 1912 г., во Введении к немецкому изданию своего Руководства, он упомянул примечательный метод Бьенеме–Чебышева. В том же году Марков (1912b, с. 218) заявил:

Утверждение П.А. Некрасова, что идея Бьенеме исчерпана [трудами Чебышева], уничтожается указанием на ряд моих статей, содержащих распространение метода Бьенеме … [на исследование зависимых случайных величин].

Далее, Марков (1914b, с. 14) добавил, что Бьенеме сформулировал основные пункты второго чебышевского доказательства ЗБЧ и что сам Чебышев в 1874 г. назвал это своё доказательство результатом метода моментов Бьенеме. Всё же он посчитал более правильным назвать метод моментов по имени и Бьенеме, и Чебышева, а иногда лишь по имени Чебышева, поскольку лишь в связи с его работами [особенно по ЦПТ] он приобрёл значение. Наконец, Марков (1924, с. 92) заметил, что связывает неравенство (11.3) с Бьенеме и Чебышевым. Первый вывел его, но обставил неравенство частными предположениями, второй же впервые чётко сформулировал и доказал его.

Бьенеме (1853/1867, с. 171–172) рассматривал сумму случайных величин, видимо, по контексту всего мемуара, распределённых по одному и тому же закону, а не произвольную величину ξ, как в формуле (11.3), и это обстоятельство Марков, возможно, и имел в виду. Хейде и Сенета

(с. 122–123) назвали его доказательство, в отличие от чебышевского (см. наш § 14.1-3), кратким, несложным и ныне часто повторяемым. Да, Хальд (1998, с. 510) повторил это доказательство всего в нескольких строках (и избавился от суммы, полагая, что она состоит только из одного члена), и примерно его же, но без ссылки на Бьенеме, можно найти у Гнеденко (1950/1954, с. 187–188).

Заметим (Гнеденко и Шейнин 1978, с. 224; Seneta 1998, с. 296), что Бьенеме вряд ли считал своё неравенство значительным результатом. В основном он доказывал, что именно дисперсия является единственно приемлемой мерой точности в теории ошибок и в этой связи сравнивал её с четвертым моментом сумм случайных [и независимых] погрешностей. По этой причине и тем более потому, что Бьенеме не выписал в явном виде ни одного интеграла, мы полагаем, что Чебышев (1874/1948, с. 63) переоценил роль своего предшественника в создании метода моментов. Вот слова Чебышева:

знаменитый учёный предлагает метод, заслуживающий особенного внимания. [Он] состоит в определении предельной величины интеграла […] по величинам интегралов …

Подынтегральная функция в первом из упомянутых интегралов была f(x), а его пределы — [0; a]; в последующих интегралах —  xf(x), x2f(x), … и пределы [0; A], A > a, притом f(x) > 0.

5) Восходящие и нисходящие серии (Бьенеме 1874; 1875; ХС, с. 124–128). Пусть дано n наблюдений непрерывной случайной величины. Бьенеме указал без доказательства, что количество интервалов между точками экстремумов (почти равное числу экстремумов) распределено примерно нормально с параметрами

Среднее … (2n – 1)/3, дисперсия … (16n – 29)/90.  (11.4)

Все это, как он утверждал, было известно ему ещё 15–20 лет назад и сообщено многим. ХС указывают, что эти результаты были открыты заново; впрочем, они выводят формулы (11.4), первую из них вслед за Бертраном; см. также Moore (1978, с. 659). Несколько рядов наблюдений из числа исследованных Бьенеме не согласовывались с его выводами, и он заключил, что причиной тому были не выявленные систематические погрешности. К критерию Бьенеме мы вернемся в § 11.3.

6) Метод наименьших квадратов (Бьенеме 1852; ХС, с. 66–71). Бьенеме справедливо отметил, что наименьшая дисперсия оценок, взятых по отдельности, не столь важна как их минимальный совместный [доверительный] интервал. Будучи сторонником лапласова подхода к МНКв (см. его замечание в § 10A.6-1), он ограничился случаем большого числа наблюдений. Бьенеме кроме того предположил, что закон распределения погрешностей известен и воспользовался его первыми моментами и даже ввёл первые четыре кумулянта и многомерный ряд Грама–Шарлье (Bru 1991, c. 13; Хальд 2002, c. 8–9). Применяя принцип наибольшего правдоподобия, введя характеристическую функцию [вектора] ошибок и формулу обращения, он решает свою задачу, ограничив, правда, выбор [доверительной] области и в процессе решения выведя распределение хи-квадрат. Результаты Бьенеме весьма интересны, но непосредственного значения для теории ошибок они не имели, а его утверждение (с. 68–69) о ненадёжности и абсолютного ожидания, и дисперсии как оценок точности было, конечно же, обусловлено принятым им методом наибольшего правдоподобия и ныне забыто.

7) Ветвящийся процесс. В краткой заметке Бьенеме (1845), см. также ХС, с. 117–120, сформулировал свойства критичности ветвящегося процесса в связи с той же задачей о вымирании родов, которой впоследствии занялся Гальтон. D. G. Kendall (1975) реконструировал доказательство и перепечатал заметку Бьенеме, а Брю (Bru 1991) воспроизвёл отрывок из сочинения Курно 1847 г., в котором тот элементарным алгебраическим путём решил одну вероятностную задачу и указал, что она равносильна определению вероятности длительности существования мужского потомства семьи, которым занимается Бьенеме. Брю полагает весьма вероятным, что Курно перенял своё рассуждение у Бьенеме.

8) Подход к понятию достаточной оценки (Бьенеме 1840а, ХС, с. 108–110). В связи с исследованием устойчивости статистических частот (см. также пункт 3) Бьенеме высказал мысли, которые лежат в основе понятия достаточных оценок.

11.3. A.O. Курно

Своё основное сочинение Курно (Cournot 1843 3) предназначил для широкого круга читателей. Однако, не владея хорошим стилем (и вряд ли стараясь хоть немного улучшить его) и почти отказавшись от формул, он во многом ограничил полезность своего труда. Напомним (конец § 9.7), что Курно обошёл молчанием ЗБЧ. Далее, он явно никогда не занимался точными измерениями (наблюдениями), и его соответствующие рассуждения почти бесполезны; он упустил (хотя должен был в соответствии с контекстом упомянуть) введение изотерм (Гумбольдт, 1817), равно как и исследование оспенных эпидемий (Даниил Бернулли 1766), а его описание тонтин совершенно неверно.

С другой стороны, в его книгах мы находим следующее (ссылаясь на сочинение 1843 г., мы указываем только его параграфы).

1) Разъяснение цели теории вероятностей (1875, с. 181): создание методов назначения количественных значений вероятностям. Он тем самым отошёл от точки зрения Лапласа (§ 8.3с), который видел в теории вероятностей средство для выявления законов природы. О соответствующем мнении Чебышева см. § 14.2-1.

2) Определение вероятности события (§ 18) как отношения протяжённости (étendue) благоприятных шансов к общей протяжённости всех шансов4. В современном определении протяженность заменена четким математическим термином мера. Подчеркнём, что своё определение Курно распространил и на геометрическую вероятность, которая до него вообще никак не определялась, и таким образом объединил её с классической вероятностью. Курно (§ 113) ввёл также вероятности, не поддающиеся измерению и (§§ 233 и 240.8) назвал их философскими. Их можно поставить в соответствие с экспертными оценками, от обработки которых математическая статистика не может отказываться. Впрочем, чуть раньше философские вероятности ввёл Фриз (§ 8.1.5).

3) Введение термина “медиана” (§ 34).

4) Пояснение понятия случайности. Многие древние учёные (гл. 2, прим. 3) понимали её как пересечение независимых цепей детерминированных событий. Курно (§ 40) высказал ту же идею и, в § 43, косвенно связал случайность с неустойчивым равновесием (прямой круговой конус, поставленный на вершину, падает в “случайном” направлении). Это было приближение к точке зрения Пуанкаре (§ 12.2-9). В своих последующих сочинениях он возвращался к этой же теме. Курно (1851, § 33, прим. 38; 1861, § 61, с. 65–66), вспомнил о попытке Ламберта исследовать случайность (см. наш § 7.1.3)5, а затем (1875, с. 177–179) попытался применить критерий Бьенеме (§ 11.2-5) к исследованию случайности числа π. Заменив 36 первых цифр разложения π знаками плюс или минус (например, цифры 3, 1, 4, 1 заменяются на – , +, –), он насчитал 21 перемену знаков. Сравнив дробь 21/36 = 0,583 с дробью [(2∙36 + 1)/3∙36] = 0,667, которая получена из первой из формул (11.3), Курно заключил, что соответствие между ними весьма удовлетворительно (?), но разумно не посмел сделать окончательный вывод.

5) Смесь распределений (§ 81). В качестве такой смеси Курно предложил среднее из плотностей распределений отдельных наблюдений, взвешенное в соответствии с их количествами. Он не уточнил, чем отличны друг от друга частные плотности, но в § 132 указал, что они могут относиться к наблюдениям различных классов, а в § 135 заметил, что законы распределения погрешностей высокоточных наблюдений немного отличаются от нормального. К видоизменению нормального закона для нужд теории ошибок мы вернёмся в § 11.8.4.

7) Критическое отношение к статистике; описание её задач и поля приложений. Курно (§ 103) заявил, что статистика расцвела пышным цветом и приходится даже остерегаться её слишком поспешных и неправомерных применений … Она (§ 105) должна иметь свою теорию, свои правила и принципы, её следует применять к физическим, естественным, социальным и политическим явлениям. Её главная задача проникнуть […] в знание существа вещей (§ 106), исследовать причины, управляющие явлениями физического мира или общественной жизни (§ 120). Теория вероятностей применима к статистике (§ 113), и принцип Бернулли является её единственной твёрдой основой (§ 115). Эти высказывания вовсе не были бесспорными, см. § 7.2.1.

Курно (§ 145) кроме того заметил, что теория вероятностей может быть успешно применена в астрономии, а статистика небесных тел будет когда-нибудь служить образцом для других применений статистического познавания. Сам он, впрочем, статистически исследовал лишь параметры планетных и кометных орбит, а его высказывание неточно: во-первых, в середине ХIХ в. статистика начала применяться в ряде отраслей естествознания (§ 11.8); во-вторых, в то время звёздная статистика (а не статистика небесных тел) уже зародилась (Шейнин 1984а, § 6 и далее).

8) Методическое разъяснение уже известных понятий (плотности распределения, §§ 64–65; распределения функций случайной величины и двух случайных величин, §§ 73–74). Курно также популярно разъяснил как статистика применяется или должна применяться в естествознании и демографии, обсуждал обработку статистических материалов при переменных вероятностях изучаемых событий и т. д.

Взятое в целом, творчество Курно можно считать серьёзным вкладом в теоретическую статистику. Чупров (1905/1960, с. 60) назвал его гениальным французским математиком, философом и экономистом. Позднее он (1909/1959, с. 30) заявил, что Курно был одним из оригинальнейших и глубочайших мыслителей XIX в., не оценённого современниками, но все выше поднимающегося в оценке потомства. Наконец, Чупров (1925а/1926, с. 227) назвал его истинным основоположником современной философии статистики. Всё это, возможно, преувеличено, и во всяком случае мы не согласны с тем, что Курно предложил действительное доказательство ЗБЧ (1905/1960, с. 60) и притом в канонической форме (1909/1959, с. 166). До 1910 г., когда Чупров начал переписываться с Марковым, он оставался довольно далеко от математической статистики. Он не заметил, что Курно даже не сформулировал ЗБЧ, а его лемму (названа так Чупровым), — чрезвычайно редкие события не происходят, см. Курно (1843, § 43), — Чупров истолковал как не происходят часто и не заметил, что она вовсе не была новой; в §§ 3.1.2, 3.2.2 и 4.2.2 мы упоминали подобное положение в связи с моральной достоверностью и в § 7.1.2 указали, что её высказал Даламбер.

11.4. В.Я. Буняковский

Европейские математики пытались изложить теорию вероятностей проще, чем это сделал Лаплас. Лакруа (Lacroix 1816) осуществил эту задачу, однако математический уровень его книги был невысок. Кроме него следует, разумеется, назвать Курно (§ 11.3), чья книга, кстати, была переведена на немецкий язык (в 1849 г.), и Моргана (De Morgan 1845). В России ту же задачу выполнил Буняковский, с 1864 г. и до своей смерти в 1889 г., вице-президент петербургской Академии наук, своим руководством (1846), — первым и притом весьма серьёзным отечественным сочинением автора, русского воспитанника французской математической школы (П. Б. Струве 1918, с. 1318). Мы обсудим основные вопросы, рассмотренные Буняковским и в указанном источнике, и в других его сочинениях. Почти полный список его сочинений указан в Материалах (1917).

1) Теория вероятностей. Она, по мнению автора (1846, с. 1),

относилась к прикладной математике, и это соответствовало её тогдашнему состоянию. Там же Буняковский заявил, что

анализ вероятностей подвергает рассмотрению и численной оценке явления, […] которые даже по нашему неведению не подлежат никаким предположениям.

Это ошибочное утверждение осталось, однако, голословным: никаких подобных попыток он и не предпринимал; мало того, он сам отказался от своих слов (с. 364 и 1866а, с. 24).

2) Моральное ожидание (§ 7.1.1). Независимо от Лапласа Буняковский (с. 103–122) доказал утверждение Д. Бернулли о целесообразности отправки груза на нескольких судах, а впоследствии (1880) рассмотрел случай неравных вероятностей потери каждого из двух судов. Он (1866а, с. 154) упомянул моральное ожидание и в связи с желательностью отдельного статистического изучения производительного населения и детей и заключил, что

тот не математик, кто не вникает в смысл, свойственный числам, над которыми он производит какие-либо вычисления.

Тем не менее, советские статистики не доверяли математикам (наша гл. 16, Прим. 7). Попытку Остроградского обобщить понятие морального ожидания (§ 8.1-9) Буняковский не комментировал.

3) Геометрические вероятности (§ 7.1.4). Буняковский (с. 137–143) обобщил задачу Бюффона, рассмотрев падение иглы на систему конгруэнтных равносторонних треугольников. Его геометрические рассуждения были, однако, весьма сложными, а окончательный результат, как заявил Марков (Руководство, 1924, с. 186), оказался ошибочным. Сам Марков решал ещё более общую задачу, но его собственный чертёж был не менее сложным, а его решение никто, кажется, не проверял.

Буняковский исследовал подобные задачи ещё раньше (1837) и тогда же заметил, что их решение, совместно, как сейчас можно сказать, с методом Монте Карло, позволяет определять значения специальных трансцендентных функций. Лаплас упоминал тут только число π.

4) “Числовые” вероятности. Буняковский (1836; 1846, с. 132–137) решил элементарную задачу о вероятности квадратному уравнению с коэффициентами, наудачу принимающими различные целочисленные значения, иметь вещественные корни. Гораздо интереснее аналогичные, но более поздние задачи, например, о сократимости дроби (Чебышев, см. 14.2-8) или относящиеся к множеству вещественных чисел.

5) Случайное блуждание. Буняковский (1846, с. 143–147) вычислил вероятность, что ладья из квадрата А шахматной доски достигнет квадрата В [который может совпадать с А] в точности за х ходов, если её движение “равномерно” случайно. Случайное блуждание (в данной задаче обобщённое), кажется, встречалось до Буняковского только в косвенном виде, при изучении серии азартных игр. Впрочем, сформулированный пример элементарен: ладья может находиться только в двух состояниях (может достичь В либо в один, либо в два хода; из второго случая удобно, однако, выделить вариант А ≡ В). Буняковский составил и решил систему из трёх соответствующих конечно-разностных уравнений для количества случаев, при которых достигается цель. Оказалось, что средняя (из трёх вариантов) вероятность равна 1/64, т. е. не зависит от х. Он не пояснил этого результата, но справедливо указал, что задачу можно было решить элементарно, непосредственным подсчётом. Заметим, что первые n ходов (n1), если они неудачны, ничего не меняют; этим и можно обосновать полученный результат.

6) Статистический контроль качества продукции. Буняковский (1846, Прибавление; 1850) предложил оценивать вероятные потери отряда войск в сражении по потерям в его выбранной заранее части. Вряд ли это исследование (которое можно пояснить схемой расслоенной выборки) имело смысл, но он (1846, с. 468–469) также указал, что его результаты могут облегчить приёмку весьма большого числа каких-либо вещей или припасов, из которых проверяется лишь некоторая часть. Статистический контроль качества продукции в те времена ещё не был известен, хотя уже Гюйгенс (§ 3.2.2) решил соответствующую урновую задачу. Решение Буняковского представляется недостаточно удачным уже потому, что он воспользовался бейесовским подходом, приняв равные априорные вероятности всех возможных потерь.

  1. T. Simpson (1740, Задача 6) и Öttinger (1843, с. 231) рассматривали подобную же задачу. Вот Симпсон:

Имеется заданное число каждого сорта вещей […], а именно a первого сорта, b второго и т. д., случайно собранных воедино. Случайно должно быть отобрано заданное число [вещей], и требуется определить вероятность, что будет выбрано в точности заданное число вещей каждого сорта.

Остроградский (1848/1961) занялся тем же вопросом возможно вслед за Буняковским6. На с. 215 он заявил, что имеющиеся решения [этой задачи] не вполне точны и не вполне согласуются с основами анализа случайных явлений. Остроградский не раскрыл своей мысли, а его собственная основная формула (с. 228) оказалась весьма сложной и не была никем проверена.

7) История теории вероятностей. Буняковский был одним из первых после Монтукла (Montucla 1802), Лапласа и Lubbock et al (1830), обратившихся к этой теме, и ему вполне можно простить несколько допущенных им фактических ошибок. В своих популярных статьях Буняковский выказывал интерес и к истории математики, и возможно, что и Марков, и Бобынин в какой-то степени следовали за ним.

8) Статистика населения. Буняковский (с. 173–213) описал различные способы составления таблиц смертности, исследовал статистические последствия ослабления или уничтожения какой-либо причины смертности (ср. § 7.2.3), вычислял среднюю и ожидаемую сроки существования браков и товариществ и решил несколько других задач вслед за Лапласом.

Статистикой населения Буняковский усиленно занимался и впоследствии. Он составил таблицы смертности и распределения православного населения России по возрастам (1866a; 1866b; 1874) и оценил количество призывников на десять лет вперёд (1875b). Сведений о точности этой оценки, кажется, нет, а по поводу упомянутых таблиц мнения разошлись. Борткевич (1889; 1898b) резко критиковал их, Давидов же, который в 1886 г. опубликовал собственное исследование смертности в России, был высокого мнения о работе Буняковского, хотя и обнаружил в ней серьёзную методическую ошибку (Ондар 1971). Наконец, Новосельский (1916, с. 54–55) назвал метод Буняковского составления таблиц смертности (которые всё же явились громадным шагом вперёд) несовершенным, но указал, что исходные данные Буняковского были неточны и неполны (что он и сам неоднократно отмечал):

Новая эра в изучении русской смертности начинается с […] Буняковского […] (1866). Работы Буняковского […] представляют крупное и выдающееся явление не только в нашей крайне бедной демографической литературе, но и в богатой литературе иностранной. […] Благодаря ясности, глубине и тонкости анализа сочинения В.Я. Буняковского вполне сохранили своё значение и для настоящего времени. Таблицы Буняковского, являясь громадным шагом вперёд, благодаря неточности основных материалов, отсутствию […] целого ряда необходимых данных и недостатка самого метода построения таблиц не представляют достаточно правильной картины русской смертности.

О методе Буняковского составления таблиц смертности см. Словарь (1985).

Особо заметим, что в 1848 г. Буняковский опубликовал обширную и важную по теме газетную статью о холеробоязни, но не отнёсся к ней достаточно серьёзно; её перепечатку мы включили в препринт нашей статьи (1991b) о Буняковском. Много позже Енько (1889) предложил первую математическую модель эпидемии (кори), которая сегодня положительно расценивается (Ондар 1973; Dietz 1988; Gani 2001), и можно пожалеть, что Буняковский не заинтересовался подобными проблемами.

9) Урновая задача (1875a), связанная с разложением чисел на части: в урне находятся n пронумерованных по порядку шаров. Из неё вынуто сразу m шаров (m < n) и требуется определить вероятность, что сумма их номеров равна s. Задача, которую Лаплас (§ 8.1-2) решал иначе, свелась к определению коэффициента при tmxs в разложении

(1 + tx) (1 + tx2)(1 + txn).

Для небольших значений m Буняковский решил эту задачу при помощи сложного уравнения в конечных частных разностях и предложил формулу для перехода от m к (m + 1). См. также Laurent (1873), который сослался на Эйлера (1748, гл. 16).

10) Приближённое вероятностное суммирование и самосчёты. Буняковский (1867) решил несколько задач на приближённое суммирование большого числа слагаемых. Полученную основную формулу он применил для суммирования значений функций (например, квадратных и кубичных корней при последовательных натуральных значениях аргумента), или же атмосферного давления в течение полугода. Цели суммирования Буняковский не указал, но для атмосферного давления она ясна: для вывода его среднего значения.

О самосчётах, которые имели целью усовершенствовать обычные счёты, Буняковский сообщил в 1867 г. на заседании физико-математического отделения Академии, а позже опубликовал мемуар о них (1876), и в нём описал применение самосчётов для подсчёта средних значений метеорологических элементов. Прудников (1954, с. 81) предположил, что Чебышев пришёл к мысли об устройстве арифмометра под влиянием этого мемуара.

11) Из других тем, помимо сотрудничества в составлении толковых словарей русского языка, назовём решение задачи из теории случайных размещений (1871), которая, однако, вряд ли имела практическое значение, языкознание, ЗБЧ, обработку наблюдений и изучение свидетельств, выборов и судебных решений. В своём ходатайстве об отлучении от Русской православной церкви Марков (§ 15.3) сослался на Буняковского в связи с последней указанной темой. Самоё определённое высказывание последнего (1866b), на которое Марков, однако, не сослался, означало, что истины, познаваемые путём откровения, не подлежат вероятностной проверке.

В популярной статье Буняковский (1847) сослался на свою прежнюю неопубликованную (и утерянную) работу по языкознанию и разъяснил цели статистического изучения этой науки. Knauer (1955) описал ранние исследования подобного рода.

В течение нескольких десятилетий руководство Буняковского (1846) оказывало сильное влияние на преподавание теории вероятностей в России; по существу, несмотря на работы предшествующих авторов, именно с него началось подлинное изучение этой дисциплины за пределами западной Европы. Недаром Марков (1914b, с. 14) назвал руководство прекрасным трудом, а Стеклов (1924, с. 177) полагал, что оно по своему времени полный и выдающийся трактат. Наконец, Васильев (1921, с. 36):

Это обстоятельное и ясно написанное сочинение − одно из лучших в математической литературе Европы по теории вероятностей, много способствовало распространению между русскими математиками интереса к этой науке и тому значению, которое преподавание теории вероятностей получило в русских университетах сравнительно с университетами других стран.

Но мы обязаны добавить, что Буняковский, можно считать, не заметил исследований Чебышева. После 1846 г. он покинул теорию вероятностей, полностью переключившись на статистику.

11.5. А. Кетле

В начале своей научной карьеры Кетле посетил Париж, где встречался с ведущими французскими учёными. Некоторые авторы указали, что он был во многом обязан Лапласу, мы же полагаем, что источником вдохновения послужил для него Фурье, редактор многотомных Исследований (1821–1829).

Кетле неустанно обрабатывал статистические материалы и пытался стандартизировать статистику в международном масштабе. Примечательно его замечание (1846, с. 364):

Когда речь идёт о двух различных странах, то представляется, что им приятно сделать невозможным всякое сближение [статистических данных].

Он был соавтором первого статистического справочника (Quetelet & Heuschling 1865) о населении Европы (включая Россию) и США с критическим исследованием исходных данных. В 1853 г. он (1974, с. 56–57) был председателем Конференции по принятию единообразной системы метеорологических наблюдений на море. Он также собирал и обрабатывал метеорологические наблюдения7 и описывал тенденцию сохранения погоды при помощи элементов теории серий.

В том же 1853-м году он организовал первый Международный статистический конгресс. К. Пирсон (1914–1930, т. 2, с. 420) указал на заслуги Кетле в организации официальной статистики в Бельгии и […] объединении международной статистики. Наконец, примерно в 1831–1833 гг. Кетле успешно предложил создать в Лондоне (Королевское, как оно ныне называется) статистическое общество (Mouat 1885, с. 15). Вообще же его многолетняя деятельность видимо привела к усилению преподавания теории вероятностей в Бельгии (Mansion 1904, с. 3).

Сочинения Кетле (1869; 1871) содержат многие десятки страниц с измерениями частей человеческого тела, пульса, дыхания, сравнением веса и роста с возрастом и т. п. Они распространили применение нормального закона на эту область. По совету Гумбольдта (Кетле 1870) он ввёл термин антропометрия и тем самым ограничил смысл антропологии. На него повлиял Беббедж (Babbage 1857), упорный собиратель биологических данных, сам же он произвёл впечатление на Гальтона (Galton 1869, с. 26), который назвал его величайшим авторитетом в статистике населения и социальной статистике. При обсуждении этого сочинения Гальтона Пирсон (1914–1930, т. 2, с. 89) заметил, что

Здесь мы имеем первое обращение Гальтона к статистическому методу и сам текст показывает, что [английский перевод сочинения Кетле (1846)] послужил ему для первого знакомства с […] нормальной кривой.

В те дни предварительный анализ статистических материалов был исключительно важен ввиду существенных систематических влияний, подлогов и неполноты данных. Кетле понял, что статистические документы обеспечивали лишь вероятные сведения и что, в принципе, вся значимость статистических вычислений состояла в оценке их правдивости (Quetelet & Heuschling 1865, c. LXV).

Кетле (1846) оставил рекомендации по составлению вопросников и предварительной проверке данных; заявил (с. 278), что выделение слишком большого числа групп является научным шарлатанством и (с. 293), что было понятно в то время, высказался против выборочного метода. Это его сочинение содержало много разумных утверждений. В 1850 г., видимо также имея в виду его перевод на английский язык, Дарвин (1887/1897, т. 1, с. 341) заметил:

Как справедливо замечание […] Кетле […] что никто не знает, каков будет результат отказа от лечения, если считать это стандартом для сравнения с гомеопатией и прочими подобными вещами.

Интересно, что Кетле ни разу не упомянул Дарвина и даже заявил (1846, с. 259), что растения и животные остались такими, какими они были, когда вышли из рук Создателя. Эта точка зрения частично объясняет, почему статистическое изучение эволюции видов началось сравнительно поздно (в Биометрической школе). Заметим, что видный немецкий статистик Кнапп (1872b), обсуждая идеи Дарвина, не упомянул случайности и ничего не сказал о статистическом изучении биологических проблем.

Продолжая традиции политических арифметиков (§ 3.1.4), Кетле обсуждал почтовые (1869, т. 1, с. 173 и 422) и железнодорожные тарифы (1846, с. 353) и рекомендовал изучать изменения, вызванные телеграфом и железными дорогами (1869, т. 1, с. 419). Его специальным исследованием (1836, т. 2, с. 313; впервые намеченное в 1832 г.) было количественное описание различия в вероятностях осуждения подсудимых в зависимости от их личности (пола, возраста, образования) и Юл (Yule 1900/1971, с. 30–32) в общем положительно отозвался об этой работе как о первой попытке выразить зависимость (association) некоторого признака от ряда других.

Известно, что Кетле (1832а, с. 4; 1832b, c. 1; 1848b, c. 38) ввёл среднего человека с его (1848а, с. 91–92) средними наклонностями к преступлению (например, 1832b, с. 17; 1836, т. 2, с. 171) и женитьбе (1848а, с. 77; 1848b, с. 38), т. е., фактически, с соответствующими вероятностями, и утверждал, что [относительное] количество преступлений устойчиво (1829, с. 28 и 35 и много других источников). Несмотря на допущенные им погрешности (см. ниже), он таким образом оказался отцом моральной статистики.

Средний человек, как полагал Кетле, обладал средними физическими и моральными качествами, был типом нации и даже всего человечества. Против этого понятия были выдвинуты разумные возражения, к которым мы добавим, что Кетле не уточнил понятия средний. Иногда он имел в виду среднее арифметическое, в других же случаях (1848а, с. 45) медиану, а ЗБЧ в форме Пуассона он (1846, с. 216) упомянул лишь в связи со средним ростом. Курно (1843, § 143) заметил, что средний человек физиологически невозможен (средние размеры различных частей тела несовместимы друг с другом), а Бертран (1888а, с. XLIII) высмеял это понятие:

В тело среднего человека бельгийский автор вложил среднюю душу. [Средний человек] лишён страстей и пороков [это неверно, см. ниже], он ни безумен, ни мудр, ни невежда, ни учёный […], зауряден во всем. После того, как он съедает в течение 38 лет средний паек здорового солдата, ему положено умереть не от старости, а от средней болезни, которую обнаруживает в нем статистика.

И все же средний человек полезен и сейчас, по крайней мере в качестве среднего производителя и потребителя, а Фреше (Fréchet (1949) заменил его близким к нему типичным человеком.

Кетле (1848а, с. 82; 1869, т. 2, с. 327) указал, что действительная наклонность к преступлению у данного человека может сильно отличаться от видимой средней и (1848а, с. 91–92) отнёс эти средние уклонения к среднему человеку. И все же он, видимо, недостаточно подчеркнул свою мысль, так что после его смерти известный статистик (Rümelin 1867, с. 25) стал категорически отрицать у себя какую бы то ни было склонность к преступлению. Вот мнение Чупрова (1909/1959, с. 23):

Их [не в меру разумения рьяных поклонников] наивное преклонение перед статистическим законом, фетишизм их отношения к устойчивым статистическим числам, их абсурдное учение о равенстве всех перед лицом стремящихся вылиться в цифры средних наклонностей к преступлению, к самоубийству, к браку, бесспорно вызывали на протест. Но […] протест принял мало научные формы.

Утверждение Кетле (1836, т. 1, с. 10) о постоянстве числа преступлений он подкрепил мыслью об их социальных корнях:

Всякий социальный строй предполагает определённое количество и определённый порядок преступлений, которые вытекают из его организации как необходимое следствие.

Однако, он не обосновал этого положения статистическими данными. Более того, постоянство количества преступлений не имело места (Rehnisch 1876): Кетле невнимательно изучил судебную статистику. Он, далее, не сказал чётко, что это постоянство невозможно при изменении социальных условий. Но во всяком случае Кетле имеет бесспорные заслуги в зарождении моральной статистики.

Особо остановимся на законах распределений. Кетле (1848а, с. 80; 1869, т. 2, с. 304 и 347) заметил, что кривые средних наклонностей к преступлению и женитьбе в зависимости от возраста были крайне асимметричны, и он (1846, с. 168 и 412–424) также знал, что асимметричные плотности встречаются в метеорологии. И все же Кетле (1853) вернулся к обычным представлениям и заявил, что подобные распределения происходят ввиду специальных причин и аномалий. Более того: он (1848а, с. viii) ввёл какой-то таинственный закон случайных причин, характеризуемый возможно асимметричными кривыми (1853, с. 57)! Короче говоря, он выказал тут (и в других случаях, см. выше) свой общий подход, который Кнапп (1872а, с. 124) объяснил его духом, богатым идеями, но неметодическим и потому нефилософским.

Тем не менее Кетле оказался центральной фигурой статистики середины XIX в. и Фрейденталь (1966, с. 7) правильно заключил, что до него существовали статистические бюро и статистики, но не было статистической науки.

(продолжение)

Share

Один комментарий к “Оскар Шейнин: Теория вероятностей. Исторический очерк

  1. Aharon L.

    Пусть и с опозданием склоняю голову в память о человеке, которого знал только по статьям. Удивительно, как его облик проявляется в текстах вовсе к этому не предназначенных. Да будет благословенна память о нем, ז»ל

    Надеюсь, редакция располагает полным текстом его книги об истории теории вероятности и опубликует ее, как делала это до сих пор.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Арифметическая Капча - решите задачу *Достигнут лимит времени. Пожалуйста, введите CAPTCHA снова.