Теория вероятностей зародилась в XVII в., а не раньше, потому что именно тогда появились влиятельные научные сообщества (академии), и научная переписка стала обычной практикой. Кроме того, в течение многих веков азартные игры всё же недостаточно способствовали возникновению вероятностных идей. Основными препятствиями были отсутствие комбинаторных понятий и идеи случайного события, суеверия и моральные и религиозные барьеры.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
(публикуется с сокращениями)
(продолжение. Начало в № 8/2025)
-
Ранняя история
3.1. Вероятностные идеи в науке и обществе
3.1.1. Азартные игры. Они поддерживали идею о роли случайного в жизни и ещё в древности служили для иллюстрации практически невозможных событий (§ 2.1.1), математики же нашли в них удобное средство для постановки существенно новых задач. Более того, хотя наследие Паскаля не содержало никаких приложений зарождавшейся теории вероятностей, он (1654b/1998, с. 172) успел предложить для неё примечательное название, геометрия случая. Далее, Гюйгенс (Huygens 1657/1920, с. 57–58) дальновидно заметил, что изучение игр не сводится к остроумным пустячкам; с их помощью закладываются основы очень интересной и глубокой теории. Лейбниц (1704/1996, т. 2, кн. 4, гл. 16, с. 506) указал, что неоднократно высказывался за создание нового вида логики, которая рассматривала бы степени вероятности и рекомендовал для этой цели исследовать все виды игр[1]. Это же он указал в письме Якобу Бернулли 1703 г. (Kohli 1975b, с. 509):
Я хотел бы, чтобы кто-нибудь математически изучил различные игры (которые содержат прекрасные примеры [учения об оценке вероятностей]). Это было бы и приятно, и полезно, и не недостойно ни Тебя, ни другого уважаемого математика.
Реньи (1969) попытался представить задуманное Паскалем сочинение. Возможно, что он верно оценил его содержание, но только не указанный им год, 1654, когда Паскаль мог бы написать его. Кроме того, обсуждая, якобы по Паскалю, философские вопросы, он не сослался на Аристотеля.
Теория вероятностей зародилась в XVII в., а не раньше, потому что именно тогда появились влиятельные научные сообщества (академии), и научная переписка стала обычной практикой. Кроме того, в течение многих веков азартные игры всё же недостаточно способствовали возникновению вероятностных идей (M. G. Kendall 1956/1970, особо с. 30). Основными препятствиями были отсутствие комбинаторных понятий и идеи случайного события, суеверия и моральные и религиозные барьеры. Комбинаторика по существу появилась в XVI в., хотя начало ей положил Леви бен Гершон (Rabinovitch 1973, с. 147–148).
Суеверия засвидетельствовал ещё Монмор (Montmort 1708/1980, с. 6). Лаплас (1814/1999, с. 855 лев.) и Пуассон (1837а, § 22) повторили его свидетельство и добавили новые примеры. Когда в Лотерее Франции какой-либо номер уже долгое время не выходил, толпа спешит покрыть его ставками, − заметил Лаплас, другие же придерживались противоположного мнения. Подобные же заблуждения существуют и ныне, хотя Бертран (1888а, с. XXII) убедительно заметил, что рулетка не имеет ни воли, ни памяти.
Даже участие в справедливой игре (с нулевым ожиданием проигрыша) разорительно (§ 7.1.1) и потому основано на предрассудке, а покупка лотерейных билетов тем более вредна. Ещё Петти (Petty 1662/1899, т. 1, с. 64) заметил, что лотерея − по сути налог на несчастливых самонадеянных дураков, и тогда же Арно и Николь (Arnauld & Nicole 1662/1992, с. 332) указали на обманчивость надежды на крупные выигрыши в лотерее. По сути, они рекомендовали забыть про маловероятные благоприятные события, ср. конец § 2.1.2.
3.1.2. Юриспруденция. Мы упоминали её в §§ 2.1.1 и 2.1.5 и, в частности, заметили, что одно из первых правил для разграничения случайного и необходимого было сформулировано для нужд судопроизводства. Но пожалуй именно с середины XVII в. возросло значение гражданских исков и вероятностных идей в судах[2]. Декарт (Descartes 1644/1978, с. 323) ввёл в научный обиход моральную достоверность[3], видимо главным образом для юриспруденции. Её же упоминали Арно и Николь (1662/1992, с. 328), хотя Лейбниц (§ 4.1.2) и сомневался, что наблюдения могут её обеспечить. Уже в начале XVIII в. Николай Бернулли (§ 4.3.2) посвятил свою диссертацию приложению искусства предположений к юриспруденции. Даже римское каноническое право обладало развитой системой полных, половинных и четвертных доказательств (Garber & Zabell 1979, с. 51, прим. 23). О римском кодексе гражданского права см. также Прим. 5 к гл. 2 и Franklin (2001, с. 211). Лейбниц (1704/1996, с. 504−505) также упомянул степени доказательств и сомнений в юриспруденции и медицине и указал, что
Наши крестьяне […] уже давно полагают стоимость земельных участков равной среднему арифметическому из оценок трёх групп оценщиков[4].
3.1.3. Страхование имущества и жизни. Известно (Райхер 1947, с. 40), что примерно два тысячелетия до н. э. караванщики на Ближнем Востоке договаривались делить убытки от воровства, грабежа и утери товара, а Талмуд сообщает, что такова же была практика купцов в Палестине и Сирии.
Первым существенным видом страхования имущества было морское. Так, имел место аморальный и неоднократно запрещаемый обычай держать пари за и против гибели судов. И в этой, и в цивилизованной формах морского страхования ставки или платежи видимо основывались на весьма приближённых и притом субъективных оценках. Можно полагать, что именно подобные оценки имел в виду Шофтон (Chaufton 1884, с. 349), когда утверждал, что в средние века рискам придавались определённые значения.
В первом английском статуте о страховании (Publicke Acte No. 12, 1601; Statutes of the Realm, vol. 4, pt. 2, pp. 978–979) указано, что торговцы и этого королевства, и иностранных наций очень давно уже страхуют свои товары, корабли и вещи, подверженные риску.
Страхование жизни известно в двух основных формах, − с выплатой страховой суммы по наступлению определённого события (с выплатой наследникам в случае смерти страхователя), либо с регулярными выплатами страхователю пожизненной ренты. Эти ренты известны в Европе с начала XIII в., хотя позже они были запрещены примерно на столетие вплоть до папской буллы 1423 г. (Du Pasquier 1910, с. 484–485). Возраст страхователя обычно не учитывался ни в середине XVII в. (Hendriks 1853, с. 112), ни даже, в Англии, при Уильяме III, который правил с 1689 по 1702 гг. (K. Pearson 1978, с. 134). Видимо и в противном случае он принимался во внимание лишь весьма обобщённо (Шейнин 1977b, с. 206–212; Kohli & van der Waerden 1975, с. 515–517; Hald 1990, с. 119).
Говорить об использовании понятия ожидания при таких обстоятельствах вряд ли уместно; впрочем, положение стало изменяться в конце XVII в. Но важно отметить, что страхование жизни в XVIII в. и даже в середине XIX в. вряд ли существенно основывалось на вероятностных представлениях[5], статистические данные, собираемые страховыми компаниями, равно как и методы исчисления страховых платежей держались в секрете, и до второй половины XIX в. более или менее честное предпринимательство, основанное на статистике смертности, вряд ли искоренило прямой обман. Тем не менее, по крайней мере с XVIII в. институт страхования оказывал сильное влияние на теорию вероятностей.
Остановимся на работе де Витта (De Witt 1671). Он выделил 4 возрастные группы (5–53, 53–63, 63–73 и 73–80 лет) и принял, что шансы смерти определённым образом возрастают от группы к группе и постоянны внутри каждой из них. По его вычислениям стоимость пожизненной ренты для молодых людей должна была превышать ежегодную выплату в 16 раз (а не в 14, как было принято).
Eneström (1896/1897, с. 66) заметил, что де Витт неясно изложил свою работу. Так, риск умереть неизменно относился к трёхлетнему ребёнку, что не только не было объяснено, но выражено неверно, а выбранные шансы смерти в различных возрастах противоречили вычислениям.
В приложении к основному тексту (Hendriks 1853, с. 117–118) де Витт указал, что исследовал значительно больше, чем 100 различных классов, содержавших примерно по 100 человек, и нашёл, что
Для молодых жизней каждый из этих классов всегда приносил покупателям ренты […] более 16 флоринов капитала с одного флорина годичной ренты. […] Таким образом, […] на практике, когда покупатель ренты на несколько жизней делит свой капитал […] на несколько молодых жизней, на 10, 20 или более, он может быть уверен в получении без риска более чем шестнадцатикратной стоимости купленной ренты.
Это утверждение относится к предыстории ЗБЧ и показывает одну из сторон тогдашней деловой жизни. Ожидание выигрыша Еxi от покупки каждой жизни было, видимо, положительным. Считая эту величину постоянной, можно было рассчитывать на общий выигрыш примерно равный nEx, где n – число этих жизней. Намного позже Кондорсе (Condorcet 1785a, с. 226) засвидетельствовал, что участвовавшие в подобной коммерции (и, очевидно, ничего не знавшие о ЗБЧ) считали прибыль верной. Существовала, кажется, и практика косвенного участия жучков во многих азартных играх одновременно. Во всяком случае, и Муавр (De Moivre 1718/1756, задача 70) и Монмор (Montmort 1708/1713, с. 169) упоминают каких-то лиц, делавших ставки на выигрыш того или иного игрока, и о них же глухо упоминает Курно (1843, § 11). Эта практика быть может возникла намного раньше.
В том же году, в письме математику Гудде де Витт (Hendriks 1853, с. 109) элементарным образом подсчитал стоимость пожизненной ренты на несколько жизней, т. е. ренты, выплачиваемой вплоть до смерти последнего из, скажем, двух человек (супругов). При этом он определил распределение наибольшего члена серии наблюдений с равномерным распределением.
Подробное описание истории института пожизненных рент и в том числе работ де Витта и Гюйгенса (§ 3.2.2) см. Kohli & van der Waerden (1975), и мы лишь заметим, что де Витт не обосновал принятый им закон смертности. Видимо в результате его сочинения стоимость пожизненных рент в Голландии в 1672–1673 гг. зависела от возраста страхуемых (Commelin 1693, с. 1205).
В рукописи 1680 г. Лейбниц (1986, с. 421–432), см. также Лейбниц (2000), описал свои мысли о государственном страховании (Sofonea 1957a). Он не рассматривал собственно страхования, а высказался в пользу заботы князей о бедных, заметил, что общество должно заботиться о каждом и пр. Последовали непрестанные конфликты с городскими (Берлин) и государственными (прусскими) властями. Много позже подобные взгляды сформулировал Зюссмильх (§ 7.2.2).
Особой формой взаимного страхования были тонтины, названные по имени итальянского банкира Тонти. Каждый из группы лиц примерно одного и того же возраста, т. е. из тонтины, уплачивал определённый взнос городу или государству. Проценты на собранный капитал выплачивались только остававшимся в живых членам тонтины, так что долгожителям доставались изрядные суммы, а со смертью последнего члена тонтины она прекращала существовать.
Общественное мнение отрицательно относилось к тонтинам, полагая, что их члены замыкаются в своём круге и неизбежно желают смерти друг другу. В XIX в. тонтин уже, кажется, не было, хотя Эйлер (1776) предложил новую форму тонтины, которая могла бы включать членов различных возрастов и принимать к себе новых членов (а потому и не исчезать). Его предложение не было испробовано.
3.1.4. Статистика населения. Ветхий завет (Числа, гл. 1) сообщает об исчислении всего общества сынов израилевых, а точнее о подсчёте всех, годных для войны. Напомним (§ 2.1.2), что Талмуд характеризовал население городов лишь по числу выставляемых ими солдат. Попытка оценить население Китая была предпринята примерно в 2238 г. до н. э., а перепись касты воинов имела место в Египте не позже, чем в XVI в. до н. э. (Федорович 1894, с. 7–21). Но даже в Италии XV в., несмотря на все успехи в бухгалтерском деле и математике (M. G. Kendall 1960), подсчёты сводились к сплошному перечислению, и всё ещё скорее являлись записью существующего положения, нежели основой для оценок или предсказания в расширяющейся экономике.
Слишком трудно было добиваться большего! И только Граунта (1662), см. также Урланис (1963) и K. Pearson (1978, с. 30–49), и в меньшей степени Петти можно назвать отцами статистики населения. Они изучали население, экономику, торговлю и обсуждали соответствующие причины и связи при помощи простейших вероятностных соображений и интуитивной веры в устойчивость статистических показателей, что можно отнести к предыстории ЗБЧ. Укажем, однако, что Граунт иногда некритически основывался на малом числе наблюдений и полагал, что население возрастает в арифметической (а не в геометрической) прогрессии. Эту ошибку исправили Зюссмильх и Эйлер (§ 7.2.2).
Новую дисциплину Петти нарёк политической арифметикой, хотя и не привёл её определения. Впрочем, можно сказать, что её целью было социально-экономическое изучение государств и отдельных городов или регионов при помощи (весьма ненадёжных) статистических данных о населении, промышленности, сельском хозяйстве, торговле.
Петти (1690/1899, т. 2, с. 244) чётко сформулировал свой отказ от сравнительных и превосходных [степеней] слов и пытался выражаться в числах, весе или мере и так же поступал Граунт. По меньшей мере 30 рукописей Петти (1927) принадлежат политической арифметике, и все они в целом показывают, что он был философом науки, близким по духу своему младшему современнику Лейбницу. Вот одно из его высказываний (там же, т. 2, с. 39–40), см. также Шейнин (1977b, с. 218–220):
Что является общей мерой времени, пространства, веса и движения? Какое число основных звуков или букв […] составляют речь или язык? Как назначать имена и как складывать и вычитать ощущения и как оценивать вес и силу слов; всё это является логикой и рассуждением.
Петти (1927, т. 1, с. 171–172) даже предложил учредить общий регистр населения, посевов и насаждений и торговли Англии. В частности, он имел в виду сбор данных обо
всех рождениях, женитьбах, погребениях, […] о печах и домах […], равно как и о населении по возрасту, полу, специальности, титулам и должностям.
Охват материала такого регистра был бы шире, чем у нашего нынешнего Бюро генерального регистра (Greenwood 1941–1943/1970, с. 61).
Граунт исследовал еженедельные списки умерших в Лондоне, которые начали появляться ещё в XVI в. и регулярно печатались с начала XVII в. Его основная заслуга была в том, что он понял значение этих статистических данных и постарался отыскать в них определённые закономерности. Так, он установил, что оба пола примерно равночисленны (что противоречило тогдашним взглядам) и что на 14 мальчиков рождалось примерно 13 девочек. Используя отрывочные статистические данные, он оценил численность населения Лондона и Англии, равно как и степень влияния различных болезней на смертность и при этом пытался учесть влияние систематических искажений исходных данных[6].
Далее, несмотря на скудные и подчас неверные сведения о возрасте умиравших, даваемые в еженедельных списках, Граунт смог как-то (не совсем понятно как) составить первую таблицу дожития, а потому и смертности, общую для мужчин и женщин (раздельные таблицы появились лишь в начале XIX в.). Именно, он указал долю доживавших до первых шести лет жизни и до каждого последующего десятилетия вплоть до 86 лет. До этого возраста доживал по его подсчётам лишь 1 человек из 100. Хотя таблица Граунта оказалась грубо ошибочной, её методическое значение было огромным.
Долгое время сочинение Граунта приписывали Петти, однако по мнению Халла (Hall), cм. Петти (1690/1899, т. 1, с. lii), Петти
Возможно подсказал предмет исследования, […] вероятно помогал тут и там при комментировании медицинских и иных вопросов, […] собрал [некоторые] числовые данные […] и быть может исправил или даже составил Заключение к книге …
Но и в этом случае Петти оказывается соавтором. Сам Петти (1674, посвящение Лорду Брункеру), однако, назвал Граунта автором указанного сочинения. Дискуссию об авторстве можно считать законченной.
Граунт существенно повлиял на последующих учёных, и вот мнения о нём (Huygens, письмо 1662 г./1888–1950, 1891, с. 149); Süssmilch (K. Pearson 1978, с. 317–318); Willcox (Graunt 1662/1939, c. х); Hald (1990, с. 86):
Трактат Гранта (!) действительно заслуживает внимания, и он мне очень нравится. Он рассуждает разумно и ясно, и я восхищаюсь тем, что он смог извлечь все свои выводы из этих простых наблюдений, которые прежде считались бесполезными.
Открытие статистической регулярности было столь же возможно, как и Америки, требовался только Колумб…
Граунт достопамятен, в основном потому, что обнаружил […] равномерность и предсказуемость многих биологических явлений в массе. […] Поэтому он, скорее, чем кто-либо иной, был основателем статистики.
Граунт, как он сказал сам, свёл данные из нескольких огромных и беспорядочных томов в небольшое число понятных таблиц и проанализировал их в нескольких сжатых параграфах, что и составляет цель статистики.
Хальд мог бы сослаться на Колмогорова и Прохорова (§ 1.2).
Вторую таблицу дожития составил Галлей (Halley 1694а; 1694b), многосторонний учёный, но в первую очередь астроном. Он (1694а) использовал статистические данные для Бреслау (Вроцлава)[7], города с закрытым населением, и применил свою таблицу для простых вероятностных подсчётов, связанных со страхованием жизни. Кроме того, он элементарным путём подсчитал общее относительное население города. Так, на 1000 младенцев в возрасте до 1 года приходилось 855 в возрасте от года до двух, … , и, наконец, в возрасте от 84 до 100 лет, − 107 человек. Сложив все эти числа, Галлей получил 34 тысяч человек (ровно), так что отношение населения к числу ежегодных рождений оказалось равным 34. До 1750 г. таблица Галлея оставалась лучшей из существовавших (K. Pearson 1978, с. 206).
Длительное время его вычисления оставались плохо понятными. Далее, ежегодная смертность в городе, 1/30, была столь же высока, как в Лондоне, и всё же Галлей считал Бреслау как бы статистическим стандартом. Если такое понятие разумно, то стандартов должно быть несколько. Наконец, Галлей полагал, что неравномерности в его данных выправились бы, будь число лет [наблюдения] намного больше. Здесь снова видна интуитивная вера в ЗБЧ, однако неравномерности вполне могли были быть вызваны систематическими влияниями.
Вторая статья Галлея интересна как рассуждение о благосостоянии населения.
K. Pearson (1978, с. 78) указал, что Галлей использовал свои данные в такой же степени, в какой это мог бы сделать современный актуарий и что он вычислил свою таблицу дожития так, как мы сегодня должны были бы это сделать. Sofonea (1957b, с. 31*) назвал статью Галлея началом всего развития современных методов страхования жизни, а Хальд (1990, с. 141) заявил, что она была высоко значима для науки страхования жизни. Последующие учёные применяли результаты Галлея, и самым значительным примером было введение равномерного закона смертности для возрастов от 12 лет (Муавр, De Moivre 1725).
В 1701 г. Галлей составил карту изолиний магнитного склонения для северной части Атлантического океана (Chapman 1941, с. 5), и его наряду с Граунтом можно считать зачинателем предварительного исследования данных, весьма важного, хоть и элементарного этапа статистических исследований. Карта Галлея послужила Гумбольдту примером для введения изотерм (§ 11.8.3).
В 1680–1682 гг. Лейбниц написал несколько рукописей, относящихся к так называемому государствоведению (§ 7.2.1) и политической арифметике и впервые опубликованных в 1866 г. (Leibniz 1986, с. 340–349, 370–381, 456–467 и 487–491), см. также Шейнин (1977b, с. 224–227). Он рекомендовал публиковать государственные таблицы достопримечательностей (числовые или нет?), а затем сравнивать их друг с другом по различным годам и странам. Составлять эти таблицы, по мысли Лейбница, должны были специальные регистрационные управления, и видимо для них-то он придумал перечень 56 вопросов (впрочем, записанный в весьма сыром виде), в том числе количество населения и сравнение рождаемости и смертности.
Он кроме того полагал желательным собирать сведения о научных достижениях, умных мыслях и медицинских наблюдениях, а также учреждать санитарные коллегии для сбора чрезвычайно широкого круга медицинских, метеорологических и сельскохозяйственных сведений.
Одна из рукописей Лейбница (там же, с. 456–467) была чисто политико-арифметической. В ней он ввёл среднюю продолжительность жизни, необходимую, как он заметил, для подсчёта стоимости пожизненных рент[8]; принял, хотя и без обоснования, соотношение смертности к населению равное 1:40 и явно ошибочно допустил равномерный закон смертности для всех возрастных групп, включая младенцев. Вслед за Арно и Николем (Arnauld & Nicole 1662/1992, с. 331 и 332) он ввёл и apparence [видимость с оттенком вероятность] или степень вероятности и среднее apparence или ожидание. Но совершенно непонятно утверждение Лейбница, которым он закончил свою статью, о том, что рождаемость может быть в 9 или 10 раз выше существовавшей. В начале статьи он ошибочно утверждал, что при броске двух игральных костей выпадение 7 очков втрое (фактически, в 6 раз) более вероятно, чем 12 очков. Todhunter (1865, с. 48) отметил вторую ошибку Лейбница того же вида.
Дальнейшее развитие статистики населения связано с общей задачей отделения случайности от божественного предначертания. Кеплер и Ньютон достигли этой цели по отношению к неодушевлённой природе, и вскоре после этого учёные начали отыскивать закономерности в движении населения, ср. § 3.2.3.
3.2. Математические исследования
3.2.1. Паскаль и Ферма. В 1654 г. Паскаль и Ферма обменялись несколькими письмами (Pascal 1654a), положив начало формальной истории теории вероятностей, см. Meusnier (2009). Они обсудили задачи, важнейшая из которых была известна уже в конце XIV в. Вот она. Азартная игра двоих или троих игроков должна была длиться до тех пор, пока один из них не выиграет n партий (и не заберёт все ставки). И всё же игра прервалась при счёте a:b (или a:b:c), a, b, c < n. Требуется справедливо разделить общую ставку. Оба учёных решили эту задачу, приняв одно и то же правило: ставку следует разделить в соотношении ожиданий их выигрыша, см., например, Takácz (1994) и Шейнин (1977b, с. 231–239). Именно фактическое введение этого понятия, ожидания, было их основным достижением. Они также по существу пользовались теоремами сложения и умножения вероятностей[9].
Методы Паскаля и Ферма отличались друг от друга. Паскаль, в частности, применил арифметический треугольник, составленный, как известно, из биномиальных коэффициентов разложения (1 + 1)n для возрастающих значений n. Трактат об арифметическом треугольнике Паскаля был опубликован посмертно (1665), однако Ферма был по крайней мере частично знаком с ним. Заметим (Hald 1990, с. 49 и 57), что Паскаль и в этом трактате, и в своих письмах фактически пользовался уравнениями в конечных частных разностях.
Знаменитое пари Паскаля (1669, посмертно) сводилось к выбору одной из двух гипотез. Существует ли Бог, риторически спрашивал глубоко верующий автор, и отвечал: следует держать пари. Если Бога нет, можете жить спокойно (и грешить!), однако в противном случае вы потеряете вечность. В математическом смысле рассуждение Паскаля, которое он, возможно, не успел отредактировать, расплывчато, но его суть ясна: если Бог существует хотя бы со сколь угодно низкой, но фиксированной вероятностью, ожидание блага от веры в Него бесконечно.
Арно и Николь (1662/1992, с. 334) опубликовали аналогичное утверждение:
Такие бесконечности как вечность и спасение нельзя сравнивать ни с какой преходящей выгодой. […] Мы никогда не должны сопоставлять их ни с чем мирским. […] Малейшая степень возможности спасения самого себя ценнее всех земных благ взятых вместе, а малейший риск лишиться этой возможности опаснее всех преходящих зол.
3.2.2. Гюйгенс. Его трактат (Huygens 1657) был первым сочинением по теории вероятностей. Зная лишь общее содержание переписки Паскаля и Ферма, он независимо от них ввёл ожидание случайного выигрыша и также выбрал его в качестве критерия для решения вероятностных задач. Отметим, что он доказывал, что цена ожидания лица, которое в р случаях должно получить сумму а, а в q случаях − сумму b, составляет
(pa + qb)/(p + q). (3.1)
Гораздо проще выражение (3.1) обосновал Якоб Бернулли (Jakob Bernoulli 1713/1999, с. 9): если каждый из р игроков получит а, а каждый из q игроков получит b, то ожидание каждого составит (3.1). В дальнейшем, однако, ожидание, а стало быть и выражение (3.1), начало вводиться по определению.
В своём трактате Гюйгенс решил задачу о разделе ставки при различных начальных условиях и несколько задач, связанных с игрой в кости. Он кроме того перечислил ещё 5 задач (две из которых сформулировал Ферма и одну–Паскаль), решив их позднее либо в своей переписке, либо в неопубликованных рукописях. Они требовали применения теорем сложения и умножения вероятностей, введения (в неявной форме) условных вероятностей и формулы (в современных обозначениях)
P(B) = ∑P(Ai) P(B/Ai), i = 1, 2, …, n.
Опишем две задачи из упомянутых пяти. Задача № 4 относилась к исследованию выборки без возвращения. Из 8 чёрных и 4 белых шаров, находившихся в урне, извлечено 7; требуется определить соотношение шансов того, что выборка содержала или не содержала 3 белых шара. Гюйгенс (Hald 1990, с. 76) решил эту задачу, составив и решив уравнение в конечных частных разностях для неизвестного ожидания первого события, ср. ниже замечание Кортевега об аналитическом методе Гюйгенса. Ныне подобные задачи, при решении которых появляется гипергеометрическое распределение (Jakob Bernoulli 1713/1999, с. 167–168; De Moivre 1712/1984, задача 14 и 1718/1756, задача 20), имеют отношение к статистическому контролю массовой продукции.
Элементарная задача № 4 Паскаля впервые касалась разорения игрока. Каково, спрашивал он, соотношение шансов разорения двух игроков, имеющих по 12 фишек и взявшихся выбрасывать 14 и 11 очков тремя костями. Эти очки выпадают в 15 и 27 случаях соответственно, и искомое соотношение поэтому равно (5/9)[10].
В 1669 г., в переписке со своим братом, Гюйгенс (Huygens 1888–1950, т. 6; Kohli & van der Waerden 1975) обсуждал вероятностные задачи о смертности и страховании жизни. Так ещё не сформировавшаяся теория вероятностей вышла за рамки азартных игр, и произошло это под влиянием таблицы дожития Граунта (§ 3.1.4). Исходя из неё, Гюйгенс (с. 531–532) ввёл вероятный срок жизни (но не сам термин) и пояснил, что он не совпадает с ожиданием жизни. На с. 537 Гюйгенс указал, что второй срок жизни должен применяться при подсчётах пожизненных рент, а первый − при заключении пари о сроке жизни человека; подобные пари обсуждал и он сам (с. 524−526), и его брат Лодевик (с. 484–485).
Гюйгенс показал, что вероятный срок жизни может быть определён по графику функции (непрерывная кривая, проходящая через эмпирические точки, данные в таблице Граунта; график помещён между с. 530 и 531)
y = 1 − F(x),
где в современных обозначениях мы ввели оставшуюся неопределённой интегральную функцию распределения с допустимыми значениями
0 ≤ x ≤ 100.
Здесь же Гюйгенс (с. 528) вычислил ожидаемый срок, после которого умрут два человека, оба в возрасте 16 лет, и сформулировал аналогичную задачу для 40 человек одного и того же возраста (46 лет). Он исходил из таблицы Граунта и равномерного закона смертности в пределах каждой возрастной группы (т. е., как у Граунта, с 16 до 26, с 26 до 36 лет и т. д.). В первой задаче он применил условное ожидание, предположив, что один из двоих (кто-то определённый) умирает раньше другого. Вторая задача была слишком громоздка, но Гюйгенс мог бы заключить, что искомый срок равен 40 годам (по Граунту, 86 лет являлось предельным сроком жизни).
Гюйгенс, правда, решил подобную же задачу, но ошибся. Оставив в силе равномерный закон, он посчитал, что количество смертей будет убывать со временем (т. е. с числом остающихся в живых). На самом же деле, при непрерывном и равномерном распределении на некотором интервале n порядковых статистик разделят его на (n + 1) примерно равных частей, так что количество смертей должно было оставаться примерно постоянным.
Гюйгенс ни разу не упомянул де Витта (§ 3.1.3), но возможно, что работа последнего (написанная в качестве официального и притом секретного документа) оставалась ещё неизвестной[11].
Решая задачи на азартные игры, Гюйгенс исходил из ожиданий, переменных от одной партии к другой, а не из постоянных вероятностей и должен был составлять и решать уравнения в конечных разностях (Korteweg, см. Huygens 1888–1950, т. 14, с. 135), так что его, как и Паскаля (§ 3.2.1), следовало бы упоминать в связи с историей этих уравнений. См. также Shoesmith (1986).
Развивая идеи Декарта и других учёных о моральной достоверности (§ 3.1.2), Гюйгенс утверждал, что доказательства в физике являются вероятностными и должны проверяться по их следствиям и что степень достоверности суждений в гражданской жизни следует определять по здравому смыслу. В письме 1691 г. он (1888–1950, т. 10, с. 739) действительно упомянул Декарта и без обоснования принял, что вероятность, равная 10–11, ничтожна. Вряд ли он сам применял это или какое-либо иное число в качестве соответствующего критерия. Заметим, что Борель (Borel 1943, с. 27) предложил считать 10–6 и 10–15 ничтожными в человеческом и земном масштабах соответственно. См. также Шейнин (1977b, с. 251–252).
3.2.3. Ньютон. Он высказал интересные мысли и получил новые результаты в теории вероятностей (Шейнин 1971a), однако самыми важными оказались его философские взгляды (K. Pearson 1926):
Идея Ньютона о вездесущем активизирующем божестве, которое сохраняет средние статистические значения, составила фундамент статистического развития по цепочке Дерхам [религиозный философ] – Зюссмильх [§ 7.2.2] – Нивентит [статистик] – Прайс [гл. 6] – Кетле [§ 11.5] – Флоренс Найтингейл[12].
Муавр расширил теологию Ньютона и направил статистику в новое русло, в котором она проплыла почти столетие. Причины, которые привели Муавра к его Аппроксимированию или Бейеса к его теореме, были более теологическими и социологическими, чем чисто математическими, и пока не будет признано, что после-ньютоновские английские математики находились под большим влиянием теологии Ньютона, чем под влиянием его математики, история науки XVIII в. и особенно история науки учёных − членов Королевского общества останется непонятой.
Ньютон не высказывал подобных идей (хотя и полагал, что Бог регулярно избавляет систему мира от накапливающихся неправильностей, см. ниже). В 1971 г., отвечая на наш вопрос по этому поводу, Э. Пирсон указал:
Прочитав [K. Pearson (1978)], я думаю, что понимаю, что имел в виду К. П. […] Он пошёл дальше Ньютона в том смысле, что утверждал, что законы, которые свидетельствуют о предначертании, проявляются в устойчивости средних значений наблюдений ...
С тех пор мы заметили, что К. Пирсон (там же, с. 161 и 653) приписал Муавру (De Moivre 1733/1756, с. 251–252) божественную устойчивость статистических соотношений, т. е. предопределение или предначертание и сослался на Лапласа, который, впрочем, никогда не упоминал предначертания, см. § 8.1-3, но (1814/1999, с. 842) высказал родственную идею:
В ряду событий, неопределённо продолженном, действие регулярных и постоянных причин должно со временем перевешивать действие причин нерегулярных.
Пирсон (1926) затем перешёл к Муавру (см. § 5.4) и Бейесу (гл. 6) и заявил, что их работа была вызвана скорее теологическими и социологическими причинами, нежели собственно математикой.
А вот самое характерное высказывание из Оптики (Newton 1704, Вопрос 31):
Слепая судьба никогда не могла бы заставить планеты двигаться по одному и тому же направлению по концентрическим орбитам за исключением некоторых незначительных неправильностей, которые могли происходить от взаимных действий комет и планет друг на друга и которые будут вероятно нарастать, пока эта система не потребует [божественной] реформации. Для столь чудесной однородности планетной системы следует допустить действие выбора. О том же свидетельствует однообразие в телах животных.
В русском переводе (см. Библиографию) подчёркнутая нами фраза отсутствует и, более того, заменена непонятными словами.
Мы уже отметили и логическое несовершенство подобных рассуждений, и их практическую справедливость, – мы бы сказали, их моральную достоверность (§ 3.1.2). Мысль о божественном исправлении системы мира была впоследствии оставлена, но вот признание Ньютоном существования и роли её случайных искажений исключительно интересна; случайных, в том же смысле, в котором случаен результат подбрасывания монеты. И в то же время Ньютон (опубл. 1958, с. 316–318), как и Кеплер (§ 2.2.4), не признавал случайности, объясняя её незнанием. Это его мнение высказал в 1693 г. будущий теолог Бентли, который предварительно советовался с Ньютоном и пересказал его мысли. Философский аспект имело также замечание Ньютона (Sсhell 1960) о том, что понятие шанса можно применять к единичному случайному исходу[13].
Занимаясь хронологией событий древности, Ньютон (1728, с. 52) оставил интересное замечание:
Греческие хронисты […] утверждали, что цари их нескольких городов […] правили в среднем по 35–40 лет, что настолько превосходит ход событий в природе, что не может быть признано. Ибо в соответствии с обычным ходом природы цари правят в среднем около 18 или 20 лет, иногда в среднем на 5 или 6 лет дольше, а иногда на столько же короче. 18 или 20 лет является средней величиной.
Эту собственную оценку Ньютон вывел на основании других хронологических данных и его решение отвергнуть вдвое больший срок (35–40 лет) было разумным. Впрочем, формализация его рассуждения затруднительна: в пределах одной и той же династии срок правления последующего царя напрямую зависит от срока правления предыдущего, а вероятность существенного уклонения значений случайной величины от выведенного среднего арифметического нельзя подсчитать, не зная соответствующей дисперсии (которую Ньютон характеризовал лишь косвенно и обобщённо). Описав более позднее разъяснение Ньютона об источниках своей оценки, Пирсон (К. Pearson 1928а) остановился на примыкающих замечаниях Вольтера и, особенно, на работах Кондорсе.
Упомянем ещё рукопись Ньютона (1967, с. 58–61), написанную между 1664 и 1666 гг. Если пропорция шансов […] иррациональна, писал он, интерес [выгода, ожидание] может быть найден таким же образом. Пусть, продолжал он, шар падает на центр круга и оказывается в одном из двух его секторов, отношение площадей которых равно 2:Ö5. Пусть, далее, в первом случае игрок выигрывает а и во втором случае – b, тогда его надежды стоят
(2а + b√5)/(2 + √5).
Здесь можно усмотреть и обобщение данного Гюйгенсом понятия ожидания, и первое введение геометрической вероятности (§ 7.1.6). Второй пример Ньютона – неправильная игральная кость, для которой все-таки можно определить насколько легче получается один результат, нежели другой. Представляется, что Ньютон имел в виду не аналитические подсчёты, а статистические вероятности. Добавим лишь, что он, видимо, был знаком с общим содержанием книги Граунта (§ 3.1.4).
В 1693 г., отвечая на заданный ему вопрос, Ньютон (Gani 1982) определил [вероятности] выпадения не менее одной, двух и трёх шестёрок при броске, соответственно, шести, 12 и 18 костей (ср. задачу де Мере в Прим. 9). В последнем случае, например, вычисления Ньютона можно описать формулой
P = 1 – (18∙17/1∙2) (5/6)16 (1/6)2 – (18/1) (5/6)17 (1/6) – (5/6)18.
И вот, наконец, мнение Д. Т. Уайтсайда (частное сообщение, 1972) о Ньютоне-экспериментаторе:
Фактически (но без явных утверждений об этом) Ньютон чётко представлял себе различие между случайными и структурно встроенными ошибками. Он безусловно был погружен в мысли о втором типе встроенных ошибок и многие теоретические модели различных видов физических, оптических и астрономических явлений были сознательно придуманы [им] таким образом, чтобы свести к минимуму эти структурные ошибки. В то же время он подходяще регулировал свою практическую астрономическую работу в смысле случайных ошибок наблюдений.
3.2.4. Арбутнот. Он (Arbuthnot 1712) собрал воедино данные по Лондону о рождениях (точнее, крещениях) за 1629–1710 гг. Он заметил, что в течение этих 82 лет ежегодно рождалось больше мальчиков (m) чем девочек (f) и заявил, что этот факт не случаен, а отражает волю провидения, которое заботится о роде людском: мальчики и мужчины подвергаются бóльшим опасностям, и их смертность намного выше [чем у девочек и женщин], в чем нас убеждает опыт. С формальной точки зрения, как он указал, цена ожидания того, что статистические данные случайны, если даже не принимать во внимание наблюдавшиеся равенства годичных соотношений m:f и постоянства пределов для (m – f), меньше чем (1/2)82. Впрочем, он даже не вычислил ни эти соотношения, ни пределы.
Арбутнот мог бы заключить, что рождения обоих полов подчиняются [биномиальному распределению], и что в нём, а не просто в неравенстве количества рождений, проявляется воля провидения, и попытаться оценить его параметр (который, по Граунту, должен был равняться 14:13, см. § 3.1.4). Он не отметил, что крещения не равносильны рождениям, что христиане быть может чем-то отличаются от других и что, наконец, Лондон, возможно, являлся исключением. И сравнительная смертность полов не была ему известна. Уместно добавить, что Граунт (1662, конец гл. 3) заметил, что в 1650–1660 гг. менее половины христиан полагали, что крещение необходимо.
Имеется и другое обстоятельство, которое, правда, не является здесь существенным: вероятности последовательностей появления двух различных событий зависят от того, будет ли приниматься во внимание порядок следования этих событий или нет.
И все-таки его краткая статья была замечена позднейшими авторами, которые продолжили изучение соотношения рождаемостей и достигли на этом пути существенного развития теории вероятностей (см. особенно § 5.4), а Фрейденталь (Freudenthal 1961, с. xi) назвал Арбутнота автором первой работы по математической статистике. Из многочисленных других современных комментаторов Арбутнота назовем Shoesmith (1987) и David & Edwards (2001, с. 9–11).
Впервые в опубликованной работе Арбутнот воспользовался приёмом, по существу равносильным применению производящей функции биномиального распределения, хотя только для частного случая симметричного бинома. Ещё раньше эту функцию использовал Я. Бернулли (§ 4.1.2), но его сочинение увидело свет лишь в 1713 г.
Bellhouse (1989) описал рукопись Арбутнота, написанную, видимо, в 1694 г. В ней автор рассмотрел игру в кости, пытался исследовать хронологию (два примера, ср. § 3.2.3) и в большой степени предвосхитил свою опубликованную заметку 1712 г. В 1715 г. Гравезанд (s’Gravesande), см. К. Пирсон (1978, с. 301–303) и Хальд (1990, с. 279–280), усовершенствовал рассуждение Арбутнота и обсудил его с Н. Бернулли, ср. § 4.3.4.
- Якоб Бернулли и закон больших чисел
Мы рассмотрим основное сочинение Бернулли Искусство предположений[14] (ИП), изданное посмертно, и коснёмся его Дневника за 1684–1690 гг., лишь теоретико-вероятностная часть которого была опубликована совместно с перепечаткой ИП (в обоих случаях, только в оригинале, т.е. на латинском языке) с другими материалами и комментариями (J. Bernoulli 1975). Мы кроме того опишем сопутствующие вопросы и остановимся на работах современников Бернулли. ИП было переведено лишь на немецкий язык (в 1899 г.; последнее издание 1999 г.), а его отдельные части появлялись и на других живых языках. В 1913 г. по инициативе Маркова В. Я. Успенский перевёл основную четвёртую часть ИП на русский язык. Этот перевод перепечатан с комментариями и приложениями (Я. Бернулли 1713/1986).
4.1. Отдельные сочинения
4.1.1. Дневник. Здесь Бернулли исследовал азартные игры и вероятностный аспект гражданского права. Он (с. 47) заметил, что вероятность[15] появления чумы в очередном году равна отношению количества чумных лет за длительный промежуток времени к общему числу лет в нем. Подчеркнём, что автор таким образом использовал определение вероятности события (притом статистической), а не шансы “за” и “против”. Но главное в Дневнике – наброски доказательства ЗБЧ, и это означает, что Бернулли доказал его не позже чем в 1690 г. В замечании на с. 46 к рассуждению о смертности приведены выходные данные рецензии 1666 г. на книгу Граунта (§ 3.1.4), которую Бернулли может быть и не видел; ни в Дневнике, ни в ИП он на неё не ссылался.
4.1.2. Искусство предположений. Четвертая часть книги должна была излагать использование и применение предшествующего учения в гражданских, моральных и экономических делах (Я. Бернулли 1713/1986, с. 92), но ничего подобного она не содержит[16]. В частях 1 и 3 решены интересные задачи: исследование случайных сумм для дискретных равномерного и биномиального распределений, аналогичное изучение суммы случайного числа слагаемых для одного дискретного распределения, отыскание распределения первой порядковой статистики для дискретного равномерного распределения и вычисление вероятностей безвозвратных выборок. Аналитические методы автора включали здесь комбинаторику и вычисление ожиданий выигрышей в каждой партии конечных или бесконечных игр с их последующим суммированием.
Часть 1-я является перепечаткой трактата Гюйгенса (§ 3.2.2) с решением его пяти дополнительных задач, одна из которых, впрочем, перенесена в 3-ю часть (J. Bernoulli 1713/1999, с. 167), с обширными и ценными комментариями, но упомянутая перепечатка, пожалуй, дополнительно свидетельствует о том, что автор не успел закончить своё сочинение. Здесь же Бернулли (с. 22–28), рассматривая игру в кости, составил таблицу, при помощи которой можно было вычислять коэффициенты при xm в разложении (x + x2 + … + x6)n при небольших натуральных n.
Вторая часть, которая не имеет отношения к теории вероятностей, посвящена комбинаторике и в ней автор ввел числа Бернулли. Именно 4-я часть содержит ЗБЧ. Кроме того, в ней мы находим неформальное “классическое” определение вероятности (которое, однако, не используется при введении указанного закона), рассуждение о цели искусства предположений (в гл. 2), – возможно более точное измерение вероятностей для определения наилучших решений, видимо, в гражданской жизни, – и элементы стохастической логики[17].
О наилучших решениях высказался Цицерон (Cicero 1997, кн. 1, § 12, с. 7): многое вероятно, хоть и нельзя доказать, что оно истинно. Но мудрые руководятся им, потому что оно так существенно и ясно.
Искусство предположений Бернулли, кажется, понимал как математическую дисциплину, основанную на вероятности как мере уверенности, и ожидании, включающую (явно ещё не сформулированные) теоремы сложения и умножении вероятностей и увенчанную его ЗБЧ.
О своём сочинении Бернулли сообщил Лейбницу в письме 3 окт. 1703 г. (Kohli 1975b, с. 509): работая над ним много лет, он то и дело прерывался ввиду природной лени и ухудшения здоровья. В сочинении не хватает ещё важнейшей части, – приложения искусства предположений к гражданской жизни. Тем не менее, он, Бернулли, уже показывал своему брату [Иоганну] решение в своём роде особой и трудной задачи, которая основывает приложения искусства предположений (§ 4.2.3).
Основным в этом письме и в дальнейшей переписке 1703–1705 гг.[18] (там же, с. 510–512) была проблема статистических вероятностей, см. также §§ 4.2.2–4.2.3. Лейбниц так и не согласился с тем, что наблюдения могут обеспечить моральную достоверность, но его доводы вряд ли убедительны. В частности, он фактически повторил утверждение Arnauld & Nicole (1662/1992, с. 304 и 317) о том, что конечное (разум; стало быть, и наблюдения) не всегда может постичь бесконечное (например, Бога, но также, по Лейбницу, любое явление, зависящее от бесчисленных обстоятельств).
Возможно, что точка зрения Лейбница была частично обусловлена его пониманием случайности как чего-то, полное доказательство которого превосходит всякий человеческий разум (рукопись 1686 г.; Leibniz 1960, c. 288). Это эвристическое высказывание не противоречит современному “сложностному” подходу к случайности. Лейбниц был прав в том смысле, что статистические расчёты не могут окончательно подтверждать гипотезы.
В письме 3 дек. 1703 г. Лейбниц (Gini 1946, с. 405) также утверждал, что учёт всех обстоятельств важнее утончённых вычислений, и Борткевич (1923, с. 12) указал на положительное мнение Кейнса об этой точке зрения и вспомнил, что Милль (1843/1914, с. 490) резко сопоставил учёт обстоятельств с детальным приложением теории вероятностей. Милль мог бы упомянуть прикладную математику вообще; обстоятельством в ней была бы степень совместимости её моделей с реальностью, ср. соответствующее мнение Гаусса в § 10А5-2. Кроме того, не следовало бы противопоставлять обстоятельства и вычисление, тем более, что первые могут вначале оставаться недостаточно известными, особенно в статистике.
Более половины гл. 4 4-й части ИП по существу совпадает с соответствующими местами писем автора Лейбницу; в ней Бернулли (1713/1986, с. 44) отвечал на возражения учёных мужей, т.е. своего корреспондента[19].
4.2. Основные положения Искусства предположений
4.2.1. Вероятностные предположения и доводы. Им автор посвятил гл. 2 и 3 4-й части ИП. В дальнейшем изложении они не упоминаются; возможно, что Бернулли хотел вернуться к ним в ненаписанной части книги. Математическая сторона его рассуждений сводилась к применению теорем сложения и умножения [вероятностей] при сочетании различных доводов.
Необычной была неаддитивность этих [вероятностей][20]. Вот один из его примеров (1713/1986, с. 38): нечто имеет 2/3 достоверности, а противоположное – 3/4; обе возможности вероятны, однако их вероятности (по контексту иначе не скажешь) относятся как 8:9. Неаддитивные вероятности начал изучать Koopman (1940), а их истоки можно отыскать в средневековом учении о пробабилизме, в соответствии с которым мнение каждого теолога считалось вероятным. Franklin (2001, с. 74) относит возникновение этого учения к 1577 г. или во всяком случае (с. 83) к 1611 г. Впрочем, подобные высказывания о вероятностях суждений встречаются и у Джона Сольсберийского в XII в., а задолго до него – у Цицерона (Garber & Zabell 1979, с. 46).
Особо отметим одно общее правило или аксиому приложения доводов (Бернулли 1713/1986, с. 30): из двух исходов следует выбирать более безопасный, надёжный или по крайней мере более вероятный[21]. Этого мнения о принятии вероятностных решений видимо придерживались игроки (§ 2.2.3), если только они не основывались на суевериях (§ 3.1.1).
4.2.2. Статистическая вероятность и моральная достоверность. Предваряя доказательство ЗБЧ, Бернулли (1713/1986, с. 41) пояснил, что теоретические количества случаев часто неизвестны, но что не дано вывести априорно, то, по крайней мере, можно получить апостериорно, т. е. из многократного наблюдения. В применении статистических [вероятностей] нет ничего нового, заявил он и сослался на знаменитого Арно, соавтора книги Аrnauld & Nicole (1662)[22]. Далее, в своём Дневнике автор косвенно упомянул Граунта (§ 4.1.1), и притом весьма кстати, в связи с невозможностью без привлечения статистических данных определить насколько вероятнее, что молодой человек переживёт старика, нежели противное[23].
О своем мнении Бернулли написал Лейбницу (ср. § 4.1.2), добавив, что именно указанное соображение натолкнуло его на мысль о замене, при необходимости, априорного знания апостериорным. Вспомним ещё (§ 4.1.1) мысль Бернулли о статистической вероятности чумного года.
Моральную достоверность мы обсуждали в §§ 3.1.2 и 3.2.2. Бернулли (1713/1986, с. 31) считал, что её следует допускать наравне с безусловной достоверностью, судьи же должны иметь твёрдые указания о том, является ли, например, 0,99 или 0,999 моральной достоверностью. Последняя мысль вряд ли была когда-либо реализована, к тому же вероятность справедливого приговора должна повышаться с его строгостью. На с. 43 Бернулли ещё раз упомянул эту категорию. Его теорема покажет, как он заявил, что статистическая [вероятность] является морально достоверной оценкой теоретической [вероятности]. Первая, в терминах математической статистики, является состоятельной оценкой второй[24].
4.2.3. Закон больших чисел. Бернулли доказал теорему, которая со времён Пуассона (§ 9.7) называется законом больших чисел.
Марков (Руководство, 1924, с. 44–52) улучшил оценки Бернулли в основном за счёт уточнения его промежуточных неравенств, а Пирсон (K. Pearson 1925), применив формулу Стирлинга, добился практического совпадения результатов Бернулли с оценкой, использующей нормальное распределение в качестве предельного для биномиального[25]. Пирсон (с. 202), однако, посчитал бернуллиеву оценку необходимого числа испытаний в формуле (4.1) грубой и разорительной для тех, кто станет её применять. Наконец, он недопустимым образом сравнил закон Бернулли с неверной птолемеевой системой мира (а Муавра – с Кеплером и Ньютоном):
Бернулли подметил значение некоторой задачи; то же сделал и Птолемей, но было бы нелепо назвать кеплерово или ньютоново решение задачи о движении планет по имени Птолемея!
Закон Бернулли имел громадное значение для развития теории вероятностей[26], да и можно ли отрицать важность теорем существования?
Итак, ЗБЧ установил соответствие между двумя вероятностями[27]. Бернулли (1713/1986, с. 42) хотел выяснить, не имеет ли его задача свою асимптоту, т.е. не имеется ли такая степень достоверности, которую […] нельзя превзойти, как бы ни умножались наблюдения …
Он ответил на свой вопрос: нет, таких чисел не существует и тем самым установил в рамках вероятностной теории познания соответствие между индуктивными и дедуктивными методами и соединил статистику с искусством предположений. Странным образом статистики долго не воспринимали этого обстоятельства. Haushofer (1872, с. 107–108) объявил, что статистика не имеет внутренних связей с математикой (стало быть, и с теорией вероятностей), поскольку она основана на индукции, последняя же на дедукции. Известнейший немецкий статистик Кнапп (Knapp 1872а, с. 116–117) высказал странную мысль: закон малополезен, так как статистики всегда производят лишь одно наблюдение, как, например, при переписи населения города. И даже в ХХ в. Maciejewski (1911, с. 96) ввёл вместо теоремы Бернулли, которая якобы тормозила развитие статистики, статистический закон больших чисел, – качественное утверждение о затухании колебаний статистических показателей с возрастанием количества наблюдений.
Все это, конечно же, относилось и к ЗБЧ в форме Пуассона (результаты Чебышева европейские статистики в то время вряд ли знали), а мнение Мациевского видимо отражало общее настроение статистиков. Вот, действительно, заявление Борткевича (1917, с. 56–57): выражение закон больших чисел следует применять только в том смысле, который он приобрел в статистике, т.е. для обозначения вполне общего и не связанного ни с какой определённой стохастической схемой факта большей или меньшей устойчивости статистических показателей при неизменных или слабо изменяющихся общих условиях и большом числе наблюдений. Романовский (1912, с. 22; 1924, часть 1-я, с. 15; 1961, с. 127) занимал сходную позицию. Так, в последнем случае он подчеркнул естественнонаучную суть ЗБЧ и назвал его физическим.
ЗБЧ имеет предысторию. Задолго до Бернулли было принято полагать, что общее количество появлений события в n бернуллиевых испытаниях при вероятности р примерно равно
µ = np. (4.3)
Эту формулу применял, например, Кардано (Ore 1963, с. 152–154 и 196) при подсчётах, связанных с игрой в кости. При составлении своей таблицы смертности Галлей (§ 3.1.4) предположил, что нерегулярности в его исходных данных исчезли бы при намного большем числе лет наблюдений, и эту мысль можно истолковать как утверждение о повышении точности формулы (4.3) с ростом n.
Второй подход к ЗБЧ наметился при обработке наблюдений, когда среднее арифметическое стало универсальной оценкой неизвестной константы (§ 2.2.4). Если ожидание результатов наблюдений равно искомой константе а, т.е. если систематические ошибки отсутствуют, и если (что всегда имело место) их дисперсии ограничены, то можно предполагать, что а приближённо равно среднему арифметическому из этих результатов.
Появились и аналогичные, но необоснованные утверждения о суммах величин, искажённых случайными погрешностями. Так, Кеплер (Шейнин 1973с, с. 120) заметил, что общий (средний!) вес большого числа монет одной и той же чеканки не зависит от неточностей в весе отдельных монет. Наконец, Gower (1993, с. 272) заметил, что Бошкович (Boscovich 1758, § 481) [нечётко] утверждал, что сумма случайных неравенств убывает с ростом числа слагаемых, ср. § 11.8.5. Порицать Кеплера и Бошковича не следует: подобное ошибочное мнение о сумме случайных величин существовало по крайней мере вплоть до XX в., так что Гельмерт (Нelmert 1905, с. 604) счёл нужным опровергать его.
4.2.4. Случайность и необходимость. Видимо не желая вторгаться в область теологии, Бернулли (1713/1986, начало гл. 1) отказался обсуждать понятие случайности. В той же главе он предложил субъективное описание случайного, но поправил себя в гл. 4, объяснив случайность действием многочисленных и сложных причин. Наконец, в последних строчках своего сочинения он заметил, что даже в вещах в высшей степени случайных мы принуждены были бы признать как бы некоторую необходимость … Он сослался на Платона, согласно которому всё по истечении несметного числа веков возвратится в прежнее состояние.
Бернулли видимо имел в виду архаическое представление о великом годе, по окончании которого все планеты и звезды возвратятся в исходное, на момент творения, положение и наступит конец света. Тем самым Бернулли безосновательно расширил узкие рамки приложения своего закона, а приведённый им пример вообще слишком сложен. Но утверждение о конце света встречается у Кеплера (Kepler 1596), который решил, что он вряд ли наступит. Его первоначальные соображения были малопонятны, но во втором издании своей книги Кеплер по сути исходил из того, что два какие-либо [случайно выбранные] числа вероятно несоизмеримы. Таково же было мнение Орема (Oresme 1966, c. 247)[28]. Наконец, в конце гл. 1 Бернулли повторил пример Аристотеля (§ 2.1.1) о находке клада, но лишь косвенно имел в виду случайность.
4.3. Современники Бернулли
Мы вкратце остановимся на мыслях и результатах некоторых современников Бернулли. Впрочем, Муавра, чьё первое теоретико-вероятностное сочинение появилось ещё до публикации ИП, мы выделяем особо (гл. 5).
4.3.1. A. Арно. Арно и Николь анонимно выпустили книгу Искусство мыслить[29] (Arnauld & Nicole 1662). Арно был её основным автором, и мы упоминали его в § 3.2.1 (пари Паскаля), в § 3.1.2 (моральная достоверность) и в § 3.1.1 (рекомендация пренебрегать маловероятными благоприятными событиями). Наконец, в §§ 4.2.2 мы заметили, что Бернулли сослался на Арно при обосновании применения статистических вероятностей и перенял у него одно из своих правил или принципов поведения. Далее, Арно неоднократно употреблял, правда, без формального определения, термин вероятность и её степень (например, на с. 331 и 332), и Лейбниц (§§ 4.1.2 и 3.1.4) воспользовался одним рассуждением и термином Арно.
4.3.2. Николай Бернулли. Он написал диссертацию о приложении искусства предположений к юриспруденции (1709/1975). Её английский перевод в интернете совершенно негоден. Тем не менее, мы по мере возможности воспользовались им для перевода диссертации на русский язык, см. S, G, 71. Юридическую часть мы резко сократили, выпустили излишние математические подробности и вынужденно пропустили отдельные места.
В диссертации содержатся
1) Подсчёт средней продолжительности жизни для лиц различных возрастов.
2) Рекомендация применять её для вычисления стоимости пожизненных рент и для суждений о вероятности смерти безвестно отсутствующих, которых он (с. 302) предложил считать умершими, если вероятность смерти была вдвое выше вероятности противоположного события.
3) Методический подсчёт ожидаемых убытков в морском страховании.
4) Вычисление ожидания выигрышей (точнее, проигрышей) в генуэзской лотерее, ср. конец § 2.1.2.
5) Вычисление вероятностей правдивости свидетельских показаний.
6) Вычисление ожидания продолжительности жизни последнего из группы людей (с. 296–297; Todhunter (1865, с. 195–196). Предположив непрерывный равномерный закон[30] смертности, он тем самым вычислил ожидание соответствующей [порядковой статистики]. И это распределение, и порядковая статистика впервые появились в печати в его работе.
7) Комментарий к введению ожидания Гюйгенсом (с. 291; Kohli 1975с, с. 542), см. выражение (3.1). Бернулли истолковал (3.1) как обобщённое среднее арифметическое и центр тяжести всех вероятностей (это уже неточно).
Видимо в связи с направленностью своей диссертации он не упомянул математическую обработку наблюдений, ср. § 3.1.4. Работа Бернулли несомненно способствовала распространению вероятностных идей в обществе (ср. § 3.1.2), но мы обязаны добавить (Kohli 1975c, с. 541), что он не только подхватил намёки, содержавшиеся в рукописи Искусства предположений, но дословно перенёс в свою диссертацию отдельные куски из этого сочинения и даже из Дневника, который вообще не предназначался к публикации. Многочисленные общие ссылки на Якоба не оправдывают плагиата.
4.3.3. П. Р. Монмор. Он – автор анонимного сочинения (Montmort 1708), которое было важно и само по себе и ввиду его несомненного влияния на Муавра, равно как и на Н. Бернулли, переписку с которым Монмор включил во второе издание своей книги. В предисловии (с. iii) он указал, что в суждениях и практической деятельности желательно руководствоваться геометрией, а не суевериями (§ 3.1.1). Он, однако, не будет исследовать приложений [вероятностных] методов к гражданской жизни, поскольку не может сформулировать подходящих гипотез (с. xii)[31].
Вот некоторые задачи, решённые Монмором:
1) Раздел ставки в прерванной игре. Монмор пришёл к отрицательному биномиальному распределению. Он вернулся к этой задаче в переписке с Н. Бернулли (Hald 1990, с. 312–314).
2) Выбрасывание s очков при броске n костей с f гранями каждая. Монмор применил комбинаторный метод и формулу (4.4).
3) Задачи о размещении и снова игра в кости. Монмор пришел к многомерному гипергеометрическому и полиномиальному распределениям.
4) Задача о совпадениях. Билеты, пронумерованные по порядку 1, 2, …, n, извлекаются из урны по одному без возвращения. Какова вероятность, что хотя бы один билет с номером k, 1 ≤ k ≤ n, будет извлечён k-м по счету? Монмор получил решение в виде
Pn = 1 – 1/2! + 1/3! – … + (–1)n–1/n!, lim Pn = 1 – e− 1, n → ∞.
Комментированный перевод решения этой задачи различными учёными (Н. Бернулли, Муавр), см. H. A. David & Edwards (2001, с. 19–29).
4.3.4. П. Р. Монмор и Николай Бернулли: переписка. Здесь мы кратко опишем переписку 1710–1713 гг. между этими учёными (Montmort 1708, с. 283–414).
1) Стратегическая игра Her (Hald 1990, с. 314–322). Её решение стало возможным в рамках современной теории игр на основе принципа минимакса, но Бернулли всё же заметил, что игрокам следует придерживаться [смешанных стратегий].
2) Разорение игрока. Монмор выписал результат своих вычислений для конкретных начальных условий, а Бернулли привёл без вывода соответствующую формулу в виде бесконечного ряда. Хальд полагает, что она была получена методом включения и исключения. Результаты Бернулли (равно как и Монмора и Муавра) описали также Thatcher (1957), Takácz (1969) и Kohli (1975а).
3) Исследование рождений мальчиков и девочек (Montmort 1708/1713, c. 388–394; Shoesmith 1985а).
4) Петербургская игра. В письме Монмору Н. Бернулли (Montmort, с. 402) описал придуманную им игру: А платит B экю если тот с первого раза выбросит шестёрку на обычной игральной кости и заплатит 2, 4, 8, … экю если это событие произойдёт лишь при втором, третьем, четвёртом, … броске. Требуется определить ожидание выигрыша B. Габриель Крамер (Gabriel Cramer) заменил кость монетой и её выпадением какой-либо определённой стороной. В этом новом варианте искомое ожидание B равно
Eξ = 1·1/2 + 2·1/4 + 4·1/8 + … = ∞, (4.5)
хотя ни один разумный человек не согласился бы заплатить сколько-нибудь значительную сумму за право оказаться на месте игрока B.
Этот парадокс продолжает обсуждаться до наших дней. Вводились дополнительные условия; предлагалось, например, вообще отказаться от учёта маловероятных выигрышей, т.е. усечь ряд (4.5); наперёд ограничить возможную выплату; и, самое интересное, – заменить математическое ожидание моральным[32]. Кроме того, было замечено, что возможно бесконечная игра всё же представляет собой лишь один эксперимент и что только средние характеристики многих игр могут подсказать целесообразное объяснение (Condorcet 1784, с. 714). Фактически опираясь на это соображение, Freudenthal (1951) предложил рассматривать серию игр с распределением ролей игроков в каждой из них по жребию. Наконец, петербургская игра послужила поводом быть может первого статистического эксперимента: Buffon (1777) сообщил о серии из 2048 таких игр, в которой средняя выплата составила 4,9 единиц, а максимальная продолжительность игры, оказавшаяся равной девяти броскам, произошла лишь в шести случаях[33]. В теоретическом плане игра была интересна и тем, что ввела в рассмотрение случайную величину с бесконечным ожиданием.
- A. Муавр
5.1. О мере случая
В своём первом теоретико-вероятностном сочинении Муавр (De Moivre 1712) обосновал понятие ожидания случайного выигрыша соображениями здравого смысла (а не определил формально, ср. § 3.2.2), сформулировал теорему умножения шансов, упомянув при этом условие независимости событий и воспользовался теоремой их сложения, также для шансов, а для решения одной задачи (№ 26) фактически применил формулу включения и выключения (4.4).
5.2. Страхование жизни
Муавр был самым значительным автором своего времени в области математического страхования жизни, которым он занимался с начала 1720-х годов. Исходя из таблицы Галлея (§ 3.1.4), он (1725/1756, с. 262–263) принял равномерный непрерывный закон смертности для всех возрастов начиная с 12-ти лет и максимальную продолжительность жизни в 86 лет.
Подробное изложение работы Муавра и его основного соперника, Т. Симпсона, см. Hald (1990, с. 515–546). Симпсон усовершенствовал, а в нескольких случаях исправил результаты Муавра. Рассмотрев один из вариантов совместного страхования, Хальд (с. 546) заключил, что соответствующие выводы Симпсона были значительным шагом вперёд. Впрочем, отношения Муавра с Симпсоном стали невыносимыми, и К. Пирсон (1978) справедливо назвал Симпсона самым постыдным типом (с. 145), бесстыдным лжецом и отъявленным мошенником (с. 184).
5.3. Учение о шансах
Это основное произведение Муавра (1718, 1738 и посмертное 1756), которое он развернул из мемуара 1712 г., предназначалось для игроков, так что полученные там результаты Муавр как правило сообщал без доказательства. Вместе с другими обстоятельствами[34] это привело к тому, что книга, о переводе которой на французский язык помышляли и Лагранж, и Лаплас[35], многие десятилетия оставалась плохо известной. Мы будем ссылаться на перепечатку её последнего издания.
В предисловии Муавр перечислил свои основные методы: комбинаторный анализ, возвратные последовательности (теорию которых он сам и разработал) и бесконечные ряды; в частности, он применял и надлежаще оборванные расходящиеся ряды. Там же он (с. 1–2) привёл “классическое” определение вероятности, которое обычно приписывается Лапласу, но сохранил прежнее рассуждение об ожидании (см. § 5.1) и даже ввёл цену ожидания (с. 3), сформулировал теорему умножения вероятностей (уже не шансов) и снова упомянул при этом независимость. Независимыми он назвал такие события A и B, что (здесь и чуть ниже – современные обозначения)
P(B) = P(B/A), P(A) = P(A/B).
Для зависимых же событий (например, для трёх), см. с. 6,
P(ABC) = P(A)P(B/A) P(C/AB). (5.3)
5.4. Теорема Муавра–Лапласа
В 1730 г. Муавр опубликовал Аналитические этюды. Впоследствии он снабдил их двумя дополнениями, из которых нас интересует второе (1733)[36], отпечатанное в небольшом числе экземпляров и разосланное Муавром своим коллегам. В 1738 г. Муавр перевёл его на английский язык и включил во 2-е, а затем, в дополненном виде, и в 3-е издание Учения. Вот его название: Метод аппроксимирования суммы членов разложенного в ряд бинома (a + b)n… Обратим внимание: Муавр имел в виду бином вообще. Это означает, что, в современных обозначениях, изучая случай p = q = 1/2, он всё же думал об общей теореме. Он, кроме того, прямо (и справедливо) указал (с. 250), что переход к общему случаю нетруден, но тем не менее ещё недавно (Schneider 1988, c. 118) утверждалось, что Муавр рассматривал лишь указанный выше частный случай.
Дата составления Аппроксимирования известна: уже в его латинском тексте Муавр на первой же странице сообщил, что, по крайней мере математическую часть этого мемуара, он закончил около 12 лет назад, – т.е. намного раньше выхода в свет Этюдов. Вот этапы его вычислений (Шейнин 1970a).
1) В 5-й книге Этюдов Муавр определил отношение среднего члена бинома (1 + 1)n к сумме всех его членов, а в 1-м дополнении к этому сочинению вывел, независимо от Стирлинга и одновременно с ним, так называемую формулу Стирлинга; лишь значение постоянной, , тот сообщил Муавру.[37]
2) В той же книге Этюдов Муавр вычислил логарифм отношения среднего члена бинома к члену, удалённому от него на l при m = n/2
Тодхантер (Todhunter 1865, с. 192–193) неудовлетворительно описал суть достижения Муавра. Он не указал, что тот фактически рассмотрел общий случай неравных p и q и кроме того заявил лишь, что Муавр значительно усилил теорему Бернулли при помощи теоремы Стирлинга[38]. Первым, кто заметил нормальное распределение у Муавра, был Де Морган (De Morgan 1864), который, однако, допустил совершенно непонятные утверждения о появлении и отрицательных, и превышающих единицу вероятностей. Более того, в письме 1842 г. (Sophia De Morgan 1882, с. 147) он заявил, что тангенс и котангенс бесконечности равны ±
Заканчивая Аппроксимирование, Муавр (с. 252) упомянул об исследовании полового состава новорождённых (§ 3.2.4), иллюстрируя его воображаемой игрой в 14 тысяч 35-гранных костей, раскрашенных в два цвета (18 белых граней и 17 черных)[39]. Из его рассуждения здесь (и из общего утверждения на с. 251) следовало, что биномиальное распределение являлось божественным законом природы, вероятностным лишь в смысле возможных случайных уклонений от него. По сути Муавр таким образом признал совместное действие случайного и необходимого, ср. § 4.2.4.
Примечания
[1] Лейбниц сам занялся вероятностным исследованием азартных игр в 1675 г. (Biermann 1955). Основные места его переписки с Я. Бернулли опубликовали со своими комментариями Gini (1946) и Kohli (1975b). Всю переписку в оригинале (на латинском языке) см. в Leibniz (1971b, c. 10–110) и А. Weil и др. (1993).
[2] Перемены в настроениях общества можно понять на примере задачи о безвестно отсутствующем. Чтобы не нарушать заповедь божью (какую именно?), Кеплер как астролог отказался отвечать, жив некто или умер (Kepler 1610/1941, с. 238), но вот Я. Бернулли (1713/1986, с. 29), как и Н. Бернулли (§ 4.3.2), предложил в таких случаях руководствоваться вероятностями.
[3] Примерно в 1400 г. это понятие было введено для решения этических проблем (Franklin 2001, с. 69). В рукописи 1668–1669 гг. (?) Лейбниц (1971a) помышлял о приложении моральной достоверности в теологии. Название одной из её глав должно было включать выражение бесконечная вероятность или моральная достоверность. В более поздней рукописи 1693 г. он (Couturat 1901, с. 232), пожалуй, неудачно выделил логическую достоверность, физическую достоверность или логическую вероятность и физическую вероятность. Его пример последней, – южный ветер дождлив, – должен был, следовательно, как-то характеризовать положительную корреляционную зависимость.
[4] Фразу об оценке участков Лейбниц повторил в письме Я. Бернулли 1705 г. (Kohli 1975b, c. 512), однако много раньше она встретилась в его политико-арифметической рукописи 1680 г. (§ 3.1.4).
[5] Многие авторы упоминали практику страхования большого числа здоровых малолетних детей, см. здесь ниже и § 4.2.3.
[6] Так, Граунт разумно предположил, что смертность от сифилиса существенно занижалась [не только ввиду трудности диагностирования, но и] по этическим соображениям.
[7] Он (и Лейбниц) получил их от магистра философии и члена Научного общества Берлина Каспара Ноймана. В письме 1692 г. Лейбниц (1970, с. 279) сообщил, что эти данные представляют интерес. О Галлее см. Böckh (1893).
[8] Он может быть и не был знаком с перепиской Гюйгенса (§ 3.2.2).
[9] В сохранившейся части переписки термина вероятность нет, есть только шанс. Инициатором переписки невольно стал некий светский человек, де Мере, который спросил Паскаля, почему шансы некоторых двух, казалось бы равновероятных исходов при игре в кости, все же различны. Несложный подсчёт показывает, что либо игроки сумели подметить малую разность вероятностей, либо, как утверждали Ore (1960, c. 411–412) и van der Waerden (1976), де Мере смог вычислить её, – и все-таки полагал, что выпадения шестёрки при четырёх бросках кости и двух шестёрок в 24 бросках двух костей должны были бы быть равновероятны так как 24/36 = 4/6. На самом деле вероятности этих событий равны соответственно
P1 = 1 – (5/6)4 ≈ 0,5177, P2 = 1– (35/36)24 ≈ 0,4913.
К сравнению указанных бросков впоследствии вернулся Я. Бернулли (1713/1999, c. 32). Об истории арифметического треугольника (см. ниже) см. Edwards (1987).
Курьёзный эпизод, затрагивающий де Мере, произошёл в ХIХ в. (Fraenkel 1930, с. 199). Г. Кантор ошибочно решил, что тот хотел своим эмпирическим наблюдением уничтожить науку. По этой причине он частным образом называл Кронекера, который отрицал зарождавшуюся теорию множеств, господин де Мере.
[10] Вот аналогичное утверждение, сформулированное в IV в. до н. э. (Буров и др. 1972, с. 203):
У кого [из военачальников] шансов перед битвой много – побеждает; у кого шансов мало – не побеждает, тем более [тем менее] же тот, у кого шансов нет вовсе.
[11] В последние годы своей жизни Я. Бернулли безуспешно просил Лейбница достать для него сочинение де Витта.
[12] Из звеньев пирсоновской цепочки мы исключили бы Нивентита, Дерхам же был очень известен.
[13] Независимость впервые упомянул Муавр (§ 5.1).
[14] Бернулли (1713/1986, с. 27) дополнительно пояснил это выражение равнозначным греческим словом стохастика, которое Борткевич (1917, с. Х), сославшись на него, ввёл в научный обиход. Впрочем, ещё Wallis (1685, с. 254) употребил выражение стохастический (т.е. итерационный) процесс, а Prevost & Lhuilier (1799, с. 3) упомянули стохастику или искусство строго предполагать о пользе и пределах принципа, в соответствии с которым оценивают вероятность причин. Hagstroem (1940) указал, что термин стохастика встречался у Платона и Сократа и что в 1919 г. он был включён в Oxford English Dictionary со ссылкой на сочинение 1662 г.
[15] Этот термин Бернулли не применял последовательно (см. § 4.1.2).
[16] Имея в виду опубликованное содержание этой части, указанные приложения искусства предположений следовало бы выделить отдельно.
[17] Издатели добавили к ИП написанное автором по-французски Послание к другу об игре в мяч (Bernoulli 1713/1975), в котором он подсчитал ожидания выигрыша игроков на различных стадиях старинной разновидности тенниса.
[18] Мы упоминали переписку в § 3.1.1.
[19] В 1714 г., в письме одному из своих корреспондентов, Лейбниц (Kohli 1975b, с. 512) смягчил свои сомнения в применимости статистических вероятностей и почему-то заявил, что Бернулли занимался этими вещами по его, Лейбница, увещеваниям.
[20] О неаддитивных вероятностях у Бернулли см. Shafer (1978) и Halperin (1988).
[21] См. Arnauld & Nicole (1662/1992, с. 327): следует выбирать более вероятное.
[22] Мы нашли в этой книге лишь один подходящий пример, да и то не очень в данном случае убедительный, ср. § 3.1.2. Эти же авторы на с. 281 упоминают о возможности апостериорных суждений.
[23] Ср. его пример 4 (Бернулли 1713/1986, с. 29).
[24] См. Прим. 3 к гл. 3.
[25] Марков применил формулу Стирлинга чуть ниже (с. 55 и след.). Он, видимо, вначале хотел показать, чего Бернулли, который ещё не знал её, всё же мог бы добиться.
[26] Усиленное длительным забвением результатов Муавра (§ 5.3).
[27] Бернулли последовательно рассматривал определение статистической вероятности события по его теоретической вероятности, и это наиболее чётко видно в формулировке его Главного предложения (т.е. ЗБЧ, см. его гл. 5). Однако, и в последних строках этой главы, и в гл. 4 он упомянул обратную задачу и фактически утверждал, что решил и её тоже. Мы вернёмся к этому вопросу в нашей гл. 6.
[28] Орем понимал несоизмеримость необычным для нас образом, но мы не будем на этом останавливаться. Ещё раньше Леви бен Гершон (Levi ben Gerson 1999, с. 166) заявил, что небесные тела не смогут вернуться в своё первоначальное положение, если их скорости несоизмеримы, но о конце света он не упоминал.
[29] Возможно, что Бернулли имел в виду это выражение при выборе названия для своей собственной книги (и для одноименной дисциплины, предшественницы теории вероятностей).
[30] Соответствующие рассуждения Гюйгенса (§ 3.2.2) появились в печати намного позднее.
[31] Ср. введённое Даниилом Бернулли моральное ожидание (§ 7.1.1).
[32] См. мемуар Даниила Бернулли 1738 г. в § 7.1.1. Он опубликовал свою работу в Петербурге, отсюда и произошло название игры.
[33] Jorland (1987) и Dutka (1988) описали историю исследований петербургской игры, а последний, кроме того, привёл результаты её моделирования методом статистических испытаний. О её ранней истории см. O. Spieß (1975).
[34] Символика Муавра быстро устарела; английский язык был мало распространён на континенте Европы; Тодхантер неудовлетворительно описал основное достижение Муавра (см. § 5.4); и, наконец, Лаплас (Laplace 1814/1999, с. 865) не разъяснил его достаточно подробно.
[35] Письмо Лагранжа Лапласу 30.12.1776 в томе 14 его Oeuvres (1892), с. 66.
[36] Мы называем этот мемуар дополнением лишь по традиции: его экземпляры, дошедшие до нас в крупных библиотеках, оказались приплетёнными к Этюдам.
[37] В этом же дополнении Муавр поместил таблицу lg n! для n = 10 (10) 900
с 14-ю знаками, перепечатанную в 1756 г. (с. 333). Верны 11–12 знаков, хотя в значение для lg380! вкралась опечатка.
[38] Общий случай явно рассмотрел Симпсон в 1740 г. (Hald 1990, с. 21–23).
[39] Правильных 35-гранников не существует, но вряд ли это здесь существенно. Муавр имел в виду 14 тысяч ежегодных рождений и m:f = 18:17.
