СЕМЬ ИСКУССТВ

Собственно говоря, жизнь и деяния Рамануджана надо рассматривать в контексте индийской мысли, хотя бы эпохи её модернизации и вхождения в контакт с идеями Запада. Этот период середины XIX-XX века, можно условно связать с именами Шри Рамакришны и Вивекананды. Если говорить о западных примерах, то прежде всего приходит на ум Тесла с его опытами, не вписывающимися в модели современной физики.

Исаак Лапидес

УРОКИ РАМАНУДЖАНА

(публикуется в сокращении)

…one of the great inspirations that
Ramanujan gives us is that it’s possible
with the right sense to make great 
progress even before the broader 
context has been understood.

Stephen Wolfram[1]

 

Занятое своими жизненно важными, как и спорными, проблемами прогрессивное человечество прошло мимо одной даты: 138 лет назад, 22 Декабря 1887 года в городе  Эроду (сейчас Тамилнад) Мадрасского штата на юге Индии в очень небогатой семье из замкнутой касты браминов родился Сриниваса Рамануджан Айенгор. Ничто в окружении не предвещало, что в этом молчаливом и болезненном мальчике вызреет гениальный математик. Воспользуемся возможностью восполнить пробел и на этом фоне обратить внимание на некоторые навеянными феноменом Рамануджана проблемы.

 В 14 лет замкнутый и всегда на чём-то сосредоточенный юноша был лучшим в школе по тригонометрии. В возрасте 16 лет он случайно получил книгу – краткий (1055 стр.!) конспект лекций 1886 года по высшей математике для студентов, где были только 6165 фактов, формул и теорем без доказательств, и он её детально изучил. С тех пор и до конца жизни объектом его всепоглощающего интереса стали числа, натуральный ряд чисел. Никто в мире не чувствовал, очевидно, такого единения с числами, как этот не получивший даже базового математического образования индус. Впоследствии английские математики ёмко определили, что «каждое положительное число было одним из его личных друзей… Он жил в мире формул». Рамануджан самостоятельно переоткрывал то, что математика накопила трудами гениев за пару столетий и генерировал совершенно необычные сложные формулы, в большинстве случаев, не заботясь о доказательствах. Он обладал прекрасной памятью и способностью подмечать закономерности связей между числами, но только этого было бы недостаточно для творческой работы. Две особенности его склада ума вывели его в математические гении – интуитивное понимание, какие математические факты значимы, имеют глубокие корни, позволяющие выявить управляющие принципы; и второе – он мог просто чувствовать истинность формул и численных отношений. Впрочем, это свойство из-за недостатка знаний иногда, хоть и достаточно редко, его подводило. Указанные природные свойства, плюс полная погружённость с детства в мир чисел, позволили ему добиться интересных результатов, оценить которые в полной мере в Индии того времени никто не мог. Из-за жизни исключительно в числах и формулах, без освоения английского языка и других дисциплин, да и непростых проблем со здоровьем, Рамануджан постоянно проваливал все вступительные экзамены по гуманитарным предметам в колледжи и не получил тех знаний, которые позволили бы ему освоить полноценный курс математики, современной тому времени индийской науки. Без подтверждённого образования, т.е. без университетского диплома, молодой человек не мог претендовать на получение достойно оплачиваемого рабочего места. Гении вообще требуют нестандартного отношения, а не формальных решений, но в большинстве случаев реальной жизни выводы о гениальности делаются задним числом…  В 1910 году друзья познакомили 23-летнего Рамануджана с основателем Индийского математического общества В. Рамасвами Айером, что привело к тому, что Рамануджан начал приобретать некоторую известность в математических кругах Мадраса. С помощью Айера одна работа Рамануджана была опубликована в Журнале Индийского математического общества: 17-страничная статья «Некоторые свойства чисел Бернулли» (1911 г.). Увы, это мало что изменило в общественном положении Рамануджана.  Для человеческого существования и интенсивной творческой работы нужна хотя бы минимальная стабильная финансовая поддержка, но её не было. Отсюда безденежье, недоедание, отсюда обострение выматывающих болезней. Он, уже женатый человек[2], ищет любую работу. Друзья устраивают его в бухгалтерию почты в Мадрасе. В этой ситуации Рамануджан, клерк на нищенской зарплате, посылает письма разным учёным в Англию, но попытки (известны три, возможно их было больше) неудачны – лондонский математик, профессор М. Дж. М. Хилл не понял глубины его формул, хотя отметил, что у Рамануджана есть «вкус к математике и некоторые способности», и посоветовал читать то-то и то-то, а два других – профессора Х. Ф. Бейкер и Э. У. Хобсон просто вернули рукописи без комментариев. Пройдёт всего несколько лет, и эти профессора будут голосовать за приём странного индуса в Английское Королевское общество! Конечно, непосредственная реакция рядового профессора математики, получившего письмо на плохом английском с нестандартными обозначениями от неизвестного клерка-индуса, понятна. Вот пример: Рамануджан приводит в письме (без вывода и объяснений) формулы сумм всех чисел натурального ряда и их кубов.

Профессионал-математик, или студент университета, даже школьник, скажут, что это абсурд, бред воспалённого ума, к тому же сам автор этих равенств добавляет в письме – «Вы вправе указать мне на психиатрическую лечебницу». Стоит ли профессору читать дальше? Но индус настойчив, он уверен в своих результатах и новая попытка – письмо с формулами на 11 (!) страницах получает известный математик Кембриджского университета профессор Годфри Г. Харди. Это была Судьба! Доброжелательность, отсутствие снобизма во всём, что касалось математики, проницательность и высочайший профессионализм Харди, которому тогда было 36 лет, открыли миру в 1913 году гения математики – Харди-то понял, что скрывается за этими «нереальными равенствами»! Нужно было обладать, кроме научного уровня в своей области, философской широтой взгляда на картину математики, чтобы, видя формулу с сакраментальным числом -1/12, оценить глубину и математическую продуктивность кажущегося парадокса. Забегая вперёд, упомянем, что это же число всплыло в такой модерн-теме в физике XXI века, как теория струн, но …через более 100 лет после знакового письма. Харди доброжелательно ответил на письмо индуса, завязалась переписка. Расшифровав и частично доказав многие из присланных в первом и последующих письмах теорем-формул, в основном это были формальные тождества, (остальные доказаны позже, уже при личных встречах), Харди понял, что он открыл гения: «Я никогда раньше не видел ничего подобного. Одного взгляда на них достаточно, чтобы понять, что они могут быть получены только первоклассным математиком». А далее в тексте[3] следует великолепный пассаж: «Они должны быть истинными, поскольку, если бы они не были истинными, то ни у кого не хватило бы воображения, чтобы изобрести их».

Без сомнения, Рамануджан не мог знать ни работ Бауэра, ни Якоби, ни Роджерса, это были его переоткрытия. Подобных переоткрытий среди формул и тождеств индийского математика было немало. «Он находился в совершенно неравных условиях, бедный и одинокий индус, использующий свои мозги против собранной воедино мудрости Европы… во всей Индии не было ни одного человека, от которого он мог бы чему-то научиться.» (Харди)

Были в письмах и более сложные его построения – они «трудны и чрезвычайно глубоки», а формулы типа (11) «поставили меня полностью в тупик … они могли быть написаны только математиком самого высокого класса…».

Или, к примеру, композиция (13): «Специалист в теории эллиптических функций сразу обнаружит, что формула (13) должна как-то выводиться при помощи «комплексного умножения». Здесь ключевые слова: «должна как-то выводиться». Как пришёл к ней (и к очень многим другим) Рамануджан, так и осталось неизвестно.

Именно эти последние формулы привели Харди к судьбоносному для обоих выводу:

«… автор этого письма является абсолютно честным человеком, так как великие математики встречаются всё же чаще, чем жулики, или лжеучёные, обладающие такой математической изобретательностью».

Понятно, что в то время Харди ничего не знал о Рамануджане, как личности, кроме сообщённого самим автором писем.

Дж. Литлвуд, друг и многолетний соавтор Харди, поддержал высокую оценку творчества неизвестного индуса и присоединился к усилиям Харди добиться приезда Рамануджана в Кембридж, что оказалось непросто, главным образом из-за сопротивления ортодоксальной семьи, особенно матери. Эффективную помощь оказал английский математик Е. Невилл (ученик Харди), читавший в то время лекции в Мадрасе. Рамануджан получил (по настойчивой рекомендации англичан) от Мадрасского университета стипендию в 250 фунтов стерлингов в год на 2 года, оплату проезда в Англию и обратно, дорожные расходы и пр. Выделив из своей стипендии 60 рупий в месяц для матери, Рамануджан отбыл в Кембридж 17 марта 1914 г. В апреле он уже был зачислен в колледж Св.Троицы, где стипендия была увеличена ещё на 60 фунтов стерлингов. С приездом индуса (молодая жена осталась в семье его родителей) в Тринити-колледже с 1914 года начинается пятилетнее необычное содружество двух математиков – ежедневные встречи, почти к каждой из которых Рамануджан приносил немало нового из своих ночных бдений. Сочетание водопада прозрений Рамануджана с профессиональной технической оснащённостью Харди приводили к первоклассным математическим работам. Сам Рамануджан под деликатным руководством Харди быстро осваивал принятые в то время каноны представления математических результатов в научной печати.  Публикации шли одна за другой, уникальность результатов индуса вызывала разные взгляды английских учёных на его творчество, большинство считало, что Рамануджан экзотическое явление и в нём проявляется «таинственноя мудрость Востока», тем более, что сам Рамануджан говорил, что формулы ему диктует во сне или в медитации богиня их семьи Намагири Таяр (Богиня Махалакшми) из Намаккала и добавлял: «Уравнение для меня не имеет смысла, если оно не выражает мысль о Боге». Сам Харди был категорически против «восточных» характеристик своего подопечного:

[перед нами] «…портрет человека, который имел свои особенности, как и другие выдающиеся люди, … с которым можно было пить чай и обсуждать политику или математику; … портрет не восточного чуда, или вдохновенного идиота, или психологического уродца, а рационального человека, который оказался великим математиком».

Позже, уже имея немалый опыт совместной работы, Харди так суммировал свои впечатления:

«…[Рамануджан], если говорить о нём, как о природном математическом гении, был гением того же класса, что Гаусс и Эйлер…»,

и с сожалением добавлял:

«…ожидать от него результатов того же масштаба не следовало, принимая во внимание пробелы в его образовании и то, что он появился на сцене слишком поздно».

Можно только горько сетовать, что было бы, если бы… В течение своей короткой жизни Рамануджан вывел около 3900 формул и уравнений,  относящихся к проблемам магических квадратов,  квадратуры круга, бесконечных рядов,  разбиений чисел,  гипергеометрических функций, определённых интегралов,  эллиптических  и  модулярных функций, цепных дробей и пр. Формула вычисления числа пи, полученная Рамануджаном в 1910 году путём разложения арктангенса в ряд Тейлора, применяется и сегодня в компьютерных определениях миллионов значащих цифр после запятой в этой мировой постоянной. Достижения Рамануджана нашли в Кембридже достойный отклик – он был избран в члены Королевского общества  (Английская академия наук), как самый молодой (и второй представитель Индии после Ардасир Керсетджи в 1841 году), и одновременно профессором Кембриджского университета, здесь он был первым индусом, удостоенным такой почести. Увы, климат Королевства и проблемы с питанием резко ухудшили его здоровье, последние два года в Англии он провёл в больницах и санаториях, но продолжал работать. После окончания войны, в 1919 году, он вернулся в Индию и через год неожиданно для всех умер 26 апреля 1920 года. Непосредственная причина его смерти в 32 года не была точно установлена (туберкулёз? амёбиоз? частые приступы дизентерии, истощение и стресс?). Когда Рамануджан умер, Харди организовал изучение и публикацию более 3000 результатов из писем и известных на тот момент записных книжек индийского математика.  Ещё до ухода Харди (в 1947 году) изучение творчества Рамануджана из рукописных записей в разных тетрадях проходило довольно вяло, но в последней четверти ХХ века интерес к этим работам резко возрос. Именно с последней, насыщенной потрясающими открытиями (около 650 утверждений без доказательств), объёмистой (138 стр.) тетрадью Рамануджана случилась почти детективная история – её теряли, игнорировали, случайно находили, передавали из рук в руки, пока наконец, американский математик Джордж Эндрюс из Пенсильванского университета не обнаружил её… в библиотеке Тринити-колледжа. После того, как профессор Эндрюс оценил её значимость, он ознакомил с ней своего друга и соавтора профессора Брюса Берндта из Иллинойского университета. Так идеи, высказанные гениальным индусом в конце своей короткой жизни, обрели достойное место для осмысливания в современной науке. Как сообщает сайт Иллинойского университета, профессор Брюс Берндт, изучая с 1974 г. наследие великого математика (он, кстати, всегда навещал вдову Рамануджана в Мадрасе, когда бывал в Индии), опубликовал позднее, в соавторстве и соло, более 8 книг, а также стал редактором книги «Новый взгляд на идеи Рамануджана». И это, безусловно, не финал, а новое начало.

 Индия со временем отдала должное своему гению – были изданы все его найденные труды (последняя (?) записная книжка, о которой рассказано выше, была обнаружена в 1976 году!), именем Рамануджана названы математические объекты и утверждения, учебные учреждения и журналы, изданы почтовые марки. Премия Харди-Рамануджана индийского университета SASTRA в Кумбаконаме основана в 2005 году и ежегодно присуждается за выдающийся вклад молодых математиков (до 32 лет) в сферы, на которые повлиял Сриниваса Рамануджан.  Индия в 2014 году и Великобритания в 2015 выпустили посвящённые ему фильмы. В день рождения Рамануджана – 22 Декабря в Индии с 2012 года отмечают Национальный день математики. На фоне памяти Post mortem трудно забыть горькие слова Харди: «Наука ничего не выиграла от того, что  Кумбаконамский колледж отверг единственного большого учёного, которого он имел … Требовалось так мало, всего 60 фунтов стерлингов в год на протяжении 5 лет и … мир получил бы ещё одного из величайших своих математиков». 300 фунтов! Всего 300!

Рамануджан возвращался в Индию известным математиком, увенчанным самыми высокими научными лаврами того времени. По представлению Харди и Литлвуда Мадрасский университет предложил ему позицию профессора. Перед отбытием на родину Рамануджан написал письмо ректору, ниже выдержка из этого документа:

 «Я считаю, однако, что оклад, установленный мне по прибытии в Индию, которое, как я надеюсь, произойдёт в самое ближайшее время, слишком велик по моим потребностям. Я думаю, что после оплаты моих расходов в Англии и помощи моим родителям в размере 50 фунтов стерлингов в год останется слишком большая сумма, часть которой я хотел бы использовать для благотворительных целей, таких, как снижение школьной платы за обучение бедных детей и сирот и как приобретение книг для школьных библиотек.»    

Нужны ли комментарии к подобному проявлению человеческих качеств индийского математического гения?

***

Попытки проникнуть во внутренний математический мир Рамануджана, понять истоки и фундамент его «прозрений» начались с самого начала знакомства с его научными результатами и продолжаются поныне. Он как бы перескочил в проблемы высшей математики, не получив полноценного среднего специального образования, не освоив профессионального фундамента науки – методики доказательств. [Надо заметить, что здесь мы затрагиваем весьма щекотливую тему «истинности», которую анализировать в данном тексте не место, как и не менее сложную тему «доказательств», хотя и полностью обойти их не удастся.] Его интересы, колоссальная цепкая память, накопившая чуть ли не с детских лет огромный массив разнообразных чисел, наконец, интуиция и обострённое эстетическое чувство приводили к появлению необычных формул: соотношений между бесконечными радикалами, бесконечными рядами, бесконечными цепными дробями, тождествами между интегралами. Но как он приходил к ним? Вспоминая годы совместной работы, Харди писал: «Казалось нелепым беспокоить его по поводу того, как он обнаружил ту или иную из известных теорем, когда он показывал мне полдюжины новых почти каждый день.» И конечно, никто в Кембридже не мог и предполагать, что больше не встретятся с индийским гением. Сожаления, сожаления, сожаления…

 Вот некоторые попытки понять истоки творчества Рамануджана, принадлежащие двум выдающимся математикам, непосредственно работавших с ним: «…его интуиция опиралась на аналогии, часто весьма отдалённые, и, в необычайной мере, на эмпирическую индукцию, основанную на числовых примерах… открытие им правильных формул было результатом взлета гения» (Литлвуд); «Свою память, терпение,  вычислительное искусство он соединял с умением обобщать, чувством формы и способностью быстрого изменения своих гипотез…» (Харди). Приведём соображения   современных математиков: «Он использовал, в значительно большей степени, чем современные математики, индуктивные и наводящие соображения; отправляющиеся от численных примеров…» (Левин). Ещё одно: «Так как же Рамануджану удалось фактически предсказать все эти глубокие принципы более поздней математики? … Рамануджан, по всей видимости, обладал эстетическим чувством, которое помогало ему объединять, казалось бы, случайные факты, подходящие друг к другу и имеющие более глубокое значение.» (С.Вольфрам). Эти мнения можно назвать прологом к будущему прорыву в понимании «эффекта Рамануджана».

Формулы Рамануджана красивы, но ошеломляющие точные (!) равенства настойчиво требуют ответа на два вопроса – как они получены и верны ли они, можно ли (и как) их доказать. Кстати, этот блок уравнений может рассматриваться как формулы преобразования бесконечного ряда в бесконечную же цепную дробь, или обратно.

Парадоксальность последнего блока уравнений в том, что по отдельности ни бесконечный ряд (а), ни цепная дробь (b) никак не связаны с числами π и е (число Эйлера, основание натуральных логарифмов), но их сумма соответствует довольно простому выражению этих иррациональных математических постоянных. Надо ещё отметить разную «природу» этих констант: число π (пи) происходит из геометрии, т.е. характеризует пространственные закономерности нашего Мира, в то время, как число Эйлера е связано исключительно с числовыми взаимодействиями, у него не геометрическое, а аналитическое происхождение.  Есть ли между π и е алгебраическая связь — вопрос нерешенный и очень трудный. Эйлер хорошо чувствовал эту ситуацию, поэтому искал простое соотношения между этими «мирами», что привело его к знаменитой формуле связи констант через мнимую единицу: e^iπ =-1, но это ещё не ответ на вопрос.

Не очень сложно произвести расчёт и, с определённой точностью, убедиться в правильности равенств, но является ли это доказательством и снимает ли вопросы? К тому же, углублённый анализ показывает, что

«В формулах Рамануджана всегда содержится больше, чем это кажется на первый взгляд; в этом может убедиться каждый, кто примется за их доказательства. Некоторые его формулы вскрывают чрезвычайно глубокие аналитические зависимости, другие менее глубоки, но нет ни одной формулы, сообщённой Рамануджаном, которая не была бы интересной и поучительной» (Харди).

И к вопросу о доказательствах.

«Он не располагал строгими доказательствами законности своих операций. Он не интересовался строгостью… Если существенное, хотя бы и небольшое, рассуждение в сочетании с эмпирическими данными и интуитивными догадками давало ему субъективную уверенность в правильности результата, то больше он ничем не интересовался.» (Литлвуд)

Дело в том, что далеко не всё можно охватить взглядом с ощущением несомненной правильности (истинности), к примеру, если числа 5 или 17 мы сразу можем отнести к простым, то убедить себя, что число 2¹²⁷-1 (12-е простое число Мерсенна) является простым без рассмотрения доказательств невозможно (пример Харди). И чем сложнее формула, уравнение, математическое выражение, тем весомее становится доказательство для его вхождения в багаж науки. Тем не менее реальность, как всегда сложнее, даже в такой строгой области познания, как математика.  Вот мнение одного из математических гениев прошлого:

«Свойства чисел, известные сегодня, по большей части были открыты путём наблюдения и открыты задолго до того, как их истинность была подтверждена строгими доказательствами. Имеется даже много свойств чисел, с которыми мы хорошо знакомы, но которые мы всё ещё не в состоянии доказать; только наблюдения привели нас к их познанию.» (Леонард Эйлер, 1707-1783)

И через 200 лет после этого высказывания ситуация не изменилась.

Что объединяет человека, выросшего в ортодоксальной браминской семье, с древнейшим математическим объектом? Почему именно числа стали занимать все мысли мальчика, юноши и продолжали не отпускать взрослого женатого человека? Можно строить разные гипотезы, но наших знаний о природе творчества явно недостаточно, чтобы ответить на подобные вопросы. Где источник этого потока необычных формул и вспыхнувших особых свойств вроде бы рядовых чисел из их бесконечного ряда?  Сам Рамануджан, как было упомянуто выше, говорил, что все формулы внушались ему во сне или в медитации Богиней Намагири. Широко известна история, описанная Харди. Приведём её полностью:

«Я приехал [к больному Рамануджану] на такси с номером 1729 и упомянул, что это число кажется мне довольно тупым… «Нет» – ответил он, – это очень интересное число, это наименьшее число, которое выражается, как сумма двух кубов двумя различными способами». По-сути это был ответ решения уравнения x³+y³=t³+z³= w с оценкой, что w=1729 есть минимальное число с такими свойствами: 1729=12³+1³=10³+9³. Вряд ли прозрение больного индуса было непосредственной подсказкой Богини, и неизбежно предположение, что это число входило ранее в круг интересов индийского математика![6]  В настоящее время известно еще пять аналогичных (1729) чисел (представимых в виде суммы кубов). Самое малое из них Ta (1) = 2 = 1³ + 1³, а самое большое — Ta (6) = 24153319581254312065344 (оно представимо в виде суммы кубов шестью различными способами, например, Ta (6) = 38787³ + 365757³). Ученые продолжают поиски таких чисел до сих пор. Кстати, более сложную задачу, решение уравнения 4-ой степени x⁴+y⁴=t⁴+z⁴, нашёл ранее Эйлер: 158⁴+59⁴ =134⁴+133⁴ = 635 318 657.  «Увидеть» решения этого уравнения Рамануджан не смог, хотя сказал Харди, что это должно быть «большое число» – как следует из этого примера, его способности не безграничны.

Рамануджан, в своих озарениях, приводя необычные формулы и преобразования, предсказал, как постепенно выясняется, некоторые глубокие принципы более поздней математики. Стефен Вольфрам, развивающий направление науки о вычислительной Вселенной, в своём обширном посте о Рамануджане замечает: [Его формулы] «сообразуются с серьезными и изящными математическими законами. Для того, чтобы изложить эти принципы формальным способом, требуется ряд абстрактных математических понятий и язык, на развитие которых требуются десятилетия».

Мы не можем сейчас сказать, какова была логика Рамануджана, когда он обнаруживал свои неожиданные формулы или переоткрывал выведенное математическими гениями прошлых веков. Скорее всего, он и сам не смог бы чётко сформулировать ход своих мыслей, логические (?) пути от неведомых нам (и ему) исходных истин к конечному результату.

Что являлось для него «затравкой» создания той или иной формулы? Судя по анализу «записных книжек» сами наборы формул также были не случайны, Рамануджан, очевидно, интуитивно чувствовал некий общий связывающий их закон. Интересна также дальнейшая работа математика над появившейся на бумаге формулой: Харди говорил, что Рамануджан легко менял свои гипотезы, т.е. он редактировал формулу до этапа, когда она его удовлетворяла. Воспоминания Харди и Литлвуда полны ошеломляющими примерами. Какие были у него критерии? Философией и методикой доказательств – основа западноевропейского пути искания истины – он, как уже было отмечено, не владел. Познание в индийской философии ориентировано на интуицию и эстетику. Поэтому утверждать, что он не был подвластен Востоку – упрощение. Считается, что любой метод познания направлен на поиск истины. Это так и не так: в конечном счёте, нам нужно убедить коллег в том, что наш результат, построение, ход мысли не противоречит их картине Мира, существующей парадигме. Именно поэтому Истина и объяснение, иногда совпадают! На Востоке ситуация иная: нужно было убедить самого себя! Если твоя интуиция, твоё эстетическое чутьё согласно или не противоречит достигнутому результату, то ты его принимаешь. За что? За истину? За то, что согласно Богине? Богам? Или просто конечной картине, что называется в науке «субъективной уверенностью в правильности результата»? Часто заявляет о себе эстетика, а не логика, внутренняя оценка результата. В Западной культуре этот подход тоже работает, наиболее ярко в искусстве, где эмоциональный эстетический критерий очень высок, если даже не единственен.

Ещё несколько замечаний для завершения (в данном эссе!) темы «доказательство или объяснение?». Проблема доказательств в разных областях деятельности человека по-разному решалась в разные периоды исторической мысли, что можно видеть в текстах, разделённых даже небольшим (исторически!) периодом, – от Энциклопедического  словаря Брокгауза и Ефрона (1890—1907) до авторитетной сегодня Стэнфордской энциклопедии философии. Не включаясь глубоко в бесконечные дискуссии, можно придти к выводу, что философы и сегодня не пришли к единому взгляду на природу доказательства. Можно принять, что доказательство того или иного положения, вывода сводится к нахождению некоего набора аргументов или оснований, которые признаются конкретным обществом истинными. В рамках современной теории подтверждения одна из ведущих версий байесианства приравнивает доказательство к тем убеждениям, в которых мы психологически уверены.

Следует заметить, что в большинстве случаев математики оставляют описание своих путей в получении интересных результатов. Например, даже в VI веке индийский математик и астроном Ариабхата, оставил не только немало красивых математических композиций, но и показал свои пути к их формулировке.

Неизвестно, был ли Рамануджан знаком с работами своего соотечественника.

Леонард Эйлер всегда показывал методы вывода немалого числа своих бесконечных рядов и цепных дробей, сложнейших формул с числами π и е. А вот Архимед извлекал квадратные корни из больших чисел, но каким способом он это делал, так и осталось загадкой. Рамануджан не просто оставил трёхзначное число загадок происхождения своих формул, но и не дал даже намёка на путь их «произрастания» из некоего общего математического закона. [Его формулы] «не просто случайные факты; это факты, которые так или иначе могут быть связаны с доказательствами основных аксиом» [математики] (Вольфрам). Одно из достижений Рамануджана, о котором он сам не догадывался, это то, что анализ его работ ставит такие вопросы, которые до него не возникали. Поэтому эти тетрадки («записные книжки») с тысячами формул и композиций гения-самоучки продолжают привлекать внимание не только математиков, но и исследователей психологии творчества.

Можно продолжать приводить примеры попыток проникновения в мир творчества индийского математического гения, но высказанные гипотезы и взгляды, с моей точки зрения, ещё не вскрыли основу понимания Рамануджаном природы самих чисел, их взаимосвязи, как в натуральном ряду, так и в более широком «числовом мире». Дальнейший текст – это попытка размышлений в этом направлении.

***

Какие моменты, обстоятельства жизни Рамануджана могут помочь разобраться в ходе его мыслей? Что могло сформировать его взгляд на мир чисел, что вызвало такой всепоглощающий интерес, затмивший все другие стороны жизни? Надо учесть, что «…само определение «интересного» не является ни простым, ни объективным» (Вольфрам). Некий факт может вызвать интерес, если у человека возникает представление, что его можно вписать в более широкую картину. Если у человека нет широты взгляда, какой-либо самосогласованной картины фрагмента бытия – интерес не возникнет! В случае с Рамануджаном такой широкой картиной должен был быть тот «числовой мир», который он увидел в период формирования своего мировоззрения, тот, который открывал перед ним именно бескрайние картины числовых взаимоотношений, что приобщало его, простого смертного, к мыслям о Боге. Рискнём предположить, что таковым мог быть Натуральный Ряд Чисел! Конечно, Рамануджан не мог знать о глубочайшем афоризме Леопольда Кронекера (1823 – 1891): «Натуральные числа создал Господь Бог, а всё остальное – дело рук человеческих». Т.е. Натуральный ряд чисел – это та основа, которая могла дать талантливому подростку возможность увидеть всю перспективу его проникновения в тайны числовых композиций, формул, уравнений и всего того, что определяет мир математики. Но вот этого «всего остального» (по Кронекеру) изучить, получить систематическим обучением в колледже ему не было суждено. Отсюда и множество переоткрытий, но это был его путь познания, приводящий к новым открытиям! Чтобы представить себе, чисто гипотетически, систему взглядов и методов Рамануджана, которая привела его к успехам, исследователю необычного творчества нужно, очевидно, отрешиться самому от этого «всего остального», накопленного гениями и талантами за десятилетия и столетия неустанного труда, и попытаться увидеть в числах то, что смог увидеть в них гений-самоучка, волею судеб лишённый накопленного человечеством багажа математики и поэтому находящийся у истоков знания о числах.[7] Таким образом, чтобы попытаться углубиться в тот мир математики, в котором жил и творил великий индус, стоит рассмотреть  поближе, хотя бы в первом приближении «глазами новичка» сами числа и их бесконечный ряд, именуемый натуральным.

Натуральный ряд чисел – это математическая модель, идеализация процессов счета реальных обособленных объектов, хотя сами числа ряда абстрактны, своего рода метафоры.  Первые дошедшие до нас сведения о натуральном ряде, именно как о закономерном ряде чисел, датированы примерно 1500 лет до н.э., хотя несомненно, что бытовая необходимость в пересчёте предметов или в определении их количества существовала с незапамятных времён. Интерес к числам не ослабевал в течение всей известной истории человечества, вспыхивая время от времени глубокими философскими концепциями. Гении XVII-XVIII веков прочно утвердили науку о числах (и фигурах) в передовые ряды математики.

Общепринято считать, что натуральный ряд чисел является единственной математической моделью процессов реального счета, хотя «на еретическом краю» науки есть и иные точки зрения (об этом ниже). Так что же такое этот натуральный ряд чисел, несомненно обладающий какими-то гипнотическими свойствами, воздействием на нашу психику и несомненно связанный с определёнными архетипами в подсознании? Ответ непрост, аксиоматическому построению этого базового объекта математики посвящены многочисленные работы выдающихся учёных прошлых столетий и современности, но точка в этих ментальных моделях ещё не поставлена. Совершенно ясно, что как основа для дальнейших продвижений в математике, натуральный ряд чисел ещё далеко себя не исчерпал, его можно считать бесконечной информационной базой, образно говоря, Натуральный ряд чисел – ДНК мира математики.

Для целей данного эссе самое естественное выделить одно свойство – как он формируется, как он отрывается от материальной реальности с помощью предельно простой рекурсивной функции: пересчёт предметов – каждое следующее число равно предыдущему, увеличенному на единицу. Представляется неоспоримым, что такой ряд чисел будет бесконечен, ибо к любому числу, скажем, песчинок в куче, можно добавить ещё одну, и ещё одну и так без конца. Правда, любая «куча песка» в конце концов будет (или может быть) пересчитана, но ведь есть «кучи» практически необозримые, например, все элементарные частицы в наблюдаемой Вселенной, их пересчитать физически невозможно, т.е. Реальность ставит ограничения возможностям человека. Значит, бесконечность натурального ряда чисел – это только идея: «Роль, которую осталось играть бесконечному — исключительно роль идеи» (Давид Гильберт). Ещё одно замечание: добавление единицы меняет число, сейчас это знакомый со школьных лет закон арифметики, но возникает вопрос – в равной ли степени это изменение для всех членов ряда? В связи с этим у известного математика П.К.Рашевского есть такое замечание: «Существующая теория, так сказать, переуточнена: добавление единицы меняет число – а что меняет для физика добавление одной молекулы в сосуд с газом?» Отсюда и закономерен вывод: «Физика – не математика! Математика – не физика!» (Р.Фейнман). Математические объекты обладают своими свойствами, относятся к миру абстракций со своими закономерностями, моделирующими с экстраполяцией мир материальных объектов. «Линейное» понимание этого сложного, полного загадок и противоречий процесса может приводить к казусам, даже в житейских ситуациях.  В повести Юрия Рытхэу «Магические числа» (1986) описывается реальная история члена полярной экспедиции Руала Амундсена на шхуне «Мод» в 1920-21 годах: бывший чукотский шаман Кагот, прикоснувшись к грамоте и счёту, обуреваем найти «самое большое число». Он усвоил, что натуральный ряд можно получить, прибавляя к предыдущему числу единицу, и верил, что где-то это должно оборваться, как заканчивается куча песка, даже океан имеет свои границы. Он заполнял бесконечное число тетрадей всё новыми числами, но это «самое большое число» всё не появлялось. Житейски его «эксперимент» был печален – увольнение из экспедиции из-за пренебрежения своими прямыми обязанностями. Но сама ситуация не так проста и нелепа, хотя ни Кагот, ни покоритель Южного полюса Амундсен не могли знать, что здесь затрагивается глубокая концептуальная проблема, что сложность понятия «самого большого числа» требует изменения всей логической структуры модели натурального ряда чисел. Кагот не имел шансов на успех, даже если бы он был бессмертен, хотя бы потому, что рано или поздно записывать было бы некуда – кончились тетради и материалы, хоть со всей Вселенной, для их изготовления, а «самое большое число» всё равно бы не появилось. В то же время, Амундсен, не имея ни малейшего представления о теории чисел, знал, что предельное число для него (!) существует. В его конкретной жизненной практике – это критическое количество дней экспедиции, обусловленное числом участников и запасами продовольствия! Этот числовой предел для опытного руководителя экстремальной экспедиции означал границу самой жизни, поэтому числа сверх максимума просто были как бы за пределами бытия.

Этот пример показывает, что в реальной человеческой деятельности максимальные числа всё-таки существуют: банк накладывает предел нашего минуса, превышение скорости движения влечёт наложение штрафа, кстати, тоже не бесконечного в денежном исчислении. Примеров множество, но можно ли построить некую непротиворечивую математическую систему на основе такого представления «плавающего в океане реальности» максимального числа?   Не вдаваясь в детали, отметим, что в последнее время в этом направлении наметился сдвиг, можно упомянуть пионерские работы академика НАНУ Рвачева В.Л. (1926-2005) по «неархимедовой арифметике», где новый взгляд на натуральный ряд чисел связывается, в некотором смысле, с идеями специальной теории относительности, где «самое большое число» относительно, в каждом конкретном случае оно определяется условиями процесса, диктующего его модель. Как всякая революционная идея, его модель числового ряда встречается академическим сообществом «в штыки», хотя уже видно, что новый подход может быть эффективен, по крайней мере, в решении сложных космологических проблем.

 Есть и более радикальные взгляды. Так, А.С.Есенин-Вольпин разрабатывал концепцию ультрафинитизма — радикальную форму метаматематического финитизма, в которой постулировал отказ от принятия бесконечного множества натуральных чисел как законченного, завершённого в построении математического объекта. Кроме того, ещё более радикальная идея, – он пришёл к выводу о неединичности натурального ряда чисел (см. Приложение).

А что такое сами числа? Числа представляются, «заявляют о себе» системой символов и системой счисления. В натуральном ряду число несёт в себе два главных свойства –  своего места в этом ряду и потенции взаимодействий с другими числами. Эти свойства присущи каждому числу, даже в отдельном рассмотрении, вне его присутствия в упорядоченной последовательности, которая, конечно, всегда виртуально присутствует при рассмотрении конкретного изолированного числа.

Многое зависит от семиотического взгляда на символ числа: число Харди-Рамануджана, в написании 1729, ведь не просто число, а одно из его бесконечных имён (в данном случае – в десятичной системе представления), его можно записать в двоичной системе: 1729₁₀ = 11011000001₂, или в римской записи MDCCXXIX, а можно и так – תתתתקכט, причём порядок букв алфавита иврита можно менять, т.е. каждая запись  (о. Павел Флоренский называет это «изображением числа») – это просто ярлык  (как определил в языковой ситуации известный основатель общей семантики Альфред Коржибски (1879-1950)). И если математики оперируют ярлыками, то можно предположить, что в сознании Рамануджана каждое число проявлялось в его сущности, «без одежд», со всеми его свойствами и возможными отношениями с другими числами. поэтому какие-то линии связей, т.е. отзвуки общих принципов организации этой числовой системы, их проявления в виде формул, ему становились видны, вернее, интуитивно ощутимы. Именно поэтому он находил в большинстве случаев только частные, а не общие решения. Для Рамануджана каждое число было как орган целостного живого организма – бесконечного множества чисел, а формулы – это отражение работы частей самосогласованной системы, любое число представлялось ему индивидуальной сущностью, функционирующее в своей среде, со своими связями и предпочтениями, которые отражались в формулах. Интуитивное нахождение формы связей в предельно сложных системах, безусловно, несёт мистический оттенок, особенно, если скрыты, даже от него самого, управляющие мотивы исследователя. Интуиция Рамануджана опиралась на эстетические ощущения целостности всего числового мира, отсюда и выявляемое в последнее время определённое единство кажущихся независимыми формул последних тетрадей.

Две истории с числами особенно популярны, когда речь идёт об особых «прозрениях» Рамануджана. Первая относится к числу Харди-Рамануджана 1729, упомянутую выше, но которую вряд ли можно считать исчерпывающе исследованную. То, что этим числом интересовались во времена Пьера Ферма (XVII век) и нашли некоторые его свойства (см. замечание [6]), говорит о некой метке на нём, которую видят математики, обладающие «числовым чутьём». Не входя даже в начала Теории чисел, процитируем несколько строк о числе 1729 из  Wiki: «…1729 — третье число Кармайкла, то есть оно удовлетворяет  Малой теореме Ферма, … Существует 1729 невырожденных треугольников, длины сторон которых — натуральные числа, не превышающие 26. Число невырожденных  разносторонних треугольников с целыми длинами сторон, не превышающими 29, также равно 1729.» Как видим, число 1729 всё-таки особенное и затрагивает некоторые фундаментальные проблемы Теории чисел. Остаётся неясным, что знал Рамануджан о нём до разговора с Харди в госпитале. Впрочем, некоторые исследователи называют всю историю числа 1729, в изложении Харди, – анекдотом.

Вторая история значительно более сложная. Попробуем изложить её упрощённо, но без потери информативности. В теории чисел была проблема нахождения функции распределения p(n), описывающей число способов записать целое число в виде суммы положительных чисел. Рамануджан ещё в Индии был уверен в том, что такая формула должна существовать. В эту невероятную гипотезу Рамануджана никто в Кембридже не верил, тем не менее Харди вместе с Рамануджаном вывели весьма сложную формулу (здесь она не приводится).                                 .

Число 24 (как и его «источник, пара», 12) имеет богатую историю в человеческой культуре. Вот краткое перечисление его упоминания и использования в разных культурах и временах. День и ночь, сутки – 24 часа. Число «12» олицетворяет космический порядок. Это число знаков Зодиака и месяцев в году (шесть мужских и шесть женских).

В еврейской традиции – 12 плодов Древа Жизни; 12 врат Небесного Града; 12 лепешек на столе храма, изображавших месяцы года; 12 драгоценных камней в нагруднике Первосвященника Аарона; 12 колен Израилевых, сыновей Иакова.

У христиан – 12 плодов духа, звезд, 12 апостолов, 12 врат и камней в основании Святого Града, 12 дней празднования Рождества. В исламе: 12 имамов, потомков Али, управляют двенадцатью часами дня. У египтян – 12 врат ада, в котором Ра проводит ночные часы.
У греков на Олимпе 12 богов и богинь, 12 титанов.
Эта цифра встречается в ведической, китайской, языческой и европейской символике: 12 членов в совете Далай- Ламы, 12 паладинов (пэров) Карла Великого, 12 рыцарей Круглого Стола. Эта привязанность к числу 12/24 (и к некоторым другим), наиболее вероятно, связана с глубинными структурами человеческого сознания, архетипами, происхождение которых уходит в недосягаемую сегодня древность. Поскольку интуиция Рамануджана связана именно с глубинами сознания (подсознания), то неудивительно, что его эффективный вычислительный механизм сознания автоматически проверил именно это число для коррекции формулы. Эта история показывает, что иногда разум существенно корректируется интуицией, вернее, она даёт разуму нужную подсказку.

Необъятность числового мира, интуитивно издавна приписываемая ему гармония приводит к тому, что мистицизм в этой сфере познания Природы, явно или скрыто проявленный, признаваемый или отвергаемый, никогда не исчезал, он только принимал различные формы. История науки показывает, что числовой мистицизм каждого времени связан с научными моделями, доминирующими в обществе. Основополагающим моментом учения пифагорейцев стала мистическая (с нынешней точки зрения) доктрина о том, что «все сущее есть число». Или всякому сущему можно сопоставить число? Это не простая изоморфная переформулировка – в последней более прозрачно просматривается связь с идеей атомизма. Атомизм и число имеют одни и те же психологические корни, один и тот же архетип – счёт, выделение (отделение) из хаоса обособленных сущностей. Поэтому, мысль выдающегося физика Эрвина Шредингера, что для преодоления кризиса в физике скорее всего предстоит ревизия атомизма, что неизбежно будет связано и с изменением или расширением понятия числа. Кроме используемых множеств натуральных, целых, рациональных, вещественных, комплексных чисел, кватернионов и октоионов (чисел Кэли), математика неизбежно приходит к очередным усложнениям, типа перехода к р-адическим числам, к таким изощрённым системам, ещё дальше отстоящим от натурального ряда. А какой новый будет осознан архетип? Есть ли он в юнговском наборе? Атомизм и число представляют философию дискретного, а что замещает число в философии непрерывного?   У пифагорейцев факт 1+2+3+4=10 вызывал ощущение связи этих чисел с Высшими мирами, а в настоящее время, когда сакральность числа 10 истоньшилась в нашем сознании, этот факт не вызывает никаких эмоций. Тем не менее «мистические» представления о числах и разных их последовательностях продолжают привлекать внимание и используются в современных научных моделях.  В ядерной физике выявились  «магические числа» — натуральные числа, соответствующие количеству нуклонов  в атомном ядре, при котором становится полностью заполненной какая-либо его  оболочка (по одной из моделей), что приводит к стабильности ядра; известно 7 магических чисел:  2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 (последнее число — только для нейтронов ядра). Математический смысл этой последовательности чисел неясен, хотя алгоритм её построения достаточно прост: если 0  n ≤ 3, то a(n) = n(n+1)(n+2)/3; если n > 4, то a(n) = n(n²+5)/3 (по The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®).

В общем же плане взгляд человечества на роль числа кардинально меняется. По учению Пифагора Самосского (около 500 до н. э.), мир — это число, которое творит мир, а на пороге XXI века, через два с лишним тысячелетия после мудрого грека, в 1990 году, американец Джон Арчибальд Уилер посмотрел на мир и его творение иначе: «It from bit»: фундаментальной концепцией физики  является информация: все физические сущности являются информационно-теоретическими в своей основе. Из этого тезиса, по сути, выросла концепция Вычислительной Вселенной. Этот взгляд – основа для нового понимания Сущего, что, нет сомнения, – шаг вперёд, ибо возвращает науку к проблеме сознания – нет бита информации без сознающего!  Всё вышесказанное приведено для иллюстрации того, что проникновение в представления Рамануджана о числах может индуцировать новые направления мысли в построении более адекватной модели Мира.

Продолжим рассмотрение самого ряда чисел в процессе его удлинения. Прежде всего, надо увидеть «возникновение» («распаковывание» по В.В. Налимову!) информации при продвижении по ряду, некоторые связи, в том числе в виде формул, проявляется уже в начальных членах, потом её объём всё увеличивается, ибо включение в активное взаимодействие новых и новых чисел приводит к увеличению возможных формул, т.е. к увеличению информации. Исчерпать «всю» информацию невозможно, она зависит от субъекта и контекста. Рамануджан тому пример! Для него эта информация во сне (медитации) принимала форму подсказок Богини, т.е. математические прозрения конденсировались в формулы в некотором изменённом состоянии сознания индуса. Изменённые состояния сознания (ИСС) ещё далеко не исследованы, осознавание всех возможностей сознательного, т.е. подконтрольного их использования, наталкивается на нашу дихотомию представлений мира в двух раздельных ипостасях – материальной и идеальной. А т.к. математический мир строится как независимый от бренной материи, то возникают яркие высказывания типа: «невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому факту нет… Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны.» (Вигнер) Естественно, тут же возникает новая трудность: «…именно эта непостижимая эффективность математики в естественных науках выдвигает вопрос о единственности физических теорий» (Вигнер), т.е. о единственности моделей мира. Разум строит самосогласованный развивающийся мир по подсказке, выраженной Кронекером, и предсказать свойства этого мира и его дальнейшую эволюцию невозможно, в этом – свобода выбора. И вот уже математика, взяв в пример естественные науки, начинает экспериментировать – возникает бурно развивающееся направление (см.  Website Experimental Mathematics). И вот уже создана модель мира, которая приписывается нашей материальной (!) Реальности – Вычислительная Природа Реальности. 3900 формул и соотношений Рамануджана показывают, кроме ярких картин «числового мира», какими ещё скрытыми возможностями познания обладает Человек.

***

Попробуем подойти к феномену Рамануджана с другой стороны. Натуральный ряд чисел образуется по предельно простому алгоритму, но в нём отражается система связей, создающая, очевидно, мощное информационное пространство. Отражает ли оно, подобно ли в чём-то реальности нашего существования? Взгляд на Реальность как на разворачивающийся Текст не нов, сегодня его развивает питерский математик профессор Роман Михайлов. Эту неразрывную связь чисел и текста чувствовал выдающийся математик Александр Гротендик (1928-2014): «литература – хорошо замаскированная математика». Смысл этого многозначного афоризма можно перевернуть на обратный, тоже высоко истинный (вспомним принцип дополнительности Н.Бора!!): одна из основ математики, натуральный ряд чисел, – это хорошо замаскированный текст!

Такой взгляд открывает гигантское поле совершенно фантастических вопросов и, соответственно, ещё больше смыслов в этой парадигме.  Натуральный ряд чисел – структурированный текст?! Как выявить из него смыслы, расширяющие нашу модель мира? Какова может быть природа алгоритмов перевода? Может, имеет место аналог проблемы Кодов Торы? Приведёт ли этот подход к выявлению скрытых смыслов формул Рамануджана? С другой стороны, этот ряд чисел можно рассматривать как закодированную голограмму, по мере продвижения по ряду увеличивается объём информации, которую несут числа, чётче становится картина Бытия. Можно лишь надеяться, что ответы на эти и другие возникающие вопросы могут быть получены при смене нашего взгляда на связь материального мира с идеальным. Сама возможность разумной постановки вопроса о связи «числа и слова в тексте» может подтвердиться, скажем, при обнаружении своего рода Розеттского камня. Нечто подобное имеет место в проблеме СЕТИ, как заметил известный исследователь проблемы поиска внеземных цивилизаций Л.М.Гиндилис, «…сигнал тогда может считаться искусственным, когда он будет расшифрован». Задача на целую жизнь, и не одну.

Вернёмся к Рамануджану. Сриниваса Рамануджан  с его «жизнью в числе» не вписывается ни в одну из простейших схем семиотики. Он не оперирует числом как изолированным закодированным знаком, для него каждое число – аналог слова в неком общем Тексте, разворачивающемся на числовой оси, со всеми связями, неизвестными нам грамматикой и синтаксисом. Это позволяло ему мгновенно видеть свойства любого числа и его отношение со всеми другими числами. В его внутреннем мире взаимоотношения между числами, которые во «внешнем мире» имели вид формул, фигурировали, как фразы языка этого внутреннего мира. Возможно, в его представлении на этом языке проходил диалог с Богиней. Его интуиция (подсознание) как бы слышала эти фразы и переводила их в формульный «текст» с его многочисленными, подчас очень сложными, связями между числами. Шлифовка этих формул, их изменения для соответствия его эстетическим критериям цельности мира чисел были эквивалентны процессу редактирования текста. Это было видение чисел уникальным человеком, как кажется, подобного ему в истории не отмечено[8], – этот семиозис ушёл вместе с ним. Во всяком случае, феномен индийского самородка показывает, что мы ещё далеки от понимания работы мозга в семиотических системах, а алфавитная форма языка – не последнее слово в информационной модели «разум – реальность».

И последнее. Собственно говоря, жизнь и деяния Рамануджана надо рассматривать в контексте индийской мысли, хотя бы эпохи её модернизации и вхождения в контакт с идеями Запада. Этот период середины XIX-XX века, можно условно связать с именами Шри Рамакришны и Вивекананды. Если говорить о западных примерах, то прежде всего приходит на ум Тесла с его опытами, не вписывающимися в модели современной физики.

В более широком плане, история знает немало примеров, когда человек тем или иным способом входил в ИСС, создавая немало нового в плане искусства, научного прорыва (физика, химия) или изобретательства. Рамануджан же в этом состоянии входил в мир чисел, открывая в ИСС свои невероятные конструкции, отражающие информационные связи в этом пласте Универсума.

Использованная литература

        Srinivasa Ramanujan – Wikipedia, the free encyclopedia

Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. Москва. Ин-т компьютерных исследований. 2002, 336 стр.

       Харди Г. «Апология математика»: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»; Ижевск; 2000

        Харди Годфрид Харольд (1877-1947) крупнейший английский математик начала ХХ века, открыватель индийского гения математики Рамануджана: «Моё сотрудничество с ним было единственным романтическим событием в жизни.» Никогда не был женат, вся жизнь была посвящена математике и крикету. В кабинете висели портреты Маркса, Эйнштейна и знаменитого игрока в крикет. Закат одинокой жизни был печален, была даже попытка суицида. Но осталась непрекращающаяся история жизни и трудов Рамануджана.

       Чарлз Сноу – Г.Г.Харди, Портреты и размышления. М., Прогресс, 1985, с.175-179. Чарльз Сноу (писатель, по образованию физик) последние годы жизни Харди был его близким другом.

Дж.Литлвуд — Рецензия на собрание сочинений Рамануджана В книге Дж.Литлвуда «Математическая Смесь».  Перевод с английского В. И. Левина. Москва, «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. 1978.

С высказыванием: «Каждое положительное число было одним из личных друзей Рамануджана», связана любопытная история, описанная самим Литлвудом. Когда он читал гранки книги Харди и увидел там эту фразу, он мимоходом заметил автору, что эта мысль его впечатлила и он был бы рад, если бы именно он её высказал. Когда же он увидел опубликованный текст книги, то там он обнаружил: «Литлвуд сказал, что каждое… и т.д.» В этой истории есть много поучительного.

В.И. Левин – Жизнь и творчество индийского математика С.Рамануджана – «Историко-математические исследования», т. XIII (М., Физматгиз, 1960, с.335-378)

В. И. Левин – Рамануджан – математический гений Индии – Из-во «Знание», Москва. 1968.

Виктор Иосифович Левин (1909-1986), Студент Берлинского Высшего технического училища (во время учёбы он помогал  известному математику, профессору Эдмунду Ландау в работе со студентами), аспирант Кембриджского университета – ученик Г. Харди; преподаватель Калькутского университета – после 11 лет учёбы и работы за рубежом возвращается в СССР в знаковом 1938 году, испытал на себе «борьбу с космополитами» и прочие «радости» сталинского времени. Оставил свой след в математике, но тяготел к теорфизике: «Я – тоже физик, но математический!» Будучи блестящим педагогом оставил о себе благодарную память в разных заведениях: преподаватель, зав. каф. Московского энергетического ин-та (1938–49), Пензенского индустриального ин-та (1949–51), Тульского педагогического института, Московского заочного педагогического ин-та (1951–59), Московского ин-та стали и сплавов (1959–62). Знание языков (английский, немецкий, французский, латынь, греческий) и широкий кругозор выделяли его среди многих деятелей науки и педагогики. Им были переведены книги Харди и Литвуда, но самое главное, на мой взгляд, – именно Левин познакомил широкую русскоязычную общественость с Рамануджаном, задолго до того, как его имя начало греметь в остальном мире.

        Stephen Wolfram – Wikipedia, the free encyclopedia

Один из самых ярких и успешных учёных, прокладывающий новые пути в науке. Физик-теоретик и математик-экспериментатор, первая статья по физике элементарных частиц (в 15 лет), защита докторской дисертации в 20 лет (руководитель Ричард Фейнман). Создатель вычислительных программных комплексов Mathematica и Wolfram Alpha (системы извлечения знаний; свободный доступ). Автор нашумевшей книги «Новый вид науки» (A New Kind of Science (1192 pages)  (Review) – Wolfram Media, Inc. Champaign IL 2002 (содержит эмпирическое и систематическое исследование вычислительных систем, таких как клеточные автоматы.), идеи которой вызвали как восторги, так и резкое неприятие. Человек, боящийся научного воровства («…кража тогда, как и сейчас, была серьезной проблемой в научных кругах») и поэтому открывший свой журнал (Complex Systems) и собственное издательство Wolfram Media, Inc., Champaign, Illinois, где публикует свои статьи и издаёт свои книги. Ведёт свой блог в интернете и проводит школы для популяризации своих идей.

        Stephen Wolfram – Who Was Ramanujan? 2016, April, Блог С.Вольфрама.  Who%20Was%20RamanujaStephen%20Wolfram16.html

        B.C. Bеrndt — Ramanujan, his lost Notebook, its importance.

In book: George E. Andrews 80 Years of Combinatory Analysis, 2021, (pp.33-52)

В конце каждой из семи глав Берндт обсуждает полученные в ней результаты и помещает их как в исторический, так и в современный научный контекст.

         B.C. Bеrndt and C.A. Reddi — Two Exams Taken by Ramanujan in India (Internet)

Анализ двух экзаменов, которые Рамануджан проходил в Индии и провалил. Как говорится, «всё не так просто» – достаточно посмотреть на эти вопросы!

1. K. Kochhar — Ardaseer Cursetjee (1808-1877), the First Indian Fellow of the Royal Society of London — Notes and Records of the Royal Society of London — Vol.47, No.1 (Jan.,1993), pp. 33-47

П. К. Рашевский – О догмате Натурального Ряда, (Успехи математических наук, т. XXVIII, Вып. 4(172), С. 243-246, 1973)

        Ken Ono and Sarah Trebat-Leder — The 1729 K3 Surface.

arXiv:1510.00735v5 [math.NT] 22 Aug 2016

       ВЛ Рвачев – От специальной теории относительности к математике без аксиомы Архимеда и обратно – Радиотехника, 1995// В.Л. Рвачев, Неархимедова арифметика и другие конструктивные средства математики, основанные на идеях специальной теории относительности, ДАН СССР, 1991, том 316, номер 4, 884–889// В. Л. Рвачев, Семейства неархимедовых арифметик, содержащие релятивистское числовое поле, ДАН СССР, 1991, том 321, номер 4, 718–721

         Гротендик Александр (1928-2014), Выдающийся математик современности. Отец –Александр Шапиро, беженец из России, погиб в Освенциме; Мать – Иоганна Гротендик (1900-1957). Оба были анархистами по убеждению и поведению. Жизнь и деяния самого Гротендика невозможно описать несколькими абзацами, тем более, что всё обросло яркими мифами. Он работал в частном институте – Institut des Hautes Etudes Scientifiques (IHES) под Парижем с 1958 года (с момента основания), какое-то время был «бурбакистом», порвал с математическим истэблишментом примерно в 1970 году, построив целый мир алгебраической геометрии. И ушёл жить отшельником в Пиренеях. Затем вернулся в университет Монпелье, его альма-матер, где получает в 1973 году профессорскую позицию. Выйдя на пенсию в 1988 году, вплоть до кончины в 2014 году, жил один в небольшом доме в крохотной горной деревушке Ласер французских Пиринеев. и почти не подавал о себе вестей. Общую характеристику своих трудов и философские мысли Гротендик представил в книге «Урожаи и посевы» (929 стр), которую никто не хотел издавать.  Остались рукописи, запрещённые автором к какой-либо публикации – тысячи страниц хранятся в запечатанных коробках в Монпелье. Что в них и какова их дальнейшая судьба – неизвестно. Можно только надеяться, что дети от двух его браков сумеют благоразумно решить эту юридическскую и моральную проблему. Надежды научного мира!

Александр Гротендик. Урожаи и посевы. Ч.1. Самодовольство и обновление. Перевод Ю. Фридман и М. Финкельберга. Перевод с французского первой части книги «Recoltes et Semailles» 1986 года (Препринт Университета Монпелье). Переводчики отмечают непростой стиль изложения и переплетение математики с жизнеописаниями и философскими пассажами, что серьёзно затрудняет перевод. Тем не менее, они надеются продолжить свой труд.

Приложение

Работа над эссе уже была завершена, когда известный математик профессор Еврейского университета в Иерусалиме Илья Рипс порекомендовал дополнить рассмотрение проблем Натурального ряда чисел некоторыми экзотическими взглядами математика А.С.Есенина-Вольпина, более известного в роли яркого политического диссидента эпохи СССР 60-х годов. Головоломная попытка неспециалиста изучения философско-логико-математических работ потомка Поэта (доступных в интернете) показала, что простое цитирование формулировки крамольной идеи не вскрывает их глубины и требует хотя бы упрощённого взгляда на контекст, но это отдельная большая работа. Можно надеяться на успех нового поколения непредвзятых исследователей.

Есенин-Вольпин Александр Сергеевич (1924-2016), сын поэта С.А.Есенина (1895-1925) и Надежды Давыдовны Вольпин (1900 – 1998), поэтессы и переводчика (без подстрочников), как прозаических, так и поэтических текстов (английский, французский, немецкий, латынь, греческий, туркменский). А.С. закончил в 1946 году (с отличием) механико-математический факультет МГУ, защитил кандидатскую диссертацию по математике, опубликовал ряд статей по математической логике, является автором теоремы в области диадических пространств, получившей его имя. Широкую известность приобрёл как диссидент и правозащитник, его известный лозунг – «Уважайте вашу Конституцию!». За свою деятельность неоднократно заключался в тюрьму и в психушку (в сумме провёл в них 14 лет (Википедия)), в 1972 году выслан из СССР, до конца жизни проживал В США.

А.С.Есенин-Вольпин — Об антитрадиционной (ультраинтуиционистской) программе оснований математики и естественнонаучном мышлении. — (Семиотика, информатика, Вып.33, 1993, с.13-67)

С этими идеями А.С. неоднократно выступал на различных семинарах, но публикации неизменно отклонялись «авторитетными товарищами». Статья затрагивает широкий круг вопросов. Основа статьи – рассмотрение проблем обоснования естественнонаучных теорий («возможные миры») и, более широко, – логики развития естественных наук. Именно в этой статье кратко обосновывается неединственность натурального ряда чисел.

Пересказывать идеи А.С. неблагодарная задача, поэтому приведём авторские слова, раскрывающие смысл этой идеи:

 «…до сих пор эвклидова геометрия лишь невольным образом изучалась в связи с единственным натуральным рядом. Но ультраинтуиционизм приводит к возможности рассматривать непрерывное трёхмерное пространство с самой обычной эвклидовой метрикой и аксиомой Архимеда, однако такое, что натуральные ряды, образуемые отрезками равной длины, последовательно откладываемыми на прямой, не будут обладать традиционными свойствами замкнутости относительно различных часто употребляемых функций. Такие ряды – назову их рядами расстояний – могут быть различны вдоль разных направлений или, наоборот, одинаковы. Пространство может при этом иметь некий центр, от которого берут начало эти ряды (одинаковые вдоль всех исходящих из него лучей или относительно шести лучей, расположенных вдоль ортогональных осей кооординат и т.п.), или же оно может быть вполне однородным.»

А.С.Есенин-Вольпин – Анализ потенциальной осуществимости. – (В сб. Логические исследования, Из-во АН СССР, Москва, 1959, с.218-262)

Из авторских примечаний: «Эта статья является первой в ряде работ, посвящённых основаниям математики… подготавливаем новые публикации по затронутым вопросам». Эти обобщающие «новые публикации» мне неизвестны.

А.С.Есенин-Вольпин – Весенний лист. – Из-во Фредерик А.Прегер, Нью-Йорк, 1961

Стихи и переводы. С Приложением: «Свободный философский трактат». С параллельным переводом на английский язык.

Его научные работы с необычными идеями ждали публикации более двух десятков лет. За это время взгляды их автора претерпевали неизбежное развитие, зачастую кардинальные изменения, поэтому большинство из них не являются законченными, что затрудняет «извлечение из его текстов золотых зёрен». Добавим к этому весьма вольный стиль изложения статей, что несомненно уменьшало число желающих вникнуть в идеи незаурядного мыслителя. Повлияло также то, что некоторые признанные авторитеты современной Есенину-Вольпину математики (например, академик Л.С.Понтрягин) вообще отрицали какой-либо научный смысл его работ, как в математике, так и в философии.

Позволю себе небольшое тривиальное замечание. Игнорировать идеи незаурядного мыслителя только потому, что они выходят за рамки общепринятых взглядов, – означает потерять возможности обрести более широкий взгляд на общие законы мира чисел. Расширение поля математики новыми рядами, которые не будут являться матмоделью реального пересчёта или учёта атомизированных материальных объектов, приведёт к получению исследовательских инструментов для более широкого видения Универсума.

И завершить это напоминание о необычном человеке хочется словами его матери Надежды Вольпин: «психиатр после обследования (А.С.) резюмировал: «Шизоидный компонент, безусловно, наличествует, но исключительно как следствие общей одарённости, граничащей с гениальностью».

[1] Рамануджан вдохновляет нас сделать большой шаг вперед — даже до того, как будет понят более широкий контекст. Стефен Вольфрам. (Англ.)

Источники биографических данных Рамануджана, обстоятельств, сопутствующих его жизни, ссылки на другие использованные публикации приведены в конце данного эссе.

[2] 14 июля 1909 года Рамануджан женился на Джанаки (Джанакиаммал; 21 марта 1899 — 13 апреля 1994), девушке, которую его мать выбрала для него годом ранее, и которой было десять лет в день свадьбы. Как было принято в то время, Джанаки продолжала оставаться в своем материнском доме в течение трех лет после замужества, пока не достигла половой зрелости. Ей был 21 год, когда Рамануджан умер, и она пережила его на 73 года; замуж больше не вышла, детей не было.  Она продолжала дорожить памятью Рамануджана и принимала активное участие в усилиях по повышению его общественного признания.

[3] Харди безусловно обладал литературным даром, вот его взгляд на работу математика: «Математик, как и художник и поэт, создает узоры. И если его узоры долговечнее, то это потому что они сотканы из идей». Истинный гимн Математике!

[4] Ardaseer Cursetjee (1808-1877)  представил несколько новых (на тот момент) технологий в Бомбее (ныне Мумбаи): газовое освещение, швейную машину, орошение с помощью парового насоса и гальваническое покрытие. 7 мая 1841 года он был избран членом Королевского общества. Номинация, сделанная Спенсером Комптоном, 2-м маркизом Нортгемптона, тогдашним президентом Общества, описывает его как «джентльмена, хорошо разбирающегося в теории и практике военно-морской архитектуры и преданного научным занятиям».

[5] Рамануджан был строгим вегетарианцем, ритуально сам готовил себе пищу дома, но в военные 1914-1918 годы в Англии было введено строгое распределение продуктов, поэтому зачастую «достать» для него овощи было невозможно.

[6] Кен Оно из Эмори университета на случайно найденной отдельной странице из «Потерянной тетради» Рамануджана, нашёл, что индийский математик ещё до приезда в Кембридж изучал диофантово уравнение Эйлера a³ + b³ = c³ + d³. Глубинные его структуры и объекты важны сегодня в криптографии, теории струн и квантовой физике. Заметим, что два представления числа 1729 в виде сумм кубов были открыты учеником Пьера Ферма Бернаром Френиклем де Бесси и опубликованы в 1657 году. Об этом более подробно рассказано ниже.

[7] Быть может, «реинкарнацией» Рамануджана в наше время стал Петер Шольце, тем более, что, обладая всем арсеналом современной математики, этот молодой немецкий учёный также ощутил непреодолимую тягу к числам ещё в раннем возрасте (Премия SASTRA Ramanujan (2013), Филдсовская премия (2018) и др. ). Р-адические числа «далеко отстоят от бытовой интуиции» – говорит Шольце. Но с годами эта форма предельного расширения числа стала для него естественной: «Теперь для меня вещественные числа более сложны, чем р-адические. Я так к ним привык, что вещественные мне кажутся гораздо более странными». Хочется надеяться на его будущие выдающиеся достижения.

[8] Впрочем, швейцарский учитель математики Иоганн Якоб Бальмер (1825-1898), по некоторым сведениям, убеждённый пифагореец, вошёл в историю науки всего лишь с одним достижением. Во второй половине XIX века спектроскописты измерили положение четырёх ярких линий водородного спектра в видимой области: 6562.80 Å; 4861.32 Å; 4340.60 Å и 4101.73 Å.   Конечно, возникал вопрос – связаны ли эти числа между собой, или же это случайный набор. В 1885 году Бальмер опубликовал формулу. Логики в её поисках найти трудно, естественно возникает подозрение, а не было ли это единственным взмахом крыла  Богини Намагири? Через 28 лет именно эта странная зависимость привела Нильса Бора к модели атома Резерфорда, с чего и началась квантовая механика.