К моральной статистике относили изучение явлений, зависящих от воли человека: женитьб, самоубийств и преступлений. С тех пор её область значительно расширилась и включает, например, благотворительность и профессиональную и географическую подвижности населения.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
(публикуется с сокращениями)
(продолжение. Начало в № 8/2025 и сл.)
- Пуассон
Публикации Пуассона по теории вероятностей начались в 1811 г. с рефератов двух ранних мемуаров Лапласа, а в 1812 г. появился его реферат лапласовой Аналитической теории. Особого интереса они не представляли, но кто мог бы тогда превзойти Пуассона? Разве лишь Фурье.
Bru (1981; 2013) описал французское математическое сообщество при жизни Пуассона и его многолетнее руководящее положение там, равно как и описал большую часть математических исследований Пуассона.
Как и Лаплас, Пуассон опубликовал ряд мемуаров по теории вероятностей и обобщил их в своей монографии (1837а). Её название, Исследование вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах, не соответствовало содержанию; лишь подзаголовок добавлял: Предваряемые общими правилами исчисления вероятностей. Мы будем описывать и это сочинение, указывая лишь соответствующие страницы, и другие работы Пуассона. Вначале, однако, мы процитируем его утверждение (с. 1) о месте теории вероятностей в математике и опишем содержание Элементов исчисления вероятностей и социальной арифметики, сформулированное им в Программах (Programmes 1837, c. 26). Итак, теория вероятностей стала одной из основных ветвей математики и по числу и пользе её приложений, и по роду анализа, которому она дала начало.
Программы упомянули:
1) Темы самой теории вероятностей (общие принципы, теорема Бернулли, вероятности будущих событий, выведенные из вероятностей аналогичных предыдущих событий).
2) Таблицы смертности, среднюю продолжительность жизни, оспу, вариоляцию и оспопрививание. Здесь же и ожидание.
3) Институты, зависящие от вероятностей событий (пожизненные ренты, страхование, займы).
4) Средние значения большого числа наблюдений.
Вскоре забытый термин социальная арифметика (см. также ниже, в § 9.9) таким образом относился к статистике населения и медицинской статистике; сейчас мы бы, пожалуй, сказали социальная статистика.
9.1. Субъективная вероятность
Целью исчисления вероятностей Пуассон (§ 14, с. 35–36) объявил определение отношения благоприятных случаев ко всем возможным случаям в любых сомнительных вопросах; а его принципы, добавил он, следует считать необходимым дополнением логики. Пуассон полагал вероятность субъективной характеристикой, зависящей от знания, объективным же он признавал шанс (§ 1, с. 30–31)[1]. Ещё Лейбниц (§ 3.1.1), а впоследствии De Morgan (1847), затем и Буль (см. Boole 1952), пытались обосновать теорию вероятностей элементами математической логики, см. также Halperin (1988).
Указанное Пуассоном различие между шансом и вероятностью (которое признавал и Курно, см. § 11.3), ныне забыто, хотя сам он старался придерживаться его. Так, он (§ 11, с. 47) показал, что субъективная вероятность извлечения белого шара из урны с неизвестным соотношением белых и черных шаров равна 1/2, что соответствует полному недоумению, — и представлениям теории информации. Заметим, что Давидов (1854, с. 66), хорошо знакомый с иностранной литературой, заявил, что
Смутные идеи о вероятности и неточное различие субъективной и объективной вероятностей, − одно из главных препятствий быстрому развитию практической медицины.
9.2. Два новых понятия
Пуассон (1829, § 1) ввёл функцию распределения дискретной случайной величины в виде
F(x) = P(ξ < x),
а плотность он определил (там же) как производную от F(x). Позднее Пуассон (1837b, с. 63 и 80) аналогичным образом ввёл функцию распределения для непрерывных случайных величин. Давидов (1885) и Ляпунов (1900/1954, с. 132) обратили внимание на это нововведение, но широкое применение функции распределения получили лишь в XX в.
Также первым Пуассон (§§ 52 − 53, с. 140–141) ввёл понятие дискретной случайной величины, хотя и назвал её каким-то временным термином вещь А (chose A)[2]. Затем он (§ 97, с. 254) рассмотрел случайную величину, значения которой кратны некоторому 
, принял, что —> 0 и тем самым перешёл в духе своего времени к непрерывной величине[3]. Новым по сравнению с Симпсоном, который исследовал случайные ошибки наблюдения (§ 7.3.1), было эвристическое определение случайной величины и её более широкое понимание (не связанное с теорией ошибок).
9.6. Центральная предельная теорема
Пуассон (§ 92, с. 254) ввёл решетчатую случайную величину, принимающую значения кратные на некотором конечном интервале и зависящие от номера испытания. Применяя характеристическую функцию и формулу обращения, он определил вероятность сумме s этих значений находиться в определённых пределах, 
. Далее Пуассон перешёл к сумме непрерывных случайных величин, приняв, что 
при конечных произведениях 
. Полагая, что число испытаний велико, Пуассон вывел [ЦПТ] для той же суммы s при единственном, притом недостаточно объяснённом условии (§ 101, с. 268)[4] и снова без учёта влияния введённых им упрощений. По контексту представляется, впрочем, что дисперсии слагаемых исследуемой суммы он полагал конечными и ненулевыми. Раннее Пуассон (1824; 1829) доказал несколько вариантов [ЦПТ] при помощи тех же средств и обосновал ей свой ЗБЧ, см. Hald (1998, с. 317–327), который учёл все соответствующие рассуждения Пуассона. Указанные доказательства были методически несовершенными, поскольку условия теоремы не были приведены, Хальд же заявил, что этот дефект был в то время обычным. Само доказательство ещё ждёт лучшего описания, потому что по Хальду оказывается, что оно было строгим.
Пуассон (1824, §§ 4 и 6) также ввёл так называемое распределение Коши и установил его [устойчивость] и (1837а, § 99, с. 258) воспользовался разрывным множителем Дирихле, считая его, впрочем, известным. Сам Дирихле ввёл этот множитель в двух статьях 1839 г., см. его Werke, Bd. 1, 1899, с. 377–410.
Пуассон (1824, §§ 8–10) рассмотрел также линейную функцию
E = a1ε1 + a2ε2 + … + anεn
дискретных и непрерывных независимых случайных переменных εi. Во втором случае он (с. 288) вывел соответствующую ЦПТ и заметил, что переменные, обладающие плотностью
φ(x) = e–2|x|, |x| < + ∞,
ни при ai = 1/(i + 1), ни при 1/(2i – 1) не подчиняются этой теореме. Марков (1899с, с. 42), см. § 15.2-3, упомянул эти особые случаи в своих спорах с Некрасовым по поводу ЦПТ.
Пуассон применил ЦПТ для оценки значимости расхождений между эмпирическими показателями, полученными из различных серий наблюдений. В схеме Бернулли он исследовал расхождения между вероятностями событий (1837а, § 88, с. 224) и между частотами появления события (§ 109, с. 294), а в своей собственной схеме (см. § 9.7) — между средними значениями случайной величины (§ 107, с. 288). Курно (1843, гл. 7 и 8) последовал его примеру.
9.7. Закон больших чисел
Вот как Пуассон определил этот закон в преамбуле (1837а, с. 7):
Вещи любой природы подвержены универсальному закону, который можно назвать законом больших чисел. Он состоит в том, что, если наблюдать весьма значительное число событий одной и той же природы, зависящие и от постоянных причин, и от причин, беспорядочно изменяющихся то в одном направлении, то в другом, т. е. так, чтобы их изменения не происходили в каком-либо определённом смысле монотонно (progressive), то среди этих чисел обнаружатся почти постоянные соотношения.
Далее Пуассон качественно заметил, что уклонения от его закона убывают по мере возрастания количества наблюдений. Как указал Борткевич (1904, c. 826, прим. 13), вся преамбула в основном содержалась уже в прежнем сочинении (Poisson 1835).
Своё расплывчатое определение Пуассон (с. 8–11) иллюстрировал разнообразными интересными примерами, которые, однако, недостаточно разъясняли суть дела. Так (с. 9–10), ЗБЧ объясняет устойчивость среднего уровня моря и существование среднего интервала между молекулами. Начиная с 1829 г. сочинения Пуассона содержали большое число иногда связанных с этим законом прямых и косвенных утверждений о молекулярных состояниях вещества, локальных параметрах молекулярных взаимодействий и т.д. (Шейнин 1978с, с. 271, прим. 25), которые, однако, оставались незамеченными.
Далее он (§§ 52, 53, с. 138–142) ввёл три положения, характеризующие его закон. Они основывались на стандартной формуле (которую Пуассон не выписал)
P(B) = Σ(Ai) P(B/Ai).
Фактически он исследовал устойчивость статистических показателей на основе ЦПТ, см. Hald (1998, c. 576–582).
Следует признать, что Пуассон весьма сложным образом описал свой закон, и достаточно подробного изложения его рассуждений ещё нет, фактически же он понимал ЗБЧ как общий принцип, а некоторые примеры, как и у Якоба Бернулли (§ 4.2.3), характеризовали случаи, при которых вероятностей вообще либо не существовало, либо они оставались неизвестными.
Неудивительно, что Борткевич (1894–1896/1968, с. 68) отметил, что
Вряд ли существует такая теорема, которая подвергалась бы стольким возражениям, как закон больших чисел.
Вот также выдержка из его письма Чупрову 1897 г. (Шейнин 1990с/2010, с. 61):
А то взять […] мой последний трёхчасовой разговор с Марковым по поводу закона малых чисел [см. § 16.1.2]. Он [разговор] принёс мне одно раздражение. Он [Марков] опять требовал изменения заглавия.
По этому поводу разговорились о законе больших чисел. Оказывается, что Марков относит это название (как и Чебышев) к тому случаю, когда известны заранее все вероятности, следующие одна за другой […].
Марков в конце признал, что может быть у Пуассона и есть какая-то двойственность, но полагал, что следует считаться с тем пониманием термина закон больших чисел, какое встречается у позднейших писателей.
Закон Пуассона был признан далеко не сразу. В 1855 г. Бьенеме заявил, что в нём нет ничего нового (§ 11.2), что, видимо, заставило Курно (1843) обойти ЗБЧ молчанием. Мнение Бьенеме сложилось не позже 1842 г. (Heyde & Seneta 1977, с. 46–47). Даже много позже Bertrand (1888а, с. XXXII и 94) счёл его малозначительным, нестрогим и неточным. Однако уже Bessel (1838a, особо § 9) осторожно назвал закон Пуассона принципом больших чисел, Буняковский (1846, с. 35) упомянул его, а Давидов (1854а; 1857, с. 11) признал его значение. Возможно, однако, что статистики приняли законы больших чисел Бернулли и Пуассона (и Чебышева) лишь в их качественном смысле, см. § 4.2.3.
9.8. Теория ошибок и артиллерийская стрельба
В теории ошибок Пуассон предложил своё доказательство [ЦПТ] (§ 9.6) а также непараметрический критерий чётности распределения ошибок наблюдения (1829, § 10). Он (1837b) кроме того приложил теорию вероятностей и теорию ошибок к артиллерийской стрельбе, в основном, правда, с педагогической целью[5]. В качестве главной меры рассеяния Пуассон рекомендовал дисперсию (что соответствовало поздней практике Лапласа, см. § 8.2-6). Одна из его задач (1837b, § 7) состояла в отыскании распределения квадрата расстояния некоторой точки от начала координат по заданным нормальным распределениям её расстояний до осей координат на плоскости. Он тем самым быть может впервые чётко рассматривал плотности распределения как чисто математические объекты.
Пуассон не ссылался на теорию ошибок Гаусса и потому значительно обесценил свой вклад в эту дисциплину. Вот, к примеру, его (1833, с. 361) мнение о заслугах Лежандра и Лапласа:
Наш собрат был автором метода вычисления кометных орбит. […] Именно ему науки наблюдения обязаны правилом вычислений, названным методом наименьших квадратов ошибок. Лаплас показал всё вероятное преимущество этого метода по отношению к точности результатов…
Наконец, дилетантские рассуждения Пуассона (1837а) об измерениях и наблюдениях почти бесполезны.
В отличие от Пуассона (и других французских математиков, о чём мы упомянули в конце § 8.2-3), Лаплас (1812/1886, с. 353) объективно описал открытие МНКв:
Лежандр возымел простую идею рассматривать сумму квадратов ошибок наблюдений [точнее, остаточных свободных членов] и приводить её к минимуму. […] Этот геометр первым опубликовал указанный метод, но надо отдать должное Гауссу, заметив, что за много лет до публикации Лежандра он постоянно пользовался той же идеей и сообщил о ней многим астрономам.
9.9. Статистика
В § 7.2 мы описали развитие статистики в XVIII в. и продолжим эту тему в гл. 11, здесь же опишем соответствующие высказывания Пуассона и некоторых других учёных. Напомним прежде всего (§ 9.6), что Пуассон исследовал значимость эмпирических расхождений. Ссылаясь на свою переписку с ним, Кетле (Quetelet 1869, т. 1, с. 103) засвидетельствовал, что Пуассон насмешливо отзывался о статистиках, которые были склонны подменять истинные принципы науки своими фантазиями.
Более определённо Пуассон высказался в нескольких других случаях (дважды — в соавторстве). Так (Libri-Carrucci и др. 1834, с. 535):
Наиболее тонкие проблемы социальной арифметики могут быть решены лишь при помощи теории вероятностей.
Через год несколько авторов включая Пуассона (Double et al 1835, с. 174) заявили, что статистика практически является приложением исчисления вероятностей к бесконечным [?] массам и что (с. 176) в смысле приложения математики медицинские науки не хуже других физических и естественных наук, юриспруденции, моральных и политических наук и пр.
Это мнение, однако, оспаривалось. В дискуссии по выступлению Пуассона (1836, с. 380) Пуансо заявил, что приложение исчисления вероятностей к моральным вещам, как, например, к вердиктам трибуналов и голосованию, есть опасная иллюзия и ложное приложение математических наук, см. также § 9.9.1. Он сослался на высказывание Лапласа о трудностях приложения теории вероятностей, но упустил из вида, что в том же Опыте (1814) Лаплас специально рассматривал Приложение исчисления вероятностей к нравственным [устаревший русский термин] наукам и включил в него три соответствующие главы (и изучал судебную статистику!). Так, он (1814/1999, с. 848) призывал приложить
к политическим и нравственным наукам метод, основанный на наблюдении и исчислении, метод, который служил нам так хорошо в науках естественных.
К моральной статистике относили изучение явлений, зависящих от воли человека: женитьб, самоубийств и преступлений. С тех пор её область значительно расширилась и включает, например, благотворительность и профессиональную и географическую подвижности населения.
Резко возразил против приложения статистики к медицине Double (1837, c. 362–363), заявивший (с. 363), что каждый случай представляется ему как новая и отдельная проблема. Впрочем, он ошибочно отождествил статистику с количественным методом (см. § 11.9).
Ранее не вполне определённо высказался по этому же поводу Коши (Cauchy 1821/1897, с. V): единственный метод естественных наук − это поверка наблюдений исчислением, однако математическим наукам не следует выходить за свои рамки. Позже он (1845/1896, с. 242), однако, выступил совсем иначе: статистика предоставляет средство в некотором смысле непогрешимое для суждения об учениях и институтах и
может быть следует сожалеть, что это средство очень часто не применяется со всей строгостью…
9.9.1. Судебная статистика. Пуассон (1837а, с. 1–2) полагал, что исследование вероятностей вердиктов и, вообще, решений, принимаемых большинством голосов, являлось одним из важнейших приложений исчисления вероятностей. Свою основную задачу в этой области он (с. 17) видел в исследовании устойчивости процента осуждаемых по отношению ко всем подсудимым и вероятностей судебных ошибок и в сравнении судебной статистики различных стран, равно как (с. 7) в доказательстве применимости математического анализа к вещам, которые называются моральными.
Пуассон в основном ограничился исследованием уголовного судопроизводства, причём, вопреки Лапласу, он (с. 4 и § 114, с. 318) ввёл положительную вероятность подсудимому быть виновным (k) и не оговорил своего условия независимости судей. Вот одна из его формул
(§ 119, с. 333):
Рi = ktm/[ktm + (1 – k)], t = u/(1 – u).
Здесь Рi — вероятность виновности осуждённого (n – i) голосами против i, u — единая для всех судей (присяжных) вероятность правильности голосования, m = n – 2i. Пуассон заметил, что правая часть не зависит от n. Аналогичную формулу он вывел для непрерывного случайного u введя его неизвестную априорную плотность. Но заметим, что осуждение могло произойти при различных значениях i.
Одно из утверждений Пуассона (§ 136, с. 375–376) спорно: он заявил, что при усилении преступности относительное число осуждаемых должно было возрастать.
Приложение теории вероятностей к юриспруденции продолжало подвергаться нападкам. Вот самые известные высказывания по этому поводу (Милль 1843/1914, с. 490; Пуанкаре 1896/1999, c. 22):
- Неудачные приложения исчисления вероятностей […] сделали [его]
настоящим позором математики. Достаточно упомянуть о приложении его к установлению достоверности свидетелей и правильности приговоров, выносимых присяжными.
-
В судах люди воздействуют друг на друга и ведут себя как панургово стадо.
Тем не менее, соответствующая работа Лапласа и Пуассона (и их предшественника, Кондорсе) несомненно привлекла общественность к проблемам отправления правосудия и показала, чего можно ожидать в идеальном случае независимости судей. Мы вернёмся к Пуанкаре в § 12.2.
9.9.2. Медицинская статистика. Мы упоминали эту дисциплину в § 7.2.3. Теперь мы скажем, что Пуассон имеет определённые заслуги в её развитии. Вот свидетельство его бывшего студента, врача Gavarret (1840, c. xiii):
Лишь после длительных раздумий над лекциями и сочинениями великого геометра мы смогли познать […] трудность систематического применения экспериментального метода в искусстве врачевания.
В своей книге, которая стала популярной, Гаварре разъяснил нормальную аппроксимацию биномиального распределения и вычисление допустимых расхождений частот появления события в биномиальной схеме с переменными вероятностями, а также (с. 194) подчеркнул важность проверки начальных гипотез (позднейший термин), фактически в естествознании вообще. Впрочем, введение этих гипотез явилось логическим завершением исследований Пуассона значимости эмпирических расхождений.
Пуассон (1837а, с. vi) настаивал на необходимости сбора большого числа наблюдений:
Медицина не окажется ни наукой, ни искусством, если она не будет основана на многочисленных наблюдениях, на такте и должном опыте врача, который должен судить о схожести случаев и учитывать особые обстоятельства.
Так медицина ещё не была ни наукой, ни искусством!
Гаварре последовал за Пуассоном, однако по крайней мере с середины XVIII в. (Bull 1959, с. 227) ценные выводы были получены и в противном случае. И ещё Николай Бернулли (§ 4.3.2) считал возможным основываться на небольших соотношениях вероятностей двух противоположных событий. И вот Libermeister (прим. 1876, с. 935–940) решительно возразил Гаварре: практические врачи не могут собирать много наблюдений, а если и смогут, то действительно ли будет нужна теория вероятностей?
Современная статистика (включая теорию ошибок) не может ограничиваться случаем большого числа наблюдений, и поэтому скорее Либермейстер, а не Гаварре оказался пионером медицинской статистики. Freudenthal & Steiner (1966, с. 181–182) ошибочно приписали Гаварре, а не Либермейстеру, переход от безусловной уверенности к разумной степени вероятности. В 1889 г. в Лейпциге вышло собрание его медицинских сочинений, после чего он успел опубликовать ещё несколько медицинских книг. О математико-статистических результатах Либермейстера см. Seneta (1994).
В России в 1850-е годы приложение статистического метода к медицине пропагандировал Давидов, хорошо знакомый с работой Пуассона и Курно (§ 11.3), см. Ондар (1971). Мы упомянем его и в § 11.4-8.
- Гаусс, Гельмерт, Бессель
10A. Гаусс
Этот раздел в основном посвящён методу наименьших квадратов[6], но мы (1979) в некоторой степени рассмотрели исследования Гаусса в собственно теории вероятностей. Он был неутомимым сборщиком статистических сведений, в том числе и несущественных, и удачно управлял вдовьей кассой Гëттингенского университета. Его переписка и научное наследие включают изучение смертности младенцев и членов тонтин (закрытых обществ страхования), и он владел формулой обращения для преобразования Фурье функции плотности.
Гаусс также решил первую задачу из области метрической теории чисел. Он рассматривал разложение числа М (0 < М < 1) в непрерывную дробь с единичными числителями и определил вероятность Р(n; х) того, что, начиная с (n + 1)-й подходящей дроби, остаток непрерывной дроби окажется меньше чем х. Если все допустимые значения М по крайней мере более или менее равновероятны, то, как он сообщил Лапласу в 1812 г.
(W—10/1, c. 371–372), P(0; x) = x и
Тем не менее, Гаусс не был вполне удовлетворён своим результатом и попросил Лапласа взглянуть на эту задачу; он, Гаусс, уверен, что тот отыщет её более полное решение, — допредельное соотношение. Впрочем, фраза из Математического дневника Гаусса (там же, с. 552) 1800 г. свидетельствует, что в то время он был доволен своей тогда уже полученной формулой. Stäckel (там же, c. 554–556), а затем Кузьмин (1928) доказали формулу Гаусса, последний же вывел и асимптотическое разложение для P(n; x).
Здесь мы также повторим общее мнение Гаусса (W-12, с. 201–204) о приложениях теории вероятностей, описанное Вебером (W.E. Weber) в одном из его писем 1841 г. Если они основаны лишь на числах, то выводы могут быть весьма ошибочны, следует также принимать в расчёт суть исследуемого явления. Теория вероятностей обеспечивает подход, когда ничего кроме чисел не известно, как, например, при подсчётах пожизненных рент; для юриспруденции она может определить желаемое количество свидетелей и судей (но вряд ли без учёта сути судопроизводства).
10A.1. Метод наименьших квадратов до 1809 г.
Он косвенным и притом неточным образом применялся с середины XVIII в. (§ 7.3.2), а своеобразный вариант метода, как можно полагать, был известен землемерам с ещё более ранних времён. При графической засечке определяемого пункта P с трёх или более известных пунктов на планшете землемера появлялся треугольник (многоугольник) погрешностей. Естественным было назначать внутри него точку P на глаз таким образом, чтобы сумма квадратов её расстояний до сторон треугольника (многоугольника) оказывалась минимальной. Мы можем в некоторой степени обосновать это мнение экспериментальным выравниванием ломаной на глаз (Тутубалин 1973, с. 27): кривые, проведённые таким образом, в общем и целом оказались столь же точными, как вычисленные по МНКв.
Эйлера можно считать предшественником Гаусса в эвристическом смысле (§ 7.3.1). Гаусс быть может и не знал об указанном комментарии Эйлера, а список библиотечных книг, которые он читал в свои студенческие годы (к сожалению, неполный), не включает соответствующего тома журнала Петербургской академии наук. В нескольких письмах Гаусс удивлялся, что принцип наименьших квадратов не был открыт до него.
10A.1.1. Хубер. Утверждалось (Merian 1830, с. 148 и многие последующие авторы), что несколько раннее 1802 г. швейцарский математик и астроном Huber пришёл к принципу наименьших квадратов, но что, живя в отдалении от научных центров, он так и не сообщил никому о своей находке. Однако, Dutka (1990), упомянув забытую статью
(W. Spieß 1939), заключил, что это мнение неверно. Шпиc процитировал самого Хубера, который сослался на лежандровский критерий (Maßstab) наименьших квадратов.
10A.1.2. Лежандр. Принцип наименьших квадратов чётко ввёл Лежандр (Legendre 1805, с. 72–73):
Из всех принципов, которые могут быть предложены [для решения избыточных линейных систем] нет, как я полагаю, более точного или простого в применении, чем тот, который мы использовали в настоящей работе. Он состоит в том, чтобы привести к минимуму сумму квадратов ошибок [точнее, остаточных свободных членов].
Этот метод устанавливает своего рода равновесие между ошибками, которое, поскольку оно не позволяет преобладать крайним [погрешностям], подходит для выявления состояния системы, наиболее приближающейся к истине.
Лежандр также указал, что крайние по абсолютной величине ошибки [снова: остаточные свободные члены] должны быть заключены в возможно более тесные пределы. Он не добавил, что его нововведение не обеспечивало этого условия, которое соответствует принципу минимакса (§ 7.3.2).
10A.1.4. Гаусс. Принцип наименьших квадратов он применял с 1794 или 1795 г. (Гаусс 1809а; 1809b, § 186). Во втором случае Гаусс назвал его наш принцип. И позднее Гаусс (1823 b, § 17), не упоминая Лежандра, заметил по поводу МНКв: способ, давно уже применявшийся нами … В письме Гауссу 31 мая 1809 г. (Гаусс W-9, с. 380) Лежандр указал, что приоритет в науке устанавливается только по публикациям. Он также заметил, что интеграл в бесконечных пределах от экспоненциальной функции отрицательного квадрата впервые вывел не Лаплас, как указал Гаусс в § 177, а Эйлер.
Все авторские сообщения Гаусса появились в Göttingische gelehrte Anzeigen, и вряд ли Лежандр видел сообщение (1809а), впоследствии перепечатанное в Трудах Гаусса (W-6, pp. 59–60):
Основные принципы, рассмотренные здесь, которые автор применял уже 14 лет и уже давно сообщил о них своим друзьям-астрономам, приводят к тому самому способу, который несколько лет назад описал Лежандр […] в своём труде Nouvelles méthodes […].
Следовало бы всё-таки повторить сказанное ранее в Теории движения, но Гаусс почему-то этого не сделал, и сообщать об этом Лежандру ему было бы неприятно. Да и по поводу указанного выше интеграла он мог бы добавить, как впоследствии, в Monatlicher Correspondenz, Bd. 21, p. 280: слишком поздно ему пришло на ум, что этот интеграл вычислил Эйлер, и вводить поправку он не захотел, потому что в окончательном виде интеграл выписал Лаплас. Об этом добавлении сообщили редакторы издания трудов Гаусса (1887, с. 207), не указав года его публикации.
Не получив ответа, Лежандр (1820, с. 79–80) обвинил Гаусса в присвоении условия МНКв. Гаусс (30 янв. 1812, W-10/1, с. 373) ответил лишь на письмо Лапласа, сообщив о своём применении МНКв задолго до 1805 г. и о том, что не желал публиковать обрывок.
Мы весьма подробно описали возможные случаи применения МНКв Гауссом до 1805 г. равно как и сообщения, сделанные им о своём открытии многим коллегам (Шейнин 1999b;1999d). Неожиданно оказалось, что фон Цах, который отказывался подтвердить приоритет Гаусса, хотя будто бы и мог это сделать, вплоть до 1805 г. не знал формулировки принципа наименьших квадратов, но затем (1813, с. 98 прим.) косвенно согласился с утверждениями Гаусса, повторив их без всяких оговорок:
Прославленный д-р Гаусс владел этим методом с 1795 г. и с выгодой применил его при определении элементов эллиптических орбит четырёх новых [малых] планет, что усматривается из его замечательной работы [Теории движения].
К сожалению, не усматривается! Эта выдержка всё же более существенна, чем редакторское признание того же фон Цаха (Dutka 1996, с. 357): оказывается, что в 1809 г. его журнал Monatliche Correspondenz опубликовал анонимную рецензию на Теорию движения, и в ней (с. 191) повторялось утверждение Гаусса о давнишнем применении МНКв.
Оно не является общепризнанным, см., например, Marsden (1995, c. 185), который, однако, не упомянул противоположного мнения более ранних комментаторов (Brendel 1924; Galle 1924, с. 9) или современников Гаусса[7]. Во всяком случае, Gerardy (1977, с. 19, прим. 16), основываясь на архивных источниках, обнаружил, что Гаусс, который в 1802–1807 гг. участвовал в топографических работах (частично для своего собственного удовольствия), видимо применял этот метод не позднее чем с 1803 г. Gerardy, к сожалению, очень нечётко сообщил об этом.
Имеется много других случаев, включая описанный фон Цахом выше, в которых Гаусс вполне мог бы применять МНКв хотя бы для предварительных пробных вычислений или прикидок, тем более, что для него МНКв не был жёсткой процедурой, см. § 10A.5-3. Кроме того, возможные ошибки в исходных данных или неизвестный способ взвешивания наблюдений могли сделать подтверждение невозможным. Наконец, Гаусс вычислял необычно быстро и нередко ошибался (Maennchen 1918/1930, с. 65 и след.).
Мы также доказали, что среди тех, кому Гаусс сообщил о нем, были Бессель и Вольфганг Больяи (отец одного из открывателей неевклидовой геометрии, Яноша Больяи) — и, как мы напомнили, Ольберс. Последний, правда, не ответил на письмо Гаусса 27 июня 1809 г. (W/Erg-4, № 1, с. 44) с просьбой сообщить, помнит ли Ольберс, что узнал о МНКв от него, Гаусса, до 1805 г., но на следующее письмо Гаусса ответил 10 марта
1812 г. (там же, с. 495): помнит и охотно подтвердит в печати. Он (Olbers 1816, с. 192 прим.) выполнил своё обещание много позднее, потому что в 1812–1815 гг. не опубликовал ничего подходящего (см. соответствующий том Catalogue of Scient. Literature, Royal Society).
В письме 3.12.1831 Шумахеру Гаусс (1860–1865, W/Erg-5, № 1, с. 292) указал по поводу сообщения Ольберса:
Задумано было хорошо, но, спроси он меня, я бы сильно возразил.
Формально принцип наименьших квадратов предложил, конечно, Лежандр, но вот мнение комментаторов (Biermann 1966, c. 18; May 1972, с. 309):
что запрещено обычному автору, должно быть разрешено гауссам, и во всяком случае мы обязаны уважать его [Гаусса] исходные соображения.
Гаусс очень заботился о приоритете. […] Но для него это означало первым не опубликовать, а отыскать, и ему было достаточно установить даты частными записями, перепиской, скрытыми указаниями в статьях. […] Хотел он этого или нет, он тем самым сохранял своё преимущество тайны без потери приоритета в глазах последующих поколений.
В любом случае Гауссу ничего не стоило бы написать в 1809 г. наш принцип, который, однако, первым опубликовал Лежандр … О последствиях его фактического замечания см. § 9.8. Мы только добавим, что Лаплас, хоть и признал приоритет Гаусса, в основном придерживался своего собственного варианта теории ошибок, см. конец § 8.4. Но вот в письме 17 окт. 1824 г. Шумахеру Гаусс (W/Erg-5, № 1, с. 413) указал, что
С возмущением и печалью […] прочёл, что старого Лежандра, украшения своей страны и своей эпохи, лишили пенсии.
10A.5. Дополнительные соображения
Обосновав МНКв, Гаусс, все же отступал от формальных правил; один подобный пример см. в начале § 7.3.2. Здесь, мы продолжим эту тему.
1) Количество наблюдений. Во времена Гаусса методика геодезических наблюдений ещё не была отработана (и он сам исключительно плодотворно ей занимался). Он также не мог не понимать, что формальная оценка точности результатов отражает реальность, только если она учитывает “замыкания” треугольников, равно как и базисное и азимутальное условия, т.е. если она проводится после окончания всех полевых работ. Неудивительно, что на каждой станции Гаусс наблюдал до тех пор, пока не убеждался в ненужности дальнейшей работы, см. нашу гл. 7, конец Прим. 10. Так же, ссылаясь на него, поступал его ученик Герлинг (C. L. Gerling), см. Шейнин (1994а, с. 263). В той же статье (с. 266) мы сообщили об аналогичном мнении других авторов начиная с Бейеса.
2) Отбраковка уклоняющихся наблюдений. Эта деликатная операция не поддаётся формальному исследованию уже потому, что результаты наблюдений искажены систематическими ошибками, а отличить просчёт от “законной” крупной ошибки трудно. Математико-статистические критерии (появившиеся после Гаусса) не получили широкого применения в теории ошибок, сам же Гаусс (письмо Ольберсу 3 мая 1827 г., W—8, с. 152–153) указал, что при не очень большом числе наблюдений и отсутствии основательных знаний предмета отбраковка всегда сомнительна. В 1841 г. он (W-12, c. 201–204) заметил, что в приложениях теории вероятностей можно сильно ошибиться, если исходить только из чисел без учёта всех знаний существа дела.
Вот мнение авторов книги, посвящённой изучению отклоняющихся наблюдений в статистике (Bartlett & Lewis 1978, с. 360):
В конце концов, при изучении отклоняющихся наблюдений основная проблема остаётся той же самой, какой она была для самых первых исследователей: что такое уклоняющееся наблюдение, и как следует поступать с ними?
3) Вычисления. Не имея даже арифмометра, Гаусс тем не менее проводил серьёзные вычисления. Так, он однажды решил систему из 55 нормальных уравнений (письмо Ольберсу 14 мая 1826 г.;
W—9, с. 320), см. также Шейнин (1979, с. 53). Иногда он решал нормальные уравнения методом итераций (письмо Герлингу 26 дек. 1823 г.; там же, с. 278–281), о чём впервые сообщил сам Герлинг в 1843 г. См. также Forsythe (1951) и Шейнин (1963). Интересно и замечание Гаусса (1809b, 185), которое он, правда, не сопроводил количественными оценками, о том, что часто бывает достаточно вычислять коэффициенты нормальных уравнений приближённо. Это замечание использовал американский астроном Bond (1857), а затем, со ссылкой на него, Ньюком (Newcomb 1897a, с. 31).
Как вычислитель высочайшего класса (Maennchen 1918/1930, c. 3),
Гаусс часто подходил к своим открытиям при помощи точных и мучительных для ума вычислений. […] Мы находим [в его работах] длинные таблицы, чьё составление само по себе целиком заняло бы рабочую жизнь нескольких вычислителей обычного толка.
Менхен не рассматривал геодезических вычислений Гаусса возможно потому, что в то время математики ещё не интересовались решением систем линейных алгебраических уравнений. Мы заметим, что при составлении одной таблицы смертности Гаусс (W-8, с. 155–156) каким-то образом вычислил значения функций bn и cn для n = 3 и 7(5)97 при lgb = 0,039097 и lgc = 0,0042225.
И вот вывод Субботина (1956, с. 297) об определении орбит небесных тел, но пригодный и для нашей темы: Лагранж и Лаплас
Ограничились лишь математической стороной дела, тогда как Гаусс не только тщательно обработал своё решение с точки зрения вычислительной техники, но и учёл все условия работы и все привычки астрономов-вычислителей.
4) Оценка точности (Шейнин 1994а, с. 265–266). В письмах Бесселю в 1821 г. и Герлингу в 1844 и 1847 гг. Гаусс указал, что оценка точности, основанная на небольшом числе наблюдений, ненадёжна. В 1844 г. он объединил наблюдения на нескольких станциях и отнёсся к ним как к единому целому, ср. вычисления Лапласа в § 8.2-7. А в 1847 г. Гаусс заявил, что при отсутствии достаточных наблюдений лучше основываться на общем знании ситуации.
10A.6. Дальнейшие сведения о методе наименьших квадратов
1) Несмотря на мнение Гаусса, первое обоснование МНКв стало общепризнанным (Шейнин 1995c, § 3.4), в частности потому, что погрешности наблюдений действительно оказывались примерно нормальными, а его зрелое сочинение (1823b) было слишком абстрактным. Работы Кетле (§ 11.5) и Максвелла (§ 11.8.5) существенно поддержали мысль об универсальности нормального закона. Впрочем, примеры уклонений от него постепенно накапливались и в астрономии, и в других областях естествознания, равно как и в статистике (Шейнин 1995с, § 3.5 и Ньюком, см. § 11.8.4, и снова Кетле). В § 10С описано стремление Бесселя скрыть подобные уклонения.
Даже независимо от указанного несколько авторов выступило против первого обоснования. Наиболее известным из них является Марков (1899a), который сослался на самого Гаусса (на его письмо 1839 г. Бесселю, упомянутое в § 10А.4-2), первым же его предшественником был Айвори (§ 11.9.1).
Иногда и второе обоснование также отвергалось. Бьенеме (Bienaymé 1852, с. 37) заявил, что, в отличие от Лапласа, Гаусс в 1823 г. представил не доказательства, а соображения; конкретно он заметил, что необходимо (для лапласова варианта теории ошибок, практически же не обязательно) большое число наблюдений и что важна, как можно сейчас сказать, совместная эффективность оценок. Она осуществляется при применении МНКв и нормальном распределении ошибок наблюдений в классе несмещённых регулярных оценок[8].
Бертран (1888а, с. 248) высказался в пользу второго обоснования, но (с. 267) указал, что при малых погрешностях чётное распределение может быть приближённо представлено экспоненциальной функцией отрицательного квадрата, т. е. что первое обоснование всё-таки приблизительно верно. См. также отрицательное мнение Пуанкаре в 12.2-8.
2) Обосновав МНКв в 1823 г. по-другому, Гаусс стал называть получаемые оценки надежнейшими (maxime plausibiles, или (1821) sicherste), а не, как прежде, вероятнейшими (maxime probabile, wahrscheinlichste). Колмогоров (1946), а затем, без ссылки на него, Хальд (Hald 1998, с. 473–474) вывели условие МНКв по принципу наименьшей дисперсии на языке многомерной геометрии. Кроме того, Колмогоров (с. 64) посчитал, что формулу (10.6а) следует все-таки считать определением. Заметим, что еще Цингер (1862, § 33) заявил, что в ней уже скрывается МНКв. Примерно то же заметил Harter (1977, с. 28).
3) Математики не обращали должного внимания на труды Гаусса по МНКв (§§ 10А4-10 и 14.2-7), да и статистики были плохо знакомы с ними, см. Эпиграф к этой книге. И вот Eisenhart (1978, с. 382):
Когда в 1890-е годы Карл Пирсон и Юл начали заниматься математической теорией корреляции, они обнаружили, что можно было сразу же применить многое из математического инструментария, разработанного Гауссом […]. Его вклад в метод наименьших квадратов включает математику, существенную для статистической теории и её приложений почти ко всем нынешним отраслям науки.
10Б. Гельмерт
В основном именно Гельмерт завершил построение классической гауссовой теории ошибок, а некоторые его результаты оказались интересными и для математической статистики. Schumann (1917, с. 97) справедливо назвал его мастером низшей (инженерной) и высшей геодезии. Его руководство (Helmert 1872) оставалось лучшим источником по теории ошибок и уравниванию триангуляции вплоть до 1930-х годов. В его третьем, посмертном издании 1924 г. мы находим несколько строк, подписанных геодезистом (H. Hohenner), который по просьбе издательства сообщил, что книга Гельмерта всё ещё остаётся лучшей в своём роде; его мнение оказалось решающим.
Именно Гельмерт (1886, с. 1 и 86) ввёл в геодезическую практику замену звеньев триангуляции геодезическими линиями, и этот приём, усовершенствованный Ф. Н. Красовским, лёг в основу уравнивания астрономо-геодезической сети Советского Союза (Закатов 1950, § 91). В своём менее известном сочинении Гельмерт (1868) изучал, как добиться необходимой точности геодезической сети при наименьших затратах или достичь её максимально возможной точности при заданных затратах. Некоторые уравнения, возникающие при уравнивании в геодезии, не являются ни линейными, ни даже алгебраическими; они, правда, могут быть приведены к линейным (§ 10А.4-9), и Гельмерт мог бы придти к некоторым элементам линейного программирования, но этого не произошло. Он все же заметил, что выгодно вообще не измерять некоторых углов, ср. § 10А.2-1, но практически приходится от такой мысли отказаться, поскольку требуется контролировать всю работу в целом.
10С. Бессель
Гаусс и Бессель явились зачинателями нового направления в практической астрономии и геодезии, которое требовало тщательной поверки и юстировки инструментов и исследования надёжности методов наблюдения. Вот мнение Ньюкома (Schmeidler 1984, с. 32–33), который упомянул немецкую школу практической астрономии, хотя и назвал только Бесселя. Основная идея этой школы состояла в том, что каждый прибор обвинялся
Во всех возможных недостатках и не оправдывался до тех пор, пока не доказывал себя безупречным во всём. Бессель усовершенствовал приёмы определения возможных погрешностей приборов с изобретательностью и точностью геометрического метода.
Но и Гаусс, и Бессель усовершенствовали и методы наблюдения. О Гауссе см. также Hermann (1976).
Мы неоднократно упоминали Бесселя. Его достижения в астрономии и геодезии общеизвестны; помимо уже указанных назовём лишь определение астрономических констант, первое измерение параллакса звезды, открытие личного уравнения, разработку одного метода уравнивания триангуляции и вывод параметров земного эллипсоида. Он (1838а) также определял плотность распределения погрешности наблюдения, составленной из многих разнородных составляющих, однако строгое решение подобных задач, если быть может исключить один мемуар Коши (§ 11.1), оказалось возможным лишь много позже (§ 14.1-4)[9].
Личное уравнение (или личная ошибка) данного наблюдателя это присущая ему систематическая ошибка в регистрации моментов прохождения звезды через крест нитей астрономического инструмента. Она может быть установлена (но не определена) по наблюдениям двух астрономов, которые приходилось проводить в разное время. Наблюдения поэтому надо было “редуцировать”, учитывая при этом поправку часов. Бессель (1823) так и делал, кроме как в одном случае. В результате соответствующие наблюдения оказались бесполезными, однако он этого почему-то не заметил.
Бессель (1838a, §§ 1 и 2) определил плотности распределения двух функций непрерывно и равномерно распределённой случайной величины. Подобные задачи решал ещё Лаплас, но именно Бессель чётко сформулировал их. Тем не менее, он допустил ошибки при вычислении соответствующих дисперсий и вероятных ошибок[10]. Впрочем, в § 2 Бессель указал интересный пример погрешности с антимодальной плотностью распределения.
Изучая наблюдения Брадлея, Бессель (1818) заметил, что крупные ошибки произошли немного чаще, чем следовало бы (по нормальному распределению), но что при большем числе наблюдений это расхождение исчезло бы. Но небольшие ошибки должны были встретиться реже (чего Бессель не отметил), а количество наблюдений Брадлея измерялось сотнями. Бессель (1838а, § 11) снова исследовал те же наблюдения, должен был заметить, что они не вполне удовлетворяли нормальному распределению, но сформулировал противоположный вывод. Он таким образом упустил случай первым заметить уклонения высокоточных наблюдений от нормальности. Впоследствии этот факт отмечался неоднократно, и в первую очередь следует здесь назвать Ньюкома (1886). Но вот главное. Сочинение Бесселя (1838а) содержало попытку доказательства ЦПТ, и можно думать, что он не заметил уклонений о нормальности, чтобы спасти своё доказательство.
После Гаусса все углы на отдельных станциях триангуляции начали, как правило, наблюдать с одним и тем же весом, что значительно облегчало выполнение комплекса всех вычислительных работ и, что ещё важнее, позволяло считать все наблюдения независимыми друг от друга. Бессель (Шейнин 2001d), однако, полагал возможным отказаться от указанного (иногда тяжёлого) условия, но зато совместно уравнивать станции и сеть триангуляции. Имеются свидетельства того, что фактический отказ от его метода раздражал Бесселя[11].
Мы выявили и другие ошибочные утверждения Бесселя в его популярных статьях. .1. Бессель (1843) обсуждал поиски двойных звёзд Уильямом Гершелем и его попытку сосчитать звёзды Млечного Пути, но не указал, что двойные звёзды могут быть весьма далеки друг от друга и не разъяснил, что Млечный Путь — лишь одна из бесчисленных галактик. 2. Гершель понял, что его телескоп не проникает к границам Млечного Пути (В. Я. Струве 1963; Hoskin 1959), Бессель же (с. 474, лев. ст.) утверждал противное. 3. Вопреки Бесселю (с. 469, лев ст.) Гершель обнаружил не планету Уран, а лишь движущееся тело, которое посчитал кометой. Бессель обманул своих слушателей, заявив, что Гершель увидел диск. 4. Газетная статья Бесселя 1845 г. не имела отношения к астрономии. Она содержит непонятные утверждения, а данные о коренном населении США высосаны из пальца. 5. Статья Бесселя (1848а) это текст доклада, прочитанного не ранее 1821 г. В ней нет обсуждения ЗБЧ Якоба Бернулли, не описана статистика населения, неверно указывается отношение Ламберта к оценкам наибольшего правдоподобия и Опыт философии Лапласа не назван.
В своих письмах Гаусс указал на погрешности в посмертных рукописях Бесселя. 1. Гаусс — Ольберс 2 авг. 1817 г. Бессель завысил точность некоторых своих инструментов. 2. Гаусс — Шумахеру, между 14 июля и 8 сент. 1826 г. Подобное заключение. 3. Гаусс — Шумахеру, 27 дек. 1846 г. Ошибки в некоторых рукописях Бесселя. В одном случае Гаусс поразился небрежностью Бесселя.
Как же Бессель мог быть и замечательным учёным, и заядлым халтурщиком и даже обманщиком? Вот Гёте (Фауст, часть 1, № 2): Две души живут в его груди.
Примечания
[1] Пуассон так и не смог придерживаться объявленного им отличия между шансом и вероятностью, и по этой причине мы будем всюду употреблять современный термин.
[2] Ранее Пуассон (1830, с. 141 и 146) применил ту же букву А для обозначения наблюдаемой константы, — некоторой вещи. Стало быть, эта буква вряд ли теперь обозначала aléatoire, т. е. случайная [вещь].
[3] Пуассон (§ 103, с. 274) и раньше (1833, с. 637) подкрепил переход от дискретного случая к непрерывному при помощи приёма, который может быть описан дельта-функцией Дирака. Введя плотность j(х), равную нулю всюду, кроме как в конечном числе точек ci , i = 1, 2, …, n, для которых
он тем самым применил функцию Дирака типа φ(x) = Σ[giδ(x – ci)].
[4] Пуассон сослался на § 60 и на свой мемуар (1829, § 8), однако на наш взгляд положение осталось неясным. Oн (1837а, § 112, с. 312–313) повторил формулировку [ЦПТ] для среднего значения случайной величины, но вообще не ввёл никаких условий и даже не ограничил её значений конечным интервалом.
[5] С 1812 г. (по?) Пуассон был экзаменатором артиллерии (Arago 1850/1854, с. 602).
[6] Под этим методом, строго говоря, мы понимаем его окончательную разработку Гауссом в 1823 г. До этого времени следует обсуждать лишь принцип наименьших квадратов.
[7] Их мнение не должно быть забыто, и вот еще один пример. Энке (Encke 1851, c. 2) полагал, что Гаусс применил МНКв при определении орбиты Цереры, первой найденной малой планеты (Гаусс не комментировал этого высказывания).
[8] Относительно этого сравнительно редко упоминаемого понятия см. Крамер (1946, § 9.2.1).
[9] В 1839 г. Гаусс (W—8, с. 146–147) сообщил Бесселю, что с интересом воспринял изложение его работы (1838а), существо же исследования было ему в принципе знакомо уже много лет.
[10] Мы (Шейнин 2000b) нашли 33 ошибки в арифметических и простейших алгебраических действиях в сочинениях Бесселя, собранных в его Abhandlungen (1876). Не будучи существенными, они указывают на его невнимательность и подрывают веру в надёжность его более сложных вычислений. См. также Шейнин (2016b).
[11] Гаусс поссорился с Бесселем во время их встречи в 1825 г., но никаких подробностей этого эпизода не сохранилось (Шейнин 2001d, с. 168); уже в 1817 г. Ольберс сообщил последнему, что жалеет об их плохих отношениях (Erman 1852, Bd. 2, c. 69). В 1812 г., в письме Ольберсу, Бессель (там же, т. 1, с. 345) назвал Гаусса всё же изобретателем МНКв, но в 1844 г., в письме Гумбольдту (Шейнин 2001d, с. 168), подчеркнул приоритет Лежандра. Там же (с. 171) мы сообщили, что в 1843 г. в переписке с Герлингом Бессель заявлял о своём приоритете в уравнивании триангуляции по МНКв, Гаусса же он не упоминал.
