СЕМЬ ИСКУССТВ

Для большинства математиков математическая вероятность относилась к математике так же, как чёрный рынок к маркетингу; путаница между вероятностью и явлениями, к которым она прилагается, […] все ещё досаждает этой дисциплине; долгие годы [значение монографии Колмогорова] не признавалось, и некоторые математики насмешливо заявляли, что […] вероятность, возможно, нуждается в строгости, но никак не в трупном окоченении.

Оскар Шейнин

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

(публикуется с сокращениями)

(продолжение. Начало в № 8/2025 и сл.)

8. П.С. Лаплас

8.1. Теория вероятностей

Теории вероятностей Лаплас посвятил ряд мемуаров и впоследствии объединил их в своей Аналитической теории вероятностей (1812). Мы опишем её вторую книгу; первая была посвящена исчислению производящих функций с приложением к решению уравнений в обыкновенных и в частных конечных разностях и приближенному вычислению интегралов. Мы ссылаемся на это сочинение, указывая лишь его страницы.

1) В гл. 1 Лаплас привёл “классическое” определение вероятности (введённое Муавром, см. § 5.3), теоремы сложения и умножения вероятностей для независимых событий и теоремы об условных вероятностях. Этот же материал он изложил в Опыте философии (1814)¹, в котором кроме того словесно сформулировал и так называемую теорему Бейеса (1814/1999, с. 837), см. формулу (6.1), назвав её принципом. “Фундаментальный принцип” обращённой вероятности, равнозначный этой теореме при постоянных априорных вероятностях Р(A_i), мы находим у него намного раньше (Laplace 1774/1891, c. 29):

    P(A_i /B)/P(A_j /B) = P(B/A_i)/P(B/A_j).

2) Во второй главе Лаплас решил ряд задач при помощи уравнений в обыкновенных и частных конечных разностях.

Задачу об упомянутом распределении, также в астрономическом контексте, Лаплас решил ещё в 1776 г. при помощи весьма сложных возвратных соотношений (Шейнин 1973а, с. 287 – 290). Заметим, однако, что в рамках теории ошибок аналогичные результаты получили ещё Симпсон и Лагранж (§ 7.3.1). Следующие две задачи Лаплас решил на этот раз так же, как и в своём раннем мемуаре 1781 г.

3) Третья глава посвящена предельной теореме Муавра–Лапласа и нескольким интересным задачам, связанным с предельным переходом. Теорему Муавра (§ 5.4) Лаплас доказал уже с применением формулы суммирования Маклорена–Эйлера, и, чего у Муавра также не было, вычислил поправочный член, учитывающий неточность теоремы в случае большого но конечного числа опытов.

Одну из задач Лапласа прежде него решил Д. Бернулли (§ 7.1.1): каждая из двух урн содержит n белых и черных шаров в неизвестных соотношениях, общее количество тех и других одно и то же. Требуется определить вероятность того, что первая урна будет содержать х белых шаров после r циклических перекладок по одному шару из урны в урну. Ту же задачу решили Lagrange (1777/1869, c. 249–251), Malfatti (Todhunter 1865, c. 434 – 438) и сам Лаплас (1811).

Как и Бернулли, Лаплас заметил, что в пределе, притом даже в случае нескольких урн, числа белых шаров оказываются примерно одними и теми же во всех урнах, а на с. 306 он уточнил, что имел в виду средние количества. Наконец, Лаплас заметил, что этот результат не зависит от первоначального распределения шаров в урнах, а в Опыте философии (1814/1999, с. 843) указал, что его вывод остаётся в силе даже, если в процессе перекладок добавить новые урны, опять-таки с любым распределением шаров в них. Он заключил, видимо, слишком оптимистически, что

можно распространить этот результат на все сочетания в природе, в которых постоянные силы […] устанавливают правильный образ действий, способный вызвать даже из недр хаоса системы, управляемые удивительными законами.

О предначертании (ср. посвящение Муавром своей книги Ньютону в § 5.3) речи здесь не было. Заметим, что указанный результат (как и полученный ранее Даниилом Бернулли) напоминает давнишнее утверждение о тепловой смерти вселенной.

По существу задача Д. Бернулли – Лапласа совпадает со знаменитой моделью Эренфестов (1907), с которой принято начинать историю случайных процессов, а их результат можно обосновать эргодической теоремой Маркова для марковских цепей, см. также § 7.1.1с.

4) Гл. 4 Анал. Теории мы коснёмся в § 8.2-4. Гл. 5 Лаплас посвятил выявлению постоянных причин (сил) в природе. Так, он попытался определить значимость суточных вариаций атмосферного давления. К. Пирсон (1978, с. 723) заметил, что более поздние авторы должны были бы применить для этой цели распределение Стьюдента, что некоторые из предпосылок Лапласа оказались неверными и, кроме того, что он безосновательно исключил из рассмотрения те сутки, в течение которых вариация превысила 4 мм.

Лаплас указал, что исчисление вероятностей может быть применено к медицине и экономике. Возможно, что он имел в виду вероятностное исследование статистических данных, см. его Опыт (1814/1999, с. 847 – 848). Затем, продолжал Лаплас, теория вероятностей может даже исследовать влияние моральных причин.

Некоторую часть гл. 5 Лаплас посвятил знаменитой задаче Бюффона, см. § 7.1.6, предварительно (с. 365) заметив, что исчисление вероятностей можно применять для спрямления кривых и квадрирования их [?] поверхностей, т.е. для вычисления интегралов. Он не развил своей мысли, но см. нашу гл. 13.

Игла длины 2r падает на пучок параллельных прямых, расстояние между которыми a  2r и вероятность р игле пересечь прямую равна, см. формулу (7.3),

p = 4r/πa.

Без доказательства он заявил, что при a = 1 оптимальная для определения π длина иглы составляет 2r = π/4, хотя в первом издании своей книги он привёл другое значение, 2r = 1. Тодхантер (1865, с. 590–591) и Gridgeman (1960) доказали верность первоначального мнения Лапласа.

5) В гл. 6 Лаплас решает задачи при помощи бейесовского подхода (см. нашу гл. 6), хотя и без ссылки на Бейеса, которая, правда, имеется в его Опыте (1814/1999, с. 862).

В Опыте философии Лаплас (1814/1999, с. 837 лев.) применил эту формулу, несколько отличную от его прежней формулы (8.7), для решения задачи Прайса о вероятности восхода Солнца (см. § 6.1), но упомянул лишь Бюффона и, разумеется, не согласился с его решением.

Эту задачу следует описать подробнее. Напомним (§ 6.1), что некоторые результаты Прайса сомнительны. Fries (1842/1974, с. 7 и 158 (140)) указал, что при n → ∞ вероятность Р стремится к нулю, а потому явление, описываемое формулой Лапласа (восход Солнца он не упоминал), никак не оказывается законом природы. Фриз заключил, что из повторных наблюдений и апостериорной вероятности нельзя угадать априорную вероятность, что означало почти явное отрицание теоремы Якоба Бернулли.

В связи с указанным обстоятельством он посчитал, что решение задачи Прайса, равно как и лапласово решение задачи Даламбера − Лапласа, см. Прим. 6 к гл. 2, основано на философских (не математических) вероятностях и философской индукции. Наконец, без особого рассмотрения Фриз (с. 157/139) объявил МНКв полностью субъективным.Всё это он кратко указал уже в своём Предисловии.

Именно теорема Бернулли даст надлежащий ответ на замечания Фриза. Как фактически заметил Лаплас (1814/1999, с. 837 лев), его формула (пусть по необходимости) подтверждалась принципом недостаточного основания, но ведь с ростом числа наблюдений это предположение следовало уточнять, и сам Лаплас (§ 8.2-1) указал соответствующую рекомендацию. Задачу Прайса весьма основательно рассмотрел Zabell (1989), но Фриза она лишь назвал.

Полиа (1954/1963, Bd. 2, c. 51 и 207 – 208) повторил замечание Фриза о случае n → ∞, но не упомянул его. Он также посчитал, что в случае m = 0 и n = 1 формула Лапласа ошибочно приводит к Р = 1/2, с чем мы не согласны и указал действительно нелепый пример её применения: вероятность старику в возрасте 70 лет прожить ещё год равна 71/72. Здесь, правда, следовало бы напомнить мнение Гаусса (конец § 10А). Наконец, Полиа (с. 207 – 208) заявил, что при приложении теории вероятностей к правдоподобным заключениям следует в принципе избегать количественных значений, с чем мы снова никак не согласны.

Наконец, в этой же главе 6 Лаплас определил численность населения Франции по выборочным данным и впервые оценил точность (своего варианта) выборочного метода.

6) В гл. 7 Лаплас рассматривал влияние возможного неравенства вероятностей, которые априорно считаются равными друг другу, на изучаемые явления. Например, при броске монеты вероятность выпадения орла может равняться (1 ± а/2) при неизвестном значении а. Полагая оба знака равновозможными, Лаплас получил для вероятности выпадения n орлов подряд

    P = 1/2[(1 + a)ⁿ + (1 – a)ⁿ ]/2ⁿ,

так что при n > 1 оказалось, что Р > 1/2ⁿ.

Пусть теперь в общем случае вероятность равна не р (предположенное значение), а p + z, |z| ≤ а, и пусть (p + z) имеет плотность j(z). Тогда вероятность сложного события y будет равна

(ср. выше формулу (8.5)), а при неизвестной функции j(z) она заменяется плотностью z, которую Лаплас назвал вероятностью z. И все же появление знаменателя в этой формуле было вряд ли необходимо.

Особое рассуждение этой главы, как и один из примеров гл. 3, можно истолковать на языке цепей Маркова. По сути оно было равносильно утверждению о том, что при бесконечной тасовке колоды карт их всевозможные расположения оказываются равновероятными (Феллер 1950, гл. 15, § 9). Пусть вероятности извлечения билетиков из урны не равны друг другу. Неравенства между ними можно уменьшить, если класть их в урну не по какому-то порядку, а в соответствии с их извлечением из вспомогательной урны, и тем более, если таких урн будет несколько. Лаплас не доказал этого утверждения, но обосновал его общим, быть может слишком общим принципом: случайность убывает, если её подвергнуть действию случайности.

7) Гл. 8 была посвящена статистике населения, – средним продолжительностям жизни и женитьб, – однако Лаплас не применил здесь никаких новых идей или методов. Он, правда, обобщил предпосылки модели эпидемии оспы, принятые Д. Бернулли (§ 7.2.3) и вывел для неё более общее дифференциальное уравнение (Тодхантер 1865, с. 601–602).

8) В гл. 9 Лаплас рассматривал подсчёты, связанные с пожизненными рентами и впервые ввёл пуассоново обобщение теоремы Я. Бернулли (Molina 1930, p. 372). Пусть в каждом из s независимых (как он чётко указал) испытаний противоположные события А и В могут появляться с вероятностями q_i и p_i, q_i + p_i = 1, i = 1, 2, …, s, и, соответственно, означать выгоду n и урон m. При постоянных вероятностях q и p ожидание выгоды после всех испытаний будет равно, как Лаплас напрасно вывел весьма сложным путём, s(qn – pµ). Он затем оценил эту величину при большом s с помощью своей предельной теоремы (8.3).

9) В гл. 10 Лаплас изложил соображения о моральном ожидании (§ 7.1.1).

Лаплас, далее, доказал, что при морских перевозках груз следует распределять поровну на нескольких судах. Докажем это по-своему (Шейнин 1972b/1977, с. 111 – 113).

В связи с моральным ожиданием и транспортировкой грузов на нескольких суднах Лаплас (1814/1999, с. 854 прав.) высказал весьма обобщённое утверждение:

Можно рассматривать свободный народ как большую ассоциацию, члены которой взаимно поручились за своё имущество, неся пропорциональные расходы по этому поручительству.

Многие авторы после Лапласа возвращались к моральному ожиданию (ср. § 7.1.1), а Фурье (1819) и Остроградский, от работы которого сохранилось лишь сообщение Н. И. Фусса 1836 г. (Остроградский 1961b, с. 293 – 294), пытались развить его: Остроградский

не принял гипотезы Даниила Бернулли. Он выражает моральное удовлетворение некоторой произвольной функцией физического удовлетворения и ему удаётся дать решение главных вопросов, связанных с моральной удачей, с той широтой и с той точностью, какой только можно пожелать.

Ни Фурье, ни Остроградский не возвратились к этой теме и можно полагать, что оба они отказались от своих прежних мыслей.

10) В последней 11-й главе и, частично, в Дополнении 1 (1816) к Анал. Теории Лаплас привёл свои соображения о вероятности свидетельских показаний.

8.2. Теория ошибок

Работы Лапласа по теории ошибок естественным образом подразделяются на два этапа. В XVIII в. он как бы примерялся к ней, используя сравнительно новый инструмент, — плотность распределения³, — и подбирая различные правила для выбора оценки истинных значений измеряемых констант. Полученные им уравнения оказывались слишком сложными, и он ограничивался случаем трёх наблюдений. Позднее он (нестрого) доказал несколько вариантов ЦПТ и смог отказаться от указанного ограничения (приняв, однако, другие предпосылки). Вот чёткое заключение Бьенеме (Bienaymé 1853/1867, с. 161), замеченное Идельсоном (1947, с. 11):

Лаплас […] сразу же осознал всю важность [ЦПТ]. […] В течение почти сорока лет Лаплас представлял […] мемуары о вероятностях, но […] не хотел объединять их в общую теорию …

Однако, продолжал Бьенеме, именно эта теорема позволила ему составить свою Анал. Теорию.

Итак, по Лапласу принцип наименьших квадратов по двум причинам существенно зависел от реализации нормального распределения. Во-первых, требовалась ЦПТ; во-вторых, применение его условий типа (8.14) оказалось бы в противном случае исключительно трудным. Неудивительно, что его теория не получила практического распространения, тем более, что она зависела ещё от наличия большого количества наблюдений. Цингер (1862, с. 1) неверно оценил значимость результатов Гаусса и Лапласа: последний будто бы предложил

строгое [?] и беспристрастное исследование; из его анализа видно, что результаты способа наименьших квадратов получают более или менее значительную вероятность только при условии большого числа наблюдений; между тем как Гаусс старался на основании посторонних соображений придать этому способу безусловное значение [ничего подобного]. Если мы обратим внимание на то, что в законе больших чисел заключается вся сущность Теории случаев и что только при большом числе испытаний получают действительное фактическое значение все свойства случайных явлений, то не трудно будет видеть справедливости лапласова вывода; при ограниченном же числе наблюдений мы вовсе не можем рассчитывать на взаимное уничтожение погрешностей и […] всякое сочетание наблюдений может […] повести столько же к увеличению погрешностей, сколько и к ослаблению их.

О Гауссе см. гл. 10. Цингер смешал воедино оба гауссова обоснования МНКв, притом практика требовала обработки конечного (иногда небольшого) числа наблюдений, а не предельных теорем. Пренебрежительное отношение Цингера к Гауссу объяснялось невниманием к его мемуарам, см. также §§ 11.8.5 и 14.2-7. Частично оно было вызвано, прямо скажем, несправедливым отношением Гаусса к Лежандру (§ 10А.1-4) и, соответственно, (антинаучным) игнорированием Гаусса французскими математиками, и частично их слепым следованием Лапласу.

4) В гл. 4 Анал. Теории Лаплас (1812) нестрого доказал ЦПТ для сумм и сумм абсолютных значений независимых, одинаково распределённых и ограниченных по величине ошибок, а также для суммы их квадратов и для их линейных функций. Все это [почти] содержалось в его прежних мемуарах. В 1811 г. он, правда, доказал только локальную теорему для линейной функции погрешностей. В § 23 Лаплас сформулировал свою цель: исследовать средний результат большого числа ещё не сделанных наблюдений … Здесь, видимо, впервые было непосредственно сформулировано утверждение, относящееся к генеральным совокупностям.

5) В Дополнении 1 к Анал. теории Лаплас (1816) рассматривал уравнения погрешностей с двумя (например) неизвестными.

8.3. Философские взгляды

Общеизвестно высказывание Лапласа (1814/1999, с. 835) о том, что для всеведущего ума, способного на любые вычисления, случайности не существовало бы и будущее, как и прошлое, предстало бы перед его взором. В наши дни это утверждение устарело (см. описание хаотичности в § 2.2.4), но к нему следует добавить и другие соображения.

а) Такого ума не существует, нет также и всеобъемлющих теорий незначительных явлений, о чем Лаплас не мог не знать. Он, стало быть, фактически признавал случайность (Дорфман 1974, с. 265).

b) Дополнение: существуют неустойчивые движения, чувствительные к небольшим изменениям начальных условий, ср. § 12.2-9.

с) “Лапласов детерминизм” был свойственен и предшествовавшим учёным, – Мопертюи (Maupertuis 1756a/1768, c. 300) и Бошковичу (1758, §385). Оба они упомянули вычисления прошлого и будущего (до бесконечности в каждом направлении, как утверждал Бошкович), но, ввиду очевидных препятствий, см. выше пункт а), оба отрицали такую возможность.

В Опыте философии Лаплас (1814/1999, с. 842) дополнил своё высказывание примерами “статистического детерминизма”, – устойчивостью доходов от лотерей и относительного числа писем, отправляемых без указания адреса, и объяснил её действием ЗБЧ (правильнее: в то время его ещё малоизвестной пуассоновой формой, см. 8.1-8). Участие в лотерее зависит лишь от свободной воли человека, ср. аналогичное утверждение Кетле (§ 11.5) и мнение Петти (§ 3.1.1)⁷.

Уже в своих ранних мемуарах Лаплас (например, 1776/1891, с. 144–145), как и многие другие учёные, см. Прим. 2 в гл. 2, не признавал случая, объясняя его либо незнанием соответствующих причин, либо сложностью изучаемого явления и несовершенством математического анализа. Он даже заявил, что теория вероятностей, оценивающая степени правдоподобия явлений, обязана своим появлением слабости человеческого ума и аналогичное утверждение см. в Опыте (1814/1999, с. 835). Тем самым эта теория оказывалась для него прикладной математической дисциплиной, обслуживающей естествознание⁸ и уже по этой причине он не выделил из неё математическую статистику, хотя и заметил появление в ней нового жанра задач (1774/1891, с. 56) и даже её новой ветви (1781/1893, c. 383)⁹. Наконец, Лаплас не оставил формального пояснения диалектики случайного и необходимого.

8.4. Выводы

Лаплас собрал воедино свои предшествующие работы, но не объединил их должным образом. Он не заботился о единообразии решения однотипных задач (а его Опыт философии не был образцом популярной литературы, см. Прим. 1). Далее. Многие авторы указывали, что Лаплас излагал свои соображения слишком сжато. Вот, к примеру, свидетельство Боудитча (Тодхантер 1865, с. 478), переводчика Небесной механики на английский язык:

Всякий раз, когда я вижу [у него] слова таким образом, очевидно, что, я знаю, что только часы и может быть дни тяжёлого труда позволят мне понять каким образом это очевидно.

Это мнение вполне можно отнести и к Анал. Теории.

Лапласово определение вероятности (введённое ещё Муавром, § 5.3), было, конечно же, неудовлетворительным, но ничего лучшего так и не появилось вплоть до разработки аксиоматической теории (или, если угодно, до частотной теории Мизеса). Вот соответствующее утверждение Камке (Kamke 1933, с. 14): В 1910 г. в Гёттингенском университете было в ходу изречение: математическая вероятность это число, лежащее между 0 и 1, про которое больше ничего не известно. Аналогичные мысли высказали Мизес в 1919 г., Кейнс в 1921 г. и П. Леви (который родился в 1886 г.) в годы своей юности (Крамер 1976/1979, § 2.1), равно как и Марков (§ 15.1-5). Но самым интересным можно назвать свидетельство Дуба (Doob 1989), заметку которого следовало бы полностью воспроизвести. Вот, во всяком случае, его основное утверждение: в 1946 г.

Для большинства математиков математическая вероятность относилась к математике так же, как чёрный рынок к маркетингу; путаница между вероятностью и явлениями, к которым она прилагается, […] все ещё досаждает этой дисциплине; долгие годы [значение монографии Колмогорова] не признавалось, и некоторые математики насмешливо заявляли, что […] вероятность, возможно, нуждается в строгости, но никак не в трупном окоченении [needed rigor but surely not rigor mortis]. […] Роль теории меры в теории вероятностей […] все ещё смущает тех, кто любит думать, что математическая вероятность не является частью анализа.

Все это означает, что Лаплас оправдан.

В то же время Лаплас ввёл в теорию вероятностей дифференциальные уравнения в частных производных и, фактически, случайные процессы, нестрого доказал несколько вариантов ЦПТ с применением характеристических функций и формулы обращения и на этом фундаменте построил свой вариант теории ошибок. Эта теория, однако, была практически неудачна, ибо требовала большого числа наблюдений и существенно зависела от реализации нормального распределения. В области ещё не оформленной математической статистики Лаплас исследовал статистическую значимость наблюдений, ввёл метод статистических испытаний, исследовал свой вариант выборочного метода и расширил применимость бейесовского подхода к статистическим задачам.

Лаплас не относил себя к чистым математикам, однако он владел формулой Дирихле (даже в обобщённой форме), ввёл дельта-функцию Дирака и интегралы от комплексных функций. Он также указал (задолго до введения усиленного ЗБЧ), что предел в теории вероятностей понимается не так, как в анализе. Molina (1930, с. 386) процитировал в оригинале его мемуар (Laplace 1786/1894, с. 308), в котором автор противопоставил (хотя и не вполне чётко) приближения (approximations), допускаемые в теории вероятностей, с уверенностью [в выполнении соответствующих неравенств], которая имеет место в анализе.

Вот обобщающее мнение Фурье (Fourier 1829, с. 375 – 376) из Похвального слова о Лапласе, в котором ничего не было сказано о грубой ошибке Лапласа, см. ниже:

Мы не можем утверждать, что он был предназначен, чтобы создать совершенно новую науку, как Галилей или Архимед; чтобы привнести оригинальные принципы, охватывающие громадную сферу, в математические учения, как это сделали Декарт, Ньютон и Лейбниц; или, чтобы первым перенестись в небо и обобщить земную динамику Галилея на всю вселенную, как Ньютон. Но он был рождён, чтобы всё усовершенствовать и исчерпать, чтобы отодвинуть все пределы и решить всё то, что казалось невозможным. Он завершил бы науку о небе, будь это возможным.

В заключение мы полагаем необходимым всё-таки привести критические замечания о Лапласе.

1. Даже на интуитивном уровне он не ввёл понятия “случайная величинa” и поэтому не смог изучать плотности или характеристические функции как математические объекты. Его теория вероятностей оставалась прикладной математической дисциплиной и не могла быть усовершенствована. Уровень её абстракции был недостаточен, и её пришлось создавать заново. Уместно заметить, что Максвелл лишь дважды сослался на Лапласа, см. Шейнин (1985, с. 364 и 366, прим.) и наш § 11.8.5, а Больцман вообще не упомянул его ни разу.
2. Он ошибся при исследовании задачи Бюффона (§ 8.1-4).
3. Он принял неподходящую модель при подсчёте населения Франции (там же). Более того: его окончательный результат был плохо понятен, и Пуассон (1812) неверно истолковал его.
4. Там же Лаплас безоговорочно предсказал вероятность некоторого демографического соотношения на сто лет вперёд.
5. Он ошибся при обсуждении обработки наблюдений (§ 8.2-1).
6. Вот поверхностное утверждение Лапласа (1814/1995, с. 852 прав) о таблицах смертности: Берут из гражданских актов большое число людей, рождение и смерть которых указаны и т. д. Но как оценить надёжность исходных данных, отделить искажения и учесть особые обстоятельства?
7. В идеале Лаплас должен был бы признать, что его вариант теории ошибок практически малопригоден и признать совершенство результатов Гаусса. Ничего подобного не произошло, и даже Чебышев (§ 14.1-4), переходя к доказательству ЦПТ, указал, что эта теорема приводит к МНКв!
8. Повторяя Канта (и Кеплера), Лаплас (1796/1982, с. 328) заявил, что эксцентриситеты планетных орбит вызваны разностью температур и давлений в различных регионах этих планет. В последний раз указанная книга была переиздана при жизни Лапласа в 1813 г., так что вплоть до этого года Лаплас не знал, что, по Ньютону, этот эксцентриситет зависит от скорости обращения планеты около Солнца. Подробно об этом см. Шейнин (2011, с. 43).

(продолжение следует)

Примечания

1. Опыт философии выдержал ряд изданий и был переведён на многие языки (русский перевод 1908 г., перепечатан в 1999 г.). Он привлёк внимание общественности к теории вероятностей, однако полное отсутствие в нем математических формул затрудняло чтение. Появление литературно-совершенных, но поверхностных книг Кетле (§ 11.5) отрицательно сказалось на судьбе этого сочинения.
2. Лаплас называл её по-разному и в своей Анал. теории остановился на термине закон вероятностей (или ошибок).
3. Кант (Kant 1763/1912, с. 111) указал на постоянство относительного числа женитьб, которые, разумеется, зависят от свободной воли.
4. Ср. § 1.1. Темы, описанные Лапласом в Изложении системы мира (1796), не требовали вероятностных соображений, однако он безусловно пользовался ими, например, в Небесной механике (1798–1825), не говоря уже об обработке наблюдений, и его детерминизм нисколько ему в этом не помешал. В другом месте Лаплас (1812/1886, с. 361) указал, что некоторая величина, хотя и подсказанная наблюдениями, пренебрегалась большинством астрономов, он же доказал её высокую вероятность (и успешно обосновал её существование). Соответствующих вычислений Лаплас, к сожалению, не привёл. Так, в принципе, неизбежное неведение некоторого случайного события становится познаваемой регулярностью.
5. Это последнее выражение употребил Лагранж в письме 13.1.1775 Лапласу, см. т. 14 его собрания сочинений (Oeuvres) 1892 г., с. 58. Индуктивные вероятностные выводы встречались ещё в Талмуде (§ 2.1.2), а сочинение Арбутнота (§ 3.2.4) и многих других авторов до Лапласа (особо Бейеса) мы сегодня по крайней мере частично отнесли бы к математической статистике.