Муавр был гораздо более значимым учёным, чем Симпсон и на 43 года старше его. По крайней мере в нескольких существенных случаях Симпсон не сослался на него и, будучи обвинён Муавром в «показе моих новых правил и работ», обратился ко всему человечеству с вопросом, не выказал ли он [Муавр] самонадеянность, дурной нрав и закоренелость, недостойные джентльмена.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
(публикуется с сокращениями)
(продолжение. Начало в № 8/2025 и сл.)
Другие исследования до Лапласа
7.1. Теоретико-вероятностные исследования
7.1.2. Ж. Л. Даламбер. В теории вероятностей Даламбер[1] известен в основном как автор заведомо ложных утверждений. Так, он (D’Alembert 1754) заявил, что вероятность выпадения герба два раза подряд при двух бросках монеты равна не 1/4, a 1/3. Далее, он (1768а) необоснованно рассуждал о различии между математической и физической вероятностями[2], утверждая, например, что если одно из двух противоположных событий произошло несколько раз подряд, то появление второго становится физически более вероятным. Он, стало быть, оказался в плену суеверий, о которых упоминал ещё Монмор и которые одной лишь фразой позднее опровергнул Бертран (§ 3.1.1). Тут же Даламбер рекомендовал определять вероятности опытным путём, но сам никаких экспериментов не произвёл (и потому не выявил своей ошибки). Наконец, Даламбер (1768b) стал отрицать различие между средним и вероятным сроками жизни, которое прекрасно представлял себе ещё Гюйгенс (§ 3.2.2). Тут уместно вспомнить высказывание Эйлера из его частного письма 1763 г. (Juskevic и др. 1959, с. 221): Даламбер самым бесстыдным образом защищает все свои ошибки. Во всяком случае, Даламбер (1768d, с. 309–310) не относил теорию вероятностей к точным и верным исчислениям ни по принципам, ни по результатам[3].
В то же время Даламбер (Тодхантер 1865, § 473) полагал, что при одиночном испытании редкие события следует считать неосуществимыми и что абсолютная уверенность качественно отличается от самой высокой вероятности. Второе утверждение означало, что при большом числе испытаний могут происходить маловероятные события (ср. усиленный ЗБЧ), а взятые воедино его соображения означали, что теорию вероятностей следует применять с осторожностью. Даламбер (1768с) также высказал справедливые возражения против рекомендаций Д. Бернулли по поводу борьбы с оспой и сформулировал по этому поводу свои собственные разумные мысли (§ 7.2.3). Мы обязаны добавить, что Даламбер имеет крупные заслуги в других отраслях математики (и в механике). См. о нём также Yamazaki (1971) и Paty (1988), который привёл в порядок запутанную библиографию работ Даламбера.
7.1.3. И. Г. Ламберт. Он был первым продолжателем Лейбница в попытке создать учение о вероятностях в качестве составной части общего учения о логике. Как и Даламбер (Прим. 3), Ламберт объяснял случайность незнанием соответствующих причин, но он сформулировал и тезис о равной вероятности всех цифр в бесконечных десятичных разложениях иррациональных чисел, т.е. эвристически подошел к понятию нормального числа, и современно звучащую идею о связи случайности и беспорядка (Lambert 1771, § 324; 1772–1775), см. также Шейнин (1971а, с. 238–239; 1971b, с. 246; 1974, с. 136–137).
Его рассуждения были забыты, и вспомнил о них только Курно (1851/1975, § 33 Прим.), а после него Чупров (1909/1959, с. 188).
Ламберт не вышел за пределы “равномерной случайности”. Следует, однако, добавить, что философские сочинения XVIII в. свидетельствуют о значительных трудностях, которые в то время испытывались при обобщении понятия случайности (Шейнин 1991c/1995, § 7.1), см. также § 3.2.4. Один пример. Даже в XIX в. многие учёные, полагая, что случайность может быть лишь “равномерной”, отказывались признавать эволюцию видов, а три автора (J. Herschel 1861, p. 63 прим.; Baer 1873, с. 6; Данилевский 1885, ч. 1, с. 194) упомянули по этому поводу философа, изображённого в Путешествиях Гулливера, но взятого Свифтом у Раймунда Луллия (XIII–XIV вв.). Этот “изобретатель”, надеясь познать все истины, записывал каждую осмысленную цепочку слов, которая появлялась при их “равномерно случайном” поиске.
7.1.4. Ж. Л. Л. Бюффон. Бюффон известен в первую очередь своим рассуждением, которое окончательно ввело в теорию вероятностей геометрические вероятности (§ 7.1.6). Он также разумно предположил, что ценность выигрыша в азартной игре убывает с ростом имущества игрока (ср. § 7.1.1) и опытным путем исследовал петербургскую игру (§ 4.3.4), предложил значение 1/10 000 в качестве ничтожной вероятности события в единичном испытании, решал задачу о вероятности последующего восхода солнца (см. § 6.1)[4], к которой мы вернёмся в § 8.1-5, и составил ставшие известными таблицы смертности. Всё это находится в его основном для нас сочинении (Buffon 1777).
Ничтожной он счёл вероятность здоровому человеку 56 лет умереть в течение ближайших суток, однако, она, видимо, оказалась слишком стеснительной и, более того, она должна была назначаться с учётом конкретных условий и не могла оставаться постоянной во всех случаях. Пирсон (K. Pearson, 1978, с. 193) посчитал более подходящим значение 1/1000.
В том же сочинении Бюффон (§ 8, Прим.) опубликовал текст своего письма Даниилу Бернулли 1762 г., в котором содержался зародыш понятия о среднем человеке Кетле (§ 11.5):
Таблицы смертности неизменно относятся к среднему человеку, т. е. к людям вообще, и вполне хорошо чувствующим себя, и больным, здоровым и немощным, дюжим и хилым.
7.1.5. М. Ж. А. Н. Кондорсе. Он пытался приложить теорию вероятностей к юриспруденции при молчаливо принятой предпосылке о независимости суждений судей и присяжных. Он также оценивал степень доверия к свидетельским показаниям и критически отнёсся к проблеме замещения выборных должностей. Основным математическим аппаратом служили у Кондорсе конечно-разностные уравнения. Todhunter (1865, с. 351–410) подробно описал его работы и заметил, что во многих случаях его почти невозможно понять (с. 352)[5]. Неясность и противоречивость сравнить не с чем … Он, Тодхантер, приведёт несколько примеров, но никакое их число не может достаточно хорошо передать степень пагубности. Но во всяком случае Лаплас и Пуассон продолжали применять вероятностные соображения в юриспруденции и безусловно в какой-то мере воспользовались работой Кондорсе. Пуассон (Poisson 1837а, с. 2) вполне положительно упомянул его идеи.
Обсуждая азартные игры, Кондорсе (1785b/1847, с. 561) выразился весьма неудачно, а затем (с. 562) без всякого обоснования заявил, что Даниил Бернулли не устранил всех возражений против правила ожидания, что удалось Даламберу. В 1772 г., в письме государственному деятелю, философу и экономисту Тюрго, он (Henry 1883/1970, с. 97–98) сообщил, что забавляется вычислением вероятностей, составил (неизвестную) книжечку по этой теме и придерживается убеждений Даламбера! Он же составил, прямо скажем, антинаучные похвальные слова Даниилу Бернулли (1785a) и Эйлеру (1786), см. Шейнин (2009b). О Кондорсе см. также Yamazaki (1971).
7.1.6. Геометрические вероятности. В XVIII в. теория вероятностей обогатилась понятием “геометрическая вероятность”, которое, правда, было формализовано, да и то лишь интуитивно, только в середине XIX в. (§ 11.3). Первым на возможность применения геометрических вероятностей указал Ньютон (§ 3.2.3). Д. Бернулли воспользовался ей в 1735 г. в астрономическом контексте (§ 7.1.1) и её же молчаливо применяли Муавр (De Moivre 1756, с. 323), T. Simpson (1757), см. § 7.3.1, и Бейес (§ 6.1).
Для непрерывного равномерного распределения вероятность типа Р (0 < x < a) Муавр записал в виде отношения двух отрезков. Симпсон заметил, что в его случае (непрерывное треугольное распределение) вероятности пропорциональны площадям соответствующих фигур. Бейес, введя непрерывное равномерное распределение, предположил, что для равных отрезков вероятность падения мяча в любой из них одна и та же.
Всеобще известной стала задача Мичелла (Michell 1767): определить вероятность того, что две звезды из общего их числа, равномерно распределённых по небесной сфере, находятся не далее чем на 1° друг от друга. Если выбрать произвольную точку А на сфере с центром О и провести малый круг, перпендикулярный ОА на расстоянии 1° от А, то искомая вероятность окажется отношением площадей поверхностей полученного шарового сегмента и шара. Ньюком и Фишер вычислили ожидаемое количество близко расположенных звёзд (§ 11.8.4), а другие авторы высказали и некоторые общие соображения. Так, Proctor (1874, с. 99) сформулировал вопрос об ожидаемых особенностях распределения точек, абсолютно случайно расположенных на плоскости. Ныне подобные задачи относятся к математической статистике и именно к отклонениям эмпирического распределения от теоретического. Бертран (1888а, с. 170–171) заметил, что без изучения иных возможных особенностей звёздной системы нельзя решить, расположены ли звезды случайно.
По-настоящему ввёл геометрические вероятности Бюффон (1777); впрочем, краткое сообщение о его работе cм. Anonymous [Buffon] (1735). Вот его основная задача: игла длиной 2r падает случайным образом на пучок параллельных прямых, расположенных на расстоянии a > 2r друг от друга. Требуется определить вероятность того, что игла пересечёт одну из них. Оказывается, что
P = 4r/pa. (7.3)
Сам Бюффон, правда, определил лишь отношение r/a для заданной Р = 1/2. Многие комментаторы (в том числе Буняковский и Марков) описывали и обобщали задачу Бюффона. Первый из них (Laplace, cм. § 8.1-4), заметил, что формула (7.3) позволяла экспериментально [но с небольшой точностью] определить число p. Основной целью Бюффона было, как он указал, ввести геометрию в свои права в науке о случае (1777/1954, с. 471). О дальнейшей истории геометрической вероятности см. гл. 13.
7.2. Статистические исследования
7.2.1. Государствоведение. В середине XVIII в. Ахенваль (Шейнин 1997b) создал гëттингенскую школу “государствоведения”, которая описывала климат, географическое положение, политическую структуру и экономику отдельных государств и оценивала их население по данным о рождаемости и смертности, но не изучала соотношений между количественными показателями.
Ахенваль (Achenwall 1752/1756, Введение) косвенно определил статистику:
Во всяком случае, статистика это не тот предмет, который можно сразу понять пустой головой. Она относится к хорошо переваренной философии и требует основательного знания государственной и естественной истории Европы, равно как и множества понятий и принципов, а также умения достаточно хорошо понимать весьма различные положения конституций нынешних королевств.
Сославшись на Зюссмильха, Ахенваль рекомендовал принимать государственные меры, способствующие возрастанию населения и советовал проводить переписи населения, без которых (1763, с. 187) вероятная оценка населения все же может быть получена, см. выше.
Его ученик Шлёцер (Schlözer 1804, с. 86) образно заявил, что история − это движущаяся статистика, а статистика – застывшая история. Для государствоведов эта крылатая фраза стала определением статистики, которая тем самым не должна была ни исследовать причинные связи в обществе, ни обсуждать возможные последствия нововведений, т.е. отказывалась от соответствующих попыток основателей политической арифметики (§ 3.1.4). Ободовский (1839, с. 48) предложил иную фразу: статистика так относится к истории, как живопись к поэзии. Крылатое выражение Шлёцера не имело особого смысла: он сам в § 14.3 заметил, что следовало сравнивать статистические данные одного и того же государства в разное время и разных государств в одно и то же время. То же рекомендовал ещё Лейбниц в рукописи 1680-х годов (Sheynin 1977b, p. 224).
Второе отличие между двумя указанными дисциплинами было вызвано тем, что только политическая арифметика интересовалась главным образом населением. Наконец, методы исследования также различались: не числа, а словесные описания лежали в основе государствоведческих сочинений.
Knies (1850, с. 24) привёл выдержки из сочинений неназванных им немецких авторов, которые в 1806 и 1807 гг. заявляли, что статистика должна интересоваться национальным духом, любовью к свободе, талантами и характерными особенностями крупных деятелей и простых граждан данной страны. Эта критика политической арифметики объясняется, конечно, тем, что и математика никогда раньше подобными вопросами не занималась. Добавим указание Моисея (Числа 13:17 и след.) своим разведчикам: высмотреть землю Ханаанскую; какова там земля, каковы люди и много ли их и т. д.
Впрочем, ближе к концу XIX в. от государствоведения отделились существенные части; К. Пирсон (1978, с. 125) заметил, что первой откололась от него политическая экономия (Адам Смит) и что эволюция политических философов ещё более ограничила государствоведение. К концу XIX в. его сфера сильно сузилась, но оно всё ещё существует, по крайней мере в Германии, хотя и в новой форме: использует количественные данные и изучает причины и следствия, оказавшись приложением статистического метода к различным дисциплинам и данному государству или региону. Статистика в современном ее понимании ведёт своё начало от политической арифметики, и поэтому мы ниже остановимся на работах, которые, никак не относясь к прежнему государствоведению, носили математический характер или во всяком случае основывались на статистических данных.
Табличная статистика, которая описывала государства при помощи числовых таблиц, возникла в сочинении Анхерсена (Anchersen 1741) и могла бы стать связующим звеном между словами и числами, однако Ахенваль, видимо, не признал ее. Во всяком случае, он (1752, Введение) указал, что Анхерсен подверг публичному нападению первое издание его книги. Табличные статистики презирались, их даже называли фабрикантами и рабами таблиц (Knies 1850, c. 23). Ещё в 1734 г. И. К. Кириллов составил табличное описание России, но его рукопись была опубликована лишь в 1831 г. (Плошко и Елисеева 1990, с. 65–66). Мы не видели более ранее сочинение И. Голицына (1807).
Пирсон (1978, с. 29) упомянул Эдуарда Чемберлена (Chamberlayne, 1616–1703), английского Ахенваля, но заметил, что тот скопировал свою книгу с французской работы 1661 г., которую он не видел.
7.2.2. Статистика населения. Зюссмильх продолжил традицию Граунта и Петти. Он собрал обширные статистические данные о движении населения и пытался (как и Арбутнот, см. § 3.2.4) выявить в нем Божий промысел. Свои материалы он, однако, обрабатывал весьма нестрого. Так, осредняя данные по городам и сельским местностям, он молчаливо полагал, что численность населения в обоих случаях одна и та же; изучая смертность, он не пытался учесть различия в возрастной структуре населения отдельных мест и т.д. И все же можно сказать, что его труды проложили путь для Кетле (§ 11.5), что он изучал вопросы, позднее вошедшие в моральную статистику (например, внебрачную рождаемость, преступления, самоубийства) и что его таблицами смертности продолжали пользоваться даже в начале XIX в., см. Birg (1986) и Pfanzagl & Sheynin (1997).
Как и Граунт, Зюссмильх обсуждал причины и предлагал свои мнения. Так, он (1758) помышлял об изучении зависимости смертности от климата и географического положения и знал, что бедность и невежество способствовали распространению эпидемий. Он осуждал войны и роскошь и указывал, что благосостояние бедных полезно и государству, и богатым. Его непрестанные обращения по этому поводу к городским (берлинским) и государственным (прусским) властям приводили к раздорам. Зюссмильх, видимо, согласился бы с автором позднейшего времени (Budd 1849, c. 27), который обсуждал холерные эпидемии:
Ввиду общности нашей природы, мы гораздо ближе, чем склонны думать, связаны друг с другом. […] И тот, кто никогда ещё не оказывал милосердия своему более бедному соседу и не любил его, быть может слишком поздно выяснит, что связан с ним узами, которые одновременно сведут их обоих в общую могилу.
С основным сочинением Зюссмильха (Süssmilch 1741) связано возникновение демографии, а второе издание книги 1765 г. содержало математическую главу О скорости возрастания и периоде удвоения [населения], которую он написал совместно с Эйлером. Она частично переиздана в Opera omnia последнего (в т. 7 1-й серии, 1923), и на ней же основан один из его мемуаров (Euler 1767). Зюссмильх, естественно, считал, что возрастание населения было предусмотрено Божьей заповедью и что поэтому правители должны заботиться о своих подданных. Мальтус (1798) воспользовался одним из его выводов, именно тем, что население возрастает в геометрической прогрессии. Сотрудничество Зюссмильха с Эйлером и многочисленные ссылки на последнего означают, что Эйлер разделял его общие социальные взгляды.
Эйлер составил таблицу возрастания населения за 900 лет начиная от Адама и Евы, допустив, что период удвоения постепенно возрастал от 10 до 50 лет. В своей третьей таблице, которая снова начиналась от Адама и Евы, он принял другие, также произвольные ограничения, приводившие к тому, что каждые 24 года число живущих примерно утраивалось. Gumbel (1917) доказал, что, соответственно, количества рождений, смертей и живущих в третьей таблице стремились к геометрической прогрессии со знаменателем 1,0961 и заметил, что с 1600 г. несколько авторов (но не Граунт) предлагали такую пропорцию в качестве закона.
И как статистик, и как глубоко религиозный человек, Зюссмильх отрицательно отзывался о полигамии, и представляется, что только Даниил Бернулли (1768c, с. 103) бездоказательно утверждал, что она, конечно, способствует возрастанию населения. Эйлер, которому он послал своё письмо, кажется, не ответил на это утверждение, а биографы Даниила были вовсе не уверены в его религиозности.
Известно, что Эйлер не интересовался всерьёз теорией вероятностей (см., однако, § 7.3.1, относящийся к теории ошибок), но он опубликовал несколько мемуаров по статистике населения, собранных в том же томе его сочинений. При обработке статистических данных он не вводил никаких теоретико-вероятностных законов (например, законов смертности), но его рассуждения были изящны и представляли большой методический интерес, в том числе и для института страхования жизни (Паевский 1935).
Ламберт (Lambert 1772) опубликовал демографическое исследование в основном методического характера. В нём он без должного обоснования предложил несколько законов смертности (§ 9), сформулировал задачу о продолжительности браков, статистически изучал детскую смертность от оспы и количество детей в семьях (§ 108), cм. Шейнин (1971b) и Daw (1980). Последний приложил перевод той части сочинения Ламберта, которая относилась к смертности от оспы.
Один из законов смертности, принятых Ламбертом, был представлен суммой двух членов, которые, как он разъяснил, описывали физические процессы; теперь можно добавить, что они принадлежали к типам IX и Х кривых Пирсона. Скажем несколько слов о последней теме.
Ламберт исходил из данных о 612 семьях с разным, до 14, количеством детей, и, снова не пояснив образа своих действий, уравнял эти данные. Примечательно, однако, что он произвольно увеличил вполовину общее количество детей и что новые данные, как он заметил, оказались более гладкими. Можно предположить, что Ламберт хотел учесть мертворождённых и умерших детей. В другом месте своего сочинения он (§ 68) указал, что статистическое исследование должно выявлять (мы бы добавили: и объяснять) нерегулярности.
7.2.3. Медицинская статистика. Она возникла в XIX в., частично ввиду необходимости бороться с опустошительными эпидемиями холеры. Интересно, что выражение медицинская вероятность возникло не позднее середины XVIII в. (Mendelsohn 1761, с. 204). В конце того же века были высказаны пожелания о сборе медицинских наблюдений (Condorcet 1795/1988, c. 542)[6]. Был даже составлен каталог (возможно забытый) всех основных болезней и несчастных случаев, которые уничтожают или беспокоят род людской (Black 1788, с. 65)[7], который напоминал мысли Лейбница (§ 3.1.4).
Заметим, что описания, относящиеся и к другим отраслям естествознания, активно составлялись и впоследствии и должны были предваряться какой-то статистической работой, иногда же они сопровождались ложными утверждениями о ненужности соответствующих теорий (ср. мнение Даламбера в Прим. 7). В собственно статистике сторонники полных описаний продолжали отрицать выборочный метод вплоть до начала XX в., см. § 11.7-2.
Особо выделим исследования Д. Бернулли и Даламбера профилактики оспы. Бернулли (1766) обосновал распространённую тогда вариоляцию, т.е. прививку слабой формы оспы от больного человека здоровому. Эта процедура, см. Condamine (1759, 1763, 1773) и Karn (1931), распространяла инфекцию, была, следовательно, небезопасна для окружающих. В своём первом мемуаре Кондамин сообщил о медицинских и религиозных возражениях против вариоляции и закончил его замечанием: После вариоляции королевской семьи в Англии эта практика стала всеобще принятой во Франции. Даниил Бернулли, однако, приводил доводы в её пользу.
В своём втором мемуаре Кондамин (с. 464) упомянул семью Бернулли:
В Базеле, господа Бернулли, одно имя которых может само по себе развеять сомнительные мнения по многим вопросам, не ограничились открытым заявлением в пользу вариоляции и добились одобрения первых опытов от факультетов медицины и религии. Младший из двух братьев [Иоганн II, 1710–1790] и единственный женатый из них, решил участвовать, и в 1756 г. вариолировал двух своих младших сыновей, а год назад и их старшего брата.
Вторым братом был Даниил. Иоганн II имел несколько детей, не все из которых стали известными. Разрешение богословов было действительно необходимо; White (1896/1898) описал войну науки и богословия. В т. 2, с. 55–59 он привёл примеры свирепой оппозиции вариоляции (и, до 1803 г, вакцинации оспы). Многие тысячи канадцев погибли в середине XIX в. только потому, что по религиозным соображениям отказались вариолироваться. Уайт чётко отделял богословие, бывшее противодействующей силой, и “практическую” религию.
В третий мемуар Кондамин включил тексты свой переписки, в частности с Даниилом Бернулли, которому сообщил данные об эпидемиях оспы, а Карн в начале своей статьи указала, что
Метод определения влияния смертности от некоторых болезней на продолжительность жизни основан на предложениях, сделанных в первую очередь Д. Бернулли.
В течение некоторого времени вариоляция была запрещена сначала в Англии, − в 1728−1740 гг. (Creighton 1891/1965, vol. 2, p. 489), − а затем во Франции. Ссылаясь на статистические данные (но не опубликовав их), Бернулли предположил, что ежегодно оспой заболевает восьмая часть населения, что оспенная смертность составляет одну восьмую часть заболевших и, наконец, что сама вариоляция смертельна в 0,5% случаев.
Бернулли составил соответствующее дифференциальное уравнение, решение которого показало соотношение между возрастом в годах и числом лиц этого возраста, из которых часть не болело оспой. Тем же методом дифференциальных уравнений он вывел аналогичную формулу для населения, подвергнутого вариоляции, т.е. для тех его 99,5%, которые благополучно перенесли эту процедуру и не были более подвержены оспе. Оказалось, что вариоляция увеличивает среднюю продолжительность жизни на 3 года и 2 месяца и потому, как он решил, крайне полезна. Оспопрививание, неоценимое открытие Дженнера, сделавшее его одним из благодетелей человечества (Лаплас 1814/1999, с. 853), было внедрено в конце XVIII в. И всё же его великолепный успех не исключил необходимости статистических исследований. Так, Simon (1887, т. 1, с. 230) сформулировал вопрос о длительности действия вакцины и заключил, что только всеобъемлющая национальная статистика сможет на него ответить.
Даламбер (1761b; 1768c) высказал критические замечания в адрес Бернулли[8]. Не всякий согласится, заметил он, увеличить среднюю продолжительность жизни за счёт хотя бы небольшого риска умереть от прививки, а при вариоляции детей следует принимать во внимание моральные соображения. Не отрицая пользы прививки, Даламбер заключил, что необходимы сбор статистических данных об оспе и дополнительные исследования и что семьям погибших от прививки должны выдаваться денежная компенсация или памятные медали.
Даламбер изложил и свои собственные соображения, методологически менее очевидные, но годные и для изучения смертности от болезней, не поддающихся профилактике. Dietz & Heesterbeek (2000; 2002) описали историю вариоляции и исследования обоих учёных на современном уровне математической эпидемиологии и упомянули источники по истории вариоляции, Пирсон же (1978, с. 543) указал, что вариоляция, как говорят, была распространена в Греции в XVII в. В 1713 г. её рекомендовали в Phil. Trans. Roy. Soc. См. также Шейнин (1972b/1977, с. 114–116; 1982, с. 270–272). Вопросы, относящиеся к данному разделу, описываются и в § 11.8.1.
7.2.4. Метеорология. В соответствии с рекомендацией Лейбница (§ 3.1.4), регулярные наблюдения атмосферного давления и погоды проводились в Ганновере в 1678 г. и в Киле с 1679 по 1714 г. (Wolf 1935, с. 312). В 1780 г. в Пфальце (княжество в Германии) было учреждено Палатинское метеорологическое общество. Впервые в истории экспериментальных наук оно организовало сотрудничество в международном масштабе (Шейнин 1984b, § 3.1). Примерно в то же время Королевское медицинское общество в Париже начало проводить наблюдения в нескольких европейских странах (Kington 1974). И даже в тридцатые – сороковые годы того же века они проводились в нескольких сибирских городах по инструкции (точнее, общим указаниям), составленной Д. Бернулли в 1733 г. (Тихомиров 1932). Во второй половине века несколько учёных (метеоролог Cotte, Ламберт и Кондорсе) предложили планы обширных международных метеорологических исследований.
Первое статистико-метеорологическое исследование связи между различными явлениями связано с Тоальдо (1775; 1777), который заявил, что погода зависит от конфигурации Луны. Это мнение просуществовало до середины XIX в., но ни в то время, ни во второй половине XIX в. ни астрономы, ни метеорологи не подошли к теории корреляции (конец § 11.6).
Ламберт (1773) изучал влияние Луны на атмосферное давление, и Даниил Бернулли (Radelet de Grave и др. 1979, с. 62) поощрял это исследование. Вот мнение Д. Б.: если это влияние схоже с его влиянием на поверхность моря, его можно будет заметить, потому что расстояние до Луны переменно, однако необходимо будет учесть упругость и незначительную инерцию воздуха. И далее:
Ваши соображения […] вполне обоснованы. Публикуйте их без колебаний […], каковы бы ни были результаты. […] Только постарайтесь установить их должным образом.
7.3. Математическая обработка наблюдений
В новое время математическая обработка наблюдений стала необходима после начала регулярных астрономических наблюдений, т.е. с эпохи Тихо Браге (§ 2.2.2). Во второй половине XVII в. возникла новая естественнонаучная задача, определение формы и размеров Земли (земного эллипсоида вращения), связанная с введением метрической системы мер.
При помощи градусных измерений вычислялись (косвенно, посредством триангуляции) длины дуг меридианов. Определив длину одного градуса в двух различных широтах и зная разности широт конечных точек этих дуг, можно было вычислить оба параметра эллипсоида, а избыточные измерения позволяли составлять системы уравнений типа (2.2) с этими неизвестными и тем или иным способом решать их. Параметры эллипсоида Красовского (Закатов 1950, с. 364), который до сих пор считается достаточно точным, примерно таковы: а = 6378,2 км и α = 1:298,3. Сжатие α определяется и при помощи маятниковых наблюдений, ср. § 11.9.1 (и они же стали применяться для изучения гравитационного поля Земли).
Длина меридиана оказывается примерно равной 40 000 км, что соответствует первоначальному определению метра. Впрочем, в 1960 г. метр был заново определён в терминах длины волны света.
Термин теория ошибок (Theorie der Fehler) ввёл Ламберт (1765a, Введение и § 321), определив её как изучение соотношения между погрешностями, их последствиями, обстоятельствами измерения и качеством инструментов. Он отдельно сформулировал задачи теории последствий, – изучение ошибок функций наблюдённых (с погрешностями) величин, – иными словами, задачи детерминированной теории ошибок, см. § 1.4. Ей, этой второй теории, он посвятил §§ 340–426 указанного сочинения. Ни Гаусс, ни Лаплас не восприняли терминологию Ламберта, однако Бессель (1820, c. 166; 1838b/1961, с. 121), ни на кого не ссылаясь, пользовался термином теория ошибок и к середине XIX в. новое выражение стало общепринятым. Можно сказать (см. § 7.3.1), что в области теории ошибок Ламберт был основным предшественником Гаусса.
Ниже мы рассматриваем уравнивание прямых и косвенных наблюдений по отдельности, однако учёные XVIII в. отдавали себе отчёт в общности обеих задач. Так, вне зависимости от варианта уравнивания, неизвестные величины назывались одним и тем же термином, – Mittel (Ламберт 1765b, § 6) или milieu (Maire & Boscovich 1770, с. 484 и 501), и о том же свидетельствует история метода средних (§ 7.3.2).
7.3.1. Прямые наблюдения. Случая прямых наблюдений впервые коснулся Котс (Cotes 1722, посмертно; Gowing 1983), который без какого-либо обоснования порекомендовал принимать за неизвестную константу как наиболее вероятное взвешенное среднее арифметическое из наблюдений:
Пусть p – положение какого-то предмета, определённое из первого наблюдения, q, r, s – положения того же предмета из последующих наблюдений; пусть кроме того P, Q, R, S – веса, обратно пропорциональные расстояниям, на которые могут рассеиваться ошибки, проистекающие из отдельных наблюдений и которые [расстояния] могут быть получены из данных о пределах ошибок.
Будем считать, что веса […] соответствуют точкам положений p, q, r, s; найдём их центр тяжести Z; я утверждаю, что точка Z будет наиболее вероятным положением предмета, которое с наибольшей вероятностью может считаться его истинным положением.
Котс приложил рисунок (возможно представлявший трёхмерную картину), на которой, однако, были указаны только 4 точки. Он не разъяснил своего понимания наиболее вероятного и не привёл примеров. И все же его авторитет видимо подкрепил общее мнение (§ 2.2.4). См. о нём Gowing (1983).
Не упоминая его и приведя лишь качественные соображения, Кондамин (Condamine 1751, с. 223) рекомендовал применять арифметическое среднее, а Лаплас (1814/1999, с. 862) заявил, что правилу Котса следовали все вычислители. Более чётко он (1812/1886, с. 351–353) указал, что астрономы начали применять это правило вслед за Эйлером (1749). Однако, ещё раньше Пикар (1693/1729, с. 330, 335, 343) назвал среднее арифметическое истинным значением (véritable)[9].
Симпсон (T. Simpson 1756) был первым, применившим вероятностные соображения к обработке наблюдений и притом с использованием производящих функций. Целью своей работы он объявил желание опровергнуть не названных им авторов, которые утверждали, что одно хорошее наблюдение столь же надёжно как среднее из многих, ср. § 2.2.2.
Возможно, что Лагранж не захотел упоминать Симпсона, чтобы полностью остаться в стороне от происшедшего ожесточённого спора между тем и Муавром. Муавр был гораздо более значимым учёным, чем Симпсон (который это прекрасно сознавал) и на 43 года старше его. По крайней мере в нескольких существенных случаях Симпсон не сослался на него и, будучи обвинён Муавром (1725, с. xii в издании 1743 г.) в показе моих новых правил и работ, обратился ко всему человечеству с вопросом, не выказал ли он [Муавр] самонадеянность, дурной нрав и закоренелость, недостойные джентльмена (посмертная публ. 1775, с. 144).
Ламберт (Lambert 1760, §§ 271–306)[10] описал свойства “обычных” случайных ошибок, классифицировал их по происхождению (§ 282), неубедительно доказывал необходимость отбраковки уклоняющихся наблюдений (§§ 287–291) и оценивал точность наблюдений, – также не очень удачно, но впервые (§ 294). Он кроме того сформулировал неопределённую задачу нахождения [статистики], которая с наибольшей вероятностью наименее уклонялась бы от истинного значения измеряемой константы (§ 295) и ввёл принцип наибольшего правдоподобия (но не термин) для непрерывной плотности (§ 303), хотя и заявил (§ 306), что оценка наибольшего правдоподобия в большинстве случаев мало уклоняется от среднего арифметического. Заметим, что весь этот материал был исключён из немецкого перевода 1892 г. сочинения Ламберта; по мнению переводчика, он устарел.
Вводя принцип наибольшего правдоподобия, Ламберт не основывался на какой-либо определённой плотности распределения, а лишь показал на чертеже более или менее симметричную одновершинную кривую.
Ламберт дифференцировал эту функцию, хотя и не указал, что аргументом при этом являлся параметр хо и т. д.
Через пять лет Ламберт вернулся к обработке наблюдений (1765а). Он пытался оценить погрешность среднего арифметического, однако, снова не введя никакой плотности распределения, не смог прийти ни к какому определённому выводу. Ламберт кроме того частично повторил свои прежние рассуждения и предложил вывод такой плотности (§§ 429–430) по принципу недостаточных оснований: она оказалась полуокружностью (с неизвестным радиусом) лишь потому, что не было причин для её угловатости.
Более подробно остановимся на работах Д. Бернулли (Шейнин 1972b). Иоганн III Бернулли (Johann III Bernoulli 1785) опубликовал выдержку из рукописи Даниила, полученную им в 1769 г., но написанную, со слов автора, намного раньше (опубликована в 1997 г.). В ней Даниил принял плотность распределения ошибок наблюдения в виде “полуэллипса” или полуокружности с некоторым радиусом r, а в качестве параметра сдвига – взвешенное среднее арифметическое с апостериорными весами
pi = r2 – (x – xi)2. (7.4)
Здесь xi – соответствующее наблюдение, а х – обычное среднее арифметическое. При необходимости могли применяться последовательные приближения.
В своём опубликованном мемуаре Бернулли (1778) возражал против выбора среднего арифметического, который согласуется лишь с равной вероятностью всех возможных ошибок и равносилен стрельбе вслепую (§ 5)[11]. Взамен он предложил для [параметра сдвига оценку наибольшего правдоподобия] и подкрепил свою мысль тем (§ 9), что при осуществлении некоторого из возможных и несовместимых событий следует полагать, что имело место то, которое обладало наибольшей вероятностью.
Short (1763) первым применил взвешенное или обобщённое среднее арифметическое. Веса он выбрал субъективно, в зависимости от расстояния данного наблюдения от середины, и поэтому указанное чуть выше обстоятельство относилось и к нему.
Фон Цах (von Zach 1805) применил рекомендацию Эйлера, однако отобранные им наблюдения (с. 414) значительно отличались друг от друга и не требовали никакой утончённой обработки. Во всяком случае, полученный им результат (с. 491) практически совпадал со средним арифметическим.
В своём последнем мемуаре Бернулли (1780) впервые подразделил ошибки наблюдения на случайные (моментальные) и систематические (хронические), хотя (§ 2.1.4) уже древние астрономы несомненно знали, что некоторые погрешности действуют систематически. Поскольку Бернулли рассматривал маятниковые наблюдения[12], то эти ошибки, как он указал, пропорциональны соответственно корню квадратному из времени их действия и самому этому времени. Используя свои прежние результаты (§ 7.1.1, формула (7.1)), Бернулли основал своё исследование на нормальном распределении, которое таким образом впервые появилось при обработке наблюдений, хотя только в качестве предельного.
Количество колебаний секундного маятника в течение суток равно 2N » 86 400; пусть, как предположил Бернулли, (N + m) из них замедлены, а (N – m) убыстрены с периодами (1 + a) и (1 – a) соответственно. Эта простая схема означала, что количество положительных (например) ошибок имело симметричное биномиальное распределение и что погрешность маятника после большого числа колебаний окажется нормально распределённой.
Ещё Гюйгенс (§ 3.2.2) ввёл вероятную продолжительность жизни, Бернулли же, как мы видим, подошёл к вероятной ошибке. Он также первым ввёл элементарные ошибки; впрочем, мы не придаём особого значения этому понятию, поскольку оно не является необходимым ни для доказательства ЦПТ, ни для экспериментаторов. Заметим далее, что Бернулли не исследовал более общий случай, соответствующий также рассмотренному им ранее неравенству вероятностей мужских и женских рождений и не упомянул о возможной зависимости между периодами последовательных колебаний маятника.
7.3.2. Уравнивание косвенных измерений. Мы рассмотрим здесь решение избыточных систем с k неизвестными (k < n) и остаточными свободными членами vi (см. § 2.2.1). В случае двух неизвестных (ср. начало § 7.3) система (7.10) разбивалась на все возможные группы по два уравнения в каждой и решения этих пар осреднялись.
Попарные сочетания уравнений применил Бошкович в 1757 г. (Cubranic 1961, с. 90–91) и позже (Maire & Boscovich 1770, с. 483–484), однако не удовлетворился ими, см. ниже. Интересно, что в первом случае он (Cubranic 1961, с. 46) необычным для нас способом, который напоминал метод попарных сочетаний, вывел среднее арифметическое из четырёх разностей широт: вначале он вычислил полусуммы всех попарных разностей и только затем вывел общее среднее. Возможно, что он хотел, не меняя окончательного результата, исключить неизбежные систематические влияния и получить представление о случайных погрешностях астрономических определений[13].
В XIX в. выяснилось, что решение систем по МНКв сводилось к подобной же процедуре, но с надлежащим взвешиванием частных оценок (Whittaker & Robinson 1924/1949, с. 251). Но уже для трёх неизвестных метод сочетаний становился слишком громоздким. Майер (Mayer 1750), которому при изучении либрации Луны пришлось решать 27 уравнений с тремя неизвестными, разделил эти уравнения на три равные группы, вычислил столько же частных решений (см. ниже) и, наконец, осреднил их. Надёжность получаемых таким образом результатов зависит от целесообразности состава групп и представляется (Stigler 1986, с. 21–25), что Майер удачно справился с этой задачей. Интересуясь в основном лишь первым неизвестным, он составил первые две группы из уравнений с наибольшими положительными и отрицательными коэффициентами соответственно. Заметим, что Майер полагал, что точность результатов пропорциональна количеству наблюдений, но в его время подобная ошибка была объяснима.
Осталось сказать, что каждую группу уравнений Майер решал при дополнительном условии
Svi = 0, (7.11)
где индекс указывал номер уравнения; если в первую группу включить первые 9 уравнений, то для неё i = 1, 2,…, 9.
Био (Biot 1811, с. 202–203) засвидетельствовал, что до изобретения МНКв астрономы неизменно применяли метод Майера, а Лаплас (1812/1886, с. 352–353) заметил, что лучшие астрономы следовали за ним. В письме 1850 г. Гаусс (W-6, с. 90) указал, что Майер вычислял при помощи примитивных комбинаций и сослался на его рукописи. Весьма возможно, что и в рукописях Майер поступал таким же образом, но интересно, что сам Гаусс (там же, с. 66–67) в письме того же года рекомендовал подобный же метод, хотя лишь при исследовании анероида.
Условие (7.11) определяет метод средних и рекомендацию Ламберта (1765b, § 20) о подборе эмпирических прямых также можно истолковать как его применение. Он разделил точки (наблюдения) на две группы с меньшими и большими абсциссами и проводил прямые через центры тяжести этих групп. Аналогично он подбирал и кривые, применяя уже несколько центров тяжести.
Метод средних интуитивно воспринимался как вытекающий из равной вероятности ошибок каждого знака (Maire & Boscovich 1770, с. 501) и, видимо, как приводящий в случае непосредственных измерений к арифметической середине. О дальнейшей истории метода см. § 11.1.
Гусак (1961) описал историю способа минимакса от 1778 г., когда Эйлер применил его к важному исследованию, которое, однако, не будет нас интересовать, до Чебышева. Эйлер (1749), однако, намного раньше использовал элементы этого метода для решения систем (7.10), принимая во внимание лишь несколько “решений”, а Ламберт (1765а, § 420) рекомендовал применять его, хотя и признал, что не знает, как это осуществить общим способом и без многих окольных путей.
Лаплас (1789/1895, с. 493, 496, 506 и позже) применял принцип минимакса для предварительных исследований, – для выяснения, не противоречат ли результаты градусных измерений и маятниковых наблюдений теории о форме Земли (эллипсоид вращения, сплюснутый у полюсов). Поскольку принцип минимакса не носит вероятностного характера, мы не станем описывать те алгоритмы, которые Лаплас предложил для его использования. Впрочем, он применяется в теории статистических решений (Леман 1959/1979, гл. 9).
Эйлер (1755; 1770) и позднее уравнивал косвенные наблюдения. Ни в 1749, ни в 1755 гг. его цель не ограничивалась этим, поскольку соответствующие теории не были твёрдо установлены, и он был смущён тем, что некоторые искомые величины оказались совершенно ненадёжными (Wilson 1980, с. 262, прим. 438). Эйлер и не пытался построить общую теорию уравнивания, он скорее ограничился практическими потребностями, и иногда должен был прибегать к элементам метода минимакса. В последнем случае он (1770) не применил никакого определённого метода и, более того, объединил свои уравнения сомнительным образом. Именно, для исключения одного неизвестного он вычел все уравнения из, скажем, первого из них, и тем самым молчаливо придал ему весьма большой вес (Шейнин 2007d, § 3.5)[14].
(продолжение следует)
Примечания
[1] Даламбер опубликовал много мемуаров и статей, посвящённых теории вероятностей и её приложениям (§ 7.2.3). Todhunter (1865) посвятил ему целую главу.
[2] Ср. по этому поводу задачу Даламбера–Лапласа (гл. 2, Прим. 6). Отрицание случая (гл. 2, Прим. 2) оказалось бесплодным.
[3] Ниже описано весьма странное отношение Даламбера к медицине.
[4] Вывод Бюффона, который он не обосновал, был неверен, см. Zabell (1988b) и Loveland (2001).
[5] Напомним (§ 4.3.4), что Кондорсе высказал разумное замечание по поводу Петербургской игры.
[6] Следует упомянуть и Даламбера (1821, с. 163). Первоначальное издание этого сочинения 1759 г., кажется, не содержало соответствующего утверждения; добавим, однако, что он умер в 1783 г., т. е. что его аналогичное пожелание также относилось к XVIII в. Даламбер даже заявил, что врач подобен слепому, и может ударить своей дубиной либо болезнь, либо больного, а на с. 167 добавил, что консультироваться следует с врачом, который менее всего верит в медицину.
[7] Тот же Блек приложил к своей книге Таблицу всех смертельных болезней и несчастных случаев в Лондоне за […] 1701–1776 гг. Он (с. 56) заявил , что подобные схемы предупредят нас и позволят нам наилучшим образом приготовиться к защите. В своей предыдущей книге Блек (1782), однако, высказал противоречивые мысли.
[8] В первом случае он основывался на докладе Бернулли; напомним (см. выше), что мемуар последнего был опубликован лишь в 1766 г. В дальнейшем Даламбер переработал свои статьи; подробное описание его собственных предложений см. Todhunter (1865, с. 265–271, 277–278 и 282–286).
[9] Лишь Фурье (Fourier 1826/1890, с. 534) определил истинный объект изучения, т.е. эту константу, или её истинное значение, как предел среднего арифметического при неограниченном возрастании числа наблюдений. До него подобное мнение сложилось у Ламберта и Лапласа, но соответствующего определения они не вводили. Многие авторы, начиная, пожалуй, с Тимердинга (Timerding 1915, с. 83) [особо отметим Мизеса (1919/1964, с. 40 и 46)], без упоминания Фурье и независимо друг от друга вводили то же самое определение. Один из них (Eisenhart 1963/1969, с. 31) указал на неизбежное следствие: среднюю остаточную систематическую погрешность приходится включать в это истинное значение:
По определению […] масса эталона массы равна массе его металлического вещества плюс масса среднего объёма воздуха, адсорбированного им при стандартных условиях.
Но и независимо от систематических влияний точность наблюдений всегда ограничена (§ 12.2-8), а потому в определении Фурье понятие предел нельзя понимать буквально. Укажем ещё, что Гаусс наблюдал каждый угол триангуляции до тех пор, пока не убеждался, что дальнейшая работа не имела смысла (W—9, 1903, с. 278–281 и др.; Schreiber, 1879, с. 141). Только Марков (1924, с. 323), также не зная определения Фурье, не позже, чем во втором издании своего руководства, счёл необходимым заметить, что прежде всего необходимо допустить существование чисел, приближённые значения которых доставляются наблюдениями.
Математическая статистика перешла от истинных значений к параметрам функций распределения, что было шагом в правильном направлении: чем математика абстрактнее, тем она полезнее. Но, во-первых, практическая астрономия, геодезия, метрология, физика не могут обойтись без прежнего понятия. И, во-вторых, сама статистика подчас применяет его (Хальд 1998, гл. 5 и 6). Даже Фишер (1922, с. 309–310), который определил состоятельность, эффективность и достаточность статистических оценок, на следующей же странице применил прежний термин, притом по отношению к мере точности (к величине, не встречающейся в природе), и так же поступил Гаусс (1816, §§ 3 и 4). См. Шейнин (2007с).
[10] В письме 1971 г. E. S. Pearson сообщил, что примечательно, что (тогда ещё не опубликованные) Лекции (1978) его отца умалчивали о Ламберте. Он пояснил:
Это произошло не потому, что сочинения [Ламберта] были написаны по-немецки, которым мой отец отлично владел. Я полагаю, […] что он выбрал для изучения тех учёных, которые были указаны в небольшом числе источников, например, в трактате Тодхантера, и что эти источники не включали имя Ламберта. [Тодхантер все-таки упоминал Ламберта, но не описал его трудов.] Конечно, ко времени, к которому его лекции перешли за 1750-й год, К. П. было уже за семьдесят, и его исследование безусловно ограничивалось четырьмя французами, – Кондорсе, Даламбером, Лагранжем и Лапласом.
[11] Вот, однако, разумное качественное замечание K. Пирсона (1978, с. 268): малые погрешности более вероятны, нежели большие и потому должным образом влияют на образование среднего арифметического.
[12] По этой причине мемуар был ошибочно отнесён к практической механике, и его вероятностная сущность оставалась незамеченной вплоть до нашей публикации (Шейнин 1972b).
[13] Более убедителен пример Тихо Браге, см. гл. 2, Прим. 18.
[14] Stigler (1986, с. 27–28) назвал мемуар Эйлера (1749) статистически несостоятельным, а самого Эйлера – математиком, не верящим в целесообразность сочетания уравнений. Не разобравшись в основной цели метода минимакса и развязно упоминая классика науки, он сам себя высек. В своей второй книге Stigler (1997/1999, с. 317–318), нисколько не стесняясь, назвал Эйлера крупным статистиком.
Следует добавить, что в XVIII в. астрономы не всегда решались уравнивать наблюдения (Méchain & Delambre 1810, pp. 415–433). Лаплас, Лежандр и другие учёные, видимо опасаясь распространения крупных погрешностей, просто отказались уравнивать цепь триангуляции, проложенную между двумя базисами. Вместо этого они решили вычислить каждую половину цепи от “своего” базиса (Шейнин 1993b, с. 50). Позже Лаплас (прим. 1819, с. 590–591) обосновал указанный отказ отсутствием в то время истинной теории уравнивания, и добавил, что положение изменилось после того, как он обосновал МНКв. Упомянем ещё Мопертюи (Maupertuis 1738/1756, c. 160; 1756b/1768, c. 311–319), который вычислил свою триангуляцию 12 раз (каждый раз принимая во внимание различные наборы измеренных углов), отобрал два результата и принял среднее из них.
Полезно ещё заметить, что перед собственно уравниванием советской астрономо-геодезической сети каждое её звено, расположенное между базисами и астрономическими “азимутами Лапласа”, предварительно уравнивалось и заменялось геодезической линией (ср. начало § 11.6). Только эти линии и уравнивались совместно, после чего каждое звено окончательно уравнивалось независимо от остальных. Этот метод уравнивания не позволял систематическим ошибкам свободно гулять по всей сети (А. А. Изотов, первый помощник Ф. Н. Красовского, автора эллипсоида Красовского, на лекции примерно 1950 г., на которой мы присутствовали).
