СЕМЬ ИСКУССТВ

Мне как математику захотелось понять для себя причину эффекта в точных терминах. Разложению звука на чистые тона соответствует разложение (ряд) Фурье. Слагаемые ряда Фурье — это простейшие волны (гармоники), описываемые синусами и косинусами кратных аргументов.

Марк Аграновский

О КОМПОЗИТОРЕ ТАРТИНИ, ЗАКОНОМЕРНЫХ СЛУЧАЙНОСТЯХ, ПРОБЛЕМЕ ПОЛОСЫ И ФОРМУЛЕ КОСИНУСОВ

Пролог

Говорят, что случайность — это непознанная закономерность. Бывает в жизни так, что случайные эпизоды по прошествии времени выстраиваются в связную причинно-следственную цепочку, в «сюжет для небольшого рассказа». Я думаю, многие могли бы рассказать такие истории из своей жизни. Я хочу рассказать свою — историю моего знакомства с композитором Тартини, о трех моих с ним встречах.

Эпизод 1. Пластинка

Со студенческих лет я собирал пластинки. Начинал с джаза, которым тогда очень увлекался, с эстрады, потом стал покупать и классическую музыку. Я не очень разбирался в ней, просто любил слушать, не сильно интересуясь сопутствующей информацией: историей создания произведения, биографией композитора, музыкальными тонкостями— где там анданте, где аллегро, где ликование пейзан, а где тема рока и судьбы.

Однажды я купил пластинку со скрипичными концертами Паганини. На второй стороне пластинки были указаны скрипичные произведения композитора Джузеппе Тартини. Купил я пластинку, конечно, ради Паганини, имя Тартини мне ничего не говорило. Вначале я слушал пластинку только со стороны Паганини, но в конце концов я поставил пластинку и на вторую сторону, где значилось: Джузеппе Тартини, «Сарабанда». Возможно, там была еще «Дьявольская трель», сейчас я уже не вспомню.

Первые же звуки «Сарабанды» унесли, как бы сказал математик, в сферы высших размерностей. Полилась совершенно божественная музыка. Она не звучала, а лилась потоком хрустальной чистоты и прозрачности… «Ночной эфир струил зефир,» волшебные звуки, умиротворяющие, создающие в душе мир, покой, равновесие, и примиряющие ее с серой действительностью. Как говорил мой старый друг после хорошего обеда, праздник души и именины сердца. С тех пор я часто ставил на проигрыватель эту пластинку на сторону Тартини, в особенности, когда хотелось душевного покоя и умиротворения.

В 1991 году, в связи с отъездом в Израиль, коллекцию из нескольких сотен пластинок пришлось оставить. Вначале они хранились дома у наших друзей, потом те перенесли пластинки в чей-то гараж, ну а дальше следы коллекции затерялись.

Эпизод 2. Иосип и полоса

Про первую встречу с Тартини я рассказал. Теперь расскажу про вторую.

В Израиле я стал работать на отделении математики университета Бар-Илан. В конце 90-х Израиль заключил договор о научно-техническом сотрудничестве с Республикой Словения. Вместе с тремя словенскими партнерами мы, я и мой бар-иланский коллега, подали совместный проект в израильско-словенский научный фонд и выиграли грант на три года для выполнения этого проекта.

Чем меня привлекло научное сотрудничество с университетом Любляны? Дело в том, что на математическом факультете этого университета работал профессор Иосип Г. С этим математиком мы были заочно знакомы с начала 70-х годов по нашим научным публикациям. В 1971 году в «Сибирском математическом журнале» (который публиковался и на английском языке) вышла в свет моя статья, в соавторстве с Р.Э. Вальским. Первая моя печатная статья, в которую вошли результаты моей дипломной работы. Через какое-то время я получил в Новосибирске, на свой рабочий адрес, письмо из университета Любляны (тогда в Югославии) от Иосипа Г., в котором он писал, что заинтересовался опубликованными нами результатами и, в частности, хотел бы знать ответ на определенный математический вопрос, касавшийся обобщения одной леммы из нашей статьи. Ответа на его вопрос я не знал, но обещал подумать. Я тогда не знал, что «подумать» займет не один десяток лет. Так возникла проблема, получившая название «strip-problem» (проблема полосы), которая оказалась намного глубже и труднее, чем это могло вначале показаться.

На протяжении многих лет я периодически возвращался к этой задаче, но найти решение не удавалось. В очередной раз обломав зубы, я забывал про эту задачу, но время от времени, иногда с промежутками в несколько лет, вспоминал и возвращался к ней снова. Когда мы встретились впервые с Иосипом в начале 90-х в Париже на конференции, то он признался мне, что тоже на протяжении многих лет возвращался к задаче о полосе и периодически пытался ее атаковать, но всякий раз без особого успеха.

Понятно, что как только я прочитал письмо министерства науки об открытии конкурса на израильско-словенские научно-исследовательские гранты, в том числе и в области математики, я тут же вспомнил о проблеме полосы и Иосипе. Эту задачу мы с ним и положили в основу нашего совместного проекта, в надежде решить задачу объединенными усилиями.

Эпизод 3. Словения. Пиран

Грант включал взаимные командировки исследователей. В одну из таких моих командировок в Любляну, в выходной день, Иосип повез меня на своей машине в тур по стране. Требовался отдых от наших многодневных мозговых штурмов неприступной «полосы». После впечатляющего посещения пещер Постойна Яма, мы добрались до города Пиран, прибрежного города на северо-западе Словении, недалеко от границы с Италией. Отсюда можно было увидеть итальянский город Триест. Погуляв по красивым средневековым улочкам, мы дошли до центральной площади. Посреди площади стоял высокий памятник.

Путешествия по странам и городам выработали у меня собственную классификацию городских памятников. Моя классификация включает три широких категории. Первая называется «Ленин». Это фигура в полный рост, обычно указывающая рукой направление движения для масс, то есть, верный путь. Обычно такой памятник ставится политикам и общественным деятелям. Дальше идет категория «Пушкин»: сидящий в кресле или стоящий человек в задумчивой позе (пример— памятник Пушкину на Тверской), иногда с книгой или свитком в руке. Такой памятник ставится великим деятелям культуры. Наконец, третья категория: «Мужик на лошади»— это всевозможные цари, императоры и полководцы.

Памятник, который я увидел на центральной площади Пирана, относился к категории «Пушкин». Издалека он был похож на памятник Моцарту на площади в Зальцбурге: мужчина 18 века в парике, камзоле и панталонах, стоящий на круглом высоком постаменте в полный рост. В руках он держал или смычок от скрипки или дирижерскую палочку. Подойдя ближе, я прочитал на постаменте… Giuseppe Tartini.

Круг замкнулся! Привет от моей новосибирской пластинки из далеких студенческих лет! Джузеппе Тартини сошел с бумажной этикетки пластинки фирмы Мелодия и склонился надо мною со своего постамента, в полный рост, со скрипкой и смычком в руках! Вот она, случайная закономерность: не будь статьи 1971 года, не получил бы я в Новосибирске письмо из Югославии; не было бы тогда нашей научной переписки и strip-problem; не было бы тогда причины для совместного гранта и моей командировки в Словению; и не оказался бы я в городе Пиран, перед монументом Тартини, на площади Тартини, центральной площади города Пиран — родины композитора Тартини. Цикл “от Тартини до Тартини» длиной в несколько десятков лет.

4. Джузеппе Тартини

После того, как через много лет случай привел меня к Тартини во второй раз, стало ясно, что я просто обязан узнать о Тартини больше, чем я знал о нем раньше. А не знал я о нем практически ничего. И теперь я приступаю к описанию моей третьей встречи с Тартини.

Первое, что я узнал сразу и не без стыда от незнания этого раньше — Тартини — выдающийся скрипач и композитор 18 века, занимающий почетное место в истории музыки. Поэтому имя его наверняка известно любому профессиональному музыканту или музыкально образованному любителю музыки.

В 1967 г. в МГУ ходила байка об одном соискателе — представителе малых народов Севера, начавшем защиту своей кандидатской диссертации словами: «Прошу простить мне мою вековую отсталость!» И я прошу читателя. знакомого с именем Тартини, простить мне мою музыкальную отсталость и невежество. Древо познания огромно, и все растущие на нем яблоки не надкусишь. Зато наградой дилетанту служит, «сколько открытий чудных» готовят ему робкие шаги по terra incognita. Радость от приобретенного знания делает простительным то нетерпение, иногда называемое скептиками графоманией, с которым хочется поделиться личным » открытием» с окружающими. Осознавая упомянутые репутационные риски, я все же продолжу рассказ о своем открытии Тартини.

О Джузеппе Тартини написано много. Вот что я узнал о нем:

Джузеппе Тартини (1692-1770) родился в Пирано, городе на полуострове Истрия, в Венецианской республике (ныне в Словении) В 1709 году он поступил на юридический факультет университета Падуи. Молодость Тартини была бурной: в 1710 году 18-летний Джузеппе похитил племянницу кардинала Корнано и заключил с ней брак, после чего его стала преследовать римская полиция. Несколько лет он скрывался в монастыре Ассизи под чужим именем. Изгнание закончилось лишь в 1716 году, когда он смог вернуться в Падую. Тартини занимал пост капельмейстера оркестра базилики Св. Антонио в Падуе, выступая с сольными концертами в городах Италии. В 1723 г. Тартини приглашают посетить Прагу и принять участие в торжествах по случаю коронации Карла VI. Пребывание в Чехии продлилось три года — композитору предложили должность камер-музыканта в пражской капелле.

Игре на скрипке он учился, живя среди францисканских монахов, но скорее всего, был самоучкой. Во всяком случае, я не нашел упоминания кого-либо, кто мог считаться его учителем. Утверждается, что теории музыки и композиции он учился у чешского композитора и теоретика Богуслава Черногорского. Тартини создал огромное количество произведений. Среди них многочисленные трио-сонаты, около 125 концертов, 175 сонат для скрипки и чембало. В 1728 году он основал в Падуе школу игры на скрипке, из которой вышло много первоклассных музыкантов и виртуозных скрипачей.

Тартини внес существенный вклад в развитие искусства и теории игры на скрипке. Он усовершенствовал конструкцию смычка, (удлинив его на 6 см), и выработал приемы ведения смычка, признанные современными ему скрипачами Италии, Франции и вошедшие во всеобщее употребление. Звучание его скрипки стало считаться эталонным.

Великий математик Леонард Эйлер, современник Тартини, считал его величайшим композитором своего времени. Давид Ойстрах писал: «Тартини принадлежит к числу корифеев итальянской скрипичной школы 18 века, искусство которых сохраняет свое художественное значение и по сей день». Тартини был разносторонне образованным человеком, известна его переписка с Руссо и Д’ Аламбером.

Одним из наиболее известных творений Тартини считается соната «Дьявольская трель», которую музыковеды рассматривают как творческое кредо композитора. Сам Тартини рассказывал, что во сне к нему явился Дьявол и исполнил на скрипке сонату невероятной красоты. Тартини очень сожалел, что ему удалось запомнить (и утром записать) лишь часть дьявольской сонаты. Это произведение при жизни композитора не исполнялось — капельмейстеру католического храма не подобало писать и исполнять дьявольскую музыку. Ноты сонаты стали известны лишь после смерти Тартини, а его авторство было подтверждено многочисленными учениками.

5. Тоны Тартини. Звуки, которых нет

Эту главу моего рассказа можно было бы назвать “Уроки Тартини». Выше я уже писал о большом вкладе Тартини в теорию и технику игры на скрипке (усовершенствование скрипичного смычка, приемы игры). Но особенно меня заинтересовало акустическое явление, называемое комбинационными тонами Тартини.

Из описание этого явления нетрудно было увидеть его простой математический смысл. Не могу удержаться от того, чтобы рассказать об этом подробнее, даже если это несколько размоет жанр и на время уведет нас от основной идеи моего повествования.

В популярных музыкальных статьях эффект тонов Тартини описывается как рождение субъективных дополнительных звуков из двух играемых созвучных звуков. Исполнитель играет одновременно на двух верхних струнах, но слушатели при этом слышат еще один, низкий, звук, хотя нижние струны находятся в покое. Это и есть разностный комбинационный тон Тартини (унтертон). Можно услышать, но реже, и верхние комбинационные тоны (обертоны).

Само явление было открыто в 1745 г. органистом и теоретиком музыки Георгом Андреасом Зорге и было подробно описано Джузеппе Тартини в 1754 г., получив название тоны Тартини. Terzo suona (третий звук). Тартини сделал наблюдение, работая над техникой двойных нот, и использовал эффект как прием скрипичной игры. Наличие тонов Тартини оспаривалось скептиками — современниками Тартини, считавшими эти тоны ложной иллюзией и вымыслом. Теорию комбинационных тонов построил во второй половине XIX века Герман Гельмгольц. Он объяснил их появление нелинейностью механической системы слухового аппарата, в первую очередь, барабанной перепонки. Эти тоны субъективны, ибо рождаются «в нашей голове” после прохождения звука через слуховой тракт. Звуки, которых нет. В этом смысле, скептики были правы: третий звук — иллюзия. Но эта иллюзия реальна.

Мне как математику захотелось понять для себя причину эффекта в точных терминах. Разложению звука на чистые тона соответствует разложение (ряд) Фурье. Слагаемые ряда Фурье — это простейшие волны (гармоники), описываемые синусами и косинусами кратных аргументов. Если сложить две гармоники, то новые частоты не возникают. Однако, если наше преобразование нелинейно, то в нем содержится операция умножения, а из произведения двух гармоник могут родиться гармоники с новыми частотами. С точки зрения математики, этот факт вытекает из формул умножения синусов и косинусов, которые входят в программу по тригонометрии для старших классов средней школы. Именно так я объяснил для самого себя феномен комбинационных тонов.

Рискуя отпугнуть “не-математического” читателя, попробую изложить сказанное в более точных терминах, прежде чем попрощаться с Джузеппе Тартини.

6. Тоны Тартини и тригонометрия (глава, которую можно не читать)

Начнем с чистых тонов — гармоник.

6.1 Гармоники. Это простейшие периодические колебания — синусы и косинусы кратных аргументов: sin (kt/L), cos (kt/L). Здесь L — это длина волны, k — частота, T — время. Скрипач, прижимая пальцем струну, укорачивает ее, уменьшая тем самым L, что эквивалентно увеличению частоты k, т.е. повышению звука. Для простоты, примем в дальнейшем L = 1  Тогда наши гармоники — это sin (kt), cos (kt). Смешанный звук X (t) раскладывается в ряд Фурье X (t) = a₀ + (a₁ cos t + b₁ sin t) + (a₂ cos 2t + b₂ sin 2t) + …, т.е. сумму (возможно бесконечную) чистых тонов — гармоник. Частота колебаний гармоник увеличивается с их номером. Коэффициенты a₁, a₂ … b₁, b₂, … отвечают за амплитуды (громкость) соответствующих тонов.

6.2 Акустическая система. Обозначим через S (X) акустическую систему, состоящую из резонатора (инструмента) и слухового аппарата слушателя (барабанная перепонка, слуховой канал). На вход системы подается сигнал X (t), извлекаемый исполнителем из инструмента, а выходной сигнал S (X(t)) — это то, что слышит человек. Линейная акустическая система описывается линейной функцией вида S (X) = A₀ + A₁ X, где A₁ — число (коэффициент усиления). Такая система сохраняет форму звукового сигнала и меняет лишь его громкость. В реальности, наша акустическая система неидеальна, она вносит искажения в входной сигнал и описывается нелинейной передаточной функцией S. Эта функция содержит нелинейные — квадратичные, кубические и т.д. компоненты и имеет вид S (X) = A₀ + A₁ X + A₂ X² + … Если X мало, то слагаемые степени больше двух пренебрежимо малы и поэтому ограничимся первыми тремя слагаемыми: S (X) = A₀ + A₁ X + A₂ X². Вся нелинейность акустической системы теперь моделируется последним, квадратичным, слагаемым.

6.3 Преобразование суммы двух чистых тонов. Теперь представим себе, что скрипач сыграл на двух струнах одновременно два тона, первый тон c чаcтотой k₁ и второй тон с частотой k₂ и амплитудами соответственно a₁, a₂. С математической точки зрения, это гармоники a₁ cos (k₁ t), a₂ cos (k₂ t) (синус-гармоники сводятся к косинус-гармоникам сдвигом по фазе на 90 градусов) На вход акустического преобразователя поступит сумма двух гармоник. Все, что сделает с входным сигналом линейная часть A₀ + A₁ X(t) преобразователя — это добавит к нему постоянное слагаемое и умножит его на число, то есть, усилит или ослабит амплитуду (громкость) входного звука, но не изменит его высоту, т.е. частоту. Зато нелинейная часть, A₂ X² (t), изменит входной сигнал гораздо более существенным образом. Действительно, квадрат суммы a₁ cos (k₁ t) + a₂ cos (k₂ t)  равен сумме трех слагаемых — произведения гармоник самих на себя (их квадраты) и удвоенное произведение гармоник: a₁² (cos (k₁ t))², a₂² (cos (k₂ t)), 2a₁a₂ cos (a₁ t) cos (k₂ t), которые появятся в выходном сигнале. Теперь вспомним школьные формулы для квадратов и произведений тригонометрических функций. Вот эти формулы в применении к нашему случаю:

1. a) (cos (k₁ t))² = ½ (1 + cos (2k₁ t)),
2. b) (cos (k₂ t))² = ½ (1 + cos (2k₂ t)),
3. c) cos (k₁ t) cos (k₂ t) = ½ (cos ((k₁ + k₂)t) + cos ((k₁ – k₂)t)

Что мы видим из этих формул? В левой части равенств есть только исходные частоты k₁ , k₂. Зато правые части этих формул содержат новые гармоники с частотами 2k₁, 2k₂, k₁ + k₂, k₁ – k₂. Это и есть комбинационные тоны, которые генерируются квадратичной частью слухового тракта. Звуки, которые мы слышим, но которых нет. Исходные же гармоники (которые действительно играет музыкант) транслирует линейная часть нашей слуховой системы.

7. Тоны Тартини без тригонометрии (глава, которую можно читать)

Суммируем сказанное выше. Формулы a), b), c) говорят нам, что после прохождения суммы двух гармоник c частотами k₁, k₂ через наше, моделирующее слуховой аппарат, преобразование, рождаются по меньшей мере четыре новых частоты, это— удвоенные исходные частоты, их сумма и разность. Последняя, т.е. k₁ – k₂, как раз и есть разностный комбинационный тон Тартини! Однако, новых гармоник четыре, куда же подевались первые три в вышеприведенном списке? Нет, они никуда не подевались. Просто они, как правило, не слышны по той причине, что удвоенные частоты 2k₁, 2k₂, а также суммарная частота k₁ + k₂ существенно превышают начальные частоты и могут выйти из воспроизводимого диапазона.

Например, четыре скрипичные струны в свободном состоянии настраивают на частоты соответственно 200 герц (соль малой октавы), 300 герц (ре первой октавы), 440 герц (ля первой октавы), 660 герц (ми второй октавы). При игре на скрипке, когда музыкант зажимает струны пальцами, увеличивая частоту колебаний, скрипка может воспроизводить звуки частотой до 4 килогерц. Удвоенные и суммарные частоты могут выйти за пределы этого диапазона и быть не слышны (по крайней мере при недостаточной громкости). Однако, разностная же частота k₁ – k₂ дает низкий звук, тем ниже, чем меньше отличаются друг от друга исходные частоты k₁, k₂.  Например, при синхронном звучании струн с частотами 400 и 600 герц можно услышать нижний комбинационный тон с низкой частотой 600 – 400 = 200 герц и, если повезет, высокие тоны в 800, 1000 и 1200 герц.

Математикам — специалистам по спектральному анализу — хорошо известна ставшая классической в своей области работа Марка Каца “Can one hear the shape of a drum?” (Можно ли услышать форму барабана?). В таком случае, тоны Тартини отвечают (утвердительно) на вопрос: “Mожно ли услышать формулу умножения косинусов?” Для полноты картины добавлю, что как в тонах Тартини замешаны ряды Фурье, так и проблема полосы связана с рядами Фурье! Наш сюжет проделал еще один замкнутый цикл!

Остановимся, чтобы не навлечь на себя обвинения в мистицизме, а также гнев специалистов в музыке и акустике. Впрочем, все необходимые извинения на этот счет автор предусмотрительно принес читателю выше.

9. Эпилог

Подражая классическим английским рассказам, можно было бы закончить этот опус в таком стиле:

«— Вот и вся история, — глухим голосом произнес полковник, задумчиво выбивая давно погасшую трубку о решетку камина…

— Да, но что же сталось с бедной Элизой (Кэтрин, Джейн, Эбигэйл)? Утешилась ли она? — тихо спросила Эмма, едва сдерживая слезы.»

— Да, но что же сталось с неприступной strip-problem? Разрешилась ли она? — спросит пытливый читатель. Вот ответ. В результате серий работ, наших с Иосипом, совместных и раздельных, последовавших за ними работ других математиков, американских и итальянских, через приблизительно три с половиной десятка лет после того письма Иосипа, проблема в основном решилась. Остались лишь некоторые невыясненные нюансы, ждущие своих исследователей.

“Как причудливо тасуется колода…” Старая новосибирская пластинка Паганини-Тартини, первая научная печатная работа, письмо Иосипа из Югославии в Новосибирск, проблема полосы и грант, командировки из Израиля в Любляну и поездка в Пиран, от пластинки до памятника на площади, от “Сарабанды” до комбинационных тонов, и назад, через ряды Фурье, от тригонометрических формул к проблеме полосы… Полосы жизни длиной в несколько десятков лет.

Я до сих пор слушаю музыку Тартини. Спасибо, Маэстро, за Вашу музыку и за эту невыдуманную историю!