Возможность массового производства предметов в форме кубооктаэдра, одного из так называемых архимедовых многогранников, предполагает некоторое знание о его геометрии. Однако, насколько нам известно, в археологической литературе эти артефакты никогда не рассматривались с точки зрения истории их геометрических форм.
[Дебют]АРХИМЕДОВ КУБООКТАЭДР.
CРЕДНЕВЕКОВОЕ ПУТЕШЕСТВИЕ С БЛИЖНЕГО ВОСТОКА НА СЕВЕР РОССИИ
Эти заметки — иллюстрация к парадоксальному явлению «сочетания несочитаемого». В нашем случае история геометрии многогранников подтверждает правильность интерпретации результатов археологических исследований.
С 1973 по 2001 год российский археолог Евгений Рябинин (1948–2010) руководил археологическими раскопками на правом берегу реки Волхов ниже Старой Ладоги. Один из авторов этой статьи (АЧ) был организатором и участником этой экспедиции.
Город Ладога (с 1704-го — село Старая Ладога) основан в 753 году. Сегодня это посёлок близ впадения реки Волхов в Ладожское озеро (рис. 1). А когда-то это была «первая столица Северной Руси». Отсюда Вещий Олег начинает объединение Северной и Южной Руси. По Архангелогородскому летописцу [1] именно в Ладоге он гибнет от укуса змеи[1]. Смерти Олега предшествовало появление на небе кометы Галлея, которая в середине лета 912 года висела, как утверждают летописцы, «копейным образом», то есть в виде наконечника копья или стрелы. Вероятно, поэтому средневековые скандинавские сказители, повествуя о Вещем Олеге, дают ему имя Орвар Одд (Наконечник Стрелы). Олегова могила — огромная сопка на обрыве Волхова — сохранилась до наших дней. В начале XIX века её частично раскопал Зориан Доленга-Ходаковский[2]. Но нашёл лишь золу, угольки да большой железный двушипный дротик.
Ладога — древнейший город России — отличается уникальной сохранностью культурного слоя. Археологическая экспедиция Рябинина установила дендрохронологическую дату возникновения этого села — 753 год [2, 3]. Упомянутый в Ипатьевской летописи варяжский вождь Рюрик [4] сегодня всё чаще отождествляется с датским конунгом Рёриком Ютландским и Фрисландским (ок. 810–880), который по датировке Повести временных лет в 862 году прибыл в Ладогу [5]. На третье лето Рюрик уходит к Ильменю (в окрестности будущего Новгорода), а его преемник Олег в начале 880-х перебирается в Киев и соединяет Южную Русь с Северной. Однако основы могущественного государства Киевская Русь были заложены в Ладоге [6], и потому некоторые историки называют ее первой столицей России.
Среди многих находок экспедиции Рябинина были бронзовые гири в форме кубооктаэдра, одного из тринадцати архимедовых многогранников с восемью треугольными и шестью квадратными гранями (рис. 2) [7]. Эти гири датируются периодом между VIII и X веками. Археологические данные свидетельствуют о восточном происхождении гирь-кубооктаэдров.

Рис. 2. Кубооктаэдр (слева). Бронзовая гиря VIII–X вв., найденная на берегах Ладожского озера и реки Волхов. Фото А. Чернова (по центру). Рисунок Леонардо да Винчи кубооктаэдра для книги Луки Пачоли «Божественная пропорция» («De Divina Proportione») (справа).
Ладога была одним из важнейших торговых центров в Восточной Европе в VIII–X веках, и, по оценкам от 90% до 95% всех арабских дирхемов, найденных в Швеции, проходили через Ладогу [3]. Драккары викингов из Балтийского моря доходили до Ладоги. Выше через пороги на Волхове они пройти не могли, поэтому пересаживались на речные ладьи и из Новгорода отправлялись по рекам и Черному морю в Константинополь. Этот путь известен как торговый путь «из Варяг в Греки». Альтернативный путь вел вниз по Волге по Волжскому торговому пути в столицу хазар Итиль, а затем к южным берегам Каспийского моря и далее в Багдад.
Экспедиция Рябинина раскопала кузнечно-ювелирную мастерскую, которая с 753 г. несколько лет работала на Земляном городище Старой Ладоги, и стеклодельню, существовавшую на том же месте с 770-х до конца 830-х. Здесь изготавливались самые старые в Восточной и Северной Европе стеклянные бусы и цветной бисер. Для производства стекла из местного кварцевого песка и золы солончаковых растений, привезенных с Ближнего Востока, использовалась арабская низкотемпературная технология. Особой популярностью у первых поселенцев Ладоги пользовались так называемые глазчатые бусы — красивые изделия с разноцветными пятнами или «глазкáми» (рис. 3). О таких глазчатых бусах пишет в «Повести временных лет» летописец Нестор [6], который посетил Ладогу в 1114 году и привез в Киев более ста «глазков».
Предприимчивые ладожане разработали и внедрили простую, но эффективную производственную и торговую экономику: стеклянные бусины возили в больших берестяных ящиках в финские земли лесного Севера, где их обменивали у финских охотников на меха. Затем высоко ценимые меха ладожцы продавали арабским купцам с Ближнего Востока в обмен на серебряные монеты — дирхемы: «Мех за бусины. Монеты за меха» (рис. 4). Стеклодельня выполняла роль эмиссионного банка: сколько мехов поступало на рынок, столько же производилось стеклянных «глаз» [5, 8]. Глазчатые бусины и средневековые серебряные монеты, включая арабские дирхемы VIII–X веков, до сих пор находят на берегах Волхова.

Рис. 4. Деньги международной торговли в VIII–X вв.: ладожские стеклянные бусы, арабские дирхемы и их фрагменты. Фото А. Усова.
Среди находок археологов были также довольно изысканные предметы из бронзы (Рис. 5).

Рис. 5. Конек-единорог. X в. Бронза. 3,7 × 2,2 см. Найден в 1981 г. З. Д. Бессарабовой вместе с весовыми гирьками VIII–X вв. в полé разрушенной сопки в урочище Победище (южная окраина Старой Ладоги). Фото А. Усова.
Там, где есть развитый товарообмен, должна быть и мера этого обмена. Многогранные гири, найденные археологами в Ладоге вместе с дирхемами, служат явным доказательством торговли. Необходимость измерения веса дирхема в месте продажи можно увидеть на рисунке 4: монеты резались и оценивались по весу. Наборами весов и гирек пользовались и скандинавские купцы.
Множество подобных гирь было найдено археологами по всему “скандинавскому” миру, от России на Востоке до Ирландии и Англии на Западе [9]. Что касается их формы, большинство гирь относятся к двум группам: (1) бочкообразные, иногда называемые «сферами с плоскими полюсами», сделанные из железного сердечника и оболочки из медного сплава; и (2) кубооктаэдры из медного сплава (именно они являются основным «персонажем», нашего повествования. В археологической литературе существует широкий консенсус относительно того, что гири обеих групп отражают торговые контакты с Исламским халифатом, и большинство гирь были импортированы с Востока [9, 10].
Возможность массового производства предметов в форме кубооктаэдра, одного из так называемых архимедовых многогранников, предполагает некоторое знание о его геометрии. Однако, насколько нам известно, в археологической литературе эти артефакты никогда не рассматривались с точки зрения истории их геометрических форм.
Архимедовы тела — это высокосимметричные, полуправильные выпуклые многогранники с гранями в форме правильных многоугольников двух или более типов и идентичными вершинами (рис. 5). Тот факт, что архимедовы тела состоят по крайней мере из двух различных типов многоугольников, отличает их от правильных многогранников или Платоновых тел (куба, тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра). Многогранники называются архимедовыми, потому что их описание приписывается Архимеду (около 287 — 212 гг. до н. э.). Оригинальная работа Архимеда, к сожалению, не сохранилась, и её результаты дошли до нас, что называется, “из вторых рук”. Рукопись Архимеда об этих многогранниках есть в работах более поздних греческих математиков Герона — (вторая половина I в. н. э.) и Паппа Александрийского (290–350 гг. н. э.) [11, 12].
![Рис. 6. Изображения архимедовых тел из книги Иоганна Кеплера «Мировая гармония» («Harmonice Mundi») [17]: многогранник № 8 — кубооктаэдр. Рис. 6. Изображения архимедовых тел из книги Иоганна Кеплера «Мировая гармония» («Harmonice Mundi») [17]: многогранник № 8 — кубооктаэдр.](http://7i.7iskusstv.com/wp-content/uploads/2025/01/Figure-6-300x265.jpg)
Рис. 6. Изображения архимедовых тел из книги Иоганна Кеплера «Мировая гармония» («Harmonice Mundi») [17]: многогранник № 8 — кубооктаэдр.
Начиная с восьмого века, знания о платоновых и архимедовых многогранниках зафиксировано в арабской/персидской культуре [11]. Например, персидский математик и астроном Абу аль-Вафа Бужджани (940–998) описал построение пяти архимедовых тел в трактате «Книга о тех геометрических построениях, которые необходимы для мастера» (كتاب في ما یحتاج إليه الصانع من الأعمال الهندسية), написанном после 990 года. Примечательно, что кубооктаэдр был среди них [23]. На самом деле, кубооктаэдр был описан по крайней мере столетием ранее Сабитом ибн Куррой (826 или 836 — 901), другим великим математиком и из Аббасидского халифата в его трактате «О построении объемной фигуры с четырнадцатью гранями, вписанной в данную сферу» (حول بناء شكل مجسم له أربعة عشر وجهًا منقوشًا في كرة معينة) [14, 15]. Сабит ибн Курра рассмотрел пространственную конструкцию многогранника, ограниченного шестью квадратами и восемью равносторонними треугольниками, и проиллюстрировал эту трехмерную фигуру.
Геометрия гирь-кубооктаэдров была, по всей видимости, перенесена на некоторые типы серебряных украшений во второй половине IX века [9]. Кубооктаэдры широко использовались в средневековой исламской архитектуре [16]. Кубооктаэдр может быть получен из куба с помощью простой операции, так называемой ректификации: все вершины куба должны быть усечены путем отрезания половины каждого ребра куба. Возможно поэтому он появляется первым в истории полуправильных многогранников: согласно Герону, Архимед приписал открытие кубооктаэдра Платону (424/423 — 348 до н. э.) [17].
В Европе архимедовы многогранники были заново открыты и описаны только в XV-XVII веках [18].
Изучая природу, художники эпохи Возрождения пытались найти научные способы ее изображения. Теории перспективы, пропорций, света и тени стали основой нового искусства. Эти теории были построены на геометрии и оптике. Они позволяли художнику создавать трехмерное пространство на плоской поверхности, сохраняя впечатление рельефности предметов. Для некоторых мастеров эпохи Возрождения многогранники были просто удобной моделью для отработки законов перспективы. Одних завораживала их симметрия и лаконичная красота. Других, вслед за Платоном, привлекали философские и мистические символы многогранников. Стоит отметить, что трактат Абу аль-Вафа Бузджани был также написан, чтобы предоставить мастерам и художникам разумные математические основы.
Пять архимедовых многогранников, полученных усечением Платоновых тел, были описаны одним из величайших художников эпохи Возрождения и выдающимся математиком Пьеро делла Франческа (1415-1492) между 1480 и 1490 годами в его трактате «Краткая книга о пяти правильных телах» («Libbelus de quinque corporibus regularibus») [19]. Рукопись Пьеро долгое время была утеряна, но, к счастью, в начале XX века ее оригинал был найден. В настоящее время она находится в Ватиканской библиотеке. Один из авторов настоящей статьи (EK) имел редкую возможность держать ее в руках в Ватиканской библиотеке и был чрезвычайно счастлив взглянуть на иллюстрацию Пьеро усеченного икосаэдра (многогранник №4 на рисунке 5). Большую часть своей научной карьеры этот автор занимался исследованием наноматериалов на основе бакминстерфуллерена, молекулы в форме усеченного икосаэдра [20].
Основной «персонаж» нашего повествования, кубооктаэдр, был описан Пьеро делла Франческа в «Трактате об Абаке» («Trattato d’Abaco») [21], написанном примерно в то же время, что и «Libbelus».
Несколько лет спустя земляк и ученик Пьеро делла Франческа, монах-математик Лука Пачоли (1447-1517) описал три многогранника, не упомянутых в трудах Пьеро, в своей книге «Божественная пропрция» («De Divina Proportione»). Книга была напечатана в 1509 году с иллюстрациями трехмерных многогранников, сделанными Леонардо да Винчи [22]. Наконец, четыре отсутствующих многогранника были впоследствии описаны Альбрехтом Дюрером (1471–1528) в 1525 году [23], Даниэле Барбаро (1514–1570) в 1568 году [24] и Иоганном Кеплером (1571–1630) в 1619 году [25]. Кеплер математически доказал, что в классе архимедовых тел существует только тринадцать многогранников, полностью описал каждый из них и придумал названия, под которыми они известны сегодня.
Как бы там ни было, переоткрытие архимедовых тел в Европе продолжалось с 1480 по 1619 год. Хотя кубооктаэдр был одним из первых подобных многогранников, заново открытых в Европе, можно с уверенностью заключить, что ко времени изготовления обсуждаемых здесь гирь-кубокотаэдров европейские математики не знали о таких многогранниках, в то время как арабо-персидские ученые были с ними знакомы и, ближневосточные мастера умели их изготавливать.
Авторы выражают благодарность лингвисту С.Л. Николаеву за реконструкцию древнерусского текста Архангелогородского летописца.
Литература
- Полное собрание русских летописей. Т. 37. Устюжские и Вологодские летописи XV–XVII вв. // Ленинград. 1982. С. 57–58.
- E. A. Рябинин. Начальный этап стеклоделия в Балтийском регионе (по материалам исследований Ладоги VIII–X вв.). Дивинец Староладожский. СПб., 1997, 43–49.
- Е. А. Рябинин Н. Б., Черных. Стратиграфия, застройка и хронология нижнего слоя Староладожского Земляного городища в свете новых исследований, Советская археология. 1988. №1. 72–100.
- https://www.archaeolog.ru/media/books_sov_archaeology/1988_bookpdf
- Полное собрание русских летописей. Т. II. 2-е изд. Санкт Петербург, 1908.
- А. Ю. Чернов. Энеида Рёрика Ютланского (2022). https://imwerden.de/publ-12318
- Повесть временных лет. Вита Нова, Санкт Петербург,
- J. Wenninger. Polyhedron Models, 1971, Cambridge University Press.
- E. A. Рябинин. Начальный этап стеклоделия в Балтийском регионе (по материалам исследований Ладоги VIII—X вв.). — Дивинец Староладожский. СПб., 1997, 43–49.
- Kershaw. Metrology and beyond: new approaches to Viking-Age regulated weights. Weight and Value, 1, (2019) 121–132.
- Pedersen, In: Means of Exchange: Dealing with Silver in the Viking Age. Kaupang Excavation Project Publication, Series 2: Norske Oldfunn XXIII, Oslo, 2008, 119–178.
- R. Cromwell, Polyhedra. Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
- Jones. Pappus of Alexandria: Book 7 of the Collection, 2 volumes. Springer, 1986, volume I, 50.
- Sarhangi. Illustrating Abu al-Wafā’ Būzjānī: Flat Images, Spherical Constructions, Iranian Studies, 41, (2008) 511–523.
- Asselah. Thâbit ibn Qurra: Construction d’un polyèdre semi-régulier à quatorze faces, 8 trianges équilatéraux et 6 carrés / Texte et traduction: Construction d’une figure solide à quatorze faces. In: Thabit ibn Qurra: Science and Philosophy in Ninth-Century Baghdad, eds. Roshdi Rashed, 317-323/ā324-331 (2009). Berlin: Walter de Gruyter. 1.
- Сабит ибн Курра. Математические трактаты [Переводы] / Сабит ибн Корра; Сост. [и авт. вступ. ст., с. 8-25] Б.А. Розенфельд, Отв. ред. А.П. Юшкевич. — М.: Наука, 1984. 392 с.
- Hisarligil, B. B. Hisarligil. The Geometry of Cuboctahedra in Medieval Art in Anatolia. Nexus Network Journal, 20 (2018), 125–152.
- S.M. Coxeter. Regular Polytopes. 1973, New York: Dover Publications.
- V. Field. Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Durer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler, Archive for History of Exact Sciences, 50, (1997) 241–283.
- Piero della Francesca. Libbelus de quinque corporibus regularibus. Vatican library, ttps://digi.vatlib.it/mss/detail/Urb.lat.632 .
- Е. А. Кац. Фуллерены, углеродные нанотрубки и нанокластеры: Родословная форм и идей. № 10. Изд. 3, испр. и доп. URSS. 2019. 280 с. https://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=RU&blang=ru&page=Book&id=250016
- Piero della Francesca, Trattato d’Abaco, ed. G. Arrighi, Pisa: Domus Galilaeana (1970).
- Pacioli. De Divine Proportione, 1509, (Ambrosiana fascimile reproduction, 1956; Silvana fascimile reproduction, 1982).
- Dürer. Underweysung der Messung, 1525 (translated to English as “Painter’s Manual”. Abaris reprint, 1977).
- Barbaro. La pratica della perspettiva, Venice, 1568.
- Kepler. Harmonice Mundi, Linz, 1619.
Примечания
[1] Фрагмент о гибели Олега в Устюжском и Архангелогородском летописце сохранился в иной, нежели в «Повести временных лет», весьма архаичной версии. (Сравним с ПВЛ в ее пушкинском пересказе «Кормите отборным зерном, / Водой ключевою поите!») По северным летописям Олег приносит коня в жертву, а когда через 33 года видит его череп, (очевидно, лежащий на капище), не попирает его, а берет его в руки, чтобы поцеловать.
Строки из Архангелогородского летописца — поздняя запись древнейшего русского стихотворения. Потому и запишем их стихами, опустив вкрапление трех однострочных пояснений, дублирующих уже сказанное).
Киевская версия рассказа про Олега, попавшая в Повесть временных лет — поздняя, рубежа XI—XII веков. Об этом говорит повеление Олега заботиться о коне (вместо того, чтобы принести его в жертву, как это положено язычнику). И отсутствует объяснение того, почему и где Олег увидел череп коня. В поле, на пятый год после похода на Царьград? Мы должные поверить, что через пять лет Олег, в некоем в поле видит конский череп и узнает в нем голову своего коня?.. Другое дело, если о своей смерти Олег спрашивает в Ладоге сразу после смерти Рюрика, как про то рассказано в северных летописях. Олег спросил волхвов «прежде же сих лет», то есть до 33-х лет своего правления на Руси. И потому отправляется не в некое «поле», а из Киева в далекую Ладогу, где он когда-то, принимая власть, приказал принести в жертву коня, и где почитаемый череп лежит на языческом капище. (Такое капище на Варяжской улице в Ладоге раскопал археолог Валерий Петренко). Рассказ архангелогородца восходит к древнему стихотворению. Хотя в устной традиции за несколько веков он обкатан, и по языку это XVI век.
Начальная «добоянова» баллада в перелицованном, радикально правленном виде, попала в Повесть Временных Лет, и в тоже редуцированном, но смыслово не исправленном устном варианте на севере дожила до XVI столетья и была северными переписчиками вставлена в летопись. За пять веков устного бытования стих превратился в сказовый, синтагмический, т. е. в неаллитерированную, но ритмически организованную прозу.
Перед нами слепок с некоей дружинной баллады («славы» или «плача»), обкатанной многовековым устным воспроизведением и демонстрирующим образец северного сказового стиха, близкого к верлибру и ритмизованной прозе. Цитируем в реконструкции лингвиста С. Л. Николаева с восстановлением ятя (ѣ звучал как «ие»), а также ера (ъ), который в древнерусской песенной традиции до XX века звучал как короткое «о» и мог быть слоговым, и еря (ь), звучавшего как краткое «е» и тоже образовывавшего слог. Текст Архангелогородского летописца записываем с разделением на стихотворные строки по синтагмам.
С. Л. Николаев, к которому мы обратились с просьбой реконструировать начальный текст, ответил, что этот фрагмент в поздних летописцах отредактирован и переиначен, в частности, старые фонетика и морфология приведены к церковно-славянскому стандарту XV–XVI вв.
В лѣто 6430
…По семь иде Ольгъ Нову городу, отътуде въ Ладогу.
Сии же Ольгъ къняживъ лѣтъ 33 и умьре отъ змия уѣденъ.
[…] Переже же сихъ лѣтъ призъва Ольгъ вълхвы своѣ
и рече имъ: ‘Съкажите ми, чьто съмьрть моя?’
Они же реша: ‘Съмьрть твоя отъ любимаго твоего коня’.
[…] И повеле отрокомъ своимъ,
да изведъше его далече въ поле
и отсѣкутъ главу его, а самого повьргнутъ
звѣрьмъ землнымъ и пътицамъ небеснымъ.
Егъда же иде отъ Царя града польмь
и наѣха голову коня своего суху,
и рече боляромъ своимъ:
‘Въ истину сълъгаша ми вълсви наши,
да пришедъ въ Киевъ, побию вълхвы,
яко изгубиша милаго коня’.
И сълезъ съ коня своего,
хотя възяти голову коня своего,
сухую кость, и лобъзати ю. […]
И абие изыде из головы из коневы,
из сухиѣ кости змии
и уязви Ольга въ ногу
по словеси вълхвовъ его […]
И отътоуде же разболѣвъ ся и умьре.
И есть могыла его въ Ладозѣ [1].
[2] Зориан Доленга-Ходаковский (настоящее имя — Адам Черноцкий; 1784–1825) — польский славяновед, археолог, фольклорист, этнограф и диалектолог.
Может не надо криптовалют если давно придумали такие деньги
отправил по электронной почте
точно
Cпасибо авторам! Очень красивое, воистину многогранное и филигранное исследование эпизода средневнековой истории Северной и Восточной Европы в её связи с Ближним Востоком. Испытал эстетическое удовольствие.
Спасибо Вам!
PS. Увидел, что авторы какое-то время назад опубликовали английскую версию своей статьи в Mathematical Intelligences… Я в свое время занимался двумя близкими темами, связанными с передачей мусульманской науки в Европу:
1. Проникновением из арабо-персидских трудов по астрономии теоремы Туси, что, как считают некоторые исследователи, стало ключевым недостающим звеном для создания системы Коперника. Еще в 2003, я с удивлением обнаружил, что теорема Туси была известна еврейскому ученому из Испании, Авнеру из Бургоса.Таким образом, еврейский след может быть промежуточным звеном. В 2003 я опубликовал об этом заметку на этом портале «Кто открыл систему Коперника?» https://www.berkovich-zametki.com/AStarina/Nomer4/MN40.htm
Только 15 лет спустя я сумел опубликовать об этом статью на английском в историческом научном журнале Zutot — «Abner of Burgos: The Missing Link between Nasir al-Din al-Tusi and Nicolaus Copernicus?»: https://brill.com/view/journals/zuto/15/1/article-p25_3.xml
2. Вторая тема — это изобретение часов, почти одновременно механических и песочных часов. И те и другие были изобретены в Европе в конце XIII века, по-видимому, без каких бы то ни было восточных влияний. Однако идеологическя полемика вокруг природы времени и его измеримости, проходившая тогда в Европе, была связана с полемикой Церкви с аристотелизмом. Сочинения Аристотеля стали известны незадолго до этого благодаря переводам с арабского. Об этом моя статья в №10(125) «Семи Искусств» за 2020 год «ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ВРЕМЕНИ ЭПОХИ РАННЕГО РЕНЕССАНСА И ИЗОБРЕТЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ЧАСОВ».
Я думаю, что и по вашей теме — про кубооктаэдр и архимедовы многогранники — можно найти много интересного, в том числе о том, какие теоретические, философские представления стояли за этими фигурами, если немного углубиться в восточную литературу, то есть в труды этих самых восточных астрономов — Ибн Куры и Бузджани. Платоновы правильные многогранники идеальны, их очень мало, они связаны со всяческими глубокими как древними пифагорейскими, так и современными математическими представлениями (например, мистика ADE-классификации, о которой много писал В. И. Арнольд). А Архимед — механик, ученый практический, не то что Пифагор с Платоном.
Здесь, в отличие от теоремы Туси, вряд ли был еврейский посредник между арабами и Европой. Но путь через Ладогу и варягов очень интересен! На Балтийском море находят и арабские дирхемы, и изображения Будды и др, попавшие тем же путем. Кстати, а в других регионах, кроме Ладоги — скажем, на Востоке- такие гири в виде кубооктаэдров не находили?
Спасибо, Михаил! Очень интересные замечания. Всё — по делу. Все Ваши статьи прочту. По поводу многогранников я читаю целый курс в университете BRIDGES BETWEEN SCIENCE AND ART: CASES OF FULLERNES, POLYHEDRA AND SYMMETRY. Целую лекцию посвящаю мусульманской геометрии многогранников. Большинство этих крутых геометров были и астрономами.
мы пишем в статье: » подобных гирь было найдено археологами по всему “скандинавскому” миру, от России на Востоке до Ирландии и Англии на Западе [10]. Я могу прислать Вам эту статью, напишите здесь адрес Вашей е-почты. У нас в Израиле подобные гирьки есть в Музее университета Хайфы.
Спасибо! Если пришлете, был бы благодарен — nosonovsky AT yahoo.com. В доступе в интернете я ее (Jane Kershaw) главу не нашел…
Курс по BRIDGES BETWEEN SCIENCE AND ART — очень интересно! Знаю, в Ин-те Вайцмана есть лекции им. Брагинского — Braginsky Center for the Interface between Science and the Humanities, интерфейс между точными и гуманитарными науками (я в прошлом году читал такую лекцию там: https://blogs.7iskusstv.com/?p=126614 ).
Михаил, отправил по электронной почте
Спасибо, статья про архимедовы тела — очень интересна… Три соображения по теме:
1. Я был в Старой Ладоге в прошлом году (первый раз в жизни, как-то раньше не было случая), странное впечатление производит это место… Провинциальное, совсем без туристской инфраструктуры (но с претензией на звание «Первая столица России»), оно произвело на меня впечатление очень сильно не то чтобы сфальсифицированного новодела, но переосмысленного, шведской крепости, вдаваемой за славянскую. К официальным датировкам тоже есть вопросы. С изумлением я увидел, что нынешний герб Старой Ладоги — модифицированный украинский Трезубец, понимаемый как пикирующий сокол. Я стал читать про этот символ и с изумлением узнал, что Тризуб (в котором мы привыкли читать слово ВолЯ), он же пикирующий сокол — герб Рюрика.
В сувенирной лавке музея продают (центов за 25) черепки с сертификатами «Сертификат. Фрагмент глинянаого сосуда. Извлечен Староладожской археологической экспедицией ИИМК РАН из культурного слоя середины IX начала Х вв.» Я много где бывал в мире на археологических сайтах, но нигде не видел, чтобы в музейном киоске продовали артефакты IX начала Х вв за копейки….
2. Упомянут персидский математик Абу аль-Вафа Бузджани (так точнее, بوزجانی от г. Бузджан) писал по-арабски, не по-персидски? Или арабские только названия книг? Интересно сочетение аль-амаль аль-хандасия, геометрические работы (الأعمال الهندسية) как слово hандаси из «геометрия» превратилось со временем в «инженерное дело». Инженер (механдес или мухандис) — геометр-практик! 🙂 Маленькое замечание: нумерация ссылок сбилась (около 20ой ссылки, по крайней мере).
3. А так тема про кристаллографические 3D симметрии — очень интересна. Наверно, у куба для удобства просто срезали острые углы, отсюда и пошел кубооктаэдр. В общем-то, совсем не обязательно, что «Возможность массового производства предметов в форме кубооктаэдра, одного из так называемых архимедовых многогранников, предполагает некоторое знание о его геометрии.» Это ключевое для статьи утверждение хорошо бы подкрепить какими-то примерами или аналогиями, например, относительно других геометрических структур.
Еще раз спасибо. отвечаю по пунктам.
1. Грустно. Думаю, про Ладогу Андрей может прокомментировать Ваши соображения более профессионально.
2. Арабский был языком науки средневекового Востока, как латынь в средние века и времена Возрождения и английский сегодня.
3. да, порядок ссылок сбился . спасибо, что сказали.
3. Вы правы, чтобы получить кубооктаэдр нужно срезать все вершины куба, но срезать надо по центру ребер. Также его можно получить УСЕЧЕНИЕМ октаэдра.
Отмечу еще Примечания, достойные отдельной расширенной публикации, начиная с даты.
Примечание 1 неоднократно редактировалось Андреем Черновым после консультаций с филологами
Спасибо! Мне было ужасно интересно! Рекомендую всем! Сохранил статью, чтобы вернуться.
_____________________________
мелким шрифтом: ««сочетания несочитаемого» — это метафора эклектики или опечатка?
Метафора эклектики в научном поиске
Большое спасибо!