СЕМЬ ИСКУССТВ

Медицина не подчинилась статистике без сопротивления, поскольку многие уважаемые врачи не понимали ее сути и/или значения. Стойким сторонником рациональной статистики был Пирогов, сооснователь современной хирургии и основатель военной хирургии. Он подчеркивал трудности сбора данных в военное время и разумно применял их.

Оскар Шейнин

ИСТОРИЯ СТАТИСТИКИ

Oscar Sheynin, Statistics, History of.
Intern. Enc. of Stat. Sci., vol. 3. Springer, 2011, pp. 1493–1504

Указанный источник включал параграф, написанный редактором, проф. Миодрагом Ловричем, об истории появления термина статистика, особенно в английском языке. В перевод мы этот материал не включили.

1. Государствоведение и политическая арифметика. Государствоведение или университетская статистика родилась в Германии в середине XVII в., а столетием позже Ахенваль основал гёттингенскую школу, которая описывала различные стороны жизни того или иного государства в основном без использования числовых данных. Его ученик Шлёцер (Schlözer 1804, с. 86) придумал крылатое изречение: История — это статистика в течении, а статистика — остановившаяся история. Его последователи восприняли эти слова как определение статистики (которая тем самым не занималась изучением причин и последствий).

Также в середине XVII в. появилась политическая арифметика (Граунт, Петти). Она широко использовала числа и обсуждала причины явлений и соотношения между явлениями и таким образом возвестила рождение статистики. Граунт (1662/1899) заявил, что необходимо знать сколько людей каждого пола, возраста, религии, ремесла и т.д. проживает в государстве (p. 396), привел соответствующие оценки (иногда существенно ошибочные), особенно относящиеся к медицинской статистике. Он смог применить скудные и ненадежные статистические данные для оценки населения Лондона и Англии, равно как и влияния различных болезней на смертность и попытался установить закономерности в движении населения. Вопреки преобладавшему мнению, он показал, что численности обоих полов примерно равны друг другу (p. 356), грубо оценил соотношение мужских и женских рождений (с. 389). Он разумно подметил, что данные о смертности от сифилиса были занижены ввиду моральных соображений.

Граунт (p. 387) также опубликовал первую таблицу смертности. Будучи изрядно ошибочной, она тем не менее имела громадное методологическое значение, и ее использовали, в первую очередь, Гюйгенс и Якоб Бернулли.

Статистика населения была одной из основных тем политической арифметики, и ее представители определенно соглашались с тем, что Во множестве народа — величие царя, а при малолюдстве народа беда государю (Притчи 14:28). И вот еще один мостик между Ветхим заветом и этой новой научной дисциплиной: Моисей послал людей осмотреть землю Ханаанскую и народ, живущий на ней, силен ли он или слаб, малочислен ли он или многочислен и хороша ли [земля] или худа (Числа 13: 3–21). Впрочем, Граунт (p. 397) сомневался в том, что статистические исследования нужны кому-либо, кроме короля и его главных министров.

Табличная статистика, которая возникла в середине XVIII в., могла бы служить связующим звеном между обеими новыми дисциплинами, но ее представителей считали рабами таблиц (Knies 1850, p. 23). Впрочем, в 1680-е годы Лейбниц рекомендовал составлять статистические таблицы с числовыми данными или без них и написал несколько рукописей, впервые опубликованные в XIX в. (Leibniz 1986), относящихся и к государствоведению, и к политической арифметике.

Появились и количественные описания явлений без изучения причин и последствий. В 1834 г. было учреждено Лондонское статистическое общество, которое заявило, что все выводы должны будут допускать математическое доказательство, что было слишком затруднительно, и указало, что статистика не обсуждает причин и следствий, что было невозможно предотвратить (Anonymous 1839).

В 1825 г. Louis ввёл так называемый количественный метод в медицину, фактически применявшийся в естествознании издавна. Его сторонники (включая Даламбера) ратовали за составление числовых данных о болезнях, обходились по существу без приложения теории вероятностей (и полагали, что она вообще почти не нужна). Подобный подход проявился и в других отраслях естествознания. В 1872 г. Проктор нанес 324 тысяч звезд на свои карты звездного неба и ошибочно заявил, что никакие теории здесь уже не нужны. Положительные примеры применения этого метода видны в составлении статистических ежегодников, звездных каталогов и т.д., но и этот труд требовал предварительно обсуждать собранные данные. Эмпиризм, лежащий в основе количественного метода, был очевиден и в трудах биометрической школы (§8).

Государствоведение продолжало существовать, хотя и в менее широких границах; отпал, например, климат. Но по крайней мере в Германии оно еще изучается в университетах, определенно применяет числовые данные и исследует причины и последствия. Оно таким образом частично преобразовалось в приложение статистического метода к различным дисциплинам  и данному государству. Мнение Чупрова (1909/1959, c. 50; 1922, p. 339) о том, что государствоведение возродится, но уже с упором на числовые данные и определит сущность статистики, оказалось частично ошибочным: оно вовсе не умирало и не определяет статистики.

2. Статистика и статистический метод. Теория ошибок. Колмогоров и Прохоров (1984) определили математическую статистику как ветвь математики, систематизирующую, обрабатывающую и применяющую статистические данные, под которыми понимается число объектов в некоторых совокупностях. Разумеется, они исключили сбор данных и их предварительное исследование, которое по существу появилось в середине ХХ в. и является важной главой теоретической статистики. Споры о различии между математической и теоретической статистиками можно решить, полагая, что именно сбор и исследование данных относятся к последней и определяют ее отличие от первой.

Первое достойное определение теории статистики (которая, видимо, почти совпадает с теоретической статистикой) предложил Butte (1808, с. XI): это — наука о понимании и оценке статистических данных, их сбору и систематизации. Неясно, включал ли он в свое определение и приложения статистики.

Громадное количество определений статистики (без каких-либо прилагательных) было предложено начиная со Шлёцера (§1), но указанного выше достаточно. Впрочем, упомянем еще Гаттерера (Gatterer 1775, с. 15), у которого цели статистики частично относились к новому государствоведению (§1): понять состояние государства, исходя из его прежних состояний.

Статистический метод — это метод исследования, основанный на математической обработке количественных данных, и в основном его имеют в виду в связи с естествознанием. Его первая стадия характерна выявлением статистических закономерностей, основанное на общих представлениях; вот афоризм Гиппократа (1952): полные люди склонны (!) умирать в более раннем возрасте, чем остальные.

Здесь можно усмотреть качественную корреляцию, вполне совместимую с качественным характером древней науки. Во время второй стадии выводы основывались на статистических данных (Граунт). Нынешняя, третья стадия началась в середине XIX в. с появлением первых стохастических критериев для проверки статистических выводов, см. Пуассон (1837), Sheynin (1978, §5.2). Впрочем, эти стадии не отделены друг от друга полностью: даже древние астрономы накапливали свои количественные наблюдения.

Исключительно важные открытия удалось сделать без применения критериев. Оказалось, например, что очистка питьевой воды в восемь раз снижала смертность от холеры (Snow 1855, pp. 74–86), что объясняло пути распространения холерных эпидемий. Аналогично, полный успех оспопрививания (Дженнер, в 1798 г.) потребовал дополнительных статистических исследований технологии прививок и без разочарований обойтись не удалось

Теория ошибок относится к статистическому методу. Ее основная особенность — применение истинного значения измеряемых констант. Фурье (1826/1890, с. 533–534) определил его как предел среднего арифметического из измерений, что эвристически схоже с частотным определением вероятности по Мизесу и означает, что остаточные систематические ошибки включаются в это значение.

С момента своего зарождения во второй половине XVIII в., см. Т. Симпсон (1756; 1757), Ламберт (1765, § 321), который и ввел термин теория ошибок, и до 1920-х годов эта теория оставалась основным полем приложения теории вероятностей, а математическая статистика переняла у нее принципы наибольшего правдоподобия (Ламберт 1760, §303) и наименьшей дисперсии (Гаусс 1823, §17).

Первое гауссово обоснование метода (точнее, принципа) наименьших квадратов (1809) для уравнивания косвенных наблюдений (т. е. для оценивания неизвестных, входящих в избыточную систему линейных уравнений, коэффициенты которой задаются соответствующей теорией, а свободные члены — результаты непосредственных наблюдений) было основано на (независимо введенном им) принципе наибольшего правдоподобия и на предположении о том, что среднее арифметическое — лучшая оценка истинного значения непосредственных наблюдений.

Его второе обоснование 1823 г., весьма тяжело написанное, основано на принципе наименьшей дисперсии искомых оценок. Колмогоров (1946) мимоходом заметил, что можно было бы

принять выведенную Гауссом формулу выборочной дисперсии её определением. Во всяком случае, её вывод несложен, а принцип наименьших квадратов последует сразу же, потому что указанный вывод требует только линейности и независимости исходных уравнений и несмещённости оценок неизвестных. Можно предположить, что Гаусс это прекрасно знал и ввёл два независимых обоснования принципа наименьших квадратов. Оставив только второе, можно будет отказаться от первого, которое ввиду своего изящества и сравнительной простоты оставалось основным.

Многие авторы предпочли второе обоснование первому, и в том числе Марков (1899/1951, с. 247), который тем не менее отрицал всякую оптимальность МНКв и тем самым обесценил своё предпочтение. Вопреки его мнению, в случае нормального распределения ошибок наблюдения МНКв обеспечивает совместную эффективность оценок (Петров 1954).

Один из первых методов уравнивания косвенных наблюдений предложил Бошкович (Cubranic 1961; 1962; Sheynin 1973), который участвовал в прокладке градусного измерения в Италии. В некотором смысле его рекомендация приводила к выбору медианы.

Уже Кеплер (Шейнин 2009, § 1.2.4) считал среднее арифметическое буквой закона. Уравнивая косвенные наблюдения, он, видимо, применял элементы принципа минимакса (выбора решения избыточной системы уравнений, соответствующего наименьшему абсолютному максимальному остаточному свободному члену) и метода Монте-Карло: он искажал наблюдения произвольными малыми поправками так, чтобы они соответствовали друг другу.

Древние астрономы считали непосредственные наблюдения своей собственностью; они не сообщали об отброшенных результатах и выбирали любую разумную оценку. Погрешности наблюдений были значительными, и теперь известно, что при плохих распределениях среднее арифметическое не лучше отдельного наблюдения, а иногда хуже его.

Бируни, арабский учёный X–XI вв., который превзошёл Птолемея, ещё не придерживался среднего арифметического, а выбирал различные оценки (Шейнин 1992).

Существует и детерминированная теория ошибок, которая исследует весь процесс наблюдений без применения стохастических представлений и близка к предварительному исследованию данных и планированию эксперимента. Уже древние астрономы умели выбирать наилучшие моменты наблюдений, чтобы неизбежные ошибки меньше всего влияли на результаты (Aaboe & De Solla Price 1964).

Не позднее XVII в. естествоиспытатели включая Ньютона учитывали подобные соображения. Даниил Бернулли чётко определил случайные и систематические ошибки, Гаусс и Бессель породили новую стадию экспериментальной науки, предполагая, что каждый инструмент должен быть полностью исследован и отъюстирован. Бессель (1839) определял, в каких двух точках должны находиться опоры измерительного жезла, чтобы он в наименьшей степени изгибался (и изменял свою длину) под влиянием собственного веса.

Последний пример: выбор исходных данных. Некоторые естествоиспытатели XIX в. полагали, что можно надежно использовать разнородные данные. Английский хирург Дж. Симпсон (J.Y. Simpson 1847–1848/1871, с. 102) тщетно изучал смертность от ампутации конечности по данным многих больниц за 45 лет. С другой стороны, заключения иногда делались при отсутствии данных. У. Гершель (W. Herschel 1817/1912, т. 2, с. 579) заявил, что размер звезды, случайно отобранной из многих тысяч, вряд ли будет существенно отличаться от их среднего размера. Он не знал, что размеры звезд чудовищно различны, так что их среднее не имеет смысла, да и вообще нельзя ничего узнать из незнания.

Ex nihilo nihil!

3. Якоб Бернулли, Муавр, Бейес. Случай и предначертание. Теория вероятностей возникла в середине XVII в. (Паскаль, Ферма) с фактического введения понятия ожидания выигрыша в азартной игре. Вначале она изучала эти игры, затем (Галлей, 1694) — таблицы смертности и страхование и (Гюйгенс, переписка 1669 г.) задачи на смертность.

Исследование Галлея, хотя и классическое, содержало ошибочное утверждение. У населения Бреслау, города, население которого он изучал, ежегодная смертность составляла 1/30, — как и в Лондоне, — он же счел Бреслау статистическим стандартом. Если такое понятие допустимо, то стандарты должны быть нескольких уровней.

Равновозможных случаев, необходимых для подсчета шансов (еще не вероятностей), в подобных приложениях не было, но Якоб Бернулли (1713, посмертно) доказал, что апостериорные статистические шансы появления события стохастически стремились к неизвестным априорным шансам, а его закон больших чисел (ЗБЧ, термин Пуассона) определял и скорость указанного стремления.

Марков (1924, с. 44–52) уточнил промежуточные вычисления Бернулли и тем самым усилил эту скорость, а Пирсон (1925) достиг еще лучших результатов, но применил для этого не известную Бернулли формулу Стирлинга (как и Марков в дополнительном исследовании). Он также неосновательно сравнил теорему Бернулли с неверной птолемеевой системой мира и, стало быть, не ценил теорем существования (в данном случае, предельного свойства статистических шансов).

Статистики не обращали внимания на скорость сходимости и не ссылались на Бернулли, если не были уверены, что априорная вероятность исследуемого события действительно существует, да и вообще почти не ценили теории вероятностей (а на более сильные законы больших чисел Пуассона и Чебышева вряд ли ссылались вообще). Они не знали или забыли, что математика как наука не зависела от существования объектов ее изучения.

В действительности задача состояла в том, чтобы проверять, выполняются ли предпосылки наличия испытаний Бернулли (их взаимной независимости и постоянства вероятности изучаемого события). Сформулировал эту задачу Лексис (Lexis, §7), а предшествующее указание Курно (1843, §86) на то, что априорную вероятность можно заменить статистическими данными в соответствии с принципом Бернулли, осталось незамеченным. Более того, сам Бернулли допустил применение статистической вероятности в случае, в котором априорная вероятность заведомо не существовала.

Классическое определение вероятности (введенное Муавром (1712), а не Лапласом) с его равновозможными случаями всё еще в ходу. Аксиоматический подход не помогает статистикам, но и вообще приходится пользоваться статистическими данными, т.е. исходить из частотной теории Мизеса, разработанной в 1930-е годы, но так и не признанной в качестве строгой математической находки.

В 1712 г. Арбутнот применил весьма простые вероятностные рассуждения, чтобы доказать, что только божественное провидение могло быть причиной преобладания в Лондоне мужских рождений над женскими в течение 82 лет подряд. Да, вероятность случайного появления этого факта исчезающе мала, но вот задача Даламбера–Лапласа: длинное слово состоит из букв — кубиков; случайно ли оно составлено? В отличие от Даламбера, Лаплас (1814/1999, с. 837, левый столбец) решил, что, хоть все расположения букв равновероятны, слово имело смысл, а потому было составлено специально. Он таким образом практически дал ответ на задачу, которая в общем виде не решена и до сих пор: не удается определить, является ли конечная последовательность нулей и единиц случайной.

Арбутнот мог бы заметить, что провидение выражалось биномиальным законом, который, однако, еще не был известен. Даже его введение Бернулли и последующими учеными не было всеобще воспринято: философы XVIII в. почти всегда воспринимали случайность лишь в равномерном смысле.

Разрабатывая задачу Арбутнота о мужских и женских рождениях, Муавр (1733) существенно усилил ЗБЧ, доказав первый вариант центральной предельной теоремы (ЦПТ) и тем самым введя в теорию вероятностей нормальное распределение, как его стали называть в конце XIX в. Лаплас несколько улучшил его результат, и Марков (1914/1951, с. 511) назвал их положение теоремой Муавра–Лапласа.

Муавр посвятил первое издание своего Учения о шансах (1718) Ньютону, и там, в этом посвящении, перепечатанном на с. 329 третьего издания, мы усматриваем его понимание задачи новой теории: отличие случайного от божественного провидения, но еще не изучение различных (и еще не известных) распределений и т.д.

Отличать случайность от необходимости в обычной жизни приходилось еще в древней Индии (Bühler 1886/1967, p. 267): несчастье, происшедшее со свидетелем в течение недели и только недели после его выступления в суде приписывалось наказанию божества (за лжесвидетельство).

Сам Ньютон (рукопись, опубликованная в 1967 г.) рассуждал о геометрической вероятности и о статистической оценке вероятностей различных бросков неправильной игральной кости.

Бейес, чей посмертный мемуар вышел в 1764 г. с дополнением 1765 г., повлиял на статистику не меньше, чем Лаплас. Так называемой теоремы Бейеса у него не было, ее ввел Лаплас (1814/1999, с. 837, левый столбец) без упоминания Бейеса. Трудность здесь логическая: можно ли приписать вероятность единичному событию? Так, правда, делается, например, при рассуждении о броске монеты. Априорные вероятности, правда, редко известны, но можно придерживаться принципа Лапласа (1803/1878, с. XI): принять гипотезу и непрестанно исправлять ее на основе новых наблюдений (если они есть!).

Ввиду указанных трудностей английские и американские статистики в течение примерно 30 лет отказывались от бейесовского подхода, но в 1967 г. теорема Бейеса вернулась с кладбища (Cornfield 1967).

Основную часть мемуара Бейеса составляет его стохастическая оценка поведения неизвестной априорной вероятности появления изучаемого события при возрастании числа бернуллиевых испытаний, т.е. решение задачи, обратной по отношению к изученной Бернулли и Муавром. В 1908 г. Тимердинг, редактор немецкого издания мемуара Бейеса, представил его результат в виде предельной теоремы. Сам Бейес этого не сделал, поскольку в отличие от других математиков своего времени, включая Муавра, избегал пользоваться расходящимися рядами.

И прямая, и обратная задачи исследовали поведение центрированных и нормированных случайных величин, но в обратной задаче в отличие от прямой априорная вероятность не была известна и дисперсия должна была быть (и действительно была) значительнее и для достижения той же точности требовалось большее число опытов. Понял это только Бейес, хоть и он тоже не владел понятием дисперсии, и Мизес вполне мог бы считать его своим основным предшественником.

Статистики ни разу не сослались на Бейеса, достижение которого было существенным: оно не следовало из предыдущих исследований и завершило построение первоначального варианта теории вероятностей.

4. Статистика в XVIII в. Позднейшие статистики восприняли цель теории вероятностей как ее понимал Муавр (§3), который фактически применил идею Ньютона об открытии божественных законов природы. Они, и особенно Зюссмильх, сделали следующий логический шаг, пытаясь установить божественные закономерности в движении населения. Эйлер существенно участвовал в составлении наиболее важной главы второго издания Божественного порядка (1761–1762) Зюссмильха, а Мальтус (1798) воспользовался одним из его выводов, именно тем, что население возрастает в геометрической прогрессии.

Зюссмильх, в частности, изучал относительное число женитьб и детей, рожденных вне брака, и тем самым положил начало моральной статистике. Ее появление закрепилось в работах Герри и Кетле в 1830е годы и позднее.

Эйлер (1923) опубликовал несколько изящных и методически важных мемуаров о статистике населения и ввел такие понятия, как возрастание населения и период его удвоения. Методически интересны были и исследования Ламберта по этой же теме. При изучении количества детей в семьях он (1772, §108) произвольно увеличил вполовину общее число детей в своих исходных данных, видимо учитывая мертворожденных и детскую смертность.

Исключительно ценны были исследования Даниила Бернулли 1760–770х годов. Первый свой мемуар он (1766) посвятил вариоляции, не вполне безопасной прививке легкой формы смертельной оспы здоровому человеку (оспопрививание по Дженнеру появилось в конце того же века). Он доказал, что вариоляция увеличивает средний срок жизни несколько более, чем на два года, и потому было весьма полезно, особенно для нации в целом.

Далее, Даниил Бернулли (1768) исследовал продолжительность женитьб, что было важно для страхования на две жизни. Наконец, он (1770–1771) обратился к соотношению мужских и женских рождений, желая, видимо, установить его истинное значение (которое не существует), но разумно воздержался от окончательной оценки. Но он при этом ввел нормальное распределение, хотя и не сослался на Муавра, статистические труды которого стали известны на континенте Европы лишь в конце XIX в.

Лаплас (1812, гл. 6) оценил население Франции по выборке (см. §6) и исследовал соотношение мужских и женских рождений. В этом последнем случае он ввел функции весьма больших чисел (рождений a и b) x^a(1 – x)^b и смог проинтегрировать их. Как обычно, он представил свои работы небрежно. Подсчитав вероятность того, что мужские рождения будут преобладать и впредь в течение ста лет, он не добавил “при тех же условиях жизни”, а окончательную оценку населения Франции (в 1812 г., в своей Аналитической теории вероятностей) указал так, что Пуассон, реферируя это классическое сочинение, ошибочно сослался на другое число. Опыт философии… Лапласа (1814) обратил всеобщее внимание на теорию вероятностей и статистику, но к сожалению это сочинение было почти забыто ввиду появления интересных, но крайне небрежно написанных работ Кетле (§5).

5. Теория вероятностей и статистика. Кетле. И Курно (1843), и Пуассон (1837) полагали, что основой статистики должна быть математика, а Пуассон с соавторами (1835) первыми прямо заявили, что статистика является действующим механизмом исчисления вероятностей и имела дело с массовыми наблюдениями. Наиболее влиятельные ученые того времени разделяли первое утверждение и, видимо, также и второе.

Фурье, в письме Кетле (1869, т. 1, с. 103) примерно 1825 г., указал, что статистика должна основываться на математических теориях, а Коши (1845/1896, с. 242) заметил, что статистика указывает пути оценивания учений и институтов и должна применяться со всей строгостью. Впрочем, Пуассон и его бывший ученик Гаварре, ставший врачом и опубликовавший первую книгу по медицинской статистике (1840), имели в виду лишь строгость, обусловленную большим числом наблюдений (например, при сравнении двух эмпирических частот), и немецкий врач Либермейстер (прим. 1877) заявил, что требовался другой (математико-статистический) подход.

Отношения между статистикой и математикой оставались неопределенными. Кнапп (1872, с. 116–117) заметил, что закладки цветных шариков в лапласовы урны было еще недостаточно, чтобы вытряхнуть из них статистику. Даже намного позже математики, видимо, пытались добиться чего-то похожего, потому что Чупров (1922/1960, с. 416) заявил, что математиков, играющих в статистику, могут победить только математически вооруженные статистики. В XIX и начале ХХ в. они всё еще были лишены подобного вооружения.

Кетле, который в течение нескольких десятилетий в середине XIX в. занимал ведущее положение в статистике, популяризировал теорию вероятностей. Он без устали обрабатывал статистические данные, пытался стандартизировать статистику населения в международном масштабе, положил начало антропометрии, заявил, что статистика должна помогать предвидеть последствия разнообразных изменений в жизни общества, собирал и систематизировал метеорологические данные. Будучи религиозным, он (1846, с. 259) отрицал всякую эволюцию видов, что в некоторой степени объясняет, почему континентальные статистики намного отстали от английских в изучении биологических проблем.

Кетле был небрежен в своих трудах, так что Кнапп (1872, с. 124) заметил, что этот богатый идеями ученый не был методичен, а потому не являлся философом. Так, Кетле (1836, т. 1, с. 10) без должного обоснования утверждал, что преступность постоянна; он, впрочем, добавил, хоть и не вполне четко: при неизменных социальных условиях.

Кетле обращал внимание на предварительную обработку данных и по существу с него началось их  предварительное исследование (§2). Он (1846, с. 278), например, указывал, что слишком подробное подразделение данных являлось научным шарлатанством. Он (1848, с. 38) ввел понятие о среднем человеке и в немыслимом физическом смысле (средний рост, к примеру, несовместим со средним весом), и в моральной сфере, приписал ему средние наклонности к преступлению (1836, т. 2, с. 171) и женитьбе (1848, с. 77) и объявил его эталоном человечества. Лишь мимоходом он (1832, с. 1) упомянул в этом контексте ЗБЧ Пуассона, так что и в моральном смысле средний человек не был обоснован. Хуже того: он не подчеркивал, что эти наклонности нельзя приписывать отдельному лицу, и после его смерти немецкие статистики, не понимавшие сути дела, начали осмеивать его идеи (а заодно и теорию вероятностей в целом), что привело к разрушению кетлетизма.

В 1949 г. Фреше заменил среднего человека типичным, а именно человеком, наиболее близким среднему. Во всяком случае, к среднему человеку (хоть не совсем в смысле Кетле) относят экономические показатели на душу населения.

6. Новые времена. Существенные успехи и советский тупик. В течение первых пяти десятилетий XIX в. в основных государствах Европы и Америки возникли статистические службы и/или национальные статистические общества. С 1851 г. начали проводиться Международные статистические конгрессы, имевшие целью стандартизировать официальную статистику данных, а в 1885 г. вместо них был учрежден существующий и поныне Международный статистический институт.

Столетием раньше Кондорсе начал изучать приложение теории вероятностей и статистики к отправлению правосудия, а Лаплас и Пуассон продолжили его изыскания. Французский математик и механик Пуансо (1836) заявил, что исчисление нельзя применять к темам, в которых большую роль играют несовершенное знание, невежество и страсти. Серьезную критику вызвало это приложение и потому, что указанные ученые молчаливо приняли независимость решений присяжных и судей; только Лаплас (1816/1886, с. 523), да и то мимоходом, упомянул эту предпосылку. Пуанкаре (1912, с. 20) заметил по этому поводу, что “в судах люди ведут себя как панургово стадо”. Более известно утверждение Милля (1843/1914, с. 490): подобные приложения позорят математику.

И всё же стохастические рассуждения могут дать указания для определения необходимого числа свидетелей и судей (Гаусс до 1841 г./1929, с. 201–204) и оценки достоверности вердиктов, принятых большинством голосов.

При решении всех подобных вопросов статистика затронута и в связи с ошибками первого и второго рода. Так, уже Талмуд (Шейнин 2009, §1.1.2) установил, что в городе, в котором некоторое число жителей умерло в течение трех последовательных дней, должен быть установлен карантин. Другой пример, относящийся к древней Индии, см. §3.

Пуассон (1837, с. 4) ввел и среднюю априорную (статистически оправданную) вероятность вины подсудимого, которую нельзя было относить к какому-либо определенному лицу и которая была сродни средней наклонности к преступлению по Кетле.

Кетле (1836, т. 2, с. 313) изучал статистическую вероятность осуждения подсудимого в зависимости от его/ее личности, заметил (1833, с. 18), что в Бельгии она была существенно выше, чем во Франции и правильно объяснил это различие отсутствием в Бельгии института присяжных (1846, с. 334).

Также в XIX в. возник ряд естественнонаучных дисциплин, существенно зависящих от статистики. Звездная статистика появилась еще раньше, в трудах Уильяма Гершеля (1784, с. 162), который попытался составить каталог всех видимых звезд и тем самым установить форму (конечной, как ему в то время представлялось) вселенной. В одном из участков Млечного пути он (1783) заменил подсчет числа звезд выборочной оценкой. Он также оценил параметры движения Солнца, приписав ему общую составляющую собственного движения некоторого числа звезд.

Намного раньше Галилей (1613) применил тот же принцип для оценки периода вращения Солнца около своей оси, приравняв его (примерно определенным) общим периодом обращения солнечных пятен.

В середине XIX в. последовали самые разнообразные статистические исследования солнечной системы (Курно 1843) и звездного неба (В.Я. Струве, О. Струве, Ньюком), а Каптейн распространил исследования на звёздные системы. Ньюком (Шейнин 2002) обработал (в том числе и весьма необычными методами) более 62 тысяч наблюдений Солнца и планет и обновил значения астрономических констант. Хилл и Элкин (Hill & Elkin 1884, с. 191) объявили, что великие космические проблемы относились не к отдельным звездам, а к их средним параллаксам и общим соотношениям между параметрами звезд.

Даниил Бернулли оказался пионером эпидемиологии (§5), которая по существу родилась в XIX в. в связи с эпидемиями холеры. Другими новыми научными дисциплинами оказались общественная гигиена (предшественница экологии), география растений, зоогеография, биометрика и климатология.

В 1701 г. Галлей опубликовал карту Северной Атлантики с контурными линиями равного магнитного склонения, а в 1817 г. по его примеру Гумбольдт ввел линии равной средней годичной температуры (изотермы) и тем самым выделил климатологию из метеорологии. Таковы были два прекрасных примера предварительного исследования данных (§3).

Также в метеорологии произошел сдвиг от изучения средних состояний (Гумбольдт) к исследованию уклонений от них, а потому и к распределениям метеорологических элементов во времени и в пространстве.

Статистика выявила значение общественной гигиены. Имея в виду ее требования, Фарр (Farr примерно 1857, опубликовано 1885, с. 148) заявил, что никакая смертность, превышающая 17 человек на тысячу в год, не является естественной. Данные о смертности больничных пациентов (особо ввиду госпитализма, т.е. плохих гигиенических условий), казармах и тюрьмах собирались и исследовались, причины повышенной смертности указывались, так что меры к ее предотвращению становились очевидными.

Медицина не подчинилась статистике без сопротивления, поскольку многие уважаемые врачи не понимали ее сути и/или значения. Стойким сторонником рациональной статистики был Пирогов, сооснователь современной хирургии и основатель военной хирургии. Он подчеркивал трудности сбора данных в военное время и разумно применял их.

В середине XIX в. статистика существенно способствовала внедрению анестезии, поскольку вначале эта новая процедура иногда приводила к серьезным осложнениям. Другой важной темой исследования оказался госпитализм, см. выше.

Биометрия была косвенно обязана своим рождением Дарвину: Проблема эволюции — это статистическая проблема. …Каждая идея Дарвина …сразу же представляется подходящей для математического определения и требующей статистического анализа (редакционная статья в первом номере Биометрики, 1902).

Исключительно важным было признание статистических законов природы, — теории эволюции (вопреки самому Дарвину), кинетической теории газов (Максвелл), распределения звёзд (Каптейн) и генетики (Мендель 1866). Методически все эти законы основывались на понимании закономерности массовых случайных явлений (Кант, Лаплас).

Лаплас (1814/1999, с. 835, левый столбец), правда, заявил, что случайность является лишь результатом незнания и несовершенства анализа, и его неоднократно объявляли детерминистом , но он выделил статистический детерминизм (устойчивость числа писем без адресов), а его труды по астрономии и теории ошибок были основаны на понимании действия случайных ошибок. По Пуанкаре, случайность возникает при неустойчивом движении, и несколько десятилетий назад было открыто новое явление, хаотический процесс, т. е. особо неприятное неустойчивое движение. Наконец, Мопертюи (Maupertuis 1756) и Бошкович (1758, §385) предвосхитили Лапласа.

В XIX, но в основном, видимо, в ХХ в. статистический метод проник во многие другие науки и дисциплины вне естествознания, и теперь трудно было бы сказать, может ли какая-либо отрасль знания обходиться без нее. Следует упомянуть и другую сторону вопроса. Теория корреляции продолжала отрицаться даже в 1916 г. (Марков), фактически потому, что не была еще достаточно развита. Ее появление (Гальтон, Пирсон) оказалось постепенным. В 1865–1866 г. немецкий астроном и математик Зейдель количественно оценил зависимость числа заболевающих тифом от уровня грунтовых вод и количества осадков, но не попытался обобщить свое исследование. И в 1870-е годы несколько ученых подметили связь некоторых явлений на Земле с солнечной активностью, но никак не оценили ее количественно.

По Гауссу (1823, §18–19), необходимым условием для независимости серий наблюдений друг от друга являлось отсутствие в них общих наблюдений, и геодезисты, даже не ссылаясь на него, интуитивно придерживались того же мнения. Если две серии примерно по m наблюдений каждая имели n общих наблюдений из этих m, то за меру их взаимозависимости принималась дробь n/m. В 1912 г. Каптейн независимо предложил подобную же меру.

Оценка точности считалась ненужной (Борткевич 1894–1896/1948, с. 126): в отличие от статистического чутья, это — роскошь. Выборочный метод воспринимался неизменно враждебно, хотя уже немецкий статистик Людер (Lueder 1812, с. 9) жаловался на появление легионов чисел. В грубой форме этот метод существовал издавна; вот заглавие статьи Стиглера 1977 г.: Восемь столетий выборочного контроля [в Англии] пробы монет. В XVII в. выборочный метод применялся в крупных поместьях России для оценки урожая хлебов, а в начале следующего века маршал Вобан (Vauban), французский Петти, выборочно оценил сельскохозяйственную продукцию Франции в целом (Moreau de Jonnès 1847, pp. 53–54).

Неудивительно, что в 1786 г. Лаплас выборочно оценил население Франции и, что гораздо важнее, установил погрешность своей оценки. В 1928 г. Пирсон, правда, нашел логическое несоответствие в его модели. Выборочный метод достойно проник в статистику в конце XIX в. (норвежский статистик Киаер, Kiaer), а в 1906 г. Каптейн начал изучать звездное небо по схеме расслоенной выборки. Противодействие этому методу, надо сказать, не прекращалось (Борткевич 1901).

Изучение общественного мнения и статистический контроль качества промышленной продукции также основывались на выборочном методе, но и то, и другое вошло в жизнь только в 1920е годы, хотя Остроградский уже в 1848 г. предложил выборочно оценивать качество продовольствия, поставляемого в армию. Наконец, эконометрия родилась еще позже, в 1930е годы.

Своеобразная боковая ветвь статистики, социография, возникла в начале ХХ в. Она изучает этнические, религиозные и др. группы общества, уже не относится только к статистике, и, как представляется, еще не стала действительно научной дисциплиной. Но вот социологи постепенно согласились с тем, что серьезные изменения в жизни общества или работе крупных коммерческих предприятий должны быть основаны на предварительных статистических исследованиях.

Советская статистика превратилась в опасную псевдонауку, оторванную от остального мира (Шейнин 2006). Ее основная цель состояла в защите марксистских догм от пагубного воздействия современной науки, и она поэтому пресекала любые количественные исследования в экономике и изгоняла математику из статистики. В 1909 г. Ленин назвал Пирсона махистом и врагом материализма, что было более чем достаточно, чтобы советские статистики целиком и полностью с порога отвергли труды Биометрической школы.

Высшей точкой на этом пути оказалась московская конференция высокого уровня 1954 г. Ее участники даже заявляли, что статистика не изучает массовых случайных явлений, которые к тому же не обладают никакими особыми свойствами. Колмогоров, который присутствовал, чтобы во всяком случае выступить с докладом, критиковал западных статистиков за допущение необоснованных предположений, а перечисляя приложения статистики не посмел назвать статистику населения, которая отражала едва закончившееся истребление миллионов граждан.

Советские статистики неизменно требовали, чтобы количественные исследования неразрывно сочетались с качественным содержанием жизни общества (т.е. подчинялись марксизму), но никогда не выставляли подобных требований к статистическим исследованиям в естествознании.

7. Два течения статистической мысли. Лексис (1879) предложил непараметрический тест для проверки постоянства вероятностей изучаемого события в различных сериях наблюдений, а именно отношение Q стандартного уклонения его частоты, вычисленной по формуле Гаусса и при условии реализации биномиального распределения. При изменении вероятности отношение должно было бы превышать единицу и равняться единице в противном случае, всё это при независимости испытаний, и, наконец, оказаться менее единицы при зависимых испытаниях. Лексис(там же, §1) также качественно выделил несколько типов статистических рядов и попытался определить стационарность и тренд.

Борткевич первым исследовал ожидание Q, а в 1898 г. предложил свой знаменитый закон малых чисел, который в действительности лишь обратил внимание на почти забытое распределение Пуассона. Вообще его работы остаются малоизученными, в основном ввиду его тусклого стиля, излишнего внимания подробностям и скверного построения, которое он отказывался изменять. Винклер (Winkler 1931, с. 1030) процитировал письмо Борткевича, который оказался рад, что нашел в лице получателя одного из пяти ожидаемых им читателей своей работы. Ни даты письма, ни названия работы Винклер не сообщил.

Марков и в основном Чупров (1918–1919) опровергли практическую применимость критерия Q, но во всяком случае Лексис основал континентальное направление статистики, поскольку пытался стохастически пояснять статистические исследования. Он, впрочем, не был последователен: даже в 1913 г. он заявил, что ЗБЧ следует обосновывать эмпирическими данными. Крестным отцом континентального направления был, можно сказать, Пуассон.

С другой стороны, придерживаясь эмпиризма, Биометрическая школа и ее вождь Пирсон заведомо пренебрегали стохастической теорией. Но Пирсон разработал принципы теорий корреляции и сопряженности признаков, ввел кривые Пирсона для описания асимметричных распределений, изобрел исключительно важный критерий хи-квадрат и опубликовал большое число полезных статистических таблиц. Вопреки высказываниям Фишера его труд существенно подготовил рождение математической статистики.

Пирсон также успешно пропагандировал приложение своей новой дисциплины в различных областях науки, изучал историю статистики в рамках истории общества (1978, посмертная публикация), указывая (с. 1), что действительно чувствовал, как неправильно было работать столь много в области статистики и пренебрегать ее историей. Он приобрел многих друзей (и врагов, включая Фишера). Вот письмо Ньюкома 1903 г. (Шейнин 2009, § 10.9.4) и мнение Хальда (Hald 1998, с. 651):

Вы — единственный автор из ныне живущих, работы которого я почти всегда прочитываю если есть время …с которым я провожу воображаемые интервью…

Между 1892 и 1911 гг. [он] создал свое собственное царство математической статистики и биометрии, беспрекословно господствуя в нем и защищая его непрестанно расширяющиеся границы от вторжений.

Континентальные математики и особенно Марков, этот апостол строгости, презирали английскую школу, Чупров же без устали, хотя и не добиваясь серьезных успехов, пытался объединить оба течения статистической мысли. Слуцкий (1912), не будучи еще известным ученым, методически описал труды биометрической школы и, правда лишь в письме Маркову 1912 г., заявил, что недостатки Пирсона будут со временем преодолены так же, как это произошло с математикой XVII–XVIII вв.

Чупрову самому удалось многого достичь, описав, например, понятие конечной переставляемости (Сенета, Seneta 1987). В основном он изучал проблемы самого общего характера, а потому выводил весьма сложные и громоздкие формулы, и его труды оставались малоизученными. Система его обозначений была к тому же отвратительной. Так, он (1923, с. 472) ввел в одной и той же формуле двухэтажные нижние и верхние индексы!

Марков, этот великий математик, оказался в некоторой степени жертвой своей собственной несгибаемости. Даже учитывая отвратительные условия жизни в России с 1917 г. до его смерти в 1922 г., представляется странным, что он по существу не смог или не захотел заметить появления новых веяний в статистике и даже в теории вероятностей в Англии.

8. Математическая статистика. В каком смысле она отличается от биометрики? Математическая статистика начала изучать новые темы (последовательный анализ), существенно продвинула прежние исследования (выборочного метода, временных рядов, проверки гипотез), намного усилила связь с теорией вероятностей и не допускала эмпирического подхода. Кроме того, и это весьма существенно, появились новые понятия. Фишер (1922) ввел статистические оценки и их свойства (состоятельность, эффективность и пр.), частично восходящие к Гауссу, который применял и ратовал за несмещенные оценки с наименьшей дисперсией.

Известно, что развитие математики было неизменно связано с ее дальнейшим отходом от природы (к примеру, при введении мнимых чисел) и что чем абстрактнее она становилась, тем полезнее оказывалась для естествознания. Переход математической статистики от истинных значений к оценке параметров был поэтому шагом в верном направлении. Тем не менее, эти значения остаются незаменимыми в теории ошибок, да и в статистике они встречаются до сих пор, и, как и в теории ошибок (Гаусс 1816, §§3 и 4), даже по отношению к объектам, не существующим в природе (Уилкс 1962, § 10.1, Hald 2007, p. 105).

Рао (Math. Rev. 2005k:62007) отметил проблемные задачи современной статистики, связанные с выбором моделей, оценкой неопределенности, проверкой гипотез и обработкой крупных массивов данных и, кроме того, что статистики не обучаются в достаточной мере ни одной отрасли естествознания.

(продолжение следует)

Примечание
Сокращение: JNÖS = Jahrbücher f. Nationalökonomie u. Statistik

Литература

Колмогоров А.Н. (1946), К обоснованию метода наименьших квадратов. Успехи математич. наук, т. 1, с. 57–71.

Колмогоров А.Н., Прохоров Ю.В. (1984), Математическая статистика. БСЭ, 3-е изд., т. 15, с. 480–484.

Курно А.А. (1843, франц.), Основы теории шансов и вероятностей. М., 1970.

Мальтус Т.Р. (1798, англ.), Опыт закона о народонаселении. Петрозаводск, 1993.

Марков А.А. (1899), Закон больших чисел и способ наименьших квадратов. Избр. тр. М., 1951, с. 231–251.

— (1900), Исчисление вероятностей. Последующие издания: 1908, 1913, посмертное М., 1924.

— (1914), О задаче Якова Бернулли. Избр. тр., с. 511–521.

— (1916), О коэффициенте дисперсии. Там же, с. 523–535.

Остроградский, М.В. (1848, франц.), Об одном вопросе, касающемся вероятностей. В книге автора Полн. собр. тр., т. 3. Киев, 1961, с. 215–237.

Петров В.В. (1954), О методе наименьших квадратов и его экстремальных свойствах Успехи математич. наук, т. 1, с. 41–62.

Слуцкий Е.Е. (1912), Теория корреляции. Киев.

Уилкс С.С. (1962, англ.), Математическая статистика. М., 1967.

Четвериков Н.С., ред. (1968), О теории дисперсии. М.

Чупров, А.А., Chuprov, А.А. (1909), Очерки по теории статистики. М., 1959.

— (1918–1919, нем.), К теории стабильности статистических рядов. В книге Четвериков (1968, с. 138–224).

— (1922a, нем.), Рецензии на книги. В книге автора (1960, с. 413–429).

— (1922b, нем.), Рецензия на книгу F. Zizek, Grundriß der Statistik. München – Berlin, 1921. Nordisk Statistisk Tidskrift, Bd. 1, рр. 329–340.

— (1923), On the mathematical expectation of the moments of frequency distributions etc, Metron, vol. 2, pp. 461–493, 646–683.

— (1960), Вопросы статистики. М.

Шейнин О.Б., Sheynin, O. (1973), Boscovich’s work on probability. Arch. Hist. Ex. Sci., vol. 9, pp. 306–324.

— (1978), Poisson’s work in probability. Там же, т. 18, с. 245–300.

— (1992), Al-Biruni and the mathematical treatment of observations. Arabic Sciences and Philosophy, vol. 2, pp. 299–306.

— (1998, англ.), Статистика и идеология в СССР. В книге Российская и европейская экономическая мысль. Опыт Петербурга. СПБ, 2006, с. 97–119.

— (1999), Statistics, definitions of. In Kotz, S., Editor- in-Chief (1999), Enc. of Statistical Sciences, Update volume 3. New York, pp. 704–711. Encyclopedia (Hoboken, New Jersey, vol. 12, 2006, pp. 8128–8135).

— (2002), Newcomb as a statistician. Hist. Scientiarum, vol. 12, pp. 142–167.

— (2009), Theory of Probability. Historical Essay. Berlin. Также www.sheynin.de и Google. Прежний русский вариант: Берлин, 2005.

Cubranic, N. (1961), Geodetski rad R. Boscovica. Zagreb.

— (1962), Geodätisches Werk R. Boscovic’s. Actes Symp. Intern. Boscovic. Beograd, 1962, pp. 169–174.

De Moivre, A. (1712, латин.), De Mensura sortis, or the measurement of chance. Intern. Stat. Rev., vol. 52, 1984, pp. 236–262.

— (1718), Doctrine of Chances. London, 1738, 1756. Перепечатка последнего издания: New York, 1967.

— (1733, латин.), A method of approximating the sum of the terms of the binomial (a + b)ⁿ etc. В книгах автора (1738; 1756, pp. 243–254).

Euler, L. (1923), Opera omnia, ser. 1, t. 7. Leipzig.

Faraday, M. (1991–2008), Correspondence, vols 1–5. London.

Farr, W. (прим. 1857), Vital Statistics. Selection from Reports and Writings. London, 1885.

Fisher, R.A. (1922), On the mathematical foundations of theoretical statistics. Phil. Trans. Roy. Soc., vol. A222, pp. 309–368.

Fourier, J.B.J. (1826), Sur les resultats moyen déduits d’un grand nombre d’observations. Oeuvr., t. 2. Paris, 1890, pp. 525–545.

Fréchet, M. (1949), Réhabilitation de la notion statistique de l’homme moyen. В книге автора Les mathématiques et les concret. Paris, 1955, pp. 317–341.

Galilei, G. (1613, итал.), History and demonstrations concerning sunspots etc. Discoveries and Opinions of Galilei. Garden City, New York, 1957, pp. 88–144.

Gatterer, J.C. (1775), Ideal einer allgemeinen Weltstatistik. Göttingen.

Gauss, C.F. (1809, латин.), Теория движения небесных тел, кн. 2, раздел 3. В книге автора (1957, с. 89–109).

— (1816, нем.), Определение точности наблюдений. Там же, с. 121–128.

— (1823, латин.), Теория комбинаций наблюдений и т.д. Там же, с. 17–57.

— (1828, латин.), Теория комбинаций …, Дополнение. Там же, с. 59–88.

— (1863–1930), Werke, Bd. 1–12. Göttingen – Berlin. Перепечатка: Hildesheim, 1973–1981.

— (1957), Избранные геодезические сочинения, т. 1. М.

Gavarret, J. (1840), Principes généraux de statistique médicale. Paris.

Graunt, J. (1662), Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality. Baltimore, 1939.

Hald, A. (1998), History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930. New York.

— (2007), History of Parametric Statistical Inference from Bernoulli to Fisher, 1713–1935. New York.

Halley, E. (1694), An Estimate of the Degrees of Mortality of Mankind. Baltimore, 1942.

Herschel, W. (1783), On the proper motion of the Sun. Scientific Papers, vol. 1. London, 1912, pp. 108–130.

— (1784), Account of some observations. Ibidem, pp. 157–166.

— (1817), Astronomical observations and experiments etc. Ibidem, vol. 2, pp. 575–591.

Hill, D., Elkin, W.L. (1884), Heliometer-determination of stellar parallax. Mem. Roy. Astron. Soc., vol. 48, полностью pt. 1.

Hippocrates (1952), Aphorisms. Great Books of the Western World, vol. 10. Chicago, pp. 131–144.

Humboldt, A. (1817), Des lignes isothermes. Mém. Phys. Chim. Soc. d’Arcueil, t. 3, pp. 462–602.

Huygens, C. (1699), Correspondence. Oeuvr. Compl., t. 14. La Haye, 1895.

Kapteyn, J.C. (1906), Plan of Selected Areas. Groningen

— (1912), Definition of the correlation-coefficient. Monthly Notices Roy. Astron. Soc., vol. 72, pp. 518–525.

Kendall, M.G. (1960), Where shall the history of statistics begin? Biometrika, vol. 47, pp. 447–449.

Knapp, G.F. (1872), Quetelet als Statistiker. JNÖS, Bd. 18, pp. 89–124.

Knies, C.G.A. (1850), Die Statistik als selbstständige Wissenschaft. Kassel.

Lamarck, J.B., Ламарк Ж.Б. (1815), Histoire naturelle des animaux sans vertebres, t. 1. Paris. Естественная история беспозвоночных животных. Избр. произв., т. 2. М.,1959.

Lambert, J.H. (1760), Photometria. Augsburg.

— (1765), Anmerkungen und Zusätze zur practischen Geometrie. Beyträge, Tl. 1, pp. 1–313.

— (1765–1772), Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung, Tl. 1–3. Berlin.

— (1772), Anmerkungen über die Sterblichkeit, Todtenlisten, Geburthen and Ehen. Beyträge, Tl. 3, pp. 476–569.

Laplace, P.S. (an XI, ca. 1803), Traité de Mécanique céleste, t. 3. Oeuvr. Compl., t. 3. Paris, 1878.

— (1812), Théorie analytique des probabilités. Oeuvr. Compl., t. 7. Paris, 1886.

— (1814, франц.), Опыт философии теории вероятностей. В книге Прохоров Ю.В., ред. (1999), Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. М., с. 834–863.

Leibniz, G.W. (1986), Sämmtl. Schriften und Briefe, Reihe 4, Bd. 3. Berlin.

Snow, J. (1855), On the mode of communication of cholera. In author’s book Snow on Cholera. New York – London, 1965, pp. 1–139.

Stigler, S.M. (1977), Eight centuries of sampling inspection: the trial of the pyx. J. Amer. Stat. Assoc., vol. 72, pp. 493–500.

Süssmilch, J.P. (1741), Göttliche Ordnung. Berlin. Несколько последующих изданий.

Poinsot, L. (1836), Замечание. В статье Poisson (1836, с. 380).

Poisson, S.-D. (1836), Note sur la loi des grands nombres. C. r. Acad. Sci. Paris, t. 2, pp. 377–382.

— (1837), Recherches sur la probabilité des jugements etc. Paris. Перепечатка: Paris, 2003.

Poisson, S.-D., Dulong, P.L. et al (1835), Рецензия на статью (рукопись?) по медицинской статистике. C. r. Acad. Sci. Paris, t. 1, pp. 167–177.

Proctor, R.A. (1872), On star-grouping. Proc. Roy. Instn. Gr. Brit., vol. 6, pp. 143–152.

Quetelet, A. (1832), Recherches sur la loi de la croissance de l’homme. Mém. Acad. Roy. Sci., Lettres et Beaux-Arts Belg., t. 7, pp. 1–32.

— (1833), Statistique des tribunaux de la Belgique. Bruxelles. Соавтор, Ed. Smith.

— (1836), Sur l’homme, tt. 1–2. Bruxelles.

— (1846), Lettres sur la théorie des probabilités. Bruxelles.

— (1848), Du système social. Paris.

— (1869), Physique sociale etc., tt. 1–2. Bruxelles. (Bruxelles, 1997.)

Schlözer, A.L. (1804), Theorie der Statistik. Göttingen.

Seidel, L. (1865), Über den Zusammenhang zwischen den Häufigkeit der Typhus-Erkrankungen und dem Stande des Grundwassers. Z. Biol., Bd. 1, pp. 221–236. Продолжение (1866), Там же, Bd. 2, pp. 145–177.

Seneta, E. (1987), Chuprov on finite exchangeability, expectation of ratios and measures of association. Hist. Math., vol. 14, pp. 243–257.

Simpson, J.Y. (1847–1848), Anaesthesia. Works, vol. 2. Edinburgh, 1871, pp. 1–288.

Simpson, T. (1756), On the advantage of taking the mean of a number of observations. Phil. Trans. Roy. Soc., vol. 49, pp. 82–93.

— (1757), Расширенный вариант той же статьи. В книге автора Misc. Tracts on Some Curious …Subjects … London, pp. 64–75.

Snow, J. (1855), On the mode of communication of cholera. In author’s book Snow on Cholera. New York – London, 1965, pp. 1–139.

Stigler, S.M. (1977), Eight centuries of sampling inspection: the trial of the pyx. J. Amer. Stat. Assoc., vol. 72, pp. 493–500.

Süssmilch, J.P. (1741), Göttliche Ordnung. Berlin. Несколько последующих изданий.

Winckler, W. (1931), Ladislaus von Bortkiewicz. Schmollers Jahbuch f. Gesetzgebung, Verwaltung u. Volkswirtschaft im Deutschen Reich, Bd. 55, pp. 1025–1033.