© "Семь искусств"
    года

2,440 просмотров всего, 2 просмотров сегодня

Для того, чтобы разглядеть в физической реальности математические структуры, их необходимо уже знать. Если я не знаком заранее с тензорным исчислением, у меня нет шансов разглядеть тензоры ни в теории упругости, ни в структуре пространства-времени, ни в свойствах электромагнитного поля.

Эдуард Бормашенко

НЕПОСТИЖИМАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МАТЕМАТИКИ В ТОЧНЫХ НАУКАХ

בס»ד
А. Воронелю

«Законы природы обладают фантастической точностью, но строго ограниченной сферой применимости».
Е. Вигнер.

Неправдоподобной, ошеломляющей эффективности математики в естествознании посвятил свою работу Нобелевский Лауреат 1963 года Юджин Вигнер.[1] Натурфилософское эссе Вигнера не утратило ни своей свежести, ни своего значения до сих пор,[2],[3] подводя читателя к границам познанного и познаваемого человеческим разумом, к тайне бытия. Вигнер, не брезгуя метафизикой (физикам хорошего тона полагается презирать болтунов-философов), задается вопросом: почему природа разговаривает с нами языком математики? Почему звонким, ярким, устрашающим успехам физиков, химиков и инженеров всегда предшествуют тихие достижения математиков? Почему математические уши торчат из-под любой физической и инженерной задачи? Вигнер заостряет мысль так: для физиков и инженеров «математический язык служит не только средством общения, но и единственным языком, на котором мы можем говорить». И поясняет: Второй Закон Ньютона и Закон Всемирного Тяготения — просты, но они просты лишь для математика, но отнюдь не для обыкновенного здравомыслящего человека, «отчасти потому, что в его формулировку входит понятие второй производной» и, что не менее важно:

«Закон Всемирного Тяготения — это условный закон с весьма ограниченной сферой применимости. Он ничего не говорит ни о Земле, притягивающей те камни, которые бросал Галилей, ни о круговой форме лунной орбиты, ни о планетах солнечной системы. Объяснение этих начальных условий остается на долю геолога и астронома, и задача, стоящая перед ними, отнюдь не легка».[1]

Запомним эту мысль, законы физики — это условные законы, с ограниченной сферой применимости. Вигнер настаивает на этой мысли:

«Законы природы обладают фантастической точностью, но строго ограниченной сферой применимости … я предлагаю назвать эту закономерность эмпирическим законом эпистемологии»[1].

Напрашивается аналогия с принципом неопределенности Гейзенберга, в данном случае, принимающем следующую форму: чем точнее выполняется физический закон, тем уже его область применения. Задача двух тел в небесной механике имеет точное решение. Но уже задача трех тел в общем случае не имеет решения в виде конечных аналитических выражений. Известны лишь отдельные точные решения для специальных начальных скоростей и координат объектов.

Но почему именно язык математики оказался так идеально пригнан к описанию природы? Вигнер склонялся к тому, что тот факт, что математика и физика так хорошо дополняют друг друга — является счастливым, чудесным совпадением, которое трудно объяснить. Так ли?

***

Мастерство-физика теоретика во многом напоминает сметку, сноровку талантливого, размашистого карикатуриста. Передо мной — баллон с газом. Я хочу разобраться в его поведении. Если я попытаюсь учесть все детали строения газа: структуру молекул, составляющих газ, точное взаимодействие между молекулами, взаимодействие молекул со стенками сосуда, — дело — труба. Даже если я привлеку самые мощные компьютеры, я не смогу сказать ничего дельного о поведении газа. И вот я начинаю отсекать все лишнее и берусь за тушь, перо и бумагу. Взаимодействием между молекулами газа пожертвуем. Сами реальные, невероятно сложно молекулы я заменю упругими стальными шариками; а дальше (чего уж мелочиться) заменю их бегающими по сосуду точками. И так далее. В результате, я получу невероятно плодотворную, условную и полезную модель идеального газа. Она далека от реальности? Верно. Всякая физическая модель далека от реальности. Но эта модель в определенном диапазоне физических параметров удивительно хорошо работает. Она не точна, но плодотворна. Поразительно плодотворна. То, что школьники не понимают, как устроены физические теории, объясняется лишь кромешной бездарностью зануд-педагогов. Модельное мышление можно преподать весьма посредственному ученику.

Остановимся и подумаем, что же мы сделали? Реальные молекулы, с их невероятно изощренным и сложным строением, мы заменили бегающими по сосуду точками. Объектами без размера, запаха, цвета и внутренностей; иначе говоря, математическими структурами, существующими исключительно в нашем воображении. Мы условились полагать молекулы точками. Что же удивительного в том, что математика хорошо управляется с математическими же объектами? Ровно ничего. Ничего непостижимого здесь нет. Условные объекты вольготно расположились в условном платоновском, мире математики. Заметим, однако, что искусство-физика карикатуриста, остается искусством. Заурядный ум можно научить понимать язык физических моделей; придумывать плодотворные модели остается талантам. Как и во всяком другом искусстве, в физике немалое значение имеют ремесленные навыки, сноровка, трудолюбие. Но этими скучными добродетелями не обойтись. Настоящему физику необходимы умение угадывать, чутье, нюх, метафизическая глубина в не меньшей мере, нежели писателю или художнику.

***

Мы уже заметили, что математические открытия всегда предшествуют естественно-научным. Ньютон и Лейбниц открывают исчисление бесконечно малых, а потом оказывается, что без него ни обойтись ни в точных науках, ни инженерном ремесле. Сначала математики открывают матрицы, а затем, они, как чертик из шкатулки выпрыгивают в заколдованном царстве квантовой механики. Риччи, Леви-Чивита, Схоутен и Фойгт придумывают тензорное исчисление, и оно немедленно оказывается незаменимым в общей теории относительности. Почему? Еще и потому, что для того, чтобы разглядеть в физической реальности математические структуры, их необходимо уже знать. Если я не знаком заранее с тензорным исчислением, у меня нет шансов разглядеть тензоры ни в теории упругости, ни в структуре пространства-времени, ни в свойствах электромагнитного поля. Разумеется, мы здесь вплотную подходим к сократовской концепции знания, как припоминания. Для того, чтобы разглядеть, распознать истину, надо ее уже знать. Как ни рознятся индийская и европейская философские школы, сократическая философия в этой узловой точке вполне сплетена с буддистской теорией познания.

«Буддистские философы заметили, что «видевший низкое дерево «ашока» не признает за дерево высокое «ашока», если не знает, что такое дерево» (цитирую по Г. Соколик, «Огненный Лед»).

Я неоднократно убеждался в том, что истина, доставляемая точными науками, обнаруживает себя именно так. Одно время я увлекался топологией. Мое воображение зацепила остроумная и необычайно общая топологическая «теорема о волосатом шаре» (официально-сухо именуемая теоремой Брауэра-Пуанкаре). Острословы-математики именуют ее еще и теоремой о расчесывании ежика. Удерживая тон КВН-капустников, переформулируем теорему так: как ни расчесывай ежика, одна из его иголок будет торчать дыбом, или вовсе выпадет. После того как я познакомился с этой удивительной теоремой, я начал я ее распознавать в дюжинах физических задач, она выползала наружу в геометрической оптике, гидродинамике, качении твердых тел. Но я смог увидеть тангенциальное поле векторов, напоминающее тщательно расчесанного ежика, только после того, как выучил теорему Брауэра-Пуанкаре; не зная ее заранее, не припомнив ее, я бы этого прилизанного ежика не увидел.

Это другая сторона необычайной эффективности математики в естествознании. Для того, чтобы распознать математическую структуру в реальном объекте, ее, это структуру необходимо уже знать. Здесь мы наталкиваемся на то, что Мераб Константинович Мамардашвили именовал проблемой философской тавтологии. Но, пожалуй, ничего мистического в способности устанавливать соответствие реальности нашему пред-знанию — нет.

***

Как мне кажется, мистический пласт взаимоотношений математики с окружающим миром залегает глубже. Как-то так чудесным образом оказывается, что любая плодотворная, красивая, нетривиальная математика окажется незаменимой для естествознания. Я здесь нарочито позволяю себе философскую, скользящую по поверхности вещей безответственность речи. Ну, что такое красивая математика? Смутно эстетическое чувство и очень субъективно. Многие математики полагали теорию множеств одним из высших достижений разума; иные старались без нее обойтись. Но боюсь, что уточнить эти соображения мне не удастся. Развернуть их можно, а, вот, придать приличную естествознанию строгость не получится. Возьмем, например, топологию. Как кажется, топология расположена неимоверно далеко от физики, но сегодня без топологических идей современная физика непредставима. Возьмем еще более кричащий пример: теория чисел, на первый взгляд, она представляет собой прекрасное упражнение для гимнастики ума. Теория чисел может доставлять огромное эстетическое удовольствие, но для экспериментальных наук она, как кажется, роскошно, великолепно бесполезна. Сегодня мы знает, что это не так; p-адические числа все увереннее проползают в физику, обнаруживаясь в квантовой механике, генетике и динамике белков. Скажу более, чем дальше математика, расположена от грубого мира реальности, чем она «чище», тем вероятнее ее прорыв в естествознание. Чем меньше математик думает о прикладном значении своей работы, чем выше и отдаленнее от вещей абстракции, которыми он оперирует, тем ярче они высветятся в физике. Сегодня физик-теоретик больше думает о математических конструкциях, нежели о вещах, наполняющих мир.

Грань между реальностью и миром математических абстракций оказывается стертой. Современный математик Макс Тегмарк, обостряя эту мысль, скажет, что мы и вообще живем в математике; окружающий наш мир и есть математика. Заметим, что вездесущие и всепроникающие компьютеры только усилили это ощущение. Никто уже твердо не может сказать, где заканчивается физическая реальность, и где начинается виртуальная. За виртуальные биткойны можно приобретать вполне реальные вещи. Вигнер не дожил до того времени, когда математика из эффективного средства постижения реальности стала самой реальностью.

***

Мне кажется, Джон Арчибальд Уилер и Мераб Мамардашвили философски провидели это смыкание теплой, колючей и пахучей реальности физических вещей и ледяного платоновского мира абстракций. Уилер, в своей работе Information, Physics, Quantum: the Search for Links, скажет: никакого предзаданного, готового к употреблению и пониманию физического мира, — нет.[4] Познаваемый мир возникает, становится только после того, как мы задаем ему вопрос.[4] Мир соответствует задаваемому ему вопросу.  Как говорил Мераб Мамардашвили: мир нельзя брать, как готовый. Мир откликается на наше усилие его познать. А хорошая, чистая, рафинированная математика позволяет задать природе осмысленный, грамотно оформленный вопрос. И чем она дальше от вещей, тем легче природа на него откликнется.

Литература

[1] Вигнер, Е. Непостижимая Эффективность Математики в Точных Науках, в сборнике «Этюды о симметрии», Москва, Мир, 1971, 182-198.
[2] Hamming, R. W. (1980). «The Unreasonable Effectiveness of Mathematics». The American Mathematical Monthly. 87 (2): 81—90.
[3] Halevy, A.; Norvig, P.; Pereira, F. (2009). The Unreasonable Effectiveness of Data. IEEE Intelligent Systems. 24 (2): 8—12.
[4] Wheeler, J. A. Information, Physics, Quantum: The Search for Links, Proceedings of the 3rd International Symposium on Foundations of Quantum Mechanics in the Light of New Technology. Tokyo, 1989б 354—368.

Share

Эдуард Бормашенко: Непостижимая эффективность математики в точных науках: 58 комментариев

  1. Igor Mandel

    Эдуард, что Вы, какой там детерминизм! Я с ним борюсь всю жизнь, да и вообще вся это диллема «детерминизм- неопределенность» давно уже тривиализирована и перестала быть актульной; все поняли, что детерминизма давно нет и скоро совсем не будет. Почти 10 лет тому назад я писал (https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1764582; потом вышла в журнале) о том, что будущее — за agent based models, в которых как раз никакого детерминизма, но просчитывание самых различных вариантов и подготовка к ним. Например, подготовка к вирусу задолго до его появления. Ничего не изменилось — я и сейчас так думаю. Традиционные экономисты — нет; пытаются все загнать в уравнения, так им красивше (с чем я согласен). Там-то детерминизм и есть, на самом деле.

  2. Бормашенко

    Бормашенко — Игорю Манделю
    Игорь, мне кажется в Ваших постах звучит тоска по детерменизму. Такие сложные модели, как модели экономические никогда не будут детерменистическими. Квантовая механика приучала нас к тому, что и простые системы не детерменистичны. Но она же приучила нас думать о том, что \»познаваемое\» не синоним \»детерменистичного.\» Точное поведение отдельного электрона предсказать нельзя, но Вы, набирая Ваши тексты, шлепаете по клавишам компьютера, функционирование которого во многом определяется полупроводниковыми системами, в которых без квантовой механики — ни шагу. Нам конечно оченб обидно, что на поле экономики мы пасемся в качестве свободных электронов, и какой-то поганый лохматый вирус может погубить мои так удачно приобретенные ценные бумаги. Ничего кроме смирения в данном случае прописать не могу.

  3. Igor Mandel

    Ну естественно, модели моделям очень даже рознь, и придумали после Ципфа массу всего. В этом и беда экономики. В физике буквально все модели (насколько я знаю) построены на основании рассмотрения каких-то ясных ситуаций в системах с полной изоляцией от всего прочего — поэтому в них так мало параметров (я не знаю, найдется ли формула с 10-ю). Потом используют их там, где они работают (типа: модель расширения газа — в накачке велосипедного колеса). В экономике тоже десятки лет идут таким путем и строят классные теории. Но как только начинают использовать — бамс! Нет велосипедных колес, в сельпо не завезли (типа: доказал Эрроу в 1950-х, что правила рационального выбора при определенных аксиомах приводят к противоречию, получил Нобелевскую, а потом прошло лет 50 и Канеман (с Тверским) показал, что люди вообще-то и не придерживаются рациональности в своем выборе, и тоже получил ее же). Так это еще хорошо, что разобрались (хотя — куда теперь теорему Эрроу девать?). А сплошь и рядом — математика, которую и опровергнуть-то аккуратно нельзя, ибо ничего не изолировано и всегда любую неудачу можно списать на то, что «условия изменились». И они таки изменяются, ничего не скажешь. Но колеса все равно не завозят и не завезут.

  4. Igor Mandel

    М. Носовскому: надеюсь, Вы меня не причисляете к тем, кто считает, что математика нужна только для отстрела вирусов? Мне очень жаль, если могло случиться такое представление, но если так — то оно не верно 🙂
    Насчет того, что экономика есть наука идеографическая — это жуткая, непроизносимая крамола (в глазах экономистов). Откройте Econometricа (наиболее, кажется, престижный журнал) и прикиньте количество формул на единицу содержания. Будет никак не меньше, чем в PHYSICAL REVIEW LETTERS (помню, чтоал как-то, как физики изумлялись, что не могут вообще понять математику экономистов, когда собирались они вместе в Санта Фе)

    1. M. Nosonovsky

      В экономике, наверно, применяются всевозможные модели (я мало про это знаю). Но модели моделям рознь, в физике все же ценятся модели, связанные с фундаментальной сутью явлений и законами природы, а остальные не очень ценятся. Как там кто-то из великих говорил «Среди континуума дурацких теорий обязательно найдутся такие, предсказания которых совпадают с экспериментом»?

      Self-organized criticality — хорошая игрушка 1980х годов, она объяснила суть многих явлений (но не нобелевского уровня ведь; впрочем, кажется, Ли Смолин как раз приводит неполучение премии П. Баком за SOC как пример, не делающий комплимента премии). Но в наше время много нового появилось, топология разная (не уровня «нельзя причасать ежа»), топологический анализ данных, например, топология сетей. Там много неочевидных и удивительных корреляций вроде того, что обычыные снятые на земле фотоизображения имеют структуру бутылки Клейна (напр. G. Carlsson et al. On the Local Behavior of Spaces of Natural Images http://math.uchicago.edu/~shmuel/AAT-readings/Data%20Analysis%20/mumford-carlsson%20et%20al.pdf ). Я бы не сказал, что со времен Парето и Ципфа ничего нового не придумали.

  5. Igor Mandel

    Эдуард, он появляется далеко не только в лингвистике или в экономике (я просто привел всем понятные примеры). Есть несколько формальных моделей, объясняющих его появление в самых разных областях, от астрономии до социологии https://www.researchgate.net/publication/1876325_Power_Laws_Pareto_Distributions_and_Zipf's_Law#:~:text=Power%20law%20(Newman%2C%202006),in%20complex%20systems.%20… (есть и более поздние работы, но эта в свое время мне очень понравилась). Особенно важно, что он появляется там, где есть Self-organized criticality, которая очень распространена в природе и общестев. Мой пункт был в том, что этот закон:
    а) статистически очень плох для оценок любых моделей, т.к., грубо говоря, для него все равно, самое большое значение в ряду миллион или миллиард (поэтому его заменяют на всякие ранговые статистики — но тогда меняется его суть, все корреляции становятся бесмысленными и пр.); поэтому я и упомянул, что стандартный аппарат теряет свою силу.
    б) он одномерен, это всего лишь распределение частот. Но требуется несравненно большее — понять как устроена, например, экономика, заведомо многомерная задача. В этом смысле закон Парето как таковой ничего не решает. А сложные многомерные, особенно причинные задачи — предмет постоянных противоречий и конфликтов; строгой теории не существует.
    насчет вируса — спорить можно долго (и, конечно, ответ человечества был куда лучше чем 100 лет назад), но я имел в виду другое: ни математика, ни статистика, ни экономика, ни политика оказались не готовы к подобному явлению. Закрытие земного шара не есть решение высокого разума. Оно говорит о полном отсуствии самой концепции защиты от таких напастей, хотя, казалось бы, сколько было всяких эпидимиологических модлей, уж как была оснащены ими ВОЗ и ООН и (в теории) каждая из стран в отдельности; уже были даже очень громкие звонки в виде эпидемий САРС и др. недавно. Ничего не помогло. Это и есть мой пункт: математика запрятана на самое дно каких-то моделей, как иголка Кащея. Иголок — куча. Яйца хранятся в зайцах (моделях более высокого уровня), те в утках (еще более высокого уровня), те в сундуках. На каждом сундуке широким задом сидит какой-нибудь президент или начальник. То есть, да, возвращаемся к Вашему исходному тезису — «не нашли еще своей модели». Это сколько сундуков надо пооткрывать, чтобы найти что надо, сколько фальшивых зайцев поотстрелять.
    Кратко: от математики как таковой до решения задачи, например, с вирусом — дистанция реально непреодолимого размера. И так во всем. Но в целом — конечно, куда же без математики? Я тут не спорю.

  6. M. Nosonovsky

    По-моему, тут путаница. Науки делятся, как показали Виндельбанд и Риккерт (неокантианцы баденской школы) на номотетические и идеографические (иногда по-русски пишут «идиографические», уж не знаю, как правильно 🙂 ). Более простыми словами — на индуктивные, основанные на общих принципах и аксиомах (такие как математика и физика) и описательные (вроде коллекционирования марок, нумизматики и гербариев). ХХ век, его конец, соотношение между номотетикой и идеографией изменил. Возможно, еще более его изменит Big Data и Искуственный Интеллект в нашем веке. Но странно требовать от психологии или эконимики, наук в основном идеографических, чтобы они основывались на математике.

    Что касается внедрения вакцины, то это ведь чисто организационный вопрос, к науке вообще отношения не имеющий. Обычная вакцина внедрялась бы порядка полутора лет. Технология вакцин на мРНК была придумана лет 30 назад, но не применялась, а сейчас оказалась востребованной. Саму вакцину разработать (при наличии описания вируса) — вопрос технический, вроде бы у Пфайзера это заняло два дня. Проблема — провести испытания на тысячах людей (нужно дождаться, пока часть из этих людей заразится естественным путем и сравнить результаты вакцины и плацебо), чтобы убедиться в эффективности и безопасности вакцины, и затем масштабировать производство, изготовить сотни миллионов доз. При чем тут фундаментальная математика?

    Что касается товарищий, рассуждающих про то, что математика лишь такая нужна, которая имеет приложения, то совершенно прозрачно, что дальше следует из этих рассуждений. Если применять эту логику последовательно, то они очень скоро скажут нам (и говорят), что считать имеет смысл только деньги! (Или то, что имеет денежный эквивалент). В наше время, в 2020 году, они будут говорить, что для PhD по математике или физике лучше всего работать на Уолл-Стрит или актуарием. Тридать лет назад в начале 1990х они точно так же советовали ученым пойти торговать цветами у метро, а 40 лет назад посылали в колхоз и на овощебазы. (Это я иронизирую, но в любой шутке доля истины). У них так мозги устроены, деловая смётка, ищут немедленную практическую пользу. 🙂

  7. Бормашенко

    Бормашенко — Игорю Манделю.
    Игорь, помилуйте, но от меня ускользает логика Ваших рассуждений. Если Вам появление закона Парето в экономие кажется интуитивно оправданным, то отчего же он появляется в лингвистике? То что миллиардеру легче заработать миллион легче чем нищему кажется понятным, деньги к деньгам, это тривиальная народная мудрость, но отчего же слова тянутся к словам? Вам это не понятно, мне — нет. Закон Ципфа мешает решать насущные задачи? Не знаю насколько это верно. Контринтуитивная истина конечно
    может мешать, но математика и не призвана решать насущные задачи. Это Вас кто-то обманул. Совершенно непонятны Ваши рассуждения об эпидемии коронавируса. Человечество справляется с ней значительно лучшими эпидемиями, да хотя бы с той же эпидемией испанки. Это отрицать невозможно. На статистику смертности населения в этой эпидемии сильно влияет старение населения Земли, произошедшее в результате все того же изумительного синтеза математики и точных наук. Мне так кажется.

  8. Igor Mandel

    Эдуард, вот, верите или нет, как Парето открыл Закон Ципфа лет за 50 до Ципфа, так до сих пор ничего подобного по значимости и универсальности не появилось 🙂 Опять же, ситуация с этим законoм такова: он отражает, в подавляющем большинстве случаев (но не всегда), очень простую и физически понятную ситуацию: чем больше у тебя масса, тем легче тебе ее увеличить на единицу (ученому с кучей публикаций — опубликовать еще одну статью; миллиардеру — заработать еще один миллион долларов и т.д., the law of preferential attachment). Тот факт, что такого рода закономерности (power law distributions) сплошь и рядом появляются всегда и везде, безусловно, очень радует, но отнюдь не помогает решать насущные задачи. Напротив — наличие таких распределений подрывает основы большей части математической статистики, базирующейся на гипотезе о нормальном распределении. Но это детали.
    Насчет вируса — я имел в виду полный крах вирусологии, экономики, социологии, политики и пр. перед лицом новой неожиданной угрозы. ВСЕ системы оказались категорически не готовы к вызову. Помните прогнозы ученых в первые недели, раз так в сто превышающие ту смертность, которая имела место быть? И это называется наука? Куда глядела она? Куда глядели те, кто должен ее применять?
    Насчет же создания вакцины — я просто не знаю, какая доля в нем принадлежит математике, физике, биологии, а какая (скорее всего, кардинальная) — чистой случайности: https://www.cnn.com/2020/12/16/us/katalin-kariko-covid-19-vaccine-scientist-trnd/index.html)

    «Экономика и биология просто еще не нашли свою математику, именно потому что они значительно сложнее физики.»
    «Просто не нашли» тянется уже слишком давно. Не совсем уверен за биологию, но экономика не найдет никогда, по простой причине: придет, например, Сталин или Трамп, и все испортит. Или — начнется война и все разрушит. Или — придут левые и поменяют всю культуру страны. Неясно, что за математика может со всем подобным справиться.

  9. Бормашенко

    Бормашенко — Игорю Манделю.
    Игорь, я склонен думать, что Вы заблуждаетесь, и повторю вслед за Кантом, что в каждой науке, ровно столько собственно науки, сколько в ней математики. Я, например, занимался количественной лингвистикой, и скажу Вам, что такие математические закономерности, проявляющиеся в лингвистике, как закон Ципфа, производят сильное впечатление. Экономика и биология просто еще не нашли свою математику, именно потому что они значительно сложнее физики. Здесь, Вы разумеется, совершенно правы. Что же касается эпидемии коронавируса, то мне кажется, что Вы не правы. Если бы не успехи физиков и математиков вакцина никогда не появилась бы столь быстро. Это вовсе не отменяет того, что прекрасные физика и математика, в конце концов, покончат с человечеством.

  10. Igor Mandel

    Мне кажется, в тексте Эдуарда и в комментариях не хватает обсуждения двух вещей.
    1. Математика так прекрасно работает ТОЛЬКО в физике и ее прямых прозводных (технике), и нигде более. Двухсотлетние попытки внедрить математику в биологию, социологию, экономику, психологию и т.д. дали, в целом, плачевные результаты, за очень маленькими исключениями в особых случаях (типа объяснения специальной формы раковин у улиток и т.п.)
    2. Те области, где она работает в физике, сводятся к некоторым очень особым ситуациям, в которых действующие разнонаправленно силы все время находятся в каком-то равновесии или в стабильном, подконтрольном разуму изменении, то есть в которых создаются уасловия некоего естественного оптимума, каковое математика и отлавливает (ровно как и форму панциря улитки, оптимизириванную в соответствии с золотым сечением). Как толко эти условия нарушаются — математика превращается в (удачный или нет) способ подгонки одного под другое. Закон тяготения прост и красив, но это только если пренебречь трением, сопротивлением воздуха и т.д. Но попробуйте установить закон тяготения на основе изучения падающего пера птицы и посмотрите, насколько красиво все это будет описано формулами. То же самое с законами газовой динамики, о которой говорил Эдуард и т.д.
    Если кратко: и теоретическая физика, и математика работают в одной и той же области, где все предельно просто, где неучтенные факторы элимируются и оптимальные состояния в природе реально достигаются. Именно поэтому одно соответствует другому, я не вижу здесь никакой мистики (но вижу, конечно, колоссальную изощреннсоть ума, требующуюся для осознания всех таких связей).
    Как только возникает открытая система с плохо понимаемыми и неизолированными потоками информации и энергии — красота немедленно пропадает, а с ней и соответствие двух наук. Возникают на их месте бесмысленные по большей части уравнения математической экономики, которые нарушаются жизнью каждый день, но продолжают производиться в неимоверном количестве. Или — где была математика в биологии (а ведь какя красивая на бумаге!) при текущей вспышке коронавируса? Такими примерами полна наша цивилизация.

    1. Е.Л.

      «Двухсотлетние попытки внедрить математику в биологию, социологию, экономику, психологию и т.д. дали, в целом, плачевные результаты»
      ———————————
      Думаю, что по мере внедрения измерений во все эти отрасли роль математики будет возрастать, собственно уже возрастает. См., например, здесь http://blogs.7iskusstv.com/?p=43368

      «где была математика в биологии (а ведь какая красивая на бумаге!) при текущей вспышке коронавируса?»
      ——————————————
      Зато сейчас у математики большое поле для деятельности, например, при построении математических моделей прогнозирования дальнейшего распространения вируса.

  11. M. Nosonovsky

    Написал подробнее в блоге http://blogs.7iskusstv.com/?p=87896

    Для науки конца XIX века характерна оппозиция натурного и мысленного эксперимента, возникшая из-за того, что после Ньютона утрачена оппозиция опыта как ориентированного на эмпирический материал и эксперимента как необходимого. Проще говоря, физика — наука о моделях, наука о мыслительном. Как и математика она имеет дело с завершенными формами. Физический и математический дискурс не нуждается в собеседнике, он безличен.

    Мысль противопоставлена речи в том смысле, что речь попдразумевает собеседника, а мысль — нет. Неудивительно, что математика успешна в работе с моделями и с мысленными экспериментами. Ведь в сущности математика представляет собой экстракт предельно формальной и обезличенной речи.

  12. Бормашенко

    Бормашенко — Берковичу, Дынину.
    Спасибо за комментарии, уважаемые коллеги.

  13. Борис Дынин

    Полвека назад вышла в издательстве « Мир» небольшая книга «Диалоги о математике» А. Реньи, венгерского математика. Она побудила меня написать статью «Диалог продолжается», опубликованную в «Ученых записках», №131, Горьковского университета. 1972. Вряд ли теперь можно найти мой текст в Интернете, но к своему удовольствию я нашел книгу А. Реньи (http://www.vixri.com/d/Ren%27i%20Al%27fred%20_Dialogi%20o%20matematike.pdf) и захотел процитировать здесь одно место из воображаемого автором диалога:

    СОКРАТ: А как ты назовешь человека, который интересуется горными породами и знает, какие из них содержат железо?
    ГИППОКРАТ: Знаток минералов.
    СОКРАТ: Занимается ли он вещами, которые существуют, или же тем, чего на самом деле нет?
    ГИППОКРАТ: Само собой разумеется, вещами которые существуют.
    СОКРАТ: Можем ли мы теперь утверждать, что каждая наук занимается теми вещами, которые существуют?
    ГИППОКРАТ: Кажется, это так.
    СОКРАТ: Теперь скажи мне, юный друг, что является объектом изучения математики? Какие вещи изучают математики?
    ГИППОКРАТ: Я спрашивал об этом Театета. Он ответил, что математик изучает числа и геометрические формы.
    СОКРАТ: Ответ верный и нельзя найти лучшего, но можем ли мы утверждать, что числа и формы существуют?
    ГИППОКРАТ: Конечно. Как могли бы мы говорить о них, если бы их не было?
    СОКРАТ: Ты прав. Но вот что меня смущает. Возьмем, например, простые числа. Существую ли они так же, как звезды или рыбы? Существовали бы простые числа, если бы не было бы математиков? …
    ГИППОКРАТ: Не знаю, что и ответить. Ясно, что, если математики думают о простых числах, значит, они существуют в их сознании, но если бы не было математиков, не могло бы быть простых чисел.
    СОКРАТ: Значит ты считаешь, что математики изучают несуществующие понятия?
    ГИППОКРАТ: Пожалуй, мы должны допустить это………

    И далее о том, как несуществующее позволяет познавать существующее.

    А Эдуарду еще раз спасибо за интересные размышления.

  14. Бормашенко

    Бормашенко-Носоновскому
    «физика как наука о моделях существующих вне нас объектов и об их свойствах, опирается на математическое мышление, поскольку оно касается завершенных форм. Метафизика же, напротив, опирается на речь. Иными словами, физика и математика обе имеют отношение к онтологическому, а не к диалогическому….Иначе можно сказать так: математическое мышление — монологично. Поэтому математика пригодна для моделирования онтологического, данного (в отличие от тех типов абстрактного мышления, которые требуют диалога/речи)».
    С первым Вашим тезисом я полностью согласен, физика имеет дело только с заврешенными формами, и именно поэтому математика, доставляющая эти формы незаменима. Это Вы прекрасно сформулировали. Блеск. Михаил, развивая Вашу мысль, мне пришла в голову странная мысль: а может быть абстрактное мышление именно тем и отличается, что не вовсе требует диалога, речи. Точнее не требует конкретного собеседника; в самом деле, в абстрактном мышлении можно удовлетвориться внутренней речью, или разговором с Б-гом — геометром. И только конкретное мышление о конкретных вещах — диалогично, требует собеседника. Как говорил Бродский: «поскольку заливает стеарин, не мысли о вещах, а сами вещи». Я ошибаюсь?

  15. M. Nosonovsky

    Эдуард, подумал еще вот о чем. Думаю, уместно сказать, что физика как наука о моделях существующих вне нас объектов и об их свойствах, опирается на математическое мышление, поскольку оно касается завершенных форм. Метафизика же, напротив, опирается на речь. 🙂 Иными словами, физика и математика обе имеют отношение к онтологическому, а не к диалогическому.

    Наше представление о рациональности и о причинно-следственных связях основанно на идее сотворенности или завершенности творения. Позиции «сейчас» соответствует «речь» (грамматика), а позиции «в прошлом» соответствует «мысль» (математика). Прошлое дано и наличествует. Настоящее или незавершенное не умещается в ОНТОлогию (и потому требует ДИАлога), но оно не предмет физики.

    Иначе можно сказать так: математическое мышление — монологично. Поэтому математика пригодна для моделирования онтологического, данного (в отличие от тех типов абстрактного мышления, которые требуют диалога/речи).

  16. Евгений Беркович

    Не касаясь других аспектов статьи, хотел бы прокомментировать высказывание, вынесенное в аннотацию:
    Для того, чтобы разглядеть в физической реальности математические структуры, их необходимо уже знать. Если я не знаком заранее с тензорным исчислением, у меня нет шансов разглядеть тензоры ни в теории упругости, ни в структуре пространства-времени, ни в свойствах электромагнитного поля.
    Вспомним открытие квантовой механики, о котором я не раз писал в этом журнале. На острове Гельголанд Вернер Гейзенберг заложил основы матричной механики, из которых и выросла впоследствии квантовая механика. Гейзенберг ввел в рассмотрение некоторые величины и вывел между ними соотношения, соответствующие уравнениям классической механики. Макс Борн, изучая статью своего ассистента, обратил внимание на то, что эти величины суть матрицы, и вместе с другим своим ассистентом Паскуалем Йорданом развил собственно матричную механику. К их работе вскоре присоединился и сам Вернер Гейзенберг, до того не имевший о матрицах никакого представления. И после появления знаменитой «работы трех» матричная механика оформилась в самостоятельную науку. В этом примере роль Макса Борна подтверждает тезис Эдуарда, что «для того, чтобы разглядеть в физической реальности математические структуры, их необходимо уже знать». Но пример Гейзенберга тут же его опровергает: Гейзенберг именно разглядел в физической реальности новые математические структуры, ничего об этих структурах не зная. Он убедился, что введённые им величины не удовлетворяют переместительному закону: АВ не равно ВА. И для дальнейшего развития теории ему потребовалось бы самостоятельно строить матричное исчисление. Большая удача, что рядом с ним оказался математически подкованный Макс Борн и тоже знавший матрицы Паскуаль Йордан. Но в начале начал все же был Гейзенберг, ничего не знавший о матрицах, и все же разглядевший в физической реальности эти структуры.

  17. Бормашенко

    Перестаньте ссориться, горячие еврейские парни. Но, Ааарон, честное слово, зачинищик — Вы. Вы занимаете крайнюю редукционистскую позицию. Это Ваше право. Но, кажется, Вы должны понимать, что другие позиции тоже возможны. Не обязательны, но возможны.

  18. Арон Липовецкий

    M. Nosonovsky Долго не мог понять, кому это все? Мне? Это все? Какой подарок. Расскажите это автору, если находите в его сочинении повод для своего красноречия.
    Когда научитесь различать логические силлогизмы и абстрактные понятия, например, число, можно будет продолжить и о метафизике и о месте, которое Вы выстелили под мои реплики, как бойкая горничная, в гостинице Философия.

    1. Арон Липовецкий

      Мне показалось, что я понял, откуда у Вас такая активность. Вы видимо много лет пребываете в каком-то споре, возможно с Бормашенко и погружены в те далекие от этого сочинения и комментариев соображения. Психологи говорят, что в конфликте 80% эмоций не имеют к «здесь и сейчас» никакого отношения. Отчасти это относится и ко мне. Так что извините.

    2. M. Nosonovsky

      Абстрактные понятия — это не совсем то, что вы думате («например число»). Вот одно из определений абстрактных понятий (вы его легко можете найти):

      «Абстрактные — это понятия, в которых мыслится не предмет, а какой-либо из признаков: свойство, отношение предмета, взятый отдельно от самого предмета. Например, «белизна», «несправедливость», «честность». В действительности существуют белые одежды, несправедливые действия, честные люди. Но белизна, несправедливость, честность как отдельные, чувственно воспринимаемые вещи не существуют. Абстрактные понятия кроме отдельных свойств предмета отражают и отношения между предметами. Например, «неравенство», «подобие», «тождество», «сходство» и другие. Абстрактные понятия, выраженные на русском языке, не имеют множественного числа»

      Пользуясь случаем, дам ссылку на свою статью про Дьяконова (там кое-что есть на эту тему). http://z.berkovich-zametki.com/2017-nomer10-mn/

      Числа же вообще к «понятиям» не относятся. Нельзя сказать «понятие пятерки» или «понятие 711». А вот сказать «понятие числа» можно, как можно сказать «понятие простого числа», «целого числа» и так далее.

      Логическое мышление возникает примерно в то же время, когда возникают абстрактные понятие. А силлогизм — самый простой и общеизвестный пример применения логики. Именно поэтому я его и привел. А вовсе не потому, как вы сострили, что не различаю силлогизмы и числа.

      Ежели вы думаете, что все это возникло в палеолите, то мне за вас неудобно. Впрочем, ваше право — иметь собственное мнение по любым вопросам, разубеждать мне никого нет нужды.

  19. Simon Starobin

    Бормашенко
    — 2020-12-17 14:17:01(92)
    Ужаемый Эдуард,
    В вашем эссе Вы делаете основной упор, что математики придумывают обстрактные вещи и тем не менее находится рано или поздно практическое применение этим абстракциям. Я же хотел сказать что в большинстве случаев как раз на обород, а так же когда физики хватаются за эти обстрактные понятия, то они часто двигаются в никуда.
    Возьмём более менее знакомые мне вещи, как теория информации, метод конечных элементов, сплайновая аппрохимация, вычислительный метод Галёркина, метод Крилова. Всё это было придумано инженерами. Я читал что Фейман придумал метод интегрирования по траекториям, который и сейчас математики не могут осознать.
    Все математики, с которыми я сталкивался в ИППИ АН СССР , верили тоже что вот я сейчас придумал и в будущем это найдёт приложение и при том приводили примеры Евклида и Пифагора.
    Я занимаюсь в компании разными делами в области прикладной математики.
    Никого не волнует или я придумал сам или взял из статьи. В конце девяностых ещё до актиного интернета я часто работал в библиотеке университета Санто Барборы. Как Вы знаете в Американских библиотеках читатель имеет свободный доступ к стелажам. И вот я ходил вдоль 50-метровых стелажей (5 метров в высоту) и полностью набитыми математическими журналами и как говорят украинцы думку гадал , неужели все эти авторы уверены , что кто то будет разбираться в их творениях. Реальность прикладника состоит в том что очень часто быстрее придумать свой метод ( можед не самый лучший) чем найти хорошую статью.

  20. Бормашенко

    Bormashenko — Simon Starobin
    Мне кажется. Вы не правы. Вы упомянули Роджер Пенроуза. Совершенно абстрактный интерес Пенроуза к мозаикам позволи объсянить наличие оси симметрии пятого порядка в квазикристаллах. Без Penrose Tiling квазикристаллы продолжали бы вызывать недоумение и выглядели бы научным курьезом, не более. Теория струн — чистая математика, но кто знает в каих областях инженерного ремесла найдут применение топологические методы, разработанные струнниками? Возможно, именно эти методы позволят добиться высокотемпературной серхпроводимости и получить управляемую термоядерную реакцию. Я при этом вовсе не разделяю Вашего оптимизма: если управляемый термоядерный синтез будет достигнут, я не думаю, что человечество непременно совершит рывок. Человечество система слишком сложная, у меня думать о нем не получается. Возможно сделает рывок, а возможно вконец обленится. Второй сценарий мне представляется более вероятным.

  21. Simon Starobin

    Это эссе написано для дилетантов и поэтому как дилетант попытаюсь высказать свою точку зрения. Основное утверждение состоит в том что современная математика не полезна а больше вредна развитию физики.
    Самые выдающиеся математики, Ньютон, Эйлер, Гаус, Пуанкаре были естествоиспытателями и они создавали вычислительные методы для описания природы. Эти методы и являются основными разделами классической математики. Потом математики формализовали их, начали развивать дальше уже в отрыве от природы. В биологии эти методы просто не работают.
    В институте где я работал, группа под руководством такого математика как Гельфанд пыталась что то сделать и ничего не вышло. Казалось бы человек как машина, состоит из отдельных взаимодействующих органов. Вдруг появляется существо с двумя головами или совсем без мозгов и тем не менее живёт. Тут одинаковое дифференциальное уравнение никак не всунешь.
    Но многие физики поверили во всемогущество математики и за не имением других идей пытаются интерпретировать обстрактные математические обьекты как физическую реальность. Конечно это моё подозрение но попытаюсь хотя бы на одном примере обьяснить на чём оно построено.
    Почти любое деление в математике можно интерпретировать как проекцию из пространства большего измерения в пространство меньшей размерности.
    Возьмём, на пример, хорошо знакомую мне теорию сплайновой аппрохимации (это был мой хлеб с маслом в течении 20 лет). Суть теории состоит в том что кривые и поверхности представляются в виде конечных полиномов. Оказывается что даже простую окружность нельзя представить как 3 конечных полинома, т.е 3 полинома для Х,Y, Z. от некого параметра. В трёхмерном пространстве необходимо вводить рациональность, т.е делить один полином на другой. Таким образом возникает сингулярность. Если ввести ещё одну переменную W, заданную тоже конечным полиномом, то сингулярность исчезает.
    В этом пространсtве уже можно делать различые операции без боязни деления на ноль.
    Моё подозрение состоит в том что в современной теории струн уход в многомерноё пространство связан не с реальной физической сутью а с подобной математической обстракцией.
    Самые выдающиеся теоретики занимаются этой теорией и ни каких практических результатов. Похоже что это просто обстратная топология.
    Такие теоретики как Виттен, Пенроуз получили Филд медали по математике. Новиков С.П. написал что он тоже опубликовал несколько статей по теории струн но потом Грибов сказал ему что теория струн работает на растояниях 10 в минус 30 степени а реальные измерения можно сделать предельно на растояниях 10 в минус 17.
    Обидно они могли бы продуктивно использованы в наиболее актуальных проблемах физики ( термоядерная энергия и сверхпроводимость). Если бы сосредоточить их на этом, как было сделано в атомном проекте, то человечество действительно сделало бы огромный скачёк.
    Мне довелось работать один год консультантом по оработке результатов измерения на Токомаке в General Electric. Моё впечатление что там работают обычные заурядные физики и это на самом большом Токомаке в Америке

  22. Вебер

    Гипотеза математической вселенной (ГМВ, также известна как Конечный Ансамбль) — в физике и космологии, одна из гипотез «теории всего», предложенная физиком-теоретиком Максом Тегмарком

    Согласно гипотезе, наша внешняя физическая реальность является математической структурой. То есть, физический мир является математическим в определённом смысле, и «те миры достаточно сложные, чтобы удерживать самосознательные подструктуры, которые будут субъективно воспринимать себя как существующие в физически „реальном“ мире». Гипотеза предполагает, что миры, соответствующие различным наборам начальных состояний, физических констант, или совсем других уравнений, можно рассматривать как одинаково реальные. Тегмарк разрабатывает ГМВ внутри гипотезы вычисляемой вселенной (ГВВ), которая утверждает, что все математические структуры, которые можно вычислить, существуют.

    Тегмарк утверждает, что гипотеза не имеет свободных параметров и, возможно, экспериментальная. Таким образом, он отдает ей большой приоритет относительно других «теорий всего» по принципу экономии. Он полагает, что сознательный опыт будет проходить в форме математических «самосознательных подструктур», которые существуют в физически «реальном» мире.

  23. Арон Липовецкий

    Липовецкий — Бормашенко, Эдуард, это, конечно, шутка. Аксиоматика теории чисел — самая первая, но и она теперь нашла прикладной смысл: теория кодирования, теория ошибок, криптография. А топологическая… даже не хочу начинать. Вообще вся аксиоматика классической математики в ней и приложилась. Это не тот пример, которого я жду, и это в картине, которую я описал. Видимо произошло недопонимание.

  24. Бормашенко

    Бормашенко-Липовецкому
    Доказана Великая теорема Ферма. Совершенно неясно, где она заиграет в физике, и где заработают изощренные методы, разработанные при ее доказательстве. Математик об этом и думать не должен. Доказана гипотеза Пуанкаре. Опять же неясно, где она заработает в физике. Но я думаю, что непременно заработает. Доказать я этого не могу. Могу продолжить: решена проблема четырех красок. И она заработает в физике. Причем совсем не там, где этого можно ожидать. Опятьже доказать я этого не могу.

    1. Арон Липовецкий

      Аксиома, теория с теоремами и модель процесса в к.-л. предметной области — понятия не только разные, но из разных категориальных уровней.
      Во все остальном Вы правы. Аксиоматика внутри к.-л. математической теории — это тоже приложение. Аксиоматическое баловство — это набор аксиом (и утверждений), которым, например, удовлетворяет тривиальное или пустое множество.
      Ваши примеры — это шутка, я думаю.

  25. Бормашенко

    Бормашенко — Аарону Лировецкому.
    «… математика одно время упражнялась в конструировании систем аксиом, не имевших прикладного содержания. Сохранили интерес только те, которые проецируются в реальность». Я думаю, мне так кажется, что это очень упрощенный, на грани вульгарности взгляд на вещи.

  26. Benny B

    Для человека с молотком любая проблема кажется гвоздем 🙂

    Наши «молотки» приходят из нашей биологии:
    1) Человеческое мышление основано на метафорах, с помощью которых мы переосмысливаем новое на основе старого. Тут есть много места точной математике — и обязательно принципиально не-точному языку.
    2) Наше «осознание старого» приходит через наши органы чувств, наши биологические потребности, наши биологические механизмы запоминания и т.д.

    Поэтому мне кажется, что всё же есть грань между бесконечной в своей сложности реальностью и математикой, которая не больше, чем часть нашего ограниченного сознания. Просто когда у человека удовлетворены низшие потребности (из пирамиды потребностей Маслоу) в пище и безопасности, то человек начинает удовлетворять высшие потребности познания, самореализации и т.д.

    Построив кафе на второй этаже здания очень важно не снести первый: в мире математики второй этаж может держаться на «энтузиазме молодёжных масс», но в мире реальности он рухнет.
    Но тут биология подложила современному человечеству чрезвычайно опасную ловушку «обратной эволюции», характерную именно для самых успешных биологических видов и для самых процветающих цивилизаций: почти исчезло влияние внешней среды на естественный отбор, всё определяет внутривидовая конкуренция.
    «Энтузиазм молодёжных масс» воспринимается как железобетонная реальность, а железобетонная несущая колона — как абстракция.

    1. Benny B

      Моё мнение:

      1) Теоретическая математика (даже «аксиоматическое баловство») является величайшей ценностью сама по себе, без всякой связи с её приложениями к другим наукам. С точки зрения эволюции (этологии): я могу прочитать небольшую лекцию о том, почему и когда «важный инстумент для цели» становится «НАСТОЯЩЕЙ само-целью». Кроме того, при определённом складе личности: теоретическая математика просто является одной из Высших Потребностей человека, то есть некоторых людей в некоторых ситуациях.

      2) Мне непонятен смысл утверждения автора о «стертости грани между реальностью и миром математических абстракций».
      Наверное это из-за разницы в подходах между прикладными математиками и математиками-теоретиками. Я конечно вообще не матеметик, но в Технионе я нередко был одним из лучших на предметах прикладной матеметики для инженеров-механиков и инженеров-программистов.

      3) Вообще, по-моему часть споров вокруг этой статьи это «НЕ правильные» споры нескольких типов: у сторон есть разные определения терминов («огурец длинный — нет, он зелённый»), споры о субъективных мнениях («сколько ангелов могут поместиться на острие иглы») и т.д.

  27. Арон Липовецкий

    Наверное, не \»о расчесывании ежика\», а о причесывании? Расчесывают обыкновенно Гондурас). У Улама (?) была задача о причесывании с двумя макушками, среди нерешенных в 50-е годы. Вместо нее причесали тор.
    Сама тема известна, но я не очень понял, что подвигло Вас о ней высказаться, какое-то новое продвижение или другая интерпретация?
    Она не сугубо философская, еще и эволюционистская и антропологическая. Вот это в комментарии \»математика… служит наглядным доказательством изоморфизма макро- и микро-космов\», звучит несколько поспешно. Макрокосм уже спроецирован в человека в процессе эволюции именно в этом мире. Каким же еще быть продукту человеческого ума? Так же как не удивляет существование антител к вирусу ковида у многих людей еще до пандемии. Эпидемиологическая история мира пока не написана.
    Вы правы, математика одно время упражнялась в конструировании систем аксиом, не имевших прикладного содержания. Сохранили интерес только те, которые проецируются в реальность. Оказалось, что возможности ума избыточны, как и возможности языка, плодящего fiction. Добавлю: и слава-богу (или от щедрот толерантности: хвала-аллаху). Разум — это большое удовольствие, если научиться играть.
    И еще одно. Фраза о не проецируемой модели \»модели,… совершенные по своей точности\» — бессмысленна. Точность — это мера именно проецируемости.
    И совсем \»на ход ноги\». \»Даже если я привлеку самые мощные компьютеры, я не смогу сказать ничего дельного о поведении газа\» — Ну почему же, задайте правильные вопросы. Интегральные характеристики в замкнутом объеме вычислимы: давление, плотность, температура, цвет, свечение,… Комп не поможет с регистрацией и отслеживанием какой-то частицы, но среднюю скорость при известной массе и температуре можно вычислить.
    У меня сложилось впечатление, что Вы ищете возможность перейти на эзотерику, не пытаясь найти рациональное объяснение. Но вот именно эзотерика не является проекцией никакой реальности, она просто выявляет ограниченность познания, слабость инструмента, ума, если хотите, а не саму непознаваемость. Да, чуть не забыл: по-моему)

    1. M. Nosonovsky

      «Макрокосм уже спроецирован в человека в процессе эволюции именно в этом мире. Каким же еще быть продукту человеческого ума? »

      По-моему, с этого места есть вопросы. Вы фактически говорите здесь, что представление о бесконечности заложено в человека в процессе эволюции. А, собственно, почему? Ведь в процессе эволюции живому существу приходится сталкиваться с конечным числом ситуаций.

      1. Benny B

        Если сравнивать поведение животных и человека, то только у человека есть понимание собственной смертности и бессмысленности своей работы (как у евреев в Египте, когда они строили на песке). У животных тоже бывает депрессия, но никогда из-за этих причин. Это верный признак заложенного в человека представления о бесконечности времени — и о конечности своей жизни.

        А ещё люди умеют смотреть на звёзды в небе и использовать созвездия для ориентирования в незнакомой местности. Это основано на представлении о бесконечности пространства.

      2. Арон Липовецкий

        Это естественный вопрос к развивающейся области науки. Думаю ответ задан не по адресу. Надеюсь, у Вас есть убедительное альтернативное объяснение.

        1. M. Nosonovsky

          «Это естественный вопрос к развивающейся области науки. Думаю ответ задан не по адресу. »

          Вопрос (не ответ) задан комментатору, написавшему «Макрокосм уже спроецирован в человека в процессе эволюции именно в этом мире. Каким же еще быть продукту человеческого ума?» Ежели Вы этого не писали или отказываетесь от написанного, то к вам вопросов у меня больше нет.

          1. Арон Липовецкий

            Это писал я, и ни от одной буквы своих ответов я не отказываюсь. Если у Вас есть другие взгляды, кроме эзотерики и т.п., то я готов их обсудить. Ваше вкусовое неприятие моей позиции, а также эзотерику обсуждать невозможно. Обсуждение возможно только и только на основе логики, как минимума общего согласия.

      3. Арон Липовецкий

        Фактически я утверждаю, что в процессе эволюции в человеке сложилась способность мыслить, т.е. рассуждать абстрактно и логически и. А к бесконечности во всех ее вариациях всего за несколько тысяч лет привела интенсивная практика мышления за пределами практичности, размышление о логике, как об абстрактом инструменте.

        1. M. Nosonovsky

          Это утверждение не подтверждается научными данными. Эволюция человека завершилась много десятков тысяч лет назад, а способность абстрактно мыслить характерна для человека не неолита, и даже не бронзового, а железного века (то есть тысячи три лет назад максимум). Впрочем, это все не важно, извините, что потревожил вопросом, на который вы явно не знаете ответа.

          1. Арон Липовецкий

            Надеюсь Вас не удивит, что науке еще многое неизвестно, а тем более, тем, кто не вовлечен например в биологию эволюции. И я не исключение. Для этого разговора достаточно того, что в некоторых гипотезах наука уже не нуждается.

          2. Арон Липовецкий

            Даже письменность существовала задолго да железного века. Сами символы письма — это уже абстракция. А о богах и идолах, еще дописьменных без абстракции додумались? Это я наэзотерил, не спрашивайте как, просто верьте мне.

          3. M. Nosonovsky

            Вам, дорогой Арон, явно не хватает образования и знаний, чтобы вести беседу на эти темы. Логическое, абстрактное мышление, появилось довольно поздно. Это устанавливается, конечно, по косвенным данным, например, путем реконструкции древних языков. Люди неолита (например, те, кто построил башню Тель-эс-Султан в Иерихоне), или, скажем, люди халколита (те, кто построил Гальгал-Рефаим на Голанах — я просто для наглядности привожу примеры, знакомые большинству израильтян, интересующихся историей/археологией) еще не обладали логическим мышлением, не могли справиться с силогизмами вроде «Все люди смертны, Скорат человек, значит Сократ смертен». Это не мое мнение, это то, что написано учеными в справочниках, учебниках и монографиях. 🙂 Но если вы этого не знаете, то это, в конце концов, не страшно.

            Дальше, почтенный Эдуард, обращаясь ко мне, употребил слово «эзотерика» иносказательно. Он не имел в виду эзотерику в буквальном смысле, и я его прекрасно понял. Вы почему-то вцепились в это слово. Для вас, похоже, нет разницы между эзотерикой и метафизикой, вы еще и молитвы почему-то упомянули.

            При разговоре о континентальной метафизике и ее противопоставлении англо-американской аналфилософии (а точнее, вульгарному сциентизму, за который вы здесь столь неуклюже пытаетесь вписаться), центральная проблема метафизики — парадоксы бесконечного и связанные с ними парадоксы самореференции. Конечно, математика тоже строится вокруг понятия бесконечного (см. напр. Г. Кантор). Хотя в математике есть конструктивистский подход, когда понятие наличной бесконечности не используют, но не о нем речь (этот подход — плод того же древа, что и аналфилософия, бихевиоризм, прагматизм и прочие отпрыски позитивизма).

            Так вот, Эдуард сказал, что мир математических идей в голове человека (микрокосм, как он выразился) изоморфен макрокосму, то есть миру физики. Вы на это возразили (вполне в сциентистском духе), что с точки зрения эволюции так и должно быть. Я удивился (это как же метафизическое да с точки зрения эволюции?), и задал вопрос, как же эволюция могла создать понятие о бесконечном [и о логических парадоксах — подразумевалось], в природе-то нет ни бесконечного, ни парадоксов? Разумеется, настоящий аналитический философ бы вывернулся и тут же ответил бы, но вы не сумели и этого и стали рассуждать про эзотерику. На этом, по-моему, дискуссия закончена. 🙂

          4. Benny B

            M. Nosonovsky : … Люди неолита … еще не обладали логическим мышлением, не могли справиться с силогизмами вроде «Все люди смертны, Скорат человек, значит Сократ смертен». …
            =======
            Если Вам не трудно, то буду благодарен за разъяснение: чем это отличается от древних израильтян эпохи судей (конец бронзового века), у которых не было слов для обозначения многих цветов (color) потому, что не было соответствующей краски и цвет был неотделим от объекта (как «гнедой» неотделим от лошади) ?

            Абстракции возникают (в языке и в мышлении) по мере необходимости — а по-моему для силогизмов в стиле Сократа необходимо развитие городов с определённым количеством «думающих бездельников». Иначе гения уровня Сократа никто просто не поймёт.

          5. Е.Л.

            «чем это отличается от древних израильтян эпохи судей (конец бронзового века), у которых не было слов для обозначения многих цветов (color) потому, что не было соответствующей краски и цвет был неотделим от объекта (как «гнедой» неотделим от лошади) ?»
            ——————————
            Пример не совсем корректный. Предполагаю, что в конце бронзового века пользовались понятиями главных семи цветов или цветами радуги, не вникая в оттенки. Так про гнедой цвет (красновато-рыжий) можно сказать просто красный или просто желтый.

    2. M. Nosonovsky

      «Макрокосм уже спроецирован в человека в процессе эволюции именно в этом мире. Каким же еще быть продукту человеческого ума? »

      С эволюцией вообще не очень понятно. Эволюция приспособила человеческий мозг к выживанию в условиях африканской саванны 100 тыс лет назад, и к эффективному решению сответствующих задач (в том числе, задач коммуникации с другими людьми в племени). Как из этого проистекает способность мозга создать теорию множеств, утонченную поэзию или квантовую электродинамику?

      Боюсь, что у сциентистов / аналитических философов / позитивистов не будет ответа, поскольку переход этот — качественный, трансфинитный [если хотите]. От языка и системы понятий, при помощи которых можно объясниться с соплеменниками, уболтать молоденькую самку и предупредить об опасности, до языка, на котором можно говорить о чем угодно, включая устройство айфона, квантовую теорию поля и полифонию в поэтике авангарда, можно говорить и о бесконечном и трансцендентном — дистанция больше, чем вся вселенная.

      Ниоткуда не следует, что способность к выживанию в саванне 100 тыс лет назад в качестве бонуса дает способность понимать общую теорию относительности. Ниоткуда не следует! 🙂

      1. Арон Липовецкий

        Зато эзотерика дает полный исчерпывающий ответ) Отсутствие понимания может быть скомпенсировано только новым уровнем понимания, а не молитвой, как ее ни называй.

  28. Бормашенко

    Бормашенко — В.М. Спасибо за цитаты из Лема. Очень люблю Лема, на этих текстов не знал.

  29. В.М.

    Спасибо за интересную статью. Позвольте привести две цитаты из С. Лема на эту тему. Длинновато, но любопытно.

    «Давайте представим себе портного-безумца, который шьет всевозможные одежды. Он ничего не знает ни о людях, ни о птицах, ни о растениях. Его не интересует мир, он не изучает его. Он шьет одежды. Не знает, для кого. Не думает об этом. Некоторые одежды имеют форму шара без всяких отверстий, в другие портной вшивает трубы, которые называет “рукавами” или “штанинами”. Число их произвольно. Одежды состоят из разного количества частей. Портной заботится лишь об одном: он хочет быть последовательным. Одежды, которые он шьет, симметричны или асимметричны, они большого или малого размера, деформируемы или раз и навсегда фиксированы. Когда портной берется за шитье новой одежды, он принимает определенные предпосылки. Они не всегда одинаковы, но он поступает точно в соответствии с принятыми предпосылками и хочет, чтобы из них не возникало противоречие. Если он пришьет штанины, то потом уж их не отрезает, не распарывает того, что уже сшито, ведь это должны быть все же костюмы, а не кучи сшитых вслепую тряпок. Готовую одежду портной относит на огромный склад. Если бы мы могли туда войти, то убедились бы, что одни костюмы подходят осьминогу, другие — деревьям или бабочкам, некоторые — людям. Мы нашли бы там одежды для кентавра и единорога, а также для созданий, которых пока никто не придумал. Огромное большинство одежд не нашло бы никакого применения. Любой признает, что сизифов труд этого портного – чистое безумие.

    Точно так же, как этот портной, действует математика. Она создает структуры, но неизвестно чьи. Математик строит модели, совершенные сами по себе (то есть совершенные по своей точности), но он не знает, модели чего он создает. Это его не интересует. Он делает то, что делает, так как такая деятельность оказалась возможной».

    «Я думал, что это не сама Природа математична… Я допускал, что математика не скрыта в Природе и совершенно из других соображений мы ее в ней открываем. Я думал, что она кроется скорее во взгляде ученого, но не посмел высказать этого прямо, поскольку эта мысль полностью противоречила современным убеждениям ученых, лучших, чем я. Математичность Природы, подвергающейся нашим формальным процедурам, представляющим как бы “глубокую Тайну”, удивительное сближение “того, какой есть Космос” и того, “как математика может быть точным отражением Космоса”, оказывается нашей человеческой ошибкой».

  30. ALokshin

    Прекрасная статья, спасибо! И все же, мне кажется, что физика находится в плену у математики, оперирующей понятиями непрерывного и дискретного… И именно отсюда проистекает «непостижимая эффективность»

  31. Бормашенко

    Михаил, спасибо. Громадное различие в работе физика и математика все же в том, что именно ими созерцается. Физики до недавнего времени наблюдали окружающий мир, природу, а математики собственное сознание. И то что, математика оказывается незаменимой в физике служит наглядным доказательством изоморфизма макро- и микро-космов, переходя на полуэзотерический язык. Еще раз спасибо.

    1. M. Nosonovsky

      «то что, математика оказывается незаменимой в физике служит наглядным доказательством изоморфизма макро- и микро-космов, переходя на полуэзотерический язык.»

      Реальное [или, если хотите, смысл] — безсущностно и нетиражируемо, поэтому ненаходимо ни из какой позиции, кроме собственной. Оно предшествует разделению на субъект и объект; учитель и ученик — оба присутствуют в акте самораскрытия реальности, которая вне пространства, времени и личности, поэтому оно априорно присутствует в познающем. По сути учитель лишь помогает вам самому прийти к решению, которое уже есть у вас в неразвернутом виде.

      В результате научить только того, кто уже знает. Как там сказал Фейнман в предисловии к «Фейнмановским лекциям», прицитировав великую книгу «Закат и падение Римской Империи» Эдварда Гиббона? «Образование только тому приносит пользу, кому оно почти и не требуется» («the power of instruction is seldom of much efficacy except in those happy dispositions where it is almost superfluous.»)

      1. M. Nosonovsky

        PS. Забыл добавить к этому пункту важный момент: именно поэтому в учениях, подчеркивающих единство (недвойственность) смыслы зачастую обнаруживаются, а не достигаются.
        (В буддизме нирвану нельзя достичь, можно ее только обнаружить, ежели простится мне в сей светлый праздник Хануки пример из идолопоклоннической религии).

  32. M. Nosonovsky

    Спасибо за интересное эссе на всегда актуальную тему!

    Из тех философских сочинений, которые я читал по теме, на меня, пожалуй, наибольшее впечатление призвела глава Гуссеря про Галилея. Там, правда, нет ни слова от Галилея, но Гуссерль ставит вопрос о роли математики в описании феноменов и форм, то есть того самого «модельного мышления».

    Я думаю, здесь уместно также задать вопрос о том, чем математика отличается от других способов абстрактного мышления. Например, от логики. Или от грамматики. От Ильи Дворкина я слышал, будто Ф. Розенцвейг писал, что язык (точнее речь) принципиально отличается от математики тем, что имеет настоящее время, то есть описывает становящееся, а не только уже существующее, יש («есть»), которое согласно Кдушес-Леви р. Ицхока из Бердичева соответствует прошедшему времени и противопоставлено אין («нет») настоящего, то есть не данному.

    В этом смысле, если двигаться в сторону идей XXI века, то для анализа редукционизма очень интересно противопоставление создающегося заново знания и запоминаемого. Одна из математических «проблем тысячелетия» института Клея, P!=NP, как раз о том, всегда ли алгоритмически проще найти решение задачи в каталоге решений, чем вывести решение заново. Недавно умерший лингвист Вяч. Вс. Иванов включил в свою книгу «Лингвистика третьего тысячелетия» главу «Что создается заново и что запоминается? Текст как целое» (там ставятся вопросы о бытовании текста как целого и его сочинении заново на ходу).

    Раз уж я коснулся противопоставления יש и אין, то напомню слова Конфуция (Кун-Цзи, т.е. Учителя 子 Кун 孔) — трудно найти черную кошку в черной комнате, если ее там нет. Думаю, это относится и к другим видам котов (включая чеширских и шредингеровых) и непричесанных ежей — возможно, не во всех комнатах имеет смысл их искать! 🙂

    Спасибо за интересную публикацию!

  33. ЕвгенийВ

    Спасибо, весьма хорошо и интересно! Физики и математики очень близки, конечно, физика ушла от античной метафизики и очень сблизилась с математикой. Но, думаю, физик никогда не может позволить себе перерезать тонкую нить, связывающую математическую модель с реальностью. Математик может. И мне хочется надеятся, что не всегда математика будет опережать. Что не все новые физические теории будут опираться отныне на чисто абстрактную математику, но будет, как и раньше, новая математика, порожденная остроумными физическими моделями. А уж математики с физиками «сочтутся славою».

Добавить комментарий для Igor Mandel Отменить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

AlphaOmega Captcha Mathematica  –  Do the Math